高等數(shù)學4_1.2正項級數(shù)的審斂準則

1、目錄 上頁 下頁 返回 結束 1二、交錯級數(shù)的審斂準則二、交錯級數(shù)的審斂準則 三、絕對收斂與條件收斂三、絕對收斂與條件收斂 第一節(jié)第一節(jié)(2)(2)一、正項級數(shù)的審斂準則一、正項級數(shù)的審斂準則常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法 第四章 *四、絕對收斂級數(shù)的性質四、絕對收斂級數(shù)的性質 目錄 上頁 下頁 返回 結束 21.21.2 正項級數(shù)的審斂準則正項級數(shù)的審斂準則若若,0nu1nnu定理定理 1.2 正項級數(shù)正項級數(shù)1nnu收斂收斂部分和數(shù)列部分和數(shù)列nS),2, 1(n有界有界 .若若1nnu收斂收斂 , ,收斂則nS,0nu部分和數(shù)列部分和數(shù)列nSnS有界有界, 故故nS1nnu從而從而

2、又已知又已知故有界故有界.則稱則稱為為正項級數(shù)正項級數(shù) .單調遞增單調遞增, 收斂收斂 , 也收斂也收斂.證證: “ ”“ ”特點特點:部分和單調增部分和單調增.目錄 上頁 下頁 返回 結束 3, Nn nnvu定理定理1.3 ( (比較審斂法比較審斂法I)I)nnkknkknSvuS11 收斂1nnv設設,1nnu1nnv并且并且,N n(1) 若若1nnv則則1nnu(2) 若若1nnu則則1nnv證證:和和令令nSnS收斂收斂 ,也收斂也收斂 ;發(fā)散發(fā)散 ,也發(fā)散也發(fā)散 .分別表示兩個級數(shù)的部分和分別表示兩個級數(shù)的部分和nnvu 是兩個是兩個正項級數(shù)正項級數(shù), 證明的基本思路與證明的基本

3、思路與無窮積分的比較準則無窮積分的比較準則I相同相同. 由于由于(2)是是(1)的逆否命題，因此只證明的逆否命題，因此只證明(1)即可即可. 有上界nS有上界nS根據(jù)根據(jù)定理定理1.2, 級數(shù)級數(shù)1nnu必收斂必收斂.目錄 上頁 下頁 返回 結束 4注注:根據(jù)根據(jù)性質性質1.2, 定理定理1.3中的條件中的條件“ ”因為改變級數(shù)的有限項，不影響級數(shù)的斂散性因為改變級數(shù)的有限項，不影響級數(shù)的斂散性可以改為可以改為“ ” ,N nnnvu ,NnN Nnnvu 目錄 上頁 下頁 返回 結束 5,Nn,nnvku 都有都有推論推論設設,1nnu1nnv且存在且存在,NN對一切對一切,Nn 有有(1)

4、 若若強強級數(shù)級數(shù)1nnv則則弱弱級數(shù)級數(shù)1nnu(2) 若若弱弱級數(shù)級數(shù)1nnu則則強強級數(shù)級數(shù)1nnv證證:設對一切設對一切和令nSn收斂收斂 ,也收斂也收斂 ;發(fā)散發(fā)散 ,也發(fā)散也發(fā)散 .分別表示分別表示弱弱級數(shù)和級數(shù)和強強級數(shù)的部分和級數(shù)的部分和, 則有則有nnvku 是兩個是兩個正項級數(shù)正項級數(shù), (常數(shù)常數(shù) k 0 ),因在級數(shù)前加、減有限項不改變其斂散性因在級數(shù)前加、減有限項不改變其斂散性, 故不妨故不妨目錄 上頁 下頁 返回 結束 6(1) 若若強強級數(shù)級數(shù)1nnv則有則有nn lim因此對一切因此對一切,Nn有有nS由由定理定理 1.2 可知可知,1nnu則有則有(2) 若若

5、弱弱級數(shù)級數(shù)1nnu,limnnS因此因此,limnn這說明這說明強強級數(shù)級數(shù)1nnv也發(fā)散也發(fā)散 .knSnk也收斂也收斂 .發(fā)散發(fā)散, ,收斂收斂,弱弱級數(shù)級數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結束 7證明級數(shù)證明級數(shù)1) 1(1nnn發(fā)散發(fā)散 . 證證: 因為因為2) 1(1) 1(1nnn),2, 1(11nn而級數(shù)而級數(shù)111nn21kk發(fā)散發(fā)散根據(jù)根據(jù)比較審斂法比較審斂法I可知可知,所給級數(shù)發(fā)散所給級數(shù)發(fā)散 .例例1.1.目錄 上頁 下頁 返回 結束 8定理定理1.4 1.4 ( (比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式) ),1nnu1nnv,limlvunnn則有則有兩個級數(shù)同時收斂或

