三、二重積分的換元法

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 *三、二重積分的換元法三、二重積分的換元法 第二節(jié)一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分一、利用直角坐標(biāo)計算二重積分 二、利用極坐標(biāo)計算二重積分二、利用極坐標(biāo)計算二重積分 二重積分的計算法 第十章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2一、矩形區(qū)域上的二重積分的計算一、矩形區(qū)域上的二重積分的計算, dcbaD 設(shè)設(shè),:RDf, bax 如對如對, ) ,( 上可積上可積在在函數(shù)函數(shù)dcxf 則則可可得得如如下下函函數(shù)數(shù)：., ,),()(baxdyyxfxIdc , )( 上可積上可積也在也在如果函數(shù)如果函數(shù)baxI則得積分則得積分. ),()( badcbadxdyyxfdxx

2、I.此積分稱為累次積分此積分稱為累次積分.),( badcdyyxfdx記為記為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3:類似理解類似理解. ),(),( dcbadcbadydxyxfdxyxfdy:問題問題 Ddyxf ),(,),( badcdyyxfdx.),( dcbadxyxfdy?目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4, ),(上上可可積積在在矩矩形形區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)dcbaDyxf , bax 且對且對, ),( 都存在都存在積分積分 dcdyyxf則累次則累次積分積分 badcdyyxfdx),(,也存在也存在且且 Ddyxf ),(.),( badcdyyxfdx( )( , )dcA xf

3、 x y dy定理定理2.12.1目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 5,:10bxxxanx ,:10dyyycmy , 1,1nixxIiii 令令., 1,1mjyyJjjj 的分割的分割形成了形成了因此子矩形因此子矩形DjiJI yx DfdA 令令, 0, 0 由定義，由定義，., ,),()(baxdyyxfxIdc 的分割的分割對對,dcba證明證明時，有時，有滿足滿足當(dāng)分割當(dāng)分割 11( ,). (1)nmijijijAfxyA 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 6 則則現(xiàn)取現(xiàn)取,2,yx）中?。┲腥≡冢ㄔ冢?1 njjjiyJf1),(inf njjjiyJf1),(sup 上的上和與

4、下和上的上和與下和在在分別是分別是,),(dcfi AxInjiix 10)(lim Ddyxf ),(.),( badcdyyxfdx AxIAniii1)(1inf(,)(, )ndijjicjfJyfy dy njjjiyJf1),(sup 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 7, ),(上可積上可積在矩形區(qū)域在矩形區(qū)域設(shè)設(shè)dcbaDyxf , dcy 且對且對, ),( 都存在都存在積分積分 badxyxf則累次則累次且且 Ddyxf ),(積分積分,也存在也存在 dcbadxyxfdy),(.),( dcbadxyxfdy1.類似于定理類似于定理定理定理2.22.2證明證明目錄 上頁 下頁

5、 返回 結(jié)束 8, ),(上上連連續(xù)續(xù)在在矩矩形形區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)dcbaDyxf Ddyxf ),(.),( dcbadxyxfdy則有則有 badcdyyxfdx),(:分條件分條件累次積分交換順序的充累次積分交換順序的充, ),(上可積上可積在在 Dyxf, bax 對對, ),( 都存在都存在積分積分 dcdyyxf, dcy 對對. ),( 都存在都存在積分積分 badxyxf推論推論2.12.1目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 9設(shè)設(shè)yxyxf 1),(. 1 , 01 , 0 D其中其中,),( Ddyxf 計算計算( , )2.1f x y因為滿足推論 1010),(),( dyyxf

6、dxdyxfD x0 xy111xy所以所以的條件的條件 ,例例1 1解解 1010)1(),(dyyxdyyxf 1010)1(ydydyxxx 2121)1(而而所以所以. 0)21(),( 10 dxxdyxfD 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 10二、一般區(qū)域上的二重積分的計算二、一般區(qū)域上的二重積分的計算X型區(qū)域),()(| ),(21bxaxyyxyyxD baxy)(1xyy )(2xyy 特點特點：穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于 y軸的直線與區(qū)域軸的直線與區(qū)域 邊界相交不多于兩邊界相交不多于兩 個交點個交點.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11Y型區(qū)域),()(| ),(21dy

