專(zhuān)題---立體幾何中的計(jì)算

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上立體幾何中的計(jì)算1、【2019年江蘇數(shù)】.如圖，長(zhǎng)方體的體積是120，E為的中點(diǎn)，則三棱錐E-BCD的體積是_.2、【2018年高考江蘇數(shù)】.如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為_(kāi)3、【2019年高考全國(guó)卷文數(shù)】已知ACB=90°，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC=2，點(diǎn)P到ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么P到平面ABC的距離為_(kāi)4、【2019年高考全國(guó)卷文數(shù)】中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上

2、的正多邊形圍成的多面體半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1則該半正多面體共有_個(gè)面，其棱長(zhǎng)為_(kāi)（本題第一空2分，第二空3分）5、【2019年高考全國(guó)卷文數(shù)】學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型如圖，該模型為長(zhǎng)方體挖去四棱錐OEFGH后所得的幾何體，其中O為長(zhǎng)方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，3D打印所用原料密度為0.9 g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為_(kāi)g.6、【2019年高考北京卷文數(shù)】已知l，m是平面外的兩條不同直線給出下列三個(gè)論斷：lm；m；l以其中的兩個(gè)論斷作為

3、條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)正確的命題：_7、【2019年高考天津卷文數(shù)】已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為_(kāi).8、【2018年高考全國(guó)II卷文數(shù)】已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線，互相垂直，與圓錐底面所成角為，若的面積為，則該圓錐的體積為_(kāi)一、柱、錐、臺(tái)和球的側(cè)面積和體積面積體積圓柱S側(cè)2rhVShr2h圓錐S側(cè)rlVShr2hr2圓臺(tái)S側(cè)(r1r2)lV(S上S下)h(rrr1r2)h直棱柱S側(cè)ChVSh正棱錐S側(cè)ChVSh正棱臺(tái)S側(cè)(CC)hV(S上S下)h球S球面4R2VR3

4、注意：(1)在求多面體的側(cè)面積時(shí)，應(yīng)對(duì)每一側(cè)面分別求解后再相加，對(duì)于組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和.二、在求解一些不規(guī)則的幾何體的體積以及兩個(gè)幾何體的體積之比時(shí)，常常需要用到分割法.在求一個(gè)幾何體被分成兩部分的體積之比時(shí)，若有一部分為不規(guī)則幾何體，則可用整個(gè)幾何體的體積減去規(guī)則幾何體的體積求出其體積.(1)解決空間幾何體表面上的最值問(wèn)題的根本思路是“展開(kāi)”，即將空間幾何體的“面”展開(kāi)后鋪在一個(gè)平面上，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面上的最值問(wèn)題.(2)如果已知的空間幾何體是多面體，則根據(jù)問(wèn)題

5、的具體情況可以將這個(gè)多面體沿多面體中某條棱或者兩個(gè)面的交線展開(kāi)，把不在一個(gè)平面上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到一個(gè)平面上.如果是圓柱、圓錐則可沿母線展開(kāi)，把曲面上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面上的問(wèn)題.三、方法與技巧(1)棱柱、棱錐要掌握各部分的結(jié)構(gòu)特征，計(jì)算問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中進(jìn)行解決.旋轉(zhuǎn)體要抓住“旋轉(zhuǎn)”特點(diǎn)，弄清底面、側(cè)面及展開(kāi)圖形狀.(2)要注意將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.(3)求幾何體的體積，要注意分割與補(bǔ)形.將不規(guī)則的幾何體通過(guò)分割或補(bǔ)形將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解.(4)一些幾何體表面上的最短距離問(wèn)題，常常利用幾何體的展開(kāi)圖解決.四、失誤與防范（1）幾何體展開(kāi)、折疊問(wèn)題，要抓住前后兩個(gè)圖形間的聯(lián)系，找出其中的

6、量的關(guān)系.（2）與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.題型一 多面體的表面積與體積求多面體的表面積與體積常用方法：1、公式法：可以運(yùn)用規(guī)則的幾何體；2、割補(bǔ)法：把不規(guī)則的圖形分割成規(guī)則的圖形，或者把幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體。3、等積法：通過(guò)轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)，換成底面積或者高易求的幾何體。例1、(2017徐州、連云港、宿遷三檢）如圖，在正三棱柱中，已知，點(diǎn)在棱上，則三棱

