點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)期末考試練習(xí)題

1、點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)期末考試、單項選擇題（每題1分）1、已知Xa,b,c,d,e,下列集族中,(TX,a,a,b,a,c,eTTX,a,a,bT)是X上的拓?fù)?X,a,b,c,a,b,d,a,b,c,eX,a,b,c,d,e答案:2、設(shè)Xa,b,c,下列集族中，（）是X上的拓?fù)?TX,a,a,b,cTX,a,a,b,a,c答案：TX,a,b,a,cTX,a,b,c3、已知Xa,b,c,d,下列集族中，（）是*上的拓?fù)? T X, ,a, a,b, a,c,d T X, ,a,b,c, a, b, d答案：答案： T X, ,a,b,a,c,d T X, ,a, b, a,c,d T X, ,a,b, a

2、,c,d T X, ,a,c, a,c答案：TX,a,b,a,c,dTX,a,b4、設(shè)Xa,b,c,下列集族中，（）是X上的拓?fù)?TX,b,c,a,bTX,a,b,a,b,a,cTX,a,b,a,cTX,a,b,c5、已知Xa,b,c,d,下列集族中，（）是*上的拓?fù)?6、設(shè)Xa,b,c,下列集族中，（）是X上的拓?fù)? TX, ,a, b, b,c TX, ,a, a,c7、已知 X a,b,c,d,拓?fù)?T小 X b T X, ,a,b, b,c T X, ,a, b, cX, ,a，則而=()b,c,d答案：答案：8、已知Xa,b,c,d,拓?fù)銽X,a,則b,c,d二()2) Xbb,c,

3、d答案：9、已知X a,b,拓?fù)銽小Xa10、已知X a,b,拓?fù)銽小Xa11、已知 X a,b,c,d,拓?fù)?T小Xa,b12、已知 X a,b,c,d,拓?fù)?T小Xa,cX, ,a，則a=()bX, ,a，則函=()bX, ,a,則問二()b,c,d 答案：X, ,a,則問=()b,c,d 答案：答案：答案：13、設(shè)Xa,b,c,d,拓?fù)銽X,a,b,c,d，則X的既開又閉的非空真子集個數(shù)14、設(shè) X a,b,c拓?fù)銽X,a, b,c，則X的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為15、設(shè) X a,b,c拓?fù)銽X,b, b, c，則X的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為16、設(shè) X a,b,拓?fù)銽X,b,則

4、X的既開又閉的子集的個數(shù)為（17、設(shè) X a,b,拓?fù)銽X, ,a, b,則X的既開又閉的子集的個數(shù)為（18、設(shè) X a,b,c拓?fù)銽X, ,a, b, a,b, b,c , X的既開又閉的非空真子集個數(shù)19、在實(shí)數(shù)空間中，有理數(shù)集Q的內(nèi)部Qo是（）QR-QR答案：20、在實(shí)數(shù)空間中，有理數(shù)集Q的邊界（Q）是（）21、在實(shí)數(shù)空間中，整數(shù)集Z的內(nèi)部Zo是（ZRZR答案：22、在實(shí)數(shù)空間中，整數(shù)集Z的邊界億）是（）ZRZR答案：23、在實(shí)數(shù)空間中，區(qū)間0,1）的邊界是（）0,10,1（0,1）答案：24、在實(shí)數(shù)空間中，區(qū)間2,3）的邊界是（）2,32,3（2,3）答案：25、在實(shí)數(shù)空間中，區(qū)間0,

5、1）的內(nèi)部是（）0,10,1（0,1）答案：26、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，A,B是X的子集，則下列關(guān)系中錯誤的是（d(AB)d(A)d(B)ABAB d(A B) d(A) d(B) A A答案：27、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，A,B是X的子集，則下列關(guān)系中正確的是（d(AB)d(A)d(B)d(AB)d(A)d(B)AA答案：28、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，AB是X的子集，則下列關(guān)系中正確的是(d(AB)ABABABd(AB)d(A)d(B)d(d(A)Ad(A)答案：29、已知X是一個離散拓?fù)淇臻g，A是X的子集，則下列結(jié)論中正確的是（d(A)d(A)XA d（A） A d（A）30、已知X是一個平庸拓?fù)淇?/p>

