函數(shù)連續(xù)性定義和間斷點(diǎn)

1、一、一、 函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)連續(xù)性的定義 二、二、 函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn) 1x11211yxx1112xy y111xxyxx，yx11211x1121112xxy一、一、 函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性可見可見 , 函數(shù)函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x(1) )(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x即即)(0 xf(2) 極限極限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx連續(xù)必須具備下列條件連續(xù)必須具備下列條件:存在存在 ;有定義有定義 ,存在存在 ;1.定義定義:)(xfy 在在的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義 , , )()(lim00 xfxfxx則稱函數(shù)則稱函數(shù).)(0連續(xù)

2、在xxf設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)且且0 x)()(lim00 xfxfxx注意注意:)(xf在在點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù), 則極限運(yùn)算和函數(shù)運(yùn)則極限運(yùn)算和函數(shù)運(yùn)算算 可以交換順序。即：可以交換順序。即：(1)若若0 xf)lim(0 xfxx)(lim0 xfxx.)(0連續(xù)在xxf(2)函數(shù)函數(shù)存在存在例例1:討論函數(shù)討論函數(shù) 0001sin)(xxxxxf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處的連續(xù)性處的連續(xù)性 xy00 xxx 0)(xfy x y xy00 xxx 0 x y )(xfy 2.函數(shù)函數(shù) 在在 點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)定義點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)定義)(xf0 x定義：設(shè)函數(shù)定義：設(shè)函數(shù) 自變量由自變量由 變到變到 , ,則則)(xf0 x

3、x0 xxx叫做叫做自變量的增量自變量的增量；相應(yīng)的函數(shù)值由；相應(yīng)的函數(shù)值由 變到變到 , ,)(0 xf)(xf則則 叫做叫做函數(shù)值函數(shù)值 的增量的增量y)()(0 xfxfy（改變量）（改變量）)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx,0,0當(dāng)xxx0時(shí), 有yxfxf)()(0函數(shù)函數(shù)0 x)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)連續(xù)有下列等價(jià)命題連續(xù)有下列等價(jià)命題: :0)()(lim:000 xfxxfx即)()()(000 xfxfxf右連續(xù)左連續(xù)例例2. 2. 證明函數(shù)證明函數(shù)xysin在在0 x點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù) . .定義定義1 1：若：若)(xf在某區(qū)間上每一點(diǎn)都

4、連續(xù)在某區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù) , , 則稱它在則稱它在該區(qū)間上連續(xù)該區(qū)間上連續(xù) , , 或稱它為該或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù). .同理可證：函數(shù)同理可證：函數(shù)xycos在在0 x點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù) . .3. 3. 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) . .,)(,),(2上連續(xù)在閉區(qū)間則稱函數(shù)處左連續(xù)在右端點(diǎn)處右連續(xù)并且在左端點(diǎn)內(nèi)連續(xù)：如果函數(shù)在開區(qū)間定義baxfbxaxba連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線. .由例由例2 2知函數(shù)知函數(shù)xysin及及 在其定義域區(qū)間在其定義域區(qū)間),(內(nèi)是連續(xù)的內(nèi)是連續(xù)的xycos二、二、 函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)

5、的間斷點(diǎn)若函數(shù)0 x在)(xf點(diǎn)不連續(xù)，則稱 在點(diǎn) 間斷，0 x稱為間斷點(diǎn)間斷點(diǎn) . 0 x)(xf在在(1) 函數(shù))(xf0 x(2) 函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3) 函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx存在 ,但)()(lim00 xfxfxx 不連續(xù) :則下列情形之一函數(shù) 在點(diǎn)雖有定義 , 但雖有定義 , 且在無定義 ;)(xf0 x1.1.可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)，則稱，則稱 為為 的可去間斷點(diǎn)的可去間斷點(diǎn)但但如果如果 ，而，而 在在 點(diǎn)無定義，或者有定義點(diǎn)無定義，或者有定義Axfxx)(lim0f0 xAxf)(00 xf1x1121例例2 2：設(shè)：設(shè)11)(

6、2xxxf, ,討論在討論在x=1x=1的連續(xù)性的連續(xù)性1)0(,f.0為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)的可去間斷點(diǎn) x注意：注意：可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的 定義定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).例例3 3：設(shè)：設(shè)010)(2xxxxf, ,討論在討論在x=0 x=0處的連續(xù)性處的連續(xù)性0lim)(lim200 xxfxx解解: :)0()(lim0fxfx2.2.跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)例例4 4：.0, 0,1, 0,)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( f