7、錐的體積為 ABCPA1B1C1例2、(2019南京、鹽城一模）如圖，PA平面ABC，ACBC，PA4，AC，BC1，E，F(xiàn)分別為AB，PC的中點(diǎn)，則三棱錐BEFC的體積為_(kāi)例3、(2018南通、泰州一調(diào)）如圖，銅質(zhì)六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的已知正六棱柱的底面邊長(zhǎng)、高都為4 cm，圓柱的底面積為9 cm2.若將該螺帽熔化后鑄成一個(gè)高為6 cm的正三棱柱零件，則該正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為_(kāi)cm(不計(jì)損耗)題型二 旋轉(zhuǎn)體的表面積與體積旋轉(zhuǎn)體主要就是圓柱、圓錐、球等幾何體，根據(jù)不同的幾何體運(yùn)用不同的求法。例4、(2019蘇州期末）如圖，某種螺帽是由一個(gè)半徑為2的半球體挖去一個(gè)正三棱

8、錐構(gòu)成的幾何體，該正三棱錐的底面三角形內(nèi)接于半球底面大圓，頂點(diǎn)在半球面上，則被挖去的正三棱錐體積為_(kāi)例5、(2019常州期末）已知圓錐SO，過(guò)SO的中點(diǎn)P作平行于圓錐底面的截面，以截面為上底面作圓柱PO，圓柱的下底面落在圓錐的底面上(如圖)，則圓柱PO的體積與圓錐SO的體積的比值為_(kāi)例6、(2019蘇北四市、蘇中三市三調(diào)） 已知直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，AB=3 cm，BC=1 cm，CD=2 cm將此直角梯形繞AB邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，由此形成的幾何體的體積為 cm3 例7、(2018鹽城三模）若一圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面積是底面積的3倍，則該圓錐的體積為 題型三 幾何體展開(kāi)

9、與折疊問(wèn)題幾何體的折疊問(wèn)題和展開(kāi)問(wèn)題要緊緊抓住折疊或展開(kāi)的前后過(guò)程中不變的量來(lái)處理。解決這類(lèi)組合體的問(wèn)題基本方法就是講組合體分解若部分，分別計(jì)算。例8、(2018南京、鹽城、連云港二模）在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)剪去四個(gè)全等的等腰三角形(如圖1中陰影部分)，折疊成底面邊長(zhǎng)為的正四棱錐SEFGH(如圖2)，則正四棱錐SEFGH的體積為_(kāi)（圖1）（圖2）例9、(2017南京三模）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，BC2，BB13，ABC90°，點(diǎn)D為側(cè)棱BB1上的動(dòng)點(diǎn)當(dāng)ADDC1最小時(shí)，三棱錐DABC1的體積為 ACBA1B1C1D1、(2019揚(yáng)州期末）底面半徑為1，母線

10、長(zhǎng)為3的圓錐的體積是_2、(2019鎮(zhèn)江期末） 已知一個(gè)圓錐的底面積為，側(cè)面積為2，則該圓錐的體積為_(kāi)3、(2019宿遷期末） 設(shè)圓錐的軸截面是一個(gè)邊長(zhǎng)為2 cm的正三角形，則該圓錐的體積為_(kāi) cm3.4、(2019南通、泰州、揚(yáng)州一調(diào)） 已知正四棱柱的底面長(zhǎng)是3 cm，側(cè)面的對(duì)角線長(zhǎng)是3 cm，則這個(gè)正四棱柱的體積為_(kāi)cm3.5、(2019泰州期末） 如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，點(diǎn)M為棱AA1的中點(diǎn)，記三棱錐A1MBC的體積V1，四棱錐A1BB1C1C的體積為V2，則的值是_6、(2019通州、海門(mén)、啟東期末）已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)D在棱AA1上，則三椎錐