6、間, 若A ，則d（A）X答案：A是X的子集，則下列結(jié)論中不正確的是（若Ax0,則d（A）XAD若A=X1,X2,則d(A)X若AX,則d(A)X答案：31、已知X是一個平庸拓?fù)淇臻g，A是X的子集，則下列結(jié)論中正確的是()若A，則d(A)若AX0,則d(A)X若A=、,X2,則d(A)XA若AXi%,則d(A)A答案：32、設(shè)Xa,b,c,d,令Ba,b,c,c,d，則由B產(chǎn)生的X上的拓?fù)涫?)X,c,d,c,d,a,b,cX,c,d,c,dX,c,a,b,cX,d,b,c,b,d,b,c,d答案：33、設(shè)X是至少含有兩個元素的集合，pX,TGX|pG是*的拓?fù)洌瑒t(是T的基.Bp,x|xXp

7、Bx|xX B p,x| x X B x| x X p答案：34、設(shè)Xa,b,c,則下列X的拓?fù)渲校ǎ┮?X,a為子基.X,a,a,cX,aX,a,b,a,bX,答案：35、離散空間的任一子集為（）開集閉集即開又閉非開非閉答案：36、平庸空間的任一非空真子集為（）開集閉集即開又閉非開非閉答案：37、實(shí)數(shù)空間R中的任一單點(diǎn)集是（）開集閉集既開又閉非開非閉答案：38、實(shí)數(shù)空間R的子集A=1,-,1,-,則A=（）234小RAU0A答案：39、在實(shí)數(shù)空間R中，下列集合是閉集的是（）整數(shù)集a,b有理數(shù)集無理數(shù)集答案：40、在實(shí)數(shù)空間R中，下列集合是開集的是（）整數(shù)集Z有理數(shù)集無理數(shù)集整數(shù)集Z的補(bǔ)集Z答

8、案：41、已知X（1,2,3上的拓?fù)銽X,1,則點(diǎn)1的鄰域個數(shù)是（）答案：42、已知Xa,b,則X上的所有可能的拓?fù)溆?1個2個3個4個答案：43、已知X=a,b,c,則X上的含有4個元素的拓?fù)溆?)個3579答案：44、設(shè)(X,T)為拓?fù)淇臻g,則下列敘述正確的為()XT,TXT,T當(dāng)TT時，UUT當(dāng)TT時，IUT答案：UTUT45、在實(shí)數(shù)下限拓?fù)淇臻gR中，區(qū)間a,b)是()開集閉集既是開集又是閉集非開非閉答案：46、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，A,BX,且滿足d(A)BA,則8是()開集閉集既是開集又是閉集非開非閉答案：47、設(shè)X1,2,3,T=,X,1,2,1,3,1,2是X的拓?fù)?，A1,2,則X

9、的子空間A的拓?fù)錇?) T ,2, 1,2 T ,X,1,2, 1,2 T , A,1,2 T ,X,1,2答案：48、設(shè)X1,2,3,T=,X,1,2,1,3,1,2是X的拓?fù)洌珹1,3,則X的子空間A的拓?fù)錇?)T,1,3,1,3T,A,1T,X,1,3,1,3T,X,1答案：49、設(shè)X1,2,3,T=,X,1,2,1,3,1,2是X的拓?fù)洌珹2,3,則X的子空間A的拓?fù)錇?)T,3,2,3T,A,2,3T,X,2,3,2,3T,X,3答案：50、設(shè)X1,2,3,T=,X,1,2,1,3,1,2是X的拓?fù)?，A1,則X的子空間A的拓?fù)錇?)T,1T,A,1,2T,X,1,3,1,3T,X,1

10、答案：51、設(shè)X1,2,3,T=,X,1,2,1,3,1,2是X的拓?fù)洌珹2,則X的子空間A的拓?fù)錇?)T,2,1,2T,A T ,X,2 T ,X,1,2答案：52、設(shè)X1,2,3,T=,X,1,2,1,3,1,2是X的拓?fù)洌珹3,則X的子空間A的拓?fù)錇?) T ,2, 1,2 T ,X,1,3 T ,X,3 T ,3答案：53、設(shè)R是實(shí)數(shù)空間，Z是整數(shù)集，則R的子空間Z的拓?fù)錇?) T ,Z T P (Z)T Z 答案：54、設(shè) X X1 X2 LX6是拓?fù)淇臻gX1,X2,L ,X6的積空間.P,是X到X1的投射，則P1是()單射滿的連續(xù)閉映射連續(xù)的單射滿的連續(xù)開映射答案：55、設(shè) X X

