分解因式之十字相乘法

1、分解因式之十字相乘法我們知道，反過(guò)來(lái)，就得到二次三項(xiàng)式的因式分解形式，即，其中常數(shù)項(xiàng)6分解成2,3兩個(gè)因數(shù)的積，而且這兩個(gè)因數(shù)的和等于一次項(xiàng)的系數(shù)5，即6=2×3，且2+3=5。一般地，由多項(xiàng)式乘法，反過(guò)來(lái)，就得到 這就是說(shuō)，對(duì)于二次三項(xiàng)式，如果能夠把常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)因數(shù)a、b的積，并且a+b等于一次項(xiàng)的系數(shù)p，那么它就可以分解因式，即。運(yùn)用這個(gè)公式，可以把某些二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式。例1 把分解因式。分析：這里，常數(shù)項(xiàng)2是正數(shù)，所以分解成的兩個(gè)因數(shù)必是同號(hào)，而2=1×2=(-1)(-2)，要使它們的代數(shù)和等于3，只需取1,2即可。解：因?yàn)?=1×2，

2、并且1+2=3，所以例2 把分解因式。分析：這里，常數(shù)項(xiàng)是正數(shù)，所以分解成的兩個(gè)因數(shù)必是同號(hào)，而6=1×6=(-1)×(-6)=2×3=(-2)×(-3)，要使它們的代數(shù)和等于-7，只需取-1，-6即可。解：因?yàn)?=(-1)×(-6)，并且(-1)+(-6)=-7，所以例3 把分解因式。分析：這里，常數(shù)項(xiàng)是負(fù)數(shù)，所以分解成的兩個(gè)因數(shù)必是異號(hào)，-21可以分解成-21=(-1)×21=1×(-21)=(-3)×7=3×(-7)，其中只需取3與-7，其和3+(-7)等于一次項(xiàng)的系數(shù)-4。例4 把分解因式。解：因

3、為-15=(-3)×5，并且(-3)+5=2，所以 通過(guò)例14可以看出，把分解因式時(shí)：如果常數(shù)項(xiàng)q是正數(shù)，那么把它分解成兩個(gè)同號(hào)因數(shù)，它們的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)p的符號(hào)相同。如果常數(shù)項(xiàng)q是負(fù)數(shù)，那么把它分解成兩個(gè)異號(hào)因數(shù)，其中絕對(duì)值較大的因數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)p的符號(hào)相同。對(duì)于分解的兩個(gè)因數(shù)，還要看它們的和是不是等于一次項(xiàng)的系數(shù)p。例5 把下列各式分解因式：(1) (2) 例6 把分解因式。分析：把看成x的二次三項(xiàng)式，這時(shí)，常數(shù)項(xiàng)是，一次項(xiàng)系數(shù)是-3y，把分解成-y與-2y的積，(-y)+(-2y)=-3y,正好等于一次項(xiàng)的系數(shù)。我們知道，。反過(guò)來(lái)就得到的因式分解的形式，即。我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)的

4、系數(shù)3分解成1,3兩個(gè)因數(shù)的積；常數(shù)項(xiàng)10分解成2,5兩個(gè)因數(shù)的積；當(dāng)我們把1,3，2,5寫成1 23 5后發(fā)現(xiàn)1×5+2×3正好等于一次項(xiàng)的系數(shù)11。由上面例子啟發(fā)我們，應(yīng)該如何把二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。我們知道，反過(guò)來(lái)，就得到我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)的系數(shù)分解成，常數(shù)項(xiàng)分解成，并且把，排列如下： 這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到+，如果它們正好等于的一次項(xiàng)系數(shù)，那么就可以分解成，其中，位于上圖的上一行，位于下一行。像這種借助畫十字交叉分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過(guò)多次嘗試，才能

5、確定一個(gè)二次三項(xiàng)式能否用十字相乘法分解。例如在上面例子的二次三項(xiàng)式中，二次項(xiàng)的系數(shù)3可以分解成1與3，或者-1與-3的積，常數(shù)項(xiàng)10可以分解成1與10，或者-1與-10，或者2與5，或者-2與-5的積，其中只要選取十字1 23 5相乘就可以了。例7 把下列各式分解因式：1-32-1(1) (2) (3) 22y5-4y213-511121-11-6131-71-315另外，我們也可以用十字相乘法把二次三項(xiàng)式分解因式。例14的十字分別是：可以看出，這四個(gè)十字左邊兩個(gè)數(shù)都是1。因此在把分解因式時(shí)，不畫十字也可以。練習(xí)把下列各式分解因式：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 用配方法分解二次三項(xiàng)式對(duì)于某些二次三項(xiàng)式，除了可以用十字相乘法分解因式以外，還可以用“配方法”來(lái)分解，其中要用到完全平方公式、平方差公式以及添項(xiàng)、拆項(xiàng)的技巧(這里運(yùn)用完全平方公式“配”出一個(gè)完全平方，是配方法的關(guān)?。弧疤眄?xiàng)、拆項(xiàng)”是指先添一個(gè)0，再把0拆成絕對(duì)值相同、符號(hào)相反兩項(xiàng)，也就是先加上一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，再減去這個(gè)項(xiàng)，其目的也是為了配方)。例如，把分解因式，我們可以這樣進(jìn)行：(加上，再減去)(運(yùn)用完全平方公式)(運(yùn)用平方差公式)(化簡(jiǎn)) 可以看出，這與十字相乘法