6、發(fā)散兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散 ;(2) 當當 l = 0 ,1收斂時且nnv;1也收斂nnu(3) 當當 l = ,1發(fā)散時且nnv.1也發(fā)散nnu證證: 據(jù)極限定義據(jù)極限定義, 0對,NN存在lnnvu)(l設兩正項級數(shù)設兩正項級數(shù)滿足滿足(1) 當當 0 l 時時,時當Nn 目錄 上頁 下頁 返回 結束 9nnnvluvl)()(, l取由由定理定理 1.3 可知可知與1nnu1nnv同時收斂或同時發(fā)散同時收斂或同時發(fā)散 ;)(Nn ),()(Nnvlunn利用(3) 當當l = 時時,NN存在,時當Nn ,1nnvu即即nnvu 由由定理定理1.3可知可知, 若若1nnv發(fā)散發(fā)散 , ;1

7、也收斂則nnu(1) 當當0 l 0則則有有公公式式中中取取的的在在，xx1)1ln( Maclaurin下面證明下面證明,交錯級數(shù)交錯級數(shù),nS易見上式右端的前易見上式右端的前n項之和就是級數(shù)項之和就是級數(shù)的斂散性的斂散性.時收斂時收斂,特別地特別地,當當p=1時時,級數(shù)也是收斂的級數(shù)也是收斂的. 11) 1(nnn的和為的和為ln2, 并估計用并估計用部分和近似代替級數(shù)和時所產(chǎn)生的余項誤差部分和近似代替級數(shù)和時所產(chǎn)生的余項誤差. 11)1)(1(1) 1(1) 1(41312112ln nnnnn ) 10( 11) 1(nnn的部分和的部分和并且并且,112ln nSn目錄 上頁 下頁

8、返回 結束 30 111) 1(nnnLeibniz判別法判別法是判別交錯級數(shù)收斂的充分條件是判別交錯級數(shù)收斂的充分條件,故級數(shù)故級數(shù)的和的和2ln. 2lnlim作作為為用用nnnSSS 足足夠夠大大只只要要取取因因此此絕絕對對誤誤差差不不超超過過的的近近似似值值nn,.11, .2ln近近似似值值的的滿滿足足任任何何精精度度要要求求的的就就可可求求得得很多的交錯級數(shù)和變號級數(shù)不能用此法判別很多的交錯級數(shù)和變號級數(shù)不能用此法判別.下面的下面的絕對收斂準則絕對收斂準則是更常用的一種判別法是更常用的一種判別法.目錄 上頁 下頁 返回 結束 31絕對收斂與條件收斂絕對收斂與條件收斂 定義定義: 對

9、任意的級數(shù)對任意的級數(shù),1nnu若若若原級數(shù)收斂若原級數(shù)收斂, 但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散, 111) 1(nnn,! ) 1(1) 1(11nnn1110) 1(nnnn1nnu收斂收斂 ,1nnu數(shù)數(shù)1nnu為條件收斂為條件收斂 .均為絕對收斂均為絕對收斂.例如例如 ：絕對收斂絕對收斂 ；則稱則稱原級原級數(shù)數(shù)條件收斂條件收斂 .則稱則稱原級原級目錄 上頁 下頁 返回 結束 32定理定理1.9 若級數(shù)若級數(shù), 0恒恒有有時時當當使使得得NnpnN NN .1 pnnkku證證: 因為因為1nnu根據(jù)級數(shù)的根據(jù)級數(shù)的Cauchy收斂原理收斂原理， 1nnu故級數(shù)故級數(shù)收斂

10、收斂.收斂收斂 ,1nnu收斂收斂, 則級數(shù)則級數(shù)1nnu也收斂也收斂若級數(shù)絕對收斂，則必收斂若級數(shù)絕對收斂，則必收斂.,11 pnnkkpnnkkuu從而有從而有目錄 上頁 下頁 返回 結束 33例例7.7. 證明下列級數(shù)絕對收斂證明下列級數(shù)絕對收斂 : :.e) 1()2(;sin) 1 (1214nnnnnnn證證: (1),1sin44nnn而而141nn收斂收斂 ,14sinnnn收斂收斂因此因此14sinnnn絕對收斂絕對收斂 .目錄 上頁 下頁 返回 結束 34(2) 令令,e2nnnu nnnuu1lim limn12e) 1(nnnne221e1limnnn1e1因此因此12

