高等數(shù)學(xué)課件D12_6一致收斂

1、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性* *第六節(jié)第六節(jié)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性及一致收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及一致收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)二、一致收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)二、一致收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第十二章 一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)的性質(zhì)類似于多項(xiàng)式,但一般函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)則不一定有這么好的特點(diǎn). 例如例如, 級(jí)數(shù))()()(1232nnxxxxxxx每項(xiàng)在 0,1 上都連續(xù), 其前 n 項(xiàng)之和為,)(nnxxS和函數(shù))(lim)(xSxSnn10 x, 01x, 1該和函數(shù)在 x1 間斷.機(jī)動(dòng) 目錄

2、上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 因?yàn)閷?duì)任意 x 都有: ),2, 1(1sin222nnnxn所以它的收斂域?yàn)?(, +) ,但逐項(xiàng)求導(dǎo)后的級(jí)數(shù) xnxx22cos2coscos22222sin22sin1sinnxnxx其一般項(xiàng)不趨于0, 所以對(duì)任意 x 都發(fā)散 .又如又如, 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)問(wèn)題問(wèn)題: 對(duì)什么樣的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)才有:逐項(xiàng)連續(xù) 和函數(shù)連續(xù); 逐項(xiàng)求導(dǎo) = 和函數(shù)求導(dǎo); 逐項(xiàng)積分 = 和函數(shù)積分 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義定義. 設(shè) S(x) 為 )(1xunn若對(duì) 都有一個(gè)只依賴于 的自然數(shù) N , 使 當(dāng)n N 時(shí), 對(duì)區(qū)間 I 上的一切 x 都有)()()(xSxSxrnn則

3、稱該級(jí)數(shù)在區(qū)間 I 上一致收斂于和函數(shù)S(x) .在區(qū)間 I 上的和函數(shù),任意給定的 0,顯然, 在區(qū)間 I 上 )(1xunn一致收斂于和函數(shù)S(x)部分和序列)(xSn一致收斂于S(x) 余項(xiàng) )(xrn一致收斂于 0 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 幾何解釋幾何解釋 : (如圖) )(xSy)(xSyIx)(xSy , 0,ZN當(dāng)n N 時(shí),表示)()(xSxSn曲線 )()(xSyxSy與總位于曲線)(xSyn)(xSyn之間.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 研究級(jí)數(shù) ) 1)(1)3)(2(1)2)(1(1nxnxxxxx在區(qū)間 0, +) 上的收斂性.解解: 11

4、1) 1)(1kxkxkxkx), 2 , 1(k)3121()2111()(xxxxxSn)111(nxnx1111nxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )(lim)(xSxSnn)1111(limnxxn11x)0( x余項(xiàng)的絕對(duì)值:)()()(xSxSxrnn11nx11n)0( x因此, 任給 0, 取自然數(shù) ,11N則當(dāng)n N 時(shí)有)0()(xxrn這說(shuō)明級(jí)數(shù)在 0, +) 上一致收斂于 .11)(xxS機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. 證明級(jí)數(shù) )()()(1232nnxxxxxxx在 0,1 上不一致收斂 . 證證: nnnnxxxxxxxS)()()(12)(x

5、S10 x, 01x, 1)()()(xSxSxrnn10 x,nx1x, 0取正數(shù) ,21對(duì)無(wú)論多么大的正數(shù) N ,)(11210Nx取, 1, 00 x,)(2101xrN而因此級(jí)數(shù)在 0, 1 上不一致收斂 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 yox說(shuō)明說(shuō)明:11nnnxxS)()(xS10 x, 01x, 12n4n10n30n) 1 , 1 ()(xS對(duì)任意正數(shù) r 0, 欲使,nr只要,lnlnrn因此取,lnlnrN只要,Nn ,)(nnrxr必有即級(jí)數(shù)在 0, r 上一致收斂 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 維爾斯特拉斯維爾斯特拉斯(Weierstrass) 判別法判

6、別法 用一致收斂定義判別級(jí)數(shù)的一致收斂性時(shí), 需求出 ),()(xSxSn及這往往比較困難. 下面介紹一個(gè)較方便的判別法.若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù))(1xunn在區(qū)間 I 上滿足:; ),2, 1()() 1naxunn,)21收斂正項(xiàng)級(jí)數(shù)nna則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) )(1xunn在區(qū)間 I 上一致收斂 .簡(jiǎn)介 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證證:由條件2), 根據(jù)柯西審斂原理, ,0N當(dāng) n N 時(shí), 對(duì)任意正整數(shù) p , 都有 221pnnnaaa由條件1), 對(duì) x I , 有)()()(21xuxuxupnnn)()()(21xuxuxupnnn221pnnnaaa則由上式得令,p2)(xrn故函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

