數(shù)學(xué)建模-模糊數(shù)學(xué)理論

1、1 模糊數(shù)學(xué)的基本概念2 模糊關(guān)系與模糊矩陣 3 模糊聚類分析 模糊模式識別4 模糊綜合評判 模糊數(shù)學(xué)模糊數(shù)學(xué)1 模糊數(shù)學(xué)的基本概念模糊數(shù)學(xué)的基本概念 1.1 模糊數(shù)學(xué)概述模糊數(shù)學(xué)概述 模糊數(shù)學(xué)是研究和處理模糊性現(xiàn)象（或概念）的數(shù)學(xué)方法，而不是把數(shù)學(xué)變成模模糊糊的東西，它所要處理事物的概念本身是模糊的，即一個對象是否符合這個概念難以確定，我們稱這種不確定性為模糊性。 它與普遍性不同，普遍性是是指一種可用來表達整個明確定義的現(xiàn)象和活動的特性。 它與隨機不確定性不同，隨機的不確定性也是概率的不確定性，其研究的事件本身有著明確的含義，只是由于發(fā)生的條件不充分，而使得在條件與事件之間不能出現(xiàn)決定的因果

2、關(guān)系，從而事件的出現(xiàn)與否表現(xiàn)出不確定性，這種不確定性稱為隨機性。例如“擲一個骰子時出現(xiàn)4點”是一個明確的事件，但擲骰子時并非只出現(xiàn)4點，我們說出現(xiàn)4點的概率是1/6。回總目錄回本章目錄 模糊數(shù)學(xué)所研究的不確定性是：它所處理事物的概念本身是模糊的，即一個對象是否符合這個概念難以確定，稱這種不確定性為模糊性。 如“青年人”、“老年人”、“漂亮的女生”、“黎明時刻”、“班上高個子學(xué)生”等。我們無法明確地指出，從幾點鐘開始就算黎明，或身高多少就是高個子。這種概念具有模糊性，無法用普通集合來描述。為了定量地表示這類模糊概念，并研究它們的客觀規(guī)律性，就必須把普通集合的概念加以拓廣，借助于模糊集合來研究。

3、論域：如果將所討論的對象限制在一定范圍內(nèi)，并記所討論的對象全體構(gòu)成的集合為U，稱之為論域。普通集合特征函數(shù)設(shè)U是論域，A是U的子集,定義如下映射為集合A的特征函數(shù) :（集合A可由特征函數(shù)唯一確定） 1.2 模糊集與隸屬函數(shù) 模糊集合隸屬函數(shù)1.2.1模糊集與隸屬函數(shù)的概念模糊集與隸屬函數(shù)的概念1）論域）論域U上的模糊集合上的模糊集合A指指：對于任意的uU,總是以某個程度 屬于A；即對于所研究的某個對象，我們不能確定它有或者沒有一個模糊概念所描述的性質(zhì)。而只能討論它具有這種性質(zhì)的程度是多少。用集合論的觀點說，定義一個模糊集合，我們無法確定一個元素是否屬于這個模糊集合，而只能說它有多大程度屬于這個

4、模糊集合。這種從屬程度我們用0，1之間的一個數(shù)來表示。這就是Zadeh的隸屬函數(shù)的想法。 2）隸屬函數(shù)）隸屬函數(shù)設(shè)在論域設(shè)在論域U上給定了一個映射，上給定了一個映射，則定義了則定義了U上的一個模糊子集上的一個模糊子集A，映射，映射 稱為模糊稱為模糊集集A的隸屬函數(shù)，的隸屬函數(shù)， 稱為稱為x對模糊集對模糊集A的隸屬的隸屬程度，也可表示為程度，也可表示為A(x)。3）模糊集的表示4）模糊集的運算）模糊集的運算 模糊集與普通集一樣，有相同的運算和相應(yīng)的運模糊集與普通集一樣，有相同的運算和相應(yīng)的運算規(guī)律。算規(guī)律。A與與B的并集、交集及的并集、交集及A的補集定義如下：的補集定義如下：1.2.2 隸屬函數(shù)

5、的確定方法隸屬函數(shù)的確定方法 模糊數(shù)學(xué)的基本思想是隸屬程度的思想，應(yīng)用模模糊數(shù)學(xué)的基本思想是隸屬程度的思想，應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)方法建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵是建立符合實際糊數(shù)學(xué)方法建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵是建立符合實際的隸屬函數(shù)，下面介紹幾種常用的確定隸屬函數(shù)的隸屬函數(shù)，下面介紹幾種常用的確定隸屬函數(shù)的方法：的方法： 1）模糊統(tǒng)計方法）模糊統(tǒng)計方法 它可以算是一種比較客觀的方法，主要是基于它可以算是一種比較客觀的方法，主要是基于模糊統(tǒng)計實驗的基礎(chǔ)上，根據(jù)隸屬度的客觀存在模糊統(tǒng)計實驗的基礎(chǔ)上，根據(jù)隸屬度的客觀存在性來確定的。性來確定的。模糊統(tǒng)計試驗的四要素為：模糊統(tǒng)計試驗的四要素為：假設(shè)我們做假設(shè)我們做n次模糊統(tǒng)計

