全國版高考數學必刷題：第二單元函數的概念與基本性質

1、第二單元函數的概念與基本性質考點一函數的概念1.(2015 年浙江卷)存在函數f(x)滿足:對于任意x R 都有().2A.f(sin 2x)=sinxB.f(sin 2x)=x+xC.f(x2+1)=|x+1|D.f(x2+2x)=|x+1|【解析】選項 A 中,x分別取 0，n可得f(0)對應的值為 0,1,這與函數的定義矛盾，所以選項 A 錯誤;選項 B 中,X分別取 0,n,可得f(0)對應的值為 0,n2+n,這與函數的定義矛盾，所以選項 B 錯誤；選項 C 中,X分別取 1,-1,可得f(2)對應的值為 2,0,這與函數的定義矛盾，所以選項 C 錯誤；選項 D 中，取f(x)=V?

2、r7,則對于任意x R 都有f(x2+2x)=V7?+ 2x+ 1=|x+1|所以選項 D 正確.綜上可知，本題選 D.【答案】D,x 0,A -1,2 B.-1,0 C 1,2D. 0,22【解析】T當x0 時,f(x)=x+?+a 2+a,當且僅當x=1 時等號成立.要滿足f(0)是f(x)的最小值，需 2+af(o)=a,即a -a-2w0,解得-1waw2.a的取值范圍為0,2.故選 D.【答案】D真題回訪3.(2015 年全國n卷)設函數f(x)=1?+1lOg2(2_x)，x 1,A.3B.6 C.9D.12【解析】/-21,.f(log2l2)=2log212-1=舟=6.f(-

3、2)+f(log212)=3+6=9.故選 C【答案】C4. (2016 年江蘇卷)函數 yM- 2?的定義域是 _.【解析】要使函數有意義，需 3-2x-x2 0,即x2+2x-3 0,得(x-1)(x+3) 0,即-3x 1,故所求函數的定義 域是-3,1.【答案】-3,1考點二函數的奇偶性5.(2014 年全國I卷)設函數f(x),g(x)的定義域都為 R 且f(x)是奇函數,g(x)是偶函數，則下列結論中正確的是( ).Af(x)g(x)是偶函數B.|f(x)|g(x)是奇函數Cf(x)|g(x)|是奇函數 D|f(x)g(x)|是奇函數【解析】令hx)=f(x)g(x)則h1(-x)

4、=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h1(x),.h1(x)是奇函數,A 錯誤.令h2(x)=|f(x)|g(x),則h2(-x)=|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x)=h2(x), h2(x)是偶函數,B 錯誤.令h3(x)=f(x)|g(x)|,則h3(-x)=f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-h3(x),.h3(x)是奇函數,C 正確.令h4(x)=|f(x)g(x)|，則h4(-x)=|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|=h4(x),h4(x)是偶函數,D 錯誤.【答案】C6.(2015 年

5、廣東卷)下列函數中，既不是奇函數，也不是偶函數的是().1A.y=l+ ?B.y=x+弼C.y=2x17?D.y=x+ex【解析】A 選項中的函數的定義域為R 因為Vi+ (-?)2=VTT?iF,所以該函數是偶函數.B 選項中的函數1 1的定義域為x|x工 0,因為-x-掃-(?+?,所以該函數是奇函數.C 選項中的函數的定義域為R,因為-x11x2+尹=尹2，所以該函數是偶函數.D 選項中的函數的定義域為數.【答案】D7.（2017 年北京卷）已知函數f（x）=3x-（？?,則f（x）（）.A. 是奇函數，且在 R 上是增函數B. 是偶函數，且在 R 上是增函數C. 是奇函數，且在 R 上

6、是減函數D. 是偶函數，且在 R 上是減函數【解析】函數f(x)的定義域為 R，4-?4?f(-x)=3-x-(3)=(3)-3x=-f(x)，函數f（x）是奇函數.4?函數y=（3）在 R 上是減函數又/ y=3x在 R 上是增函數，1?函數f（x）=3x-（3）在 R 上是增函數.故選 A.【答案】A8.（2015 年全國I卷）若函數f（x）=xln（x+J?R）為偶函數，則【解析】Tf(x)為偶函數,.f(-x)-f(x)=0 恒成立,-Xln (-x+V? ?)-xln (x+V?)=0 恒成立,.xln a=0 恒成立，Ina=0,即a=1.【答案】1R 因為-x+e-x=e?x，所