7、f.0為為函函數(shù)數(shù)的的跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) xoxy則稱則稱 為函數(shù)為函數(shù) 的跳躍間斷點(diǎn)的跳躍間斷點(diǎn)如果如果 在在 點(diǎn)存在左、右極限，但點(diǎn)存在左、右極限，但)(lim)(lim00 xfxfxxxxf0 x0 xf跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn). .特點(diǎn)：特點(diǎn)：.0處處的的左左、右右極極限限都都存存在在函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn) x3.3.第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)f則稱則稱 為為 的第二類間斷點(diǎn)的第二類間斷點(diǎn)函數(shù)函數(shù) 在在 點(diǎn)的左、右極限至少有一個(gè)不存在，點(diǎn)的左、右極限至少有一個(gè)不存在，0 x0 xf例例5 5：處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù)t

8、gxxf)(2xxytan2xyo例例6 6.0, 0, 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn) x.斷斷點(diǎn)點(diǎn)這這種種情情況況稱稱為為無無窮窮間間例例7 7.01sin)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxf解解xy1sin ,0處沒有定義處沒有定義在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0為第二類間斷點(diǎn)為第二類間斷點(diǎn) x.斷斷點(diǎn)點(diǎn)這這種種情情況況稱稱為為的的振振蕩蕩間間三、小結(jié)三、小結(jié)1.1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;

9、 ;3.3.間斷點(diǎn)的分類與判別間斷點(diǎn)的分類與判別; ;2.2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù); ;第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)( (見下圖見下圖) )可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在左右極限都存在 無窮間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有左右極限至少有一個(gè)不存在一個(gè)不存在第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍型跳躍型無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)oyx0 xoyx0 x可去型可去型oyx0 x四、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算性四、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算性性質(zhì)性質(zhì)1:1:（局部有界性）（局部有界性）若函數(shù)若函數(shù) 在在 點(diǎn)連

10、續(xù)點(diǎn)連續(xù))(xfy 0 x則存在則存在 的一個(gè)鄰域的一個(gè)鄰域 及定值及定值 ，當(dāng)，當(dāng)0 x),(0 xUM),(0 xUx時(shí)，有時(shí)，有 。Mxf)(當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，性質(zhì)性質(zhì)2:2:（局部保號(hào)性）（局部保號(hào)性）若函數(shù)若函數(shù) 在在 點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù))(xfy 0 x，則存在，則存在 的一個(gè)鄰域的一個(gè)鄰域 ，0 x),(0 xU),(0 xUx有有 )0)(0)(xfxf或)0)(0)(00 xfxf或.)0)()()(),()(),()(,)(),(000處也連續(xù)在點(diǎn)則處連續(xù)在點(diǎn)若函數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf性質(zhì)性質(zhì)3 3：（連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算法則）：（連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算法則）例如：例如

11、：,),(cos,sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xx.csc,sec,cot,tan在在其其定定義義域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)故故xxxx例例1 1：證明函數(shù)：證明函數(shù) 在在 內(nèi)是連續(xù)的。內(nèi)是連續(xù)的。nxy ),(）（即連續(xù)。在點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)連續(xù)在點(diǎn)函數(shù)）（即點(diǎn)連續(xù)，在設(shè)函數(shù)).(lim)()(lim)(,)(),)(lim()(000000000 xfufxfxxfyuufyuxxxxuxxxxxx性質(zhì)性質(zhì)4 4：（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）：（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）例例2 2：討論函數(shù)：討論函數(shù) 的連續(xù)性。的連續(xù)性。21cosxy 在在 上連續(xù)，上連續(xù)，uycos),(在在 上各自連續(xù)連續(xù)，上各自連續(xù)連續(xù)，21xu )

12、, 0()0 ,(解：函數(shù)解：函數(shù) 可以看做是由可以看做是由 ，21cosxy uycos21xu 復(fù)合而成的，復(fù)合而成的，21cosxy 在在 上各自連續(xù)。上各自連續(xù)。), 0()0 ,(所以所以性質(zhì)性質(zhì)5 5：（反函數(shù)的連續(xù)性）：（反函數(shù)的連續(xù)性） 連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)遞增（遞減）的反函數(shù)必是連續(xù)連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)遞增（遞減）的反函數(shù)必是連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)遞增（遞減）的函數(shù)且嚴(yán)格單調(diào)遞增（遞減）的函數(shù). .五、初等函數(shù)的連續(xù)性五、初等函數(shù)的連續(xù)性定理定理2 2：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的. .例如例如, ,2,2sin上上單單調(diào)調(diào)增增加加且且連連續(xù)續(xù)在在 x