11、e) 1(nnnn12e) 1(nnnn收斂收斂,絕對收斂絕對收斂.12e) 1()2(nnnn小結小結目錄 上頁 下頁 返回 結束 35例例1.12 討論級數(shù)的斂散性討論級數(shù)的斂散性, ,若收斂若收斂, ,是否絕對收斂是否絕對收斂? ?.1ln() 1() 3(;!)2(;) !sin() 1 (11112)1 nnnnnnnxnn證證: (1) ,1!sin22nnn 而而 121nn收斂收斂 ,.) !sin(12因因此此原原級級數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂也也收收斂斂故故，nnn ,!,)2(1都都收收斂斂對對任任意意的的級級數(shù)數(shù)由由前前面面的的例例子子可可知知Rxnxnn .!,1都絕對收斂

12、都絕對收斂對任意的對任意的級數(shù)級數(shù)從而從而Rxnxnn ).(1)11ln()11ln() 1() 3(1 nnnnn由由于于單調遞減單調遞減但是但是散散原級數(shù)的絕對值級數(shù)發(fā)原級數(shù)的絕對值級數(shù)發(fā)所以所以)11ln(,.,n ., 0級數(shù)收斂級數(shù)收斂審斂準則審斂準則根據(jù)根據(jù)符號交錯符號交錯趨于趨于Leibniz.故原級數(shù)是條件收斂故原級數(shù)是條件收斂目錄 上頁 下頁 返回 結束 36其和分別為其和分別為 * *四、絕對收斂級數(shù)的性四、絕對收斂級數(shù)的性質質 *定理定理1.10 絕對收斂級數(shù)絕對收斂級數(shù)重排重排后后仍絕對收斂仍絕對收斂,而且而且和不變和不變. (P275 定理定理)(證明見證明見 P2

13、75P277)*定理定理1.11 ( 絕對收斂級數(shù)的乘法絕對收斂級數(shù)的乘法 ).AB則對所有乘積則對所有乘積 jivu1nnw按按任意順序任意順序排列得到的級數(shù)排列得到的級數(shù)也絕對收斂也絕對收斂,設級數(shù)設級數(shù)1nnv1nnu與與都絕對收斂都絕對收斂,BA其和為其和為(P277 定理定理) 說明說明: 絕對收斂級數(shù)有類似絕對收斂級數(shù)有類似有限項和有限項和的性質的性質, 但條件收斂級數(shù)不具有這兩條性質但條件收斂級數(shù)不具有這兩條性質. 絕對收斂級數(shù)與條件收斂級數(shù)具有完全不同的性質絕對收斂級數(shù)與條件收斂級數(shù)具有完全不同的性質. .目錄 上頁 下頁 返回 結束 37內容小結內容小結2. 判別正項級數(shù)斂散

14、性的方法與步驟判別正項級數(shù)斂散性的方法與步驟必要條件必要條件0limnnu不滿足不滿足發(fā)發(fā) 散散滿足滿足比值審斂法比值審斂法 limn1nunu根值審斂法根值審斂法nnnulim1收收 斂斂發(fā)發(fā) 散散1不定不定 比較審斂法比較審斂法用它法判別用它法判別積分判別法積分判別法部分和極限部分和極限1有極限部分和數(shù)列收斂. 1nnSu目錄 上頁 下頁 返回 結束 383. 3. 任意項級數(shù)審斂法任意項級數(shù)審斂法為收斂級數(shù)為收斂級數(shù)1nnu設Leibniz判別法判別法:01nnuu0limnnu則交錯級數(shù)則交錯級數(shù)nnnu1) 1(收斂收斂概念概念:,1收斂若nnu1nnu稱絕對收斂絕對收斂,1發(fā)散若n

15、nu條件收斂條件收斂1nnu稱目錄 上頁 下頁 返回 結束 39思考與練習思考與練習設正項級數(shù)設正項級數(shù)1nnu收斂收斂, 能否推出能否推出12nnu收斂收斂 ?提示提示:nnnuu2limnnu lim0由由比較審斂法比較審斂法可知可知12nnu收斂收斂 .注意注意: 反之不成立反之不成立. 例如例如,121nn收斂收斂 ,11nn發(fā)散發(fā)散 .目錄 上頁 下頁 返回 結束 40備用題備用題;) 1ln(1) 1 (1nn1. 判別級數(shù)的斂散性判別級數(shù)的斂散性:.1)2(1nnnn解解: (1),) 1ln(nnnn1) 1ln(111nn發(fā)散發(fā)散 , 故原級數(shù)發(fā)散故原級數(shù)發(fā)散 .11npnp:級數(shù)不是不是 p級數(shù)級數(shù)(2)nlimnnn1lim111nn發(fā)散發(fā)散 , 故原級數(shù)發(fā)散故原級數(shù)發(fā)散 .nnn1n1目錄 上頁 下頁 返回 結束 41 作業(yè)作業(yè) P266 1 (1), (3), (5) ; 2 (2), (3), (4) ; *3 (1), (2) ; 4 (1), (3), (5), (6) ; 5 (2), (3), (5)第三節(jié)第