11、1 X 2 L() 單射滿的連續(xù)閉映射56、設(shè) X X1 X2 L()單射滿的連續(xù)閉映射57、設(shè) X X1 X2 L()單射滿的連續(xù)閉映射58、設(shè) X X1 X2 LX6是拓?fù)淇臻gX1,X2,L ,X6的積空間.P2是X到X2的投射，則馬是連續(xù)的單射滿的連續(xù)開映射答案：X6是拓?fù)淇臻gX1,X2,L ,X6的積空間.P3是X到X3的投射，則P3是連續(xù)的單射滿的連續(xù)開映射答案：X6是拓?fù)淇臻gX1,X2,L ,X6的積空間.P4是X到X4的投射，則F4是連續(xù)的單射滿的連續(xù)開映射答案：X6是拓?fù)淇臻gX1,X2,L ,X6的積空間.P5是X到X5的投射，則P5是( )單射滿的連續(xù)閉映射59、設(shè) X X1

12、 X2 L()單射滿的連續(xù)閉映射連續(xù)的單射滿的連續(xù)開映射答案：X6是拓?fù)淇臻gX1,X2,L ,X6的積空間.品是X到X6的投射，則 后是連續(xù)的單射滿的連續(xù)開映射答案：60、設(shè)X1和X2是兩個拓?fù)淇臻g，X1 X2是它們的積空間，A X1, B X2,則有( A B A B A B A B (A Bp Ao Bo (A B) (A)(B)答案：61、有理數(shù)集Q是實(shí)數(shù)空間R的一個()不連通子集開集連通子集以上都不對答案：62、整數(shù)集Z是實(shí)數(shù)空間R的一個（）不連通子集連通子集開集以上都不對答案：63、無理數(shù)集是實(shí)數(shù)空間R的一個（）不連通子集連通子集開集以上都不對答案：64、設(shè)Y為拓?fù)淇臻gX的連通子集，

13、Z為X的子集，若丫ZY,則2為（）不連通子集連通子集閉集開集答案：65、設(shè)Xi,X2是平庸空間，則積空間XiX2是（）離散空間不一定是平庸空間不連通空間則積空間Xi X2是（）不一定是離散空間連通空間則積空間Xi X2是（）不一定是連通空間連通空間平庸空間答案：66、設(shè)Xi,X2是離散空間離散空間平庸空間答案：67、設(shè)X1,X2是連通空間離散空間平庸空間答案：68、實(shí)數(shù)空間R中的連通子集£為（）開區(qū)間閉區(qū)間區(qū)間以上都不對答案：69、實(shí)數(shù)空間R中的不少于兩點(diǎn)的連通子集£為（）開區(qū)間閉區(qū)間區(qū)間以上都不對答案：70、實(shí)數(shù)空間R中的連通子集£為（）開區(qū)間閉區(qū)間區(qū)間區(qū)間或一

14、點(diǎn)答案：71、下列敘述中正確的個數(shù)為（）（I）單位圓周S1是連通的；（H）R0是連通的(m)R2(0,0)是連通的(IV)R2和R同胚1234答案：二、填空題(每題1分)1、設(shè)Xa,b,則X的平庸拓?fù)錇?答案：TX,2、設(shè)Xa,b,則X的離散拓?fù)錇?；答案：TX,a,b3、同胚的拓?fù)淇臻g所共有的性質(zhì)叫；答案：拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)4、在實(shí)數(shù)空間R中，有理數(shù)集Q的導(dǎo)集是.答案：R5、xd(A)當(dāng)且僅當(dāng)對于x的每一鄰域U有答案：U(Ax)6、設(shè)A是有限補(bǔ)空間X中的一個無限子集，則d(A)二;答案：X7、設(shè)A是有限補(bǔ)空間X中的一個無限子集，則A=;答案：X8、設(shè)A是可數(shù)補(bǔ)空間X中的一個不可數(shù)子集，則d(A)二;

15、答案：X9、設(shè)A是可數(shù)補(bǔ)空間X中的一個不可數(shù)子集，則A=;答案：X10、設(shè)X1,2,3,X的拓?fù)銽X,2,2,3，則X的子集A1,2的內(nèi)部為;答案：211、設(shè)X1,2,3,X的拓?fù)銽X,1,2,3，則X的子集A1,3的內(nèi)部為;答案：112、設(shè)X1,2,3,X的拓?fù)銽X,1,2,3，則X的子集A1,2的內(nèi)部為答案：113、設(shè)X1,2,3,X的拓?fù)銽X,2,2,3，則X的子集A1,3的內(nèi)部為;答案：14、設(shè)Xa,b,c,則X的平庸拓?fù)錇?答案：TX,15、設(shè)Xa,b,c,則X的離散拓?fù)錇榇鸢福篢X,a,b,c,a,b,a,c,b,c16、設(shè)X1,2,3,X的拓?fù)銽X,2,3,2,3，則X的子集A1