13、y.1 , 1arcsin上上也也是是單單調(diào)調(diào)增增加加且且連連續(xù)續(xù)在在故故 xy定理定理1 1：基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的. .備用題備用題 確定函數(shù)間斷點(diǎn)的類型.xxexf111)(解解: 間斷點(diǎn)1,0 xx)(lim0 xfx,0 x為無窮間斷點(diǎn);,1 時(shí)當(dāng)x xx1,0)(xf,1 時(shí)當(dāng)x xx1,1)(xf故1x為跳躍間斷點(diǎn). ,1,0處在x.)(連續(xù)xf1 1、.0, 0, 2, 0, 2)(連續(xù)性連續(xù)性處的處的在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),

14、0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處處不不連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)故故函函數(shù)數(shù) xxf2 2、.0, 0, 0,cos)(,處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)取何值時(shí)取何值時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxaxxxfa解解,)0(af xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ),0()00()00(fff 要使要使, 1 a,1時(shí)時(shí)故當(dāng)且僅當(dāng)故當(dāng)且僅當(dāng) a.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf四、小結(jié)連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性.定義區(qū)間與定義域的區(qū)別定義區(qū)間與定義域

15、的區(qū)別;求極限的又一種方法求極限的又一種方法.兩個(gè)定理兩個(gè)定理; 兩點(diǎn)意義兩點(diǎn)意義.反函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)的連續(xù)性.思考題思考題 設(shè)設(shè)xxfsgn)( ，21)(xxg ，試研，試研究復(fù)合函數(shù)究復(fù)合函數(shù))(xgf與與)(xfg的連續(xù)性的連續(xù)性.思考題解答思考題解答21)(xxg )1sgn()(2xxgf 1 2sgn1)(xxfg 0, 10, 2xx在在),( 上上處處處處連連續(xù)續(xù) )(xgf在在)0 ,( ), 0( 上上處處處處連連續(xù)續(xù) )(xfg0 x是它的可去間斷點(diǎn)是它的可去間斷點(diǎn) 0, 10, 00, 1)(xxxxf一、一、 填空題：填空題：1 1、 43lim20 xxx_.

16、.2 2、 xxx11lim0_. .3 3、 )2cos2ln(lim6xx _._.4 4、 xxx24tancos22lim _. .5 5、 tett1lim2_. . 6 6、設(shè)設(shè),0,0,)( xxaxexfx 當(dāng)當(dāng) a_ _ _ _ _ _時(shí)時(shí)，)(xf在在 ),( 上上連連續(xù)續(xù) . .練練 習(xí)習(xí) 題題7 7、 函數(shù)函數(shù)61)(24 xxxxxf的連續(xù)區(qū)間為的連續(xù)區(qū)間為 _. _.8 8、 設(shè)設(shè) 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)1,11,2cos)(xxxxxf確定確定 )(lim21xfx_; ; )(lim1xfx_._.二、二、 計(jì)算下列各極限：計(jì)算下列各極限：1 1、axaxax sin

17、sinlim； 2 2、xxxcot20)tan31(lim ；3 3、1)1232(lim xxxx；三、三、 設(shè)設(shè) 0),ln(0,10,)(22xxxbxxxaxf已知已知)(xf在在 0 x處連續(xù)，試確處連續(xù)，試確 定定a和和b的值的值. .四、四、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在在0 x處連續(xù)，且處連續(xù)，且0)0( f, ,已知已知)()(xfxg ，試證函數(shù)，試證函數(shù))(xg在在0 x處也連續(xù)處也連續(xù). .一、一、1 1、2 2； 2 2、21； 3 3、0 0； 4 4、0 0；5 5、)11(212 e； 6 6、1 1；7 7、), 2(),2 , 3(),3,( ；8 8、22,0