11、DBB1C1的體積為_(kāi)7、(2018無(wú)錫期末） 直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABBC，AB3，BC4，AA15，若三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為_(kāi)8、（2016蘇州期末）將半徑為5的圓分割成面積之比為123的三個(gè)扇形作為三個(gè)圓錐的側(cè)面，設(shè)這三個(gè)圓錐的底面半徑依次為r1，r2，r3，則r1r2r3_.9、(2018蘇中三市、蘇北四市三調(diào)）現(xiàn)有一正四棱柱形鐵塊，底面邊長(zhǎng)為高的倍，將其熔化鍛造成一個(gè)底面積不變的正四棱錐形鐵件（不計(jì)材料損耗）設(shè)正四棱柱與正四棱錐的側(cè)面積分別為,則的值為 10、(2018常州期末）已知圓錐的高為6，體積為8.用平行于圓錐底面的平面截圓錐，得到的圓

12、臺(tái)體積是7，則該圓臺(tái)的高為_(kāi)11、（2016南通、揚(yáng)州、淮安、宿遷、泰州二調(diào)）在體積為的四面體ABCD中，AB平面BCD，AB1，BC2，BD3，則CD長(zhǎng)度的所有可能值為_(kāi)12、(2016蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研） 設(shè)棱長(zhǎng)為a的正方體的體積和表面積分別為V1，S1，底面半徑和高均為r的圓錐的體積和側(cè)面積分別為V2，S2，若，則的值為_(kāi)13、(2018蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）在棱長(zhǎng)為2的正四面體中，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且，則三棱錐的體積為 14、(2019蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研（一） 已知圓柱的軸截面的對(duì)角線長(zhǎng)為2，則這個(gè)圓柱的側(cè)面積的最大值為_(kāi)15、（2016無(wú)錫期末） 如圖，在圓錐VO中，O為底面圓心，半徑OA

13、OB，且OAVO1，則O到平面VAB的距離為_(kāi)16、(2018蘇州期末） 魯班鎖是中國(guó)傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國(guó)古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對(duì)稱(chēng)，六根等長(zhǎng)的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90°榫卯起來(lái)若正四棱柱的高為5，底面正方形的邊長(zhǎng)為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積至少為_(kāi)(容器壁的厚度忽略不計(jì)，結(jié)果保留) 答 案1、【2019年江蘇數(shù)】.如圖，長(zhǎng)方體的體積是120，E為的中點(diǎn)，則三棱錐E-BCD的體積是_.【答案】10.【解析】因?yàn)殚L(zhǎng)方體的體積為120，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)知底面，所以是三棱

14、錐的底面上的高，所以三棱錐的體積.2、【2018年高考江蘇數(shù)】.如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為_(kāi)【答案】【解析】 由圖可知，該多面體為兩個(gè)全等正四棱錐的組合體，正四棱錐的高為1，底面正方形的邊長(zhǎng)等于，所以該多面體的體積為3、【2019年高考全國(guó)卷文數(shù)】已知ACB=90°，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC=2，點(diǎn)P到ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么P到平面ABC的距離為_(kāi)【答案】【解析】作分別垂直于，平面，連接，由題意可知，平面，又平面，又易知，為的平分線，又，本題主要考查學(xué)生空間想象能力，合理畫(huà)圖成為關(guān)鍵，準(zhǔn)確找到在底面上的射影，使用線面垂直定理，得

15、到垂直關(guān)系，利用勾股定理解決注意畫(huà)圖視角選擇不當(dāng)，線面垂直定理使用不夠靈活，難以發(fā)現(xiàn)垂直關(guān)系，問(wèn)題則很難解決，將幾何體擺放成正常視角，是立體幾何問(wèn)題解決的有效手段，幾何關(guān)系利于觀察，解題事半功倍4、【2019年高考全國(guó)卷文數(shù)】中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1則該半正多面體共有_個(gè)面，其棱長(zhǎng)為_(kāi)（本題第一空2分，第二空