16、,3的內(nèi)部為;答案：317、設(shè)X1,2,3,X的拓?fù)銽X,1,3,1,3,則X的子集A1,2的內(nèi)部為;答案：118、f：XY是拓?fù)淇臻gX到Y(jié)的一個映射，若它是一個單射，并且是從X到它的象集f(X)的一個同胚，則稱映射f是一個答案：嵌入19、f：XY是拓?fù)淇臻gX到Y(jié)的一個映射，如果它是一個滿射，并且Y的拓?fù)涫菍τ谟成鋐而言的商拓?fù)?，則稱f是一個；答案：商映射20、設(shè)X,Y是兩個拓?fù)淇臻g，f:XY是一個映射，若X中任何一個開集U的象集“是丫中的一個開集，則稱映射f是一個答案：開映射21、設(shè)X,Y是兩個拓?fù)淇臻g，f:XY是一個映射，若X中任何一個閉集U的象集f(U)是Y中的一個閉集，則稱映射f是一個

17、答案：閉映射22、若拓?fù)淇臻gX存在兩個非空的閉子集A,B,使得AB,ABX,則X是一個;答案：不連通空間23、若拓?fù)淇臻gX存在兩個非空的開子集A,B,使得AB,ABX,則X是一個;答案：不連通空間24、若拓?fù)淇臻gX存在著一個既開又閉的非空真子集，則X是一個答案：不連通空間25、設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX的一個連通子集，ZX滿足YZY,則Z也是X的一個；答案：連通子集26、拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)，如果為一個拓?fù)淇臻g所具有也必然為它在任何一個連續(xù)映射下的象所具有，則稱這個性質(zhì)是一個;答案：在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)27、拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)，如果為一個拓?fù)淇臻g所具有也必然為它的任何一個商空間所具有，則稱這個性質(zhì)是

18、一個;答案：可商性質(zhì)28、若任意n1個拓?fù)淇臻gXi,X2,L,Xn,都具有性質(zhì)P,則積空間XiX2LX。也具有性質(zhì)P,則性質(zhì)P稱為；答案：有限可積性質(zhì)29、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，如果X中有兩個非空的隔離子集A,B,使得ABX,則稱X是一個;答案：不連通空間.三.判斷(每題4分，判斷1分，理由3分)1、.從離散空間到拓?fù)淇臻g的任何映射都是連續(xù)映射()答案：，理由：設(shè)X是離散空間，Y是拓?fù)淇臻g，f：XY是連續(xù)映射，因?yàn)閷θ我釧Y,都有f1(A)X,由于X中的任何一個子集都是開集，從而f1(A)是中的開集，所以f：XY是連續(xù)的.2、設(shè)Ti,T2是集合X的兩個拓?fù)洌瑒tTiT2不一定是集合X的拓?fù)?)答案

19、：X理由：因?yàn)?1)Ti,T2是X的拓?fù)?，故X,Ti,X,T2,從而X,TiT2;(2)對任意的A,BTiT2,則有A,BTi且A,BT2,由于Ti,T2是X的拓?fù)洌蔄BTi且ABT2,從而ABTiT2；(3)對任意的TTiT2,則TTi,TT2,由于Ti,T2是X的拓?fù)?，從而uTUTi,UT，UT2,故UTUTiT2；綜上有TiT2也是X的拓?fù)?3、從拓?fù)淇臻gX到平庸空間Y的任何映射都是連續(xù)映射()答案：，理由：設(shè)f:XY是任一滿足條件的映射，由于Y是平庸空間，它中的開集只有Y,易知它們在f下的原象分別是X,均為X中的開集，從而f：XY連續(xù).4、設(shè)A為離散拓?fù)淇臻gX的任意子集，則dA()答

20、案：，理由：設(shè)p為X中的任何一點(diǎn)，因?yàn)殡x散空間中每個子集都是開集，所以p是X的開子集，且有pIAp，即pdA,從而d(A).5、設(shè)A為平庸空間X(X多于一點(diǎn))的一個單點(diǎn)集，則dA()答案：X理由：設(shè)Ay,則對于任意xX,xy,x有唯一的一個鄰域X,且有yX(Ax),從而X(Ax),因此x是A的一個凝聚點(diǎn)，但對于y的唯一的鄰域X,有X(Ay),所以有dAXA.6、設(shè)A為平庸空間X的任何一個多于兩點(diǎn)的子集，則dAX()答案：V理由：對于任意xX,因?yàn)锳包含多于一點(diǎn)，從而對于x的唯一的鄰域X,且有X(Ax),因此x是A的一個凝聚點(diǎn)，即xd(A),所以有dAX.7、設(shè)X是一個不連通空間，則X中存在兩個