18、,0,不存在不存在. .二、二、1 1、acos； 2 2、1 1； 3 3；21e. .三、三、eba , 1. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案第一類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn).)(1 . 1 0處無定義在：情形xxfxOy0 xx)(xfy x0 xx自由地趨于A注意到：這種間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn).)(,)( )()(lim 0000處連續(xù)在那么這個(gè)新的處的值為在新定義存在，因此如果我們重在這種情形下，xxfAxfxxfAxfxxxOy0 xx)(xfy x注意到：這種間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn).)(,)( )()(lim 0000處連續(xù)在那么這個(gè)新的處的值為在新定義存在，因此如果我們重在這種情形下，xxfAxf

19、xxfAxfxx.)(lim)(lim.)(1.1 000存在但處有或無定義在：情形xfxfxxfxxxxAxfxfxfxxxx)(lim)(lim)(000補(bǔ)充定義：A.)( .)(2 . 1 00的值太高了但處有定義在：情形xfxxfxOy)(xfy 注意到：這種間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn).)(,)( )( ).()(lim 00000處連續(xù)在那么這個(gè)新的處的值為在我們修改定義因此如果存在，但是在這種情形下，xxfAxfxxfxfAAxfxxAxf)(0修改定義：A0 xxx.)( .)(2 . 1 00的值太低了但處有定義在：情形xfxxfxOy)(xfy 0 xxx注意到：這種間斷點(diǎn)稱為可去

20、間斷點(diǎn).)(,)( )( ).()(lim 00000處連續(xù)在那么這個(gè)新的處的值為在我們修改定義因此如果存在，但是在這種情形下，xxfAxfxxfxfAAxfxxAxf)(0修改定義：AxOy)(xfy .),(lim)(lim.)(2 000都存在但處有定義在：情形xfxfxxfxxxx0 xxx注意到：這種間斷點(diǎn)稱為跳躍間斷點(diǎn).)( ,)()(lim 000限存在，有較好的性質(zhì)的單側(cè)極的左右兩邊，但分別考慮處連續(xù)在不存在，因此無法使得在這種情形下，xfxxxfxfxx 這點(diǎn)放哪兒能接上呢？xOy0 xx)(xfy x.)( .)(lim)(lim.)(3 0000的漸進(jìn)線稱為此時(shí)，直線或或

21、一個(gè)為至少有和或無定義處有在：情形xfyxxxfxfxxfxxxx哎，小紅點(diǎn)，你跑哪去了？快救救我，我要跑到未知世界去了！這種間斷點(diǎn)稱為無窮間斷點(diǎn)0 xx xx. )(4 0無限震蕩（無）定義，處有在：情形xxf：Hi, 小紅點(diǎn)，你能不能停??？我怎么也停不住，那可怎么連上?。浚篐i, 小藍(lán)點(diǎn)，你停不住，我也停不住啊。還想連上，你可真逗！xy1sinxy11這種間斷點(diǎn)稱為震蕩間斷點(diǎn)。有界定理 ; 最值定理 ; 零點(diǎn)定理 ; 介值定理 .3. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)例3. 設(shè)函數(shù))(xf,2)cos1 (xxa0 x,10 x, )(ln2xb0 x在 x = 0 連續(xù) ,

22、則 a = , b = .提示:20)cos1 (lim)0(xxafx2a21cos2sin2xx)(lnlim)0(20 xbfxblnbaln122e1當(dāng)0 x時(shí)，xxsin2較x2sin2等價(jià)無窮小量 (B) 同階無窮小量 (C) 低階無窮小量 (D) 高階無窮小量是 （ ）課堂測(cè)驗(yàn)課堂測(cè)驗(yàn)2下列各式中正確的是 （ ） 1)11 (lim0 xxxB exxx)11 (lim0 C exxx)11 (lim D exxx)11 (limA3無窮小量是（ ）A 比零稍大一點(diǎn)的一個(gè)數(shù) B 一個(gè)很小很小的數(shù)C 以零為極限的一個(gè)變量 D 數(shù)零4. 已知已知2)1 (lim10 xxax，則，則a=_。20sin2(1) lim3xxx5. 計(jì)算計(jì)算22121(2) lim1xxxx一一、 填填空空題題：1 1、 指指出出23122 xxxy 在在1 x是是第第_ _ _ _ _ _ _ _類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)；在在2 x是是第第_ _ _ _ _ _類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) . .2 2、 指指出出)1(22 xxxxy在在0 x是是第第_ _ _ _ _ _ _ _ _類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)；在在1 x是是第第_ _ _ _ _ _ _類類間間斷斷