6、試驗，則可算出次模糊統(tǒng)計試驗，則可算出當(dāng)當(dāng)n不斷增大時，其頻率的穩(wěn)定值稱為不斷增大時，其頻率的穩(wěn)定值稱為x0對對A的隸屬的隸屬度，即度，即2）指派方法）指派方法 指派方法是一種主觀的方法，它主要依據(jù)人們的實指派方法是一種主觀的方法，它主要依據(jù)人們的實踐經(jīng)驗來確定某些模糊集隸屬函數(shù)的的一種方法。踐經(jīng)驗來確定某些模糊集隸屬函數(shù)的的一種方法。 若模糊集定義在實數(shù)域若模糊集定義在實數(shù)域R上，則模糊集的隸屬函數(shù)上，則模糊集的隸屬函數(shù)稱為模糊分布；指派方法就是根據(jù)問題的性質(zhì)主稱為模糊分布；指派方法就是根據(jù)問題的性質(zhì)主觀地選用某些模糊分布，再根據(jù)實際測量數(shù)據(jù)確觀地選用某些模糊分布，再根據(jù)實際測量數(shù)據(jù)確定其中

7、的參數(shù)，常用的模糊分布見下表：定其中的參數(shù)，常用的模糊分布見下表： 偏小型：適合描述偏小型：適合描述“小小”“”“少少”“”“冷冷”“”“淺淺”“”“疏疏”“”“青年青年”等等 偏大型：適合描述偏大型：適合描述“大大”“”“多多”“”“熱熱”“”“深深”“”“密密”“”“老年老年”等等 中間型：適合描述中間型：適合描述“中中”“”“不太多不太多”“”“不太不太深深”“”“不太濃不太濃” “暖和暖和”“”“中年中年”等處于中間等處于中間狀態(tài)的模糊現(xiàn)象。狀態(tài)的模糊現(xiàn)象。常用的模糊分布常用的模糊分布3）借用已有的）借用已有的“客觀客觀”尺度尺度在經(jīng)濟管理、社會科學(xué)中可以直接借用已有的尺度在經(jīng)濟管理、

8、社會科學(xué)中可以直接借用已有的尺度作為模糊集的隸屬度，如在論域作為模糊集的隸屬度，如在論域U U上定義模糊集上定義模糊集A=“A=“設(shè)備完好設(shè)備完好”，可以，可以“設(shè)備完好率設(shè)備完好率”作為隸屬度作為隸屬度來表示來表示“設(shè)備完好設(shè)備完好”這個模糊集。在論域這個模糊集。在論域U(U(家庭家庭) )上定義模糊集上定義模糊集C=“C=“貧困家庭貧困家庭”可用恩格爾系數(shù)可用恩格爾系數(shù)=“=“食品消費支出食品消費支出”/“/“總消費總消費”作為隸屬度來表示作為隸屬度來表示家庭貧困程度。家庭貧困程度。 4 4）二元對比排序法）二元對比排序法 對于有些模糊集，很難直接給出隸屬度，但通過對于有些模糊集，很難直接

9、給出隸屬度，但通過 兩兩比較確定兩個元素相應(yīng)隸屬度的大小排出順序，兩兩比較確定兩個元素相應(yīng)隸屬度的大小排出順序， 再用數(shù)學(xué)方法加工得到隸屬函數(shù)，其實是隸屬函數(shù)的再用數(shù)學(xué)方法加工得到隸屬函數(shù)，其實是隸屬函數(shù)的一種離散表示法一種離散表示法 1）模糊關(guān)系2模糊關(guān)系與模糊矩陣模糊關(guān)系與模糊矩陣2.1 模糊關(guān)系與模糊矩陣的概念模糊關(guān)系與模糊矩陣的概念 2) 模糊矩陣模糊矩陣 2.2模糊等價關(guān)系與模糊相似關(guān)系模糊等價關(guān)系與模糊相似關(guān)系 1）模糊等價關(guān)系）模糊等價關(guān)系 2）模糊等價矩陣）模糊等價矩陣3）模糊相似關(guān)系與模糊相似矩陣）模糊相似關(guān)系與模糊相似矩陣2.3 截矩陣與傳遞矩陣截矩陣與傳遞矩陣1）截矩陣）