16、3分）【答案】26，【解析】由圖可知第一層（包括上底面）與第三層（包括下底面）各有9個(gè)面，計(jì)18個(gè)面，第二層共有8個(gè)面，所以該半正多面體共有個(gè)面如圖，設(shè)該半正多面體的棱長(zhǎng)為，則，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交正方體的棱于，由半正多面體對(duì)稱(chēng)性可知，為等腰直角三角形，即該半正多面體的棱長(zhǎng)為本題立意新穎，空間想象能力要求高，物體位置還原是關(guān)鍵，遇到新題別慌亂，題目其實(shí)很簡(jiǎn)單，穩(wěn)中求勝是關(guān)鍵立體幾何平面化，無(wú)論多難都不怕，強(qiáng)大空間想象能力，快速還原圖形5、【2019年高考全國(guó)卷文數(shù)】學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型如圖，該模型為長(zhǎng)方體挖去四棱錐OEFGH后所得的幾何體，其中O為長(zhǎng)方體的中心，

17、E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，3D打印所用原料密度為0.9 g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為_(kāi)g.【答案】118.8【解析】由題意得，四棱錐OEFGH的高為3cm， 又長(zhǎng)方體的體積為，所以該模型體積為，其質(zhì)量為本題考查幾何體的體積問(wèn)題，理解題中信息聯(lián)系幾何體的體積和質(zhì)量關(guān)系，從而利用公式求解根據(jù)題意可知模型的體積為長(zhǎng)方體體積與四棱錐體積之差進(jìn)而求得模型的體積，再求出模型的質(zhì)量即可.6、【2019年高考北京卷文數(shù)】已知l，m是平面外的兩條不同直線給出下列三個(gè)論斷：lm；m；l以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)正確的命題：_【答案】如果l，m，則l

18、m.【解析】將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論，得到如下三個(gè)命題：（1）如果l，m，則lm，正確；（2）如果l，lm，則m，不正確，有可能m在平面內(nèi)；（3）如果lm，m，則l，不正確，有可能l與斜交、l.故答案為：如果l，m，則lm.本題主要考查空間線面的位置關(guān)系、命題、邏輯推理能力及空間想象能力.將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論加以分析即可.7、【2019年高考天津卷文數(shù)】已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為_(kāi).【答案】【解析】由題意，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為，借助勾股定理

19、，可知四棱錐的高為.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，故圓柱的高為，圓柱的底面半徑為，故圓柱的體積為.本題主要考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及圓柱的體積計(jì)算問(wèn)題，解答時(shí)，根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，確定所求的圓柱的高和底面半徑.注意本題中圓柱的底面半徑是棱錐底面對(duì)角線長(zhǎng)度的一半、不是底邊棱長(zhǎng)的一半.8、【2018年高考全國(guó)II卷文數(shù)】已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線，互相垂直，與圓錐底面所成角為，若的面積為，則該圓錐的體積為_(kāi)【答案】8【解析】如下圖所示，又，解得，所以，所以該圓錐的體積為.此題為填空題的壓軸題，實(shí)際上并不難，關(guān)鍵在于根據(jù)題意作出相應(yīng)圖形，利用平面幾何

20、知識(shí)求解相應(yīng)線段長(zhǎng)，代入圓錐體積公式即可.一、柱、錐、臺(tái)和球的側(cè)面積和體積面積體積圓柱S側(cè)2rhVShr2h圓錐S側(cè)rlVShr2hr2圓臺(tái)S側(cè)(r1r2)lV(S上S下)h(rrr1r2)h直棱柱S側(cè)ChVSh正棱錐S側(cè)ChVSh正棱臺(tái)S側(cè)(CC)hV(S上S下)h球S球面4R2VR3注意：(1)在求多面體的側(cè)面積時(shí)，應(yīng)對(duì)每一側(cè)面分別求解后再相加，對(duì)于組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和.二、在求解一些不規(guī)則的幾何體的體積以及兩個(gè)幾何體的體積之比時(shí)，常常需要用到分割法.在求一個(gè)幾