7、以該函數是非奇非偶函4?二函數y=-(j在R上是增函數a=_考點三函數的單調性及其綜合應用9.(2017 年全國I卷)函數f(x)在(-)上單調遞減，且為奇函數.若f(1)=-1,則滿足-Kf(x-2) 1 的x的取 值范圍是().A.-2,2B.-1,1C.0,4D.1,3【解析】Tf(X)為奇函數,.f(-X)=-f(X).f1)=-1,.f(-1)=-f(1)=1.由-K f(x-2) 1,得f(1)f(x-2)上單調遞減，-1 x-2 1,1 xf(-v2),則a的取值范圍是 _.【解析】vf(x)是偶函數，且在(-g,0)上單調遞增，f(x)在(0,+g)上單調遞減,f(-V2)=f

8、(v2),1f(2i)f(v2),.2i 辺=22,11113|a -11,即-2a-12,即2a?01 的x的取值范圍是 _.1 1【解析】由題意知，可對不等式分x 0,0 x2三段討論.1 1當x1,解得x-4，1- YX= 04當 01，顯然成立.當x1時，原不等式為 2x+2?；1,顯然成立.1綜上可知，x-4*1【答案】(-4,+8)高頻考點：求函數的定義域、分段函數求值、利用函數單調性解函數不等式、函數奇偶性的應用.命題特點:1.求函數的定義域一般根據限制條件，列岀不等式求解，此類問題難度不大.2.分段函數的求值需根據自變量的范圍確定對應的解析式，再代入運算，此類問題難度不大.3.

9、函數的奇偶性、單調性、周期性往往綜合考查.解決這類綜合考查問題常利用周期性和奇偶性把所求的函數解析式轉化為已知區(qū)間內的函數解析式，再利用單調性分析或求解. 2.1 函數的概念及其表示汩曲津 J 必備知識 L- -k函數的概念給定兩個非空數集A和B,如果按照某個對應關系f，使對于集合A中的_ 一個數X，在集合B中都存在_確定的數f(x)與之對應，那么就把對應關系f叫作定義在集合A上的_，記作_.此時，x叫作自變量，集合A叫作函數的 _，集合f(x)|xA叫作函數的 _.函數的表示法函數的表示法：_三分段函數若函數在定義域的不同子集上的對應法則不同，可用幾個式子表示，則這種形式的函數叫作_.?左學

10、右考判斷下列結論是否正確，正確的在括號內畫“V”，錯誤的畫“X?2(1)f(x)=?與g(x)=x是同一個函數(2)f(x)=|x|與g(x)=(3)函數f(x)= ?+ 3+1 的值域是y|y 1.()若函數f(x)的定義域為x|Kx3,則函數f(2x-1)的定義域為X|1Wx 0,所以x +3 3,所以函數f(x)=v2?+ 3+1 的值域是y|yv+1.錯誤，因為f(x)的定義域為x|1 x3,所以 K 2x-13，解得 Kx2,故函數f(2x-1)的定義 域為x|1 x 0,x (-2,0)U1,2),故選 C.(2)由已知函數f(x)的定義域為1,20，可知 1 x+1 20,解得

11、0Wx 19,故函數f(x+1)的定0V?V19義域為0,19.使函數g(x)有意義的條件是?；為宀，解得 0Vx1 或 11),則x=茹,f(t)=lg 舟,即f(x)=lg 右(x1).2 2 _(2)設f(x)=ax +bx+c(a 0)則f(x)=2ax+b=2x+2,二a=1 ,b=2,.f (x)=x +2x+c.又/ 方程2f(x)=0 有兩個相等的實根，.A = 4-4c=0,得c=1.故f(x)=x+2x+1.22【答案】(l)lg 兩(X1)(2)f(x)=x +2x+l求函數解析式常用的方法有待定系數法、換元法、配湊法、轉化法、構造方程組法【變式訓練 2 (1)已知f(V

12、?+1)=x+2v?測f(x)=_ .1(2)已知函數f(x)的定義域為(0,+X)，且f(x)=2f(? J?1 則f(x)=_.【解析(1)設 v?+1=t(t1),則后t-1,所以f(t)=(t-1)+2(t-1)=t -1(t 1),2所以f(x)=x-1(x 1).(2)在f(x)=2f(? V?1 中,用1代替x,得f(*?=2f(x)為?h將f(?=2?)1 代入f(x)=2f(? v?1 中,可求得f(x)=3/靈.【答案(1)x2-1(x1)(2)3耳題型三分段函數問題. 2【例 3 (1)函數f(x)=s：(nTx0A 1或-竺B-竺2 2【答案】(1)B (2)2(1-2