7、cyxxyxyxD 特點特點：穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于 軸的直線與區(qū)域軸的直線與區(qū)域 邊界相交不多于兩邊界相交不多于兩 個交點個交點.xxycd目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 123D2D1D一般區(qū)域一般區(qū)域X型區(qū)域或或分解成有限個無公共內(nèi)點的.Y型區(qū)域計算問題歸結(jié)到計算問題歸結(jié)到一般區(qū)域上的二重積分一般區(qū)域上的二重積分因此因此X型區(qū)域或或Y型區(qū)域.上的二重積分計算問題上的二重積分計算問題目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 13( , ) ,f x yXD設(shè)在 型區(qū)域上連續(xù))( 1xy其中其中,)( 2上連續(xù)上連續(xù)在在baxy則則 Ddyxf ),( baxyxydyyxfdx)()(21),

8、(:分析分析baxy)(1xyy )(2xyy cd .),( , 0 ,),(),(),(DyxDyxyxfyxF定理定理2.32.3目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 14, )( 1xy由于由于,)( 2上連續(xù)上連續(xù)在在baxy故總存在故總存在,Ddcba 矩形區(qū)域矩形區(qū)域,dcba 作定義在作定義在上的輔助函數(shù)上的輔助函數(shù) .),( , 0 ,),(),(),(DyxDyxyxfyxF,),(上可積上可積在在可以驗證可以驗證dcbayxF 而且而且 Ddyxf ),( ,),(dcbadyxF badcdyyxFdx),( baxyxydyyxFdx)()(21),(.),()()(21 b

9、axyxydyyxfdx證證目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 15( , ) ,f x yYD若在 型區(qū)域上連續(xù)則則 Ddyxf ),( dcyxyxdxyxfdy)()(21),(類似可證類似可證)( 1yx,)( 2上連續(xù)上連續(xù)在在dcyx: 意意注注積分限的問題積分限的問題 :務(wù)必保證務(wù)必保證同一定積分同一定積分 先定后積先定后積累次積分累次積分 上限上限下限下限 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 16解解兩兩曲曲線線的的交交點點),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx

10、例例2 2 求求 Ddxdyyx)(2，其中，其中D是由拋物線是由拋物線2xy 和和2yx 所圍平面閉區(qū)域所圍平面閉區(qū)域.7215250211175410 xxxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 172xy 2yx Ddxdyyx)(2.14033 yydxyxdy2)(210dyyyyy)3131(61032323 10742114115825 yyy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 18 dyey2無法用初等函數(shù)表示無法用初等函數(shù)表示解解 積積分分時時必必須須考考慮慮次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 22,y

11、Dx ed計算1, 0 yxD是由是由其中其中. 圍成的區(qū)域圍成的區(qū)域及及xy 例例3 3目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 192例例4. 交換下列積分順序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 積分域由兩部分組成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxO222280:22xxyD21DDD將:D視為Y - 型區(qū)域 , 則282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy1D221xy 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 20解解 dxexy不不能能用用初初等等函函數(shù)數(shù)表表示示先先改改變變積積分分次次序序. 121)(dxeex

12、x.2183ee 2xy xy 例例5 計算積分計算積分 yxydxedyI212141 yyxydxedy121. xxxydyedxI2211目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyO設(shè)函數(shù)),(yxfD 位于 x 軸上方的部分為D1 , ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf當(dāng)區(qū)域關(guān)于 y 軸對稱, 函數(shù)關(guān)于變量 x 有奇偶性時, 仍1D在 D 上d),(21Dyxf在閉區(qū)域上連續(xù), 域D 關(guān)于x 軸對稱,則則有類似結(jié)果.在第一象限部分, 則有1:,221 yxDD 為圓域例如Dyxyxdd)(22Dyxyxdd)(1dd)(422D

13、yxyx0D對稱性對稱性目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 計算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所圍成.Oyx124xyxy32D1D1x解解: 令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如圖所示)顯然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 222222 .xyRxzR 求求兩兩圓圓柱柱面面與與所所圍圍立立體體的的體體積積例例7 7解解: 利用對稱性, 考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為yxxRVDdd822220dxRy

14、xxRRd)(80223316R22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222RzxDxyzRRO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、利用極坐標(biāo)計算二重積分二、利用極坐標(biāo)計算二重積分 ,),(22項項中含有中含有當(dāng)當(dāng)yxyxf 的的邊邊界界或或者者D,22項項時時表表達(dá)達(dá)式式中中有有yx 變變換換將將積積分分化化為為,極極坐坐標(biāo)標(biāo)下下的的二二重重積積分分 ,sin,cos: ryrxT,20 ,0 r.的的累累次次積積分分去去求求解解和和關(guān)關(guān)于于 r通常利用極坐標(biāo)通常利用極坐標(biāo)然后化為然后化為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Oxkkkrrkkkkkkrrsin,c