10、截矩陣2）模糊傳遞矩陣）模糊傳遞矩陣 所謂聚類分析，就是用數(shù)學(xué)的方法把事物按一定要求和規(guī)律進行分類，它有廣泛的實際應(yīng)用。在模糊數(shù)學(xué)產(chǎn)生之前，聚類分析已是是數(shù)理統(tǒng)計中研究“物以類聚”的一種多元分析方法，它通過數(shù)學(xué)工具定量地確定、劃分樣品的親疏關(guān)系，從而客觀地、合理地分型劃類。由于客觀事物之間在很多情況下并沒有一個截然區(qū)別的界限，又由于分類時所依據(jù)的數(shù)據(jù)指標(biāo)的變化也大都是連續(xù)的，同時許多客觀事物之間的界限往往不一定很清晰，使傳統(tǒng)的基于數(shù)理統(tǒng)計原理的聚類分析方法遇到了困難。因此用模糊數(shù)學(xué)觀點解決聚類分析問題，必然會更符合于實際情況。這種基于建立模糊相似關(guān)系對客觀事物進行分類的方法，稱為模糊聚類分析。

11、 3 模糊聚類分析模糊聚類分析 3.1 模糊聚類分析理論模糊聚類分析理論：1) 2)3) 4)3.2 基于模糊等價關(guān)系的動態(tài)聚類分析基于模糊等價關(guān)系的動態(tài)聚類分析例題例題 此例題可以用截矩陣的方法來實現(xiàn)此例題可以用截矩陣的方法來實現(xiàn)3.3 基于模糊相似關(guān)系的聚類分析基于模糊相似關(guān)系的聚類分析 1）建立模糊相似矩陣）建立模糊相似矩陣2）傳遞閉包法）傳遞閉包法此外，還有直接聚類法、最大樹法、編網(wǎng)法等。此外，還有直接聚類法、最大樹法、編網(wǎng)法等。4 模糊模式識別模糊模式識別 模式識別的問題就是已知事物的各種類別，然后來判斷給定的對象是屬于哪一個類別的問題。這里的“模式”是指標(biāo)準(zhǔn)的樣本、式樣、樣品、圖形

12、等。在實際問題中，有些事物的類別，即模式是明確、清晰和肯定的。如識別英文字母時，其模式是印刷體英文字母這是清楚的，但也有很多事物的模式帶有不同程度的模糊性。例如，疾病的類型圖象等。對于被識別的對象則往往特征具有更大的模糊性。例如，手寫的英文字母，患者等我們很難說它們屬于那種標(biāo)準(zhǔn)類型。因此，應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)的方法進行模式識別顯得十分必要。 這里只介紹模糊模式識別中最主要的兩種方法，即直接方法和間接方法。 1）最大隸屬原則）最大隸屬原則 4.1 最大隸屬原則最大隸屬原則 2）最大隸屬原則）最大隸屬原則 4.2 擇近原則擇近原則5 模糊綜合評判模糊綜合評判5.1 模糊綜合評判的一般方法步驟模糊綜合評判的

13、一般方法步驟5.2 模糊綜合評判模型的改進模糊綜合評判模型的改進5.3 多級模糊綜合評判多級模糊綜合評判 在實際問題中，由于問題的復(fù)雜性，用上述的一級模糊在實際問題中，由于問題的復(fù)雜性，用上述的一級模糊綜合評判的方法得到評判結(jié)果可能還不夠準(zhǔn)確。對于復(fù)雜的綜合評判的方法得到評判結(jié)果可能還不夠準(zhǔn)確。對于復(fù)雜的問題，由于要考慮的因素較多，且各因素往往層次不同并具問題，由于要考慮的因素較多，且各因素往往層次不同并具有模糊性，采用一級模糊綜合評判，不能解決因素多層次的有模糊性，采用一級模糊綜合評判，不能解決因素多層次的綜合評判問題，此時要采用多級模糊綜合評判法。多級模糊綜合評判問題，此時要采用多級模糊綜合評判法。多級模糊綜合評判法的基本思想是：先把每一因素按程度分為若干等綜合評判法的基本思想是：先把每一因素按程度分為若干等級，每一因素及其各個等級都是等級論域上的模糊子集；然級，每一因素及其各個等級都是等級論域上的模糊子集；然后通過對一個因素的各個等級的綜合評判來實現(xiàn)一個因素的后通過對一個因素的各個等級的綜合評判來實現(xiàn)一個因素的單因素評判，從而處理了因素的模糊性；最后再按所有因素單因素評判，從而處理了因素的模糊性；最后再按所有因素進行綜合