13、?)?+ 3? ? 1(2)已知f(x)=(n?；?J；? 的值域為 R 則a的取值范圍是 _1 1【解析】(1) Tf(1)=e=1 且f(1)+f(a)=2,Af(a)=1.2222/2當-1a0 時,f(a)=sin (na)=1,v0a1，二 0na 0 時,f(a)=e1=1?a=1.綜上可得a二身或a=1,故選 A1(2)要使函數f(x)的值域為 R 應滿足篇2?鳥?，3?即?：2,二-仁a1,故a的取值范圍是卜1,2).1【答案】(1)A卜1,2)解決分段函數問題先確定自變量的值屬于哪個區(qū)間，其次選定相應的解析式，根據要求求解但要注意檢驗所求值(或范圍)是否符合相應段的自變量的取

14、值范圍【變式訓練 3】(1)已知函數 心尸黑仔；)；?0。則f(f)的值為()A1/31V3A-2B.-TC2(2)設函數f(x)=；?1若f(?()=4,則b=_【解析】(1)由函數的解析式可得f(|)=f(|-1)=f(-1)=sinTt-1)=-扌故選 B.(2)f(6)=3x6-b=|-b，若2-b2,則 3x(|-b)-b2-4b=4,解得b=8,不滿足條件，舍去若2-b 1,即b 0【突破訓練 1】已知函數f(x)=?+若f(a)+f(l)=O,則實數a的值為().A- 3B.-1 C 1D.3【解析】當a0 時，由f(a)+f(1 )=0 得 2a+2=0，故不存在實數a滿足條件

15、；當a 0,? 0,即? 0,In?工 0,?工 1,所以 0 xw2 且x豐1,所以函數f(x)的定義域為(0,1)U(1,2,故選 D.【答案】D4.(2017 安徽黃山質檢)已知f(x)是一次函數，且f(f(x)=x+2,則f(x)=().Ax+1B.2x-1C-x+1D.x+1 或-x-1【答案】X-V-?【解析】設f(x)=kx+b(kM0),則由f(f(x)=x+2,可得k(kx+b)+b=x+2,即2 2k x+kb+b=x+2,Ak=1,kb+b=2，解得k=1,b=1,則f(x)=x+1.故選 A【答案】A5.(2016 河南八市高三質檢)已知函數 倫農:為益是奇函數，則g(

16、f(-2)的值為().A0 B.2 C.-2 D-4【解析】因為函數f(x)= ?(? ?曙是 奇函數，所以f(-2)=-f(2)=-(4-2)=-2,所以g(f(-2)=g(-2)=f(-2)=-f(2)=-2,故選 C【答案】C6.(2017 江西金溪高三上期中)設函數4,則f(3)+f(4)=.?(?,x -1且XM2,1 1故函數y=lg (3x+1)+2?的定義域是? -3且 x 工 2.1【答案】?!?-亍且 x 工 28._(2017山東青島一中檢測)奇函數f(x)在(0,+)上的表達式為f(x)=x+“測在(-巴 0)上f(x) 的表達式為f(x)=.【答案】X-V-?【解析】

17、設X0,Af (-x)=-x+佰？又 Tf(X)為奇函數,Af (x)=-f(-x)=x-佰?即當x (- g,0)時,f(x)=x-口？x-1(x0),9.(2017 山東省煙臺市高三上期中)設函數f(x)=若f(a)a,則實數a的取值范圍?(x 0 時,f(a)=1a-1a,解得a-2,無解;當aa,解得a1(舍去).綜上可得,a-1.【答案】(-g,-1)10.(2017 四川遂寧零診)設函數f(x)=?r,則f(2?+f(即的定義域為().A ,4B.2,4C (1,+g)D.1,2故所求函數的定義域為2,4.【答案】B11.(2017 湖北武漢四月調考)已知函數f(x)滿足f(?+1