15、os對應(yīng)有在極坐標(biāo)系下, 用同心圓 r =常數(shù)則除包含邊界點的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積kkkkkkrrrr)(21),2, 1(nkk在k),(kkrkkkkrrkkkr221內(nèi)取點kkkrr221)(及射線 =常數(shù), 分劃區(qū)域D 為kkrkrkrkO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 kkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10kknkkf),(lim10Dyxfd),(ddrr即Drrf)sin,cos(drrddrdO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .)sin,cos()()(21 rrrdrrrfd xDo)(1 rr )(2 rr 如何化為累次積分如何化為累次積分?. :可表示成可

16、表示成 )(ixoD)(2 rr )(1 rr . ,的邊界至多交于兩點的邊界至多交于兩點常數(shù)與常數(shù)與DDo :特點特點 Ddxdyyxf),(),()( 21 rrr 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xoD)( rr .)sin,cos()(0 rrdrrrfd. , )(0 rr )(ii的邊界上的邊界上在在原點原點 Do Ddxdyyxf),( :可表示成可表示成 :特點特點目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考思考: 下列各圖中域 D 分別與 x , y 軸相切于原點,試答答: ;0) 1 (問 的變化范圍是什么?(1)(2)22)2()(rDyxO)(rDyxO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

17、 .)sin,cos()(020 rrdrrrfd),(0 rr Dox)( rr .2 0 )(iii的內(nèi)點的內(nèi)點為為原點原點 Do Ddxdyyxf),( :可表示成可表示成 :特點特點此時若 f 1 則可求得D 的面積2201( )d2rDd目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .)sin,cos()()(2121 rrrrdrrfrdr .21rrr ),()(21rr )(iv.的的邊邊界界至至多多交交于于兩兩點點常常數(shù)數(shù)與與Dr Ddxdyyxf),( :可表示成可表示成 :特點特點Dox1r2r)(1r )(2r 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyO3261sin4 ryxyxDdd)(

18、22sin4sin22drrr)32(15yyx422yyx22203 yx例例8. 計算其中D 為由圓所圍成的,dd)(22yxyxD,222yyxyyx42203 xy及直線, 03yx解：解：平面閉區(qū)域.03 xysin2 r2436dD目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解根根據(jù)據(jù)對對稱稱性性有有 14DD 在在極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下)(2)(222222yxayx ,2cos2 ar ,222arayx 1D由由 arar 2cos2, 得得交交點點)6,( aA, 14Ddxdy 2cos2064aardrd).33(2 a目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例10. 計算,dde22Dyx

19、yx其中.:222ayxD解解: 在極坐標(biāo)系下,200:arD原式Drrarde02ar02e212)e1(2a2ex的原函數(shù)不是初等函數(shù) , 故本題無法用直角2erddrr20d由于故坐標(biāo)計算.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注注:利用上題可得一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上非常有用的反常積分公式2de02xx解解| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0 ,0| ),(RyRxyxS 顯顯然然有有 21DSD , 022 yxe 122Dyxdxdye22xySedxdy222.xyDedxdy1D2DSS1D2DRR2設(shè)設(shè)在在第第一一象象限限內(nèi)內(nèi) ,目錄 上頁 下頁

20、 返回 結(jié)束 又又 SyxdxdyeI22 RyRxdyedxe0022;)(202 Rxdxe Rrrdred0022);1(42Re 同理同理 2I 222Dyxdxdye);1(422Re 10由例當(dāng)當(dāng) R時時,41 I,42 I故故當(dāng)當(dāng) R時時,4 I即即 20)(2dxex4 ,所求廣義積分所求廣義積分 02dxex2 .);1(4)()1(4222220RRxRedxee 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例11. 求球體22224azyx被圓柱面xayx222)0( a所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積. 解解: 設(shè)由對稱性可知20,cos20:arDdd4422rrraVD20d

21、4cos2022d4arrrad)sin1 (3322033a)322(3323axya2DOcos2rxyza2O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 cosar xaO例例12. 交換積分順序ararccos)0(d),(dcos022arrfIa提示提示: 積分域如圖rrar0dararccosararccosId),(rf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 *三、二重積分換元法三、二重積分換元法 baxxfd)() )(txtttfd)()(定積分換元法),(),(:vuyyvuxxTDDvu),(滿足上在Dvuyvux),(, ),() 1 (一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式上在D)2(;0),(),

