高二數(shù)學(xué)雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1

1、一、回顧1 1、橢圓的定義是什么？、橢圓的定義是什么？ 2 2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)是什么？是什么？定義圖象方程焦點(diǎn)a.b.c的關(guān)系yoxF1F2yoF1F2 |MF1|+|MF2|=2a（2a|F1F2|）a2=b2+c2F ( c,0) F(0, c) oF1F2) 0( 12222babyax) 0( 12222 babxay1. 橢圓的定義橢圓的定義和和 等于常數(shù)等于常數(shù)2a ( 2a|F1F2|0) 的點(diǎn)的軌跡的點(diǎn)的軌跡.平面內(nèi)與兩定點(diǎn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的的距離的1F2F 0, c 0, cXYO yxM,2. 引入問(wèn)題：引入問(wèn)題：差差等于常

2、數(shù)等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么呢？的點(diǎn)的軌跡是什么呢？平面內(nèi)與兩定點(diǎn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的的距離的 雙曲線兩條射線1、 2a |F1F2 | 無(wú)軌跡無(wú)軌跡|MF1| - |MF2|= 2a想一想？想一想？ 兩個(gè)定點(diǎn)兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2雙曲線的雙曲線的焦點(diǎn)焦點(diǎn); |F1F2|=2c 焦距焦距.oF2F1M 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的距離的差等于常數(shù)等于常數(shù) 的點(diǎn)的軌跡叫做的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線雙曲線.的絕對(duì)值的絕對(duì)值（小于（小于F1F2）注意注意定義定義: | |MF1| - |MF2| | = 2a1. 建系設(shè)點(diǎn)建系設(shè)點(diǎn).F2F1MxOy2. 寫(xiě)出適合條件的點(diǎn)寫(xiě)出

3、適合條件的點(diǎn)M的集合；的集合；3. 用坐標(biāo)表示條件，列出方程；用坐標(biāo)表示條件，列出方程；4. 化簡(jiǎn)化簡(jiǎn).求曲線方程的步驟：求曲線方程的步驟：方程的推導(dǎo)方程的推導(dǎo)xyo設(shè)設(shè)M（x , y）,雙曲線的焦雙曲線的焦距為距為2c（c0）,F1(-c,0),F2(c,0)常數(shù)常數(shù)=2aF1F2M即即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = + 2a_以以F1,F2所在的直線為所在的直線為X軸，軸，線段線段F1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系1. 建系建系. .2.設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)3.列式列式|MF1| - |MF2|= 2a如何求這如何求這優(yōu)美的優(yōu)美的曲線的方程？曲線的方

4、程？4.4.化簡(jiǎn)化簡(jiǎn). .2222()()2 .xcyxcya 222222()2().xcyaxcy 222().cxaaxcy 22222222()().ca xa ya ca oF2FMyx1222.cab 22221(0,0)xyabab F1F2yxo焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的標(biāo)準(zhǔn)方程 想一想想一想F1(0,-c), F2(0,c)22221(0,0)yxabab 222cab 確定焦確定焦 點(diǎn)點(diǎn) 位置位置：橢圓看分母大小橢圓看分母大小雙曲看系數(shù)正負(fù)雙曲看系數(shù)正負(fù)12222byax12222bxayF2F1MxOyOMF2F1xy)00(ba，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

5、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程F ( c, 0)12222 byax12222 bxayyxoF2F1MxyF2F1MF(0, c)1916. 122yx1916. 322xy1169. 222yx1169. 422xy判斷下列方程是否表示雙曲線？若是，求出判斷下列方程是否表示雙曲線？若是，求出 及焦點(diǎn)坐標(biāo)。及焦點(diǎn)坐標(biāo)。cba, 2222222211214222314(0,0)42xyxyxynxmymn mn 答案：答案： 12,2,6(6,0).( 6,0);abc 22,2,2( 2,0).(2,0);abc 32,2,6(0,6).(0,6);abc 4,(,0).(,0);am bn cmnmnm

6、n （1）先把非標(biāo)準(zhǔn)方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，再判斷焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸。）先把非標(biāo)準(zhǔn)方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，再判斷焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸。（2） 是否表示雙曲線？是否表示雙曲線？ 221(0)xymnmn 表示焦點(diǎn)在表示焦點(diǎn)在 軸上的雙曲線；軸上的雙曲線；x0;0mn 表示焦點(diǎn)在表示焦點(diǎn)在 軸上的雙曲線。軸上的雙曲線。y0;0mn 表示雙曲線，求表示雙曲線，求 的范圍。的范圍。m22121xymm 答案：答案： 。12mm 或或例例1 已知雙曲線的焦點(diǎn)為已知雙曲線的焦點(diǎn)為F1(-5,0),F2(5,0)，雙曲線上，雙曲線上一點(diǎn)一點(diǎn)P到到F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于的距離的差的絕對(duì)值等于8，求雙曲線，求雙曲線的標(biāo)

7、準(zhǔn)方程的標(biāo)準(zhǔn)方程.221.169xy)0, 0(12222 babyax解解: :小結(jié)：小結(jié)：求標(biāo)準(zhǔn)方程要做到先定型，后定量。求標(biāo)準(zhǔn)方程要做到先定型，后定量。Ex1求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 焦點(diǎn)在在軸焦點(diǎn)在在軸 上，上， ； 焦點(diǎn)在在軸焦點(diǎn)在在軸 上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)上，經(jīng)過(guò)點(diǎn) .xx4 ,3 .ab 15(2 ,3 ),(,2 ).3 答案答案: 221;169xy 22221(0,0).xyabab 設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為代入點(diǎn)代入點(diǎn) 得得15(2,3),(,2).32222231.5213abab 令令2211,.mnab 則則231.