21、非空的閉子集A,B,使得AB,ABX()答案：V理由：設(shè)X是一個不連通空間，設(shè)A,B是X的兩個非空的隔離子集使得ABX,顯然AIB，并且這時有：BBX(BA)(BB)B從而B是X的一個閉子集，同理可證A是X的一個閉子集，這就證明了A,B滿足AB,ABX.8、若拓?fù)淇臻gX中存在一個既開又閉的非空真子集，則X是一個不連通空間()V理由：這是因?yàn)槿粼O(shè)A是X中的一個既開又閉的非空真子集，令BA,則A,B都是X中的非空閉子集，它們滿足ABX,易見A,B是隔離子集，所以拓?fù)淇臻gX是一個不連通空.五.簡答題(每題4分)1、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，A,B是X的子集，且AB.試說明d(A)d(B).答案：對于任意x

22、d(A),設(shè)U是*的任何一個鄰域，則有U(Ax),由于AB,從而U(Bx)U(Ax),因此xd(B),故d(A)d(B).2、設(shè)X,Y,Z都是拓?fù)淇臻g.f:XY,g:YZ都是連續(xù)映射，試說明gof:XZ也是連續(xù)映射.答案：設(shè)W是Z的任意一個開集，由于g:YZ是一個連續(xù)映射，從而g1(W)是Y的一個開集，由f:XY是連續(xù)映射，故f1(g1(W)是X的一開集，因此(gof)1(W)f1(g1(W)是X的開集，所以gof:XZ是連續(xù)映射.3、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，AX.試說明：若A是一個閉集，則A的補(bǔ)集A是一個開集.答案：對于xA,則xA,由于A是一個閉集，從而x有一個鄰域U使得U(Ax),因此UA，

23、即UA,所以對任何xA,A是x的一個鄰域，這說明A是一個開集.4、設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，AX.試說明：若A的補(bǔ)集A是一個開集，則A是一個閉集.答案：設(shè)xA,則xA,由于A是一個開集，所以A是x的一個鄰域，且滿足AA，因此xA,從而AA,即有AA,這說明A是一個閉集.5、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系：xyx,y(,1)或者x,y1,2)或者x,y2,)設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集Y0,1,2,試寫出Y的商拓?fù)銽.答案：T,丫,0,0,16、 在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系xyx,y(,1或者x,y(1,2或者x,y(2,)設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集Y1,2,3,試寫出Y的商拓?fù)銽.答案：T,Y

24、,3,2,37、 在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系：xyx,y(,1)或者x,y1,2)或者x,y2,)設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集Y1,1,2,試寫出Y的商拓?fù)銽.答案：T,Y,1,1,18、 在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系：xyx,y(,1)或者x,y1,2)或者x,y2,)設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集Y2,1,2,試寫出Y的商拓?fù)銽.答案：T,Y,2,2,19、 在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系:xyx,y(,1或者x,y(1,2或者x,y(2,)設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集Y0,2,3,試寫出Y的商拓?fù)銽.答案：T,Y,3,2,310、 在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系:xyx,y(,1或者

25、x,y(1,2或者x,y(2,)設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集Y0,2,4,試寫出Y的商拓?fù)銽.答案：T,Y,4,2,411、 在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系:xyx,y(,1或者x,y(1,2或者x,y(2,)設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集Y1,2,4,試寫出Y的商拓?fù)銽.答案：T丫4,2,4六、證明題(每題8分)1、設(shè)f:XY是從連通空間X到拓?fù)淇臻gY的一個連續(xù)映射.則f(X)是Y的一個連通子集.證明：如果f(X)是Y的一個不連通子集，則存在Y的非空隔離子集A,B使得f(X)AB3分于是f1(A),f1(B)是X的非空子集，并且：-1-1-1_1(f(A)f(B)(f(B)f(A)_1_11_1,(f1(A)f1(B)(f1(B)f1(A)f1(AB)(AB)所以f1(A),f1(B)是X的非空隔離子集此外，f1(A)f1(B)f1(AB)f1(f(X)X,這說明X不連通，矛