18、j(-x)=2x(x 0),則f(-2)=().【解析】已知函數f(x)滿足f(?+1?(-x)=2x(x豐0),令x=2 可得f(2)+f(-2)=4;令x=-1可得f(-2)-2f(2)=-1.聯立可得f(-2)=|.?【解析】 函數f(x)=V?f的定義域為1，+g),則4A1,解得 2x4,1,9 9- - 2 2D D7 7 - - 2 2C C9 9一2 2B B7 7 - - 2 2A A【答案】C12.(2017 山東煙臺高三上期中)已知函數f(x)=lg(1-x)的值域為(-,0),則函數f(x)的定義域 為().A 0,+* )B (0,1)C-9,+*)D-9,1)【解析

19、】函數f(x)=|g (1-x)的值域為(-*,0),ig (i-x)0, 0V1-XV1,解得 0 x1,則函數f(x)的定義域為(0,1).【答案】Bn?113.(2017 河北衡水武邑中學高三上二調)已知函數f(x)=sin空,x 1,( ).【解析】? “sin片，x 1,當a 1 時,f(a)=-log2a=-3,解得a=8.f6-a)=f(-2)=sin(吟)=-亨.【答案】D14. (2017 鐵嶺市協(xié)作體第一次聯考)設函數f(x)n叮)喏f(m)f(-m),則實數m的取值范-in?,? u,圍是_.ln(-?) ?f(-m),即為-InmnmWlnm0，解AB-jc.字V3D-

20、T得 0m;當mf(-m),即為 In (-m)-ln (-m),則 In (-m)0,解得m-l.綜上可得,m-1 或 0m.【答案】(-g,-1)U(0,1)2.2 函數的單調性與最值7 一二函數的單調性一般地，設函數f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內某個區(qū)間D上的任意兩個自變量X1,X2,當X1X2時都有_，那么就說函數f(x)在區(qū)間D上是增函數；當xiX2時都有_，那么就說函數f(x)在區(qū)間D上是減函數.函數的單調區(qū)間如果函數y=f(x)在區(qū)間D上是_ 或_，那么就說函數y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調性，_ 叫作y=f(x)的單調區(qū)間.函數的最值設函數y=f(x)的定義

21、域為I,如果存在實數M滿足:(1)對于任意的xI,都有；(2)存在xoI，使得_.那么,我們稱M是函數y=f(x)的最大(小 )值.?左學右考1判斷下列結論是否正確，正確的在括號內畫“V” ，錯誤的畫“x”.(1) 若定義在 R 上的函數f(x),有f(-1)f(X2)二、增函數 減函數區(qū)間D三、(1)f(x)M(2)f(xo)=M基礎訓練1.【解析】(1)錯誤，不符合函數單調性的定義.(2)錯誤，函數y=f(x)在1,+g)上是增函數，只能說明1,+屬于單調遞增區(qū)間(3)錯誤,有多個單調區(qū)間的情況，只能用“，”隔開或寫成“和”，不能寫成并集、“或”的形式.錯誤,如函數y=x就沒有最值【答案】

22、(1)XX(3)X(4)X2.解析】函數2 2 2 2f(X)=?1在區(qū)間2,6上單調遞減，所以fgmaxnfrnZf(x)min=f(6)=：廠虧2【答案】25訂關鍵能力題型一函數單調性的證明【例 1】已知函數f(x)=V? 1-ax,其中a0.證明：當a 1 時,f(x)在區(qū)間0,+上為減函數【解析】任取X1,X2 0,+x)，且X1VX2,則f(xi)-f(X2)=?+ 1-axi-V?+ i+ax2=V?+ 1-V?+ 1-a(x-X2)TOX1V? + 1 ,0X2V?+ 1,Ov+? 1,.f(x1)-f(x2)0,.“匕)在區(qū)間0,+x)上為減函數利用定義證明函數f(x)在給定區(qū)

23、間D上的單調性的一般步驟：任取X1,X2D且X1VX2；作差;變形(通=(X1-X2)(?+?V?+1+ V?+1V?+1+ V?+1-a(x1-x2)常是因式分解、 通分、 配方);判斷符號(判斷f(xJ-f(X2)的符號);下結論(指出函數f(x)在給定區(qū)間D上的 單調性).【變式訓練 1】已知定義在區(qū)間(0,+少上的函數f(x)滿足f(気)=f(xi)-f(X2),且當x1 時,f(x)0,則f(1)=f(xi)-f(xi)=0,故f(1)=0.任取X1,X2(0,+B)，且X1X2，則?1.當x1 時,f(x)0,Af(?)0,即f(x1)-f(X2) 0,解得x 3,故該函數的單調遞