21、何體被分成兩部分的體積之比時(shí)，若有一部分為不規(guī)則幾何體，則可用整個(gè)幾何體的體積減去規(guī)則幾何體的體積求出其體積.(1)解決空間幾何體表面上的最值問(wèn)題的根本思路是“展開(kāi)”，即將空間幾何體的“面”展開(kāi)后鋪在一個(gè)平面上，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面上的最值問(wèn)題.(2)如果已知的空間幾何體是多面體，則根據(jù)問(wèn)題的具體情況可以將這個(gè)多面體沿多面體中某條棱或者兩個(gè)面的交線展開(kāi)，把不在一個(gè)平面上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到一個(gè)平面上.如果是圓柱、圓錐則可沿母線展開(kāi)，把曲面上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面上的問(wèn)題.三、方法與技巧(1)棱柱、棱錐要掌握各部分的結(jié)構(gòu)特征，計(jì)算問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中進(jìn)行解決.旋轉(zhuǎn)體要抓住“旋轉(zhuǎn)”特點(diǎn)，弄清底面、側(cè)面及展開(kāi)圖

22、形狀.(2)要注意將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.(3)求幾何體的體積，要注意分割與補(bǔ)形.將不規(guī)則的幾何體通過(guò)分割或補(bǔ)形將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解.(4)一些幾何體表面上的最短距離問(wèn)題，常常利用幾何體的展開(kāi)圖解決.四、失誤與防范（1）幾何體展開(kāi)、折疊問(wèn)題，要抓住前后兩個(gè)圖形間的聯(lián)系，找出其中的量的關(guān)系.（2）與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.題型一 多面體的表

23、面積與體積求多面體的表面積與體積常用方法：1、公式法：可以運(yùn)用規(guī)則的幾何體；2、割補(bǔ)法：把不規(guī)則的圖形分割成規(guī)則的圖形，或者把幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體。3、等積法：通過(guò)轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)，換成底面積或者高易求的幾何體。例1、(2017徐州、連云港、宿遷三檢）如圖，在正三棱柱中，已知，點(diǎn)在棱上，則三棱錐的體積為 ABCPA1B1C1)【答案】 【解析】因?yàn)檎庵?，因?yàn)椋?，因?yàn)辄c(diǎn)在棱上，所以點(diǎn)到平面的距離就是點(diǎn)到平面的距離作，垂直為點(diǎn)，因?yàn)檎庵?，面，面，所以，而，所以因?yàn)檎庵?，所以，的面積，所以三棱錐的體積點(diǎn)評(píng)：對(duì)于立體幾何中求表面積和求體積的問(wèn)題，一定要遵循“一作二證三計(jì)算”的原則，推理

24、證明不能忽視例2、(2019南京、鹽城一模）如圖，PA平面ABC，ACBC，PA4，AC，BC1，E，F(xiàn)分別為AB，PC的中點(diǎn)，則三棱錐BEFC的體積為_(kāi)【答案】 【解析】VBEFCVFBECVPBEC·(·SBEC·PA)×××4. 求空間幾何體的體積的本質(zhì)就是找?guī)缀误w的高(即找線面垂直)，常見(jiàn)的空間幾何體體積的求法有：作高法、轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)法、割補(bǔ)法. 例3、(2018南通、泰州一調(diào)）如圖，銅質(zhì)六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的已知正六棱柱的底面邊長(zhǎng)、高都為4 cm，圓柱的底面積為9 cm2.若將該螺帽熔化后鑄成一個(gè)高為6

25、 cm的正三棱柱零件，則該正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為_(kāi)cm(不計(jì)損耗) 【答案】 2【解析】由題意知，熔化前后的體積相等，熔化前的體積為6××42×49×460，設(shè)所求正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為x cm，則有x2·660，解得x2，所以所求邊長(zhǎng)為2cm.題型二 旋轉(zhuǎn)體的表面積與體積旋轉(zhuǎn)體主要就是圓柱、圓錐、球等幾何體，根據(jù)不同的幾何體運(yùn)用不同的求法。例4、(2019蘇州期末）如圖，某種螺帽是由一個(gè)半徑為2的半球體挖去一個(gè)正三棱錐構(gòu)成的幾何體，該正三棱錐的底面三角形內(nèi)接于半球底面大圓，頂點(diǎn)在半球面上，則被挖去的正三棱錐體積為_(kāi)【答案】. 2【解析】正三棱錐的