7、 )(1xunn在區(qū)間 I 上一致收斂 . 證畢機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 oxRRab推論推論.若冪級(jí)數(shù)nnnxa0的收斂半徑 R 0 , 則此級(jí) 數(shù)在 (R, R ) 內(nèi)任一閉區(qū)間 a , b 上一致收斂 .證證: ,maxbar 設(shè)則對(duì) a , b 上的一切 x , 都有 ),2, 1 ,0(nraxannnn,0Rr 而由阿貝爾定理(第三節(jié)定理1) 級(jí)數(shù) nnnra0絕對(duì)收斂 , 由維爾斯特拉斯判別法即知推論成立. 說(shuō)明說(shuō)明: 若冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間的端點(diǎn)收斂, 則一致收斂 區(qū)間可包含此端點(diǎn). 證畢 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3.證明級(jí)數(shù)22222sin22sin1s

8、innxnxx在(, +) 上 一致收斂 .證證: ),(x因?qū)θ我?,2, 1 ,0(1sin222nnnxn而級(jí)數(shù)021nn收斂, 由維爾斯特拉斯判別法知所給級(jí)數(shù)在 (, +) 上 一致收斂 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明說(shuō)明:維爾斯特拉斯判別法不僅能判別級(jí)數(shù)的一致收 斂性, 而且能判別其絕對(duì)收斂性. 當(dāng)不易觀察到不等式時(shí)，nnaxu)(可利用導(dǎo)數(shù)求)(maxxuanIxn例如例如, 級(jí)數(shù),1251xnxnn), 0 x,12111max232525), 0nnuxnxnann用求導(dǎo)法可得已知2311nn收斂, 因此原級(jí)數(shù)在0, +) 上一致收斂 . ,1)(25xnxnxun

9、機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、一致收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)二、一致收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)定理定理1. 若級(jí)數(shù) :)(1滿足xunn, )(,)()21xSbaxunn上一致收斂于在區(qū)間.,)(上連續(xù)在則baxS證證: 只需證明, ,0bax . )()(lim00 xSxSxx由于)()(0 xSxS)()()()(00 xrxSxrxSnnnn)()()()(00 xrxrxSxSnnnn;,)() 1上連續(xù)在區(qū)間各項(xiàng)baxun機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 因?yàn)榧?jí)數(shù))(1xunn一致收斂于S (x) , N, 0故),(N使當(dāng) n N 時(shí), 有3)(,3)(0 xrxrnn對(duì)這樣選定的

10、 n , ,)(0連續(xù)在xxSn從而必存在 0 ,有時(shí)當(dāng),0 xx3)()(0 xSxSnn從而得)()(0 xSxS,)(0連續(xù)在故xxS).()(lim00 xSxSxx即證畢 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明說(shuō)明:(1) 定理1 表明, 對(duì)一致收斂的級(jí)數(shù), 極限運(yùn)算與無(wú)限 求和運(yùn)算可交換, 即有)(lim)(lim0011xuxunxxnnnxx(2) 若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)不一致收斂時(shí), 定理結(jié)論不一定成立. 例如例如, 級(jí)數(shù) ) 1() 1() 1(12xxxxxxxn在區(qū)間 0 , 1 上處處收斂, 而其和函數(shù))(xS10 x, 01x, 1在 x = 1 處不連續(xù) .機(jī)動(dòng) 目錄 上

11、頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理2. 若級(jí)數(shù) :)(1滿足xunn, )(,)()21xSbaxunn上一致收斂于在區(qū)間則該級(jí)數(shù)在 a, b 上可逐項(xiàng)積分, xxuxxSnxxnxxd)(d)(001,0bxxa即對(duì)且上式右端級(jí)數(shù)在 a, b 上也一致收斂 . 證證: 因?yàn)?xxukxxnkd)(01xxSxxunxxknkxxd)(d)(001;,)() 1上連續(xù)在區(qū)間各項(xiàng)baxun機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 所以只需證明對(duì)任意 ),(,00 xxbaxx一致有xxSxxSxxnxxnd)(d)(lim00 根據(jù)級(jí)數(shù)的一致收斂性, ),(, 0NN 使當(dāng) n N 時(shí), 有abxSxSn

12、)()(于是, 當(dāng) n N 時(shí), 對(duì)一切 ),(,00 xxbaxx有xxSxxSxxnxxd)(d)(00 xxSxSnxxd)()(0 xxSxSnbad)()(因此定理結(jié)論正確. 證畢 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明說(shuō)明: 若級(jí)數(shù)不一致收斂時(shí), 定理結(jié)論不一定成立. 例如例如, 級(jí)數(shù) 2222) 1(221) 1(22xnxnnexnexn它的部分和 ,2)(222xnnexnxS因此級(jí)數(shù)在 0 , 1 上收斂于 S (x) = 0 , 所以.0d)(10 xxS但是xexnexnxnxnnd) 1(222222) 1(2211022) 1(1nnnee110)(dxxS為什么