24、增區(qū)間為【3,+).【解析】(1)因為y=lo g1t(t0)在定義域上是減函數2，所以要求原函數的單調遞增區(qū)間，即求函數t=x2-4【答案】【3,+題型三單調性的應用【例 3】(1)已知函數f(x)的圖象關于直線x=1 對稱，當X2xi時,【f(X2)-f(xi)】(x2-xi)v0恒成立，設1a=f(-2),b=f(2),c=f(e),則a,b,c的大小關系為().A.cabB.cbaC.acbD.bac(2)設定義在(0,+上的增函數f(x)對任意的x (0,+都有f(f(x)-log3X)=4,則不等式f(a2+2a)4的解 集為().A.a|a1B. a|a1C a|-3a1Da|a

25、X11,f(X2)-f(X1)(x2-X1)V0 恒成立,55知f(x)在(1，+X)上單調遞減.因為 122f(2f(e),所以bac.(2)設f(b)=4,則對任意的x (0,+X),有f(x)-log3X=b恒成立再將x=b,f(b)=4 代入前式，得 log3b+b=4,可求 得b=3,則f(x)=3+log3X,f(3)=4.又f(x)是定義在(0,+)上的增函數所以f(a2+2a)4 的解集為不等式a2+2a3 的解集，即為a|a1,故選 A.【答案】(1)D(2)A(1)比較函數值的大小，應將自變量轉化到同一個單調區(qū)間內，然后利用函數的單調性解決.已知函數 單調性求參數范圍的問題

26、是討論單調性的可逆過程，解法是根據單調性的概念得到“恒成立”的不等式，同 時要注意定義域.【變式訓練 3】已知函數f(x)是定義在區(qū)間0,+*)上的函數，且在該區(qū)間上單調遞增，則關于x的不等式f(2x-1)vf(3)的解集是32?1 20，1 2【解析】由題意知2?11解得2三xx1x20,1 1則f(xd-f(X2)=2(x-x2)-(?-?)-1-2?，/? ?當v-2X20,.X1-X20,X1X20.f(X1)f(X2), f(x)在(0,1上單調遞增，無最小值，當x=1 時,f(X)取得最大值 1 ,當xT0,且x0 時,f(0)T- f(x)的值域為(- OO,1.若a0,則y=f

27、(x)在(0,1上單調遞增，無最小值，當x=1 時,f(x)取得最大值 2-a.若ao,則f(x)=2x+?當 1,即a (-O,-2時,y=f(x)在(0,1上單調遞減，無最大值，當X=1 時,f(x)取得最小值 2-a;調性求值域；三是要掌握利用導數法求值域這是三種最基本的方法，此外還有基本不等式法、數形結合法等【變式訓練 4】函數f(x)=?x1,的最大值為-? + 2,x 1 時，函數彳以)=?為減函數，所以f(x)在x=1 處取得最大值,最大值為f(1)=1 ;當xf(X2)的形式，然后根據其單調性脫掉“f”，轉化為關于X1與X2的不等式問題求解.【突破訓練 1】 已知定義在 R 上

28、的函數f(x)滿足:f(x+y)=f(x)+f(y)+1;當x0 時,f(x)-1.(1) 求f(0)的值,并證明f(x)在 R 上是增函數;(2) 若f(1)=1,解關于x的不等式f(x2+2x)+f(1-x)4.【解析】(1)令x=y=0,得f(0)=-1.在 R 上任取X1X2,則X1-X20,即f(X1-X2)-1.又f(X1)=f(X1-X2)+X2)=f(X1-X2)+ f(X2)+1f(X2),所以f(x)在 R 上是增函數.(2)由f(1)=1,得f(2)=3,f(3)=5.由f(x2+2x)+f(1-x)4,得f(x2+x+1)f(3).2又函數f(x)在 R 上是增函數，故

29、x +x+13,解得x1,故原不等式的解集為x|x1.方法二 分類討論思想在研究函數單調性中的應用使用函數的單調性求參數范圍時，常常需要討論，把要研究的問題根據題目的特點和要求，轉化成若干個 小問題來解決，即先按不同情況分類，然后逐一解決.【突破訓練 2】若函數f(x)=ax2 3+2x-3 在區(qū)間(-,4)上是單調遞增的，則實數a的取值范圍是 _.【解析】當a=0 時,f(x)=2x-3,它在定義域 R 上是單調遞增的，故f(x)在(-0，4)上單調遞增；1當az0 時，二次函數f(x)圖象的對稱軸為直線x二?因為f(x)在(-0,4)上單調遞增，所以a0,且-身4，解解得-存a)上均為減函