26、底面正三角形的邊長(zhǎng)為a2，面積Sa23，高h(yuǎn)2.所以正三椎錐的體積VSh2.例5、(2019常州期末）已知圓錐SO，過(guò)SO的中點(diǎn)P作平行于圓錐底面的截面，以截面為上底面作圓柱PO，圓柱的下底面落在圓錐的底面上(如圖)，則圓柱PO的體積與圓錐SO的體積的比值為_(kāi)【答案】. 【解析】設(shè)圓錐底面半徑為2r，高為2h，則圓柱底面圓半徑為r，高為h，所以.例6、(2019蘇北四市、蘇中三市三調(diào)） 已知直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，AB=3 cm，BC=1 cm，CD=2 cm將此直角梯形繞AB邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，由此形成的幾何體的體積為 cm3【答案】【解析】 所求幾何體的體積為例7、(20

27、18鹽城三模）若一圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面積是底面積的3倍，則該圓錐的體積為 【答案】：【解析】：設(shè)圓錐的高為，母線為，由得，即，故該圓錐的體積為.題型三 幾何體展開(kāi)與折疊問(wèn)題幾何體的折疊問(wèn)題和展開(kāi)問(wèn)題要緊緊抓住折疊或展開(kāi)的前后過(guò)程中不變的量來(lái)處理。解決這類(lèi)組合體的問(wèn)題基本方法就是講組合體分解若部分，分別計(jì)算。例8、(2018南京、鹽城、連云港二模）在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)剪去四個(gè)全等的等腰三角形(如圖1中陰影部分)，折疊成底面邊長(zhǎng)為的正四棱錐SEFGH(如圖2)，則正四棱錐SEFGH的體積為_(kāi)（圖1）（圖2）【答案】 【解析】連結(jié)EG，HF，交點(diǎn)為O，正方形EFGH的對(duì)角線EG2，EO

28、1，則點(diǎn)E到線段AB的距離為1，EB.SO2，故正四棱錐SEFGH的體積為×()2×2.例9、(2017南京三模）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，BC2，BB13，ABC90°，點(diǎn)D為側(cè)棱BB1上的動(dòng)點(diǎn)當(dāng)ADDC1最小時(shí)，三棱錐DABC1的體積為 ACBA1B1C1D【答案】 【解析】將側(cè)面展開(kāi)如下圖，所以由平面幾何性質(zhì)可得：，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線取到.此時(shí)，所以.在直三棱柱ABCA1B1C1中有，又，易得平面，所以平面，即是三棱錐的高，所以【解后反思】對(duì)于求空間幾何體中在兩個(gè)側(cè)面上兩個(gè)有公共點(diǎn)距離之和最小值的問(wèn)題，一般都可以轉(zhuǎn)化為同一個(gè)平面上問(wèn)題.本題

29、也是數(shù)學(xué)中最有名的“將軍飲馬”的問(wèn)題，有興趣的同科可以用網(wǎng)絡(luò)搜索查閱這個(gè)問(wèn)題.1、(2019揚(yáng)州期末）底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3的圓錐的體積是_【答案】 【解析】圓錐的高為h2，圓錐的體積V××12×2.2、(2019鎮(zhèn)江期末） 已知一個(gè)圓錐的底面積為，側(cè)面積為2，則該圓錐的體積為_(kāi)【答案】 【解析】設(shè)圓錐的底面半徑、高、母線長(zhǎng)分別為r，h，l，則解得所以h.圓錐的體積VSh.3、(2019宿遷期末） 設(shè)圓錐的軸截面是一個(gè)邊長(zhǎng)為2 cm的正三角形，則該圓錐的體積為_(kāi) cm3.【答案】 【解析】圓錐的底面半徑R1，高h(yuǎn)，故圓錐的體積為V××12&#