13、對(duì)級(jí)數(shù)定理結(jié)論不成立? 分析它是否滿足 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理2 條件. 級(jí)數(shù)的余項(xiàng) 2222)(xnnexnxr,10時(shí)當(dāng)nx )2(12)(0nenxrn可見(jiàn)級(jí)數(shù)在 0, 1 上不一致收斂 , 此即定理2 結(jié)論 對(duì)級(jí)數(shù)不成立的原因. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理3. 若級(jí)數(shù) 滿足：)(1xunn,)()31上一致收斂在級(jí)數(shù)baxunn)()(1xuxSnn且可逐項(xiàng)求導(dǎo), 即 ; ),2, 1(,)()2nbaxun上連續(xù)在,)(1上一致收斂在區(qū)間則baxunn; )(,) 1xSba上收斂于在區(qū)間證證: 先證可逐項(xiàng)求導(dǎo). ),()(1xxunn設(shè)根據(jù)定理2

14、, 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 有對(duì), ,baxxxuxxnxanxad)(d)(1)()(1auxunnn)()(11auxunnnn)()(aSxS上式兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得 ).()(xxS再證.,)(1上一致收斂在baxunn根據(jù)定理 2 , ,d)(1上一致收斂在級(jí)數(shù)baxxunxan而xxunxand)(1)()(11auxunnnn機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )(1xunnxxunxand)(1)(1aunn所以.,上一致收斂在ba級(jí)數(shù)一致收斂并不保證可以逐項(xiàng)求導(dǎo). 例如, 例3中的級(jí)數(shù)22222sin22sin1sinnxnxx說(shuō)明說(shuō)明:在任意區(qū)間上都一致收斂,

15、 但求導(dǎo)后的級(jí)數(shù) xnxx22cos2coscos其一般項(xiàng)不趨于 0, 所以對(duì)任意 x 都發(fā)散 . 證畢 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4. 證明函數(shù) 31sin)(nnxxfn對(duì)任意 x 有連續(xù)導(dǎo)數(shù).解解: 顯然所給級(jí)數(shù)對(duì)任意 x 都收斂 , 且每項(xiàng)都有連續(xù)導(dǎo)數(shù), 而逐項(xiàng)求導(dǎo)后的級(jí)數(shù) 31sinnnxn21cosnnxn,1cos22nnnx,121收斂nn故級(jí)數(shù)在 (,+) 上一致收斂, 故由定理3可知.cos)(21nnxxfn 再由定理1可知 .),()(上連續(xù)在 xf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理4 . 若冪級(jí)數(shù)nnnxa0的收斂半徑,0R)(xS數(shù)nnnxa

16、xS0)(,11nnnxan),(RRxxxaxxSnxnnxdd)(000,110nnnxna),(RRx則其和函在收斂域上連續(xù), 且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積分, 運(yùn)算前后收斂半徑相同,即證證: 關(guān)于和函數(shù)的連續(xù)性及逐項(xiàng)可積的結(jié)論由維爾斯 特拉斯判別法的推論及定理 1, 2 立即可得 . 下面證明逐項(xiàng)可導(dǎo)的結(jié)論:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證證:.),(10內(nèi)收斂在先證級(jí)數(shù)RRxannnn),(RRx任取,11Rxxx使再取定, 11xxq記則1nnxannnnxaxxxn11111nnnxaxqn1111由比值審斂法知級(jí)數(shù) ,10收斂nnqn故, 0lim1nnqn,1有界

17、因此nqn故存在 M 0 , 使得 ),2, 1(111nMqnxn,01Rx 又,10收斂級(jí)數(shù)nnnxa由比較審斂法可知機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .11收斂級(jí)數(shù)nnnxan),(11RRxannnn在因?yàn)閮缂?jí)數(shù),ba上一致收斂, 故原級(jí)數(shù),0baxannn在內(nèi)任一閉區(qū)間上滿足定理3條件, 從而可逐項(xiàng)求導(dǎo), ,的任意性再由ba即知 ),(,110RRxxanxannnnnn再證級(jí)數(shù) 11nnnxan的收斂半徑 .RR 由前面的證明可知 .RR 若將冪級(jí)數(shù) 在11nnnxan機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,)(, 0上逐項(xiàng)積分Rxx,1nnnxa得級(jí)數(shù)的收斂半徑不會(huì)縮小, .RR 因逐項(xiàng)積分所得 .RR 于是冪級(jí)數(shù) nnnxa0(R, R ) 內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù), 且有 knnknkxaknnnxS) 1() 1()()(),2, 1(k其收斂半徑都為 R . 推