30、數，但在定義域內不單調；B 選項中的函數是非奇 非偶函數；C 選項中的函數是偶函數；D 選項滿足題意.【答案】D2. (2017 長春質檢)已知函數f(x)=|x+a|在(-8,-1)上是單調函數，則a的取值范圍是().A. (-8,1 B.(-8,-1C -1 ,+8) D.1 ,+8)【解析】因為函數f(x)在(-8,-1)上是單調函數 所以-a-1,解得ab時,ab=a2；當ab時,ab=b.函數1f(x)=(1 x)x-(2x)在區(qū)間-2,2上的最大值為().A- 1 B. 1 C.6 D 123【解析】由已知得，當-2x 1 時,f(x)=x-2 ;當 1x 2 時,f(x)=x -

31、2.vf(x)=x-2,f(x)=x3-2 在定義域內都為增函數,.3在區(qū)間-2,2上,f(x)的最大值為f(2)=2-2=6.【答案】C4.(2017 衡水調研)已知函數f(X)珥?+ 2x,x0,若f(-a)+f(a) 2f(1),則a的取值范圍是().?-2x,x 0.A. -1,0) B.0,1 C -1,1D.-2,2【解析】由題意知函數f(x)是偶函數，所以f(-a)=f(a),故原不等式等價于f(a)f(1),即f(|a|)f(1),而函 數f(x)在0,+8)上單調遞增，故 1,解得-Ka 1,?4-20,解得? (4 -?) + 2,【答案】B1,? 0,6.(2017 鄭州

32、模擬)設函數f(x)=0,?= 0,g(x)=x2f(x-1),則函數g(x)的單調遞減區(qū)間是?,x 1,(4 -5.(2017 湖南師大附中高三月考)已知f(x)=A.(1,+8) B.4,8)C (4,8) D.(1,8)【解析】由已知可得4a8.-1,? 1,由題意知函數g(x)=0,?= 1,其圖象是如圖所示的實線部分，由圖象可得g(x)的單調遞減區(qū)間是0,1).-?,x 1,【答案】0,1)7.(山東臨沭一中 2018 屆月考)對于任意實數a,b,定義 mina,b=?,?設函數f(x)=-x+3,g(x)=og2X,則函數 J.h(x)=minf(x),g(x)的最大值是log2x

33、,0 x 2.當 02 時,h(x)=3-x是減函數,/.h(x)在x=2 時取得最大值，最大值是h(2)=1.【答案】1.?8._ (2017 石家莊調研)函數f(x)=(-log2(x+2)在-1,1上的最大值為 _1?【解析】因為y=(3)在 R 上單調遞減，y=log 心+2)在-1,1上單調遞增，所以f(x)在-1,1上單調遞減，故f(x)在-1,1 上的最大值為f(-1)=3.【答案】39._(河北館陶一中 2018 屆月考)函數y=f(x)的圖象關于直線x=1 對稱，且在1,+)上單調遞減，f(0)=0,則f(x+1)0 的解集為.【解析】由f(x)的圖象關于直線x=1 對稱,f

34、(0)=0,可得f(2)=f(0)=0.當x+1 1,即x0 時,f(x+1)0,即為f(x+1 )f(2),由f(x)在1，+2)上單調遞減，可得x+12,解得x1,即有 0 x1.當x+11，即x0,即為f(x+1)f(0),【解析】【解析】 依題意，h(x)=由f(x)在(-2,1)上單調遞增，可得x+10,解得x-1,即有-lvx0.由可得所求不等式的解集為x|-1VXV1.【答案】x|-1X-1,g(x)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1w1.10.(遵義四中 2018 屆月考)已知函數倉 2,詳(2)?i,x2 滿足對任意實數xi,X2且 為 工X2, 都有?(簣了)）?-?2

35、-1,即b-4b+20,解得 2-v2b0,a 1)在-1,2上的最大值為 4,最小值為m且函數g(x)=(1-4n)V?在0,+上是增函數，則a=().【解析】當a1 時,f(x)=ax是增函數，有a2=4,a-1=mW得a=2,m=,此時g(x)=-J?在0,+叼上是減函數不合題意.當 0a1 時,f(x)=a 4,取值范圍是_.【解析】作出函數f(x)的圖象如圖所示，由圖象可知f(x)在(a,a+1)上單調遞增，需滿足a+1 4,即a4.$/gy J尸4)【答案】(-31U4,+15.(甘肅天水一中 2018 屆月考)已知函數f(x)=x+|sin專?-1,1,其中x表示不超過x的最大整