30、215;.4、(2019南通、泰州、揚(yáng)州一調(diào)） 已知正四棱柱的底面長(zhǎng)是3 cm，側(cè)面的對(duì)角線長(zhǎng)是3 cm，則這個(gè)正四棱柱的體積為_(kāi)cm3.【答案】. 54【解析】由題意知，正四棱柱的高為6，所以它的體積V32×654，故答案為54.5、(2019泰州期末） 如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，點(diǎn)M為棱AA1的中點(diǎn)，記三棱錐A1MBC的體積V1，四棱錐A1BB1C1C的體積為V2，則的值是_【答案】 【解析】解法1(割補(bǔ)法) 設(shè)ABC的面積為S，三棱柱的高為h，則V1VA1ABCVMABCShS×hSh，V2VABCA1B1C1VA1ABCShShSh，所以·.解

31、法2(等積轉(zhuǎn)換)V1VBA1MCVBA1ACVA1ABC，V22VA1BC1B12VBA1B1C12VA1ABC，所以.6、(2019通州、海門(mén)、啟東期末）已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)D在棱AA1上，則三椎錐DBB1C1的體積為_(kāi)【答案】【解析】因?yàn)锳A1平面BCC1B1，所以點(diǎn)D到平面BCC1B1的距離即為A1點(diǎn)到平面BCC1B1的距離，也即為正三角形A1B1C1的高，等于，故VDBB1CSBB1C·h××2×2×.7、(2018無(wú)錫期末） 直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABBC，AB3，BC4，AA15，若三棱柱的所

32、有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為_(kāi)【答案】 50【解析】根據(jù)條件可知該直三棱柱的外接球即三棱錐B1ABC的外接球，也就是以BA，BC，BB1為棱的長(zhǎng)方體的外接球，設(shè)其半徑為R，則2R，得R，故該球的表面積為S4R250.8、（2016蘇州期末）將半徑為5的圓分割成面積之比為123的三個(gè)扇形作為三個(gè)圓錐的側(cè)面，設(shè)這三個(gè)圓錐的底面半徑依次為r1，r2，r3，則r1r2r3_.【答案】 5【解析】思路分析 先利用“三個(gè)圓錐的側(cè)面積的和等于原來(lái)圓的面積”列出等式(方程)由r1lr2lr3ll2，得r1r2r3l，本題中，l5.解后反思 先列式，再化簡(jiǎn)，最后才代入數(shù)據(jù)實(shí)際結(jié)果與123無(wú)關(guān)9、(20

33、18蘇中三市、蘇北四市三調(diào)）現(xiàn)有一正四棱柱形鐵塊，底面邊長(zhǎng)為高的倍，將其熔化鍛造成一個(gè)底面積不變的正四棱錐形鐵件（不計(jì)材料損耗）設(shè)正四棱柱與正四棱錐的側(cè)面積分別為,則的值為 【答案】【解析】設(shè)正四棱柱得高為，所以底面邊長(zhǎng)為，根據(jù)體積相等，且高相等，所以正四棱錐的高為，則正棱錐側(cè)面的高為,所以.10、(2018常州期末）已知圓錐的高為6，體積為8.用平行于圓錐底面的平面截圓錐，得到的圓臺(tái)體積是7，則該圓臺(tái)的高為_(kāi)【答案】 3【解析】設(shè)截得的小圓錐的高為h1，底面半徑為r1，體積為V1rh1；大圓錐的高為h6，底面半徑為r，體積為Vr2h8.依題意有，V11，得h1h3，所以圓臺(tái)的高為hh13.1

34、1、（2016南通、揚(yáng)州、淮安、宿遷、泰州二調(diào)）在體積為的四面體ABCD中，AB平面BCD，AB1，BC2，BD3，則CD長(zhǎng)度的所有可能值為_(kāi)【答案】 ，【解析】因?yàn)锳B平面BCD，AB1，BC2，BD3，所以VABCD××2×3sinCBD×1，解得sinCBD，故cosCBD±，從而在BCD中由余弦定理得CD2492×2×3×，即CD27或CD219，故CD或.12、(2016蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研） 設(shè)棱長(zhǎng)為a的正方體的體積和表面積分別為V1，S1，底面半徑和高均為r的圓錐的體積和側(cè)面積分別為V2，S2，若，則的值為_(kāi)【答案】 【解析】不妨設(shè)V127，V29，故V1a327，即a3，所以S16a254.如圖所示，又V2h×r2r39，即r3，所以lr，即S2l×2rr29，所以.13、(2018蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)