22、(),(vuyxvuJ(3) 變換DDT:則Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf),(),(定理定理:,),(上連續(xù)在閉域設(shè)Dyxf變換:是一一對應(yīng)的 ,vuvuJdd),(OvuDTyxDO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yxDOuOvD證證: 根據(jù)定理條件可知變換 T 可逆(見P90). 用平行于坐標(biāo)軸的 ,坐標(biāo)面上在vOu 直線分割區(qū)域 ,D任取其中一個小矩T形, 其頂點為),(, ),(21vhuMvuMuhu 1M4M3M2Mvkv通過變換T, 在 xOy 面上得到一個四邊形, 其對應(yīng)頂點為1M4M3M2M).,(, ),(43kvuMkvhuM111222(,), (,),Mx y

23、Mxy333444(,), (,).MxyMxy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 22.hk這里同理當(dāng)h, k 充分小時,曲邊四邊形 M1M2M3M4 近似于平行四 邊形, 故其面積近似為1214M MM M122121M Mxx iyyj ,x uh vx u viy uh vy u vj ,uux h iy h jo144141M Mxx iyyj ,x u vkx u viy u vky u vj ,vvx k iy k jo目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 vuvuJdd),(d因此面積元素的關(guān)系為從而得二重積分的換元公式: Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf),(),(vuvuJdd),

24、(1214M MM M00uuvvijkx hy hx ky kuvuvxxhkyy( , )J u vhk進而uuvvx hy hx ky k vuvuyxvuyvuxffkkkkkkk ),(),(),(),(),( 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 特別特別, 直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時, sin,cosryrx),(),(ryxJcossinrsincosrrDyxyxfdd),(Drrrrfdd)sin,cos( , )D( , )x yJu v若在區(qū)域內(nèi)個別點上或在一條曲線上為零,而在其他點上不為零,則換元公式仍成立.注記：目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例12. 計算其中D 是 x 軸

25、y 軸和直線2 yx所圍成的閉域. 解解: 令,xyvxyu則2,2uvyuvx),(),(vuyxJyxDxyxyddevuvuDdde2120d21vvvd)ee(211201ee2121212121vvvuudexyxye,ddyx)(DD D2 yxDxyOD2vvu vuuvO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 uvOybx 2yax 2DOyxxqy 2xpy 2,22yxvxyu例例13. 計算由,22xqyxpyybxyax22,)0,0(baqp所圍成的閉區(qū)域 D 的面積 S .解解: 令Dpqab則bvaqupD :D),(),(vuyxJ),(),(1yxvu31DyxSddb

26、aqpvudd31vuJDdd)(31abpq目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例14. 試計算橢球體1222222czbyax解解: yxzVDdd2yxcDbyaxdd122222由對稱性, 1:2222byaxD取令,sin,cosrbyrax則D 的原象為:01 , 02Dr),(),(ryxJcossinsincosrbbraa2DVcrrrcbad1d210220cba34rba21rddrrba的體積V.0.JDr由于 在內(nèi)僅當(dāng)時為零，故換元公式仍成立目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)(1) 二重積分化為二次積分的方法直角坐標(biāo)系情形直角坐標(biāo)系情形 : 若積分區(qū)域為)()

27、(,),(21xyyxybxayxD則)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若積分區(qū)域為)()(,),(21yxxyxdycyxD則)()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaDOxy)(1yxx Ddc)(2yxx O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(則)()(21d)sin,cos(drrrrf(2) 一般換元公式),(),(vuyyvuxxDyx),(,),(Dvu0),(),(vuyxJ且則DDvuvuyvuxfyxfdd ),(),(d),(J極坐標(biāo)系情形極坐標(biāo)系情形: 若積分區(qū)域為ddrr在變換下D)(1r)(2rOx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (3) 計算步驟及注意事項計算步驟及注意事項 畫出積分域 選擇坐標(biāo)系 確定積分序 寫出積分限 計算要簡便域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離積分域分塊要少累次積分好算為妙圖示法不等式( 先積一條線, 后掃積分域 )充分利用對稱性應(yīng)用換元公式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yx1xy 1O思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè), 1 ,0)(Cxf且,d)(10Axxf求.d)()(d110yy