36、數 例如-3.5=-4,2.1=2.(1)試判斷函數f(x)的奇偶性，并說明理由求函數f(x)的值域.【解析】(1)f (-1)=-1+1=0,f(1)=1+1=2,f(-1)半f且f(-1)半-f(1),故函數f(x)既不是奇函數也不是偶函數.n?-1-sin ,-1 $ 0,(2)f(x)=x+|sinTl= sin 寧?0$ 1,2,?= 1,當x匕-1,0)時,f(O)vf(x)$f(-1),即-1f(x)$ 0;當x 0,1)時,f(0) $f(x)f(1),即 0$f(x)1;當x=1 時,f(x)=2.綜上可得，函數f(x)的值域為(-1,1)u2. 2.3 函數的奇偶性與周期性

37、於曲緒圏曲倍夠曲強書列沁曲曲注函數的奇偶性1.一般地，如果對于函數f(x)的定義域內任意一個X,都有_，那么函數f(x)就叫作偶函數.偶函數的圖象關于y軸對稱.2.一般地，如果對于函數f(x)的定義域內任意一個X,都有_ 那么函數f(x)就叫作奇函數.奇函數的圖象關于原點對稱.函數的周期性1.周期函數：對于函數y=f(x),如果存在一個非零常數T使得當x取定義域內的任何值時都有_,那么就稱函數y=f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期.2._ 最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個_的正數，那么這個 就叫作f(x)的最小正周期.?左學右考1判斷下列結論是否正確，正確的在括號內

38、畫“V”，錯誤的畫“X”.(1)偶函數的圖象不一定過原點，奇函數的圖象一定過原點.()若函數y=f(x+a)是偶函數，則函數y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱.()(3) 若函數y=f(x+b)是奇函數，則函數y=f(x)的圖象關于點(b,0)對稱.()(4) 定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的一個必要條件()2設f(x)是定義在 R 上的周期為 2 的函數，當x -1,1)時，f(x)=；4?+2；-1系xv0,則f(i.5)=.! ?，? 1，3如果f(x)=ax2+bx是定義在a-1,2a上的偶函數，那么a+b的值是_.1所以a+b=3.1【答案】33函數f(x)的定義域為x|x R

39、 且x工 0,關于原點對稱.2 2當x0, z.f(-x)=-(-x)+2(-x)-3=-(x +2x+3)=-f(x)；題型一函數奇偶性的判斷【例 1】判斷下列函數的奇偶性 f (x)=xlg(X+V?+ 1 工彳(x)=(1-x冷而;f(x)=?+ 2x+ 3,x 0;1?+3卜3【解析】 ？升 1|x| 0,二函數f(x)的定義域為 R,關于原點對稱又 Tf (-x)=-xlg (-x+V? 1 )=xlg (V?+ 1+x)=f(x), -f (x)是偶函數.當且僅當帶0時函數有意義，-K x1.T定義域不關于原點對稱 函數f(x)是非奇非偶函數V4-?2，又-f (-X)=-f(x)

40、, 函數f(x)是奇函數.判斷函數的奇偶性，先判斷定義域，然后根據奇偶性的定義判斷.分段函數奇偶性的判斷，要注意定義域內X取值的任意性，應分段討論，討論時可依據X的范圍取相應的 解析式化簡，判斷f(x)與f(-X)的關系，得出結論.【變式訓練 1】判斷函數f(X)V3?+V?3 的奇偶性.【解析】由煖 3?J 得X2=3, 心価，即函數f(X)的定義域為-皿回從而f(x)=3- ?+V?3=0.因此f(-x)=-f(X)且f(-X)=f(X)，函數f(X)既是奇函數又是偶函數題型二函數周期性的應用【例 2】已知f(x)是定義在 R 上的偶函數，g(x)是定義在 R 上的奇函數，且g(x)=f(