8、5213mnmn 解得解得1.13mn 故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為221.3yx 223.1_.32xyEx 雙雙曲曲線線的的焦焦點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)224.88(0,3)_Exkxkyk 雙雙曲曲線線的的一一個(gè)個(gè)焦焦點(diǎn)點(diǎn)為為則則實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)2222.(_).351.56ExABCmDxymmm是方程是方程表示雙曲線的表示雙曲線的充分非必要條件必要非充分條件充分非必要條件必要非充分條件充要條件不充分也不必要條件充要條件不充分也不必要條件A(5,0) 1k 225.,.Exaxayba bAxBCyD 已已知知曲曲線線實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)異異號(hào)號(hào), ,則則它它表表示示的的曲曲線線是是( () )焦

9、焦點(diǎn)點(diǎn)在在 軸軸上上的的雙雙曲曲線線圓圓焦焦點(diǎn)點(diǎn)在在 軸軸上上的的雙雙曲曲線線橢橢圓圓2212126.1,6436,| 17,| ?xyExPF FPFPF 是是雙雙曲曲線線上上一一點(diǎn)點(diǎn)是是雙雙曲曲線線的的兩兩焦焦點(diǎn)點(diǎn) 若若則則C2| 133PF 或或2.2.已知已知A A，B B 兩地相距兩地相距800m800m，在，在A A地聽(tīng)到炮彈爆炸聲比在地聽(tīng)到炮彈爆炸聲比在B B地晚地晚2 2秒，秒，且聲速為且聲速為340m/s340m/s，求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程。，求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程。分析：爆炸點(diǎn)爆炸點(diǎn)P的軌跡是靠近的軌跡是靠近B處處的雙曲線的一支。的雙曲線的一支。2340.PAPB ABP假

10、設(shè)爆炸點(diǎn)為假設(shè)爆炸點(diǎn)為P P，爆炸點(diǎn)距，爆炸點(diǎn)距A A地比地比B B地遠(yuǎn)地遠(yuǎn)；解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系建立如圖所示的直角坐標(biāo)系 ，使，使 兩點(diǎn)在兩點(diǎn)在 軸上，并且坐標(biāo)原軸上，并且坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn) 與線段與線段 的中點(diǎn)重合。的中點(diǎn)重合。xOyBA,xOAB設(shè)爆炸點(diǎn)設(shè)爆炸點(diǎn) 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 ，則，則 ， P),( yx3402680.PAPB 即即2680,340.aa 又又800.AB 所以所以2222800,40044400.ccbca 因?yàn)橐驗(yàn)?4026800PAPB 所以所以0 x 因此炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡（雙曲線）的因此炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡（雙曲線）的方程為方程為221(0)1156004440

11、0 xyx xyOPAB222bac | |MF1|- -|MF2| | =2a（ 2a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2|MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a x2a2+y2b2=1橢橢 圓圓雙曲線雙曲線y2x2a2-b2= 1F（0，c）F（0，c）例例3:求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。1、4,5ac焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在 軸上軸上y2、焦點(diǎn)為、焦點(diǎn)為( 5,0),(5,0)且且3b 221169yx221169xy3、4a 經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)410(1,)3A)3m2，0（ 變式二變式二: :2m0m201m 1m2)

12、2m()1m(c2 )1m2,0( 焦焦點(diǎn)點(diǎn)為為分析分析: :11mym2x22 變式一變式一: :2m1m 或課后思考題：課后思考題：2222()()2 .xcyxcya 222)(ycxaacx) 0, 0( 12222babyax-(1)-(2)-(3)(1)(2)(3)有什么內(nèi)在有什么內(nèi)在 聯(lián)系？聯(lián)系？ 平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為定值的點(diǎn)的軌跡 （2）可以利用電腦研究； （3）可以利用文曲星自編BASIC語(yǔ)言進(jìn)行研究； （4）合作探究、相互學(xué)習(xí)、相互交流。建議：（1）可以進(jìn)行理論研究；例例4 已知雙曲線的焦點(diǎn)在已知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，并且雙曲線軸上，并且雙曲線上兩點(diǎn)上兩點(diǎn)P1、P2

13、的坐標(biāo)分別為（的坐標(biāo)分別為（3， ）、）、（9/4,5），求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程），求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.24解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)所軸上，所以設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為： 12222bxay因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)P1、P2在雙曲線上，所以點(diǎn)在雙曲線上，所以點(diǎn)P1、P2的的坐標(biāo)適合方程坐標(biāo)適合方程.將將P1, P2 坐標(biāo)分別代入方程坐標(biāo)分別代入方程中，得方程組中，得方程組1)49(2513)24(2222222baba解得：解得：a2=16,b2=9.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：為：. 191622xy例例5 一炮彈在某處爆炸，在一炮彈在某處爆炸，在A處聽(tīng)到爆炸聲處聽(tīng)到爆炸聲的時(shí)間比在的時(shí)間比在B處晚處晚2 s.（1）爆炸點(diǎn)應(yīng)在什么樣的曲線上？）爆炸點(diǎn)應(yīng)在什么樣的曲線上？（2）已知）已知A、B兩地相距兩地相距800 m，并且此時(shí)，并且此時(shí)聲速為聲速為340 m/s，求曲線的方程，求曲線的方程.解（解（1）由聲速及）由聲速及A、B兩處聽(tīng)到爆炸聲的時(shí)兩處聽(tīng)到爆炸聲的時(shí)間差，可知間差，可知A、B兩處與爆炸點(diǎn)的距離的差，兩處與爆炸點(diǎn)的距離的差，因此爆炸點(diǎn)應(yīng)位于以因此爆炸點(diǎn)應(yīng)位于以A、B為