41、x-1)，則f(2017)+f(2019) 的值為().A.-1 B 1 C.0 D 無法計算【解析】由題意得g(-x)=f(-x-1 )，f(x)是定義在 R 上的偶函數，g(x)是定義在 R 上的奇函數， g-x)=-g(x)，f(-x)=f(x)，f(x-1)=-f(x+1)， f(x)=-f(x+2)，/.f(x)=f(x+4)，f(x)的周期為 4.f(2017)=f(1)，f(2019)=f(3)=f(-1).又f(1)=f(-1)=g(0)=0，/.f(2017)+f(2019)=0.【答案】C(1)判斷函數的周期性只需證明f(x+T)=f(x)(T工 0).(2)根據函數的周期

42、性，可以由函數的局部性質得到函數的整體性質.【變式訓練 2】已知f(x)是定義在 R 上且最小正周期為 2 的周期函數，當 0 x2 時,f(x)=X-x,則函數y=f(x) 在0,6上的圖象與x軸的交點個數為().A.6 B 7 C.8 D)9【解析】函數y=f(x)的圖象與x軸的交點即為y=f(x)的零點，先在0,2)上討論，令f(x)=0,即x(x-1)(x+1)=0, 解得x=0或x=1 (x=-1舍去).又函數f(x)在 R上是以2為周期的周期函數，所以當x=2,x=4,x=6或x=3,x=5時也 有f(x)=0,即在0,6上f(x)的圖象與x軸的交點個數為 7.【答案】B題型三函數

43、性質的綜合應用【例 3】已知定義在 R 上的奇函數f(x)滿足f(x-4)=-f(x),且在0,2上是增函數 則().Af(-25)f(11)f(80)B.f(80)f(11)f(-25)C.f(11)f(80)f(-25)D.f(-25)f(80)f(11)【解析】因為f(x)滿足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以函數f(x)是以 8 為周期的周期函數，則f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).由f(x)是定義在R 上的奇函數，且滿足f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1).因為f(x)在0,2上是增函數,

44、f(x)在 R 上是奇函數 所以f(x)在-2,2上是增函數,所以f(-1)vf(0)vf(1),即f(-25)f(80)f(-m2+2m-2),則m的取值范圍是_.【解析】因為函數f(x)在定義域2-a,3上是偶函數，所以 2-a+3=0，所以a=5.所以f(-m2-1)f(-m2+2m-2),即f(m+1)f(m-2m+2).又函數f(x)在0,3上單調遞減,而2 2 2m+10,m-2m-2=(m-1)+10,1【答案】1 -V2,2)方法一整體代換思想在函數解題中的應用整體代換思想是指將問題或者問題的一部分看成一個整體，或者將一些相關量看作整體，從整體入手，簡化解題過程.21?1-1-

45、?刁+2【突破訓練 1】已知函數f(x)的最大值為M最小值為m則M+n等于().A 0 B 2C 4D 82|?|+1+?3+?【解析】f(x)=2|?+1=2+2，?設g(x)=n,/g(-x)=-g(x), g(x)為奇函數，gx)max+ g(x)min=0./M=1(X)max=2+g(X)max,m=XX)min=2+ g(X,M + m=+g(X)max+2+g(X)min=4.【答案】C方法二 化歸轉化思想在函數性質中的應用【突破訓練 2】設f(x)是定義在 R 上且周期為 2 的函數，? 1,-1 ?f(nT-2m-2)得 ?2-2m? + 1二 3,解得 1-透m|.f(f)

46、Bf(V2)f(-謁3Cf(4)f(3)D.f(-v2)f(V3)【解析】已知f(x)是偶函數，則f(-x)=f(x).f(x)在(-x,-1上是增函數.對于 A,f(f)=f(-曽)，丁-身-1,Af(-1)與f(身)的大小關系不確定對于 B,f(x)是偶函數，即f(-x)=f(x),f(v2)=f(-v2);對于 C,f(4)=f(-4),f(3)=f(-3),T-4-3, .f(4)f(3);對于 D,f(V3)=f(-V3),T-v5f(v3).【答案】D?4. (山東濰坊四中 2018 屆月考)設常數a0,函數f(x)=?a為奇函數 廁a的值為().2 -aA 1 B-1C.4 D 32?+a【解析】T函數f(x)=2?+a為奇函數，2 -a.f (-x)+f(x)=0,2-?+a 2?+a_o即戶跖+苗=0化簡得(1+a 2x)(2x-a)+(l-a 2x)(2x+a)=0,x2故 2 2 (1-a)=0,解得a=1 或a=-1.-a0,.- a=1.經檢驗