信號抽樣與抽樣定理

1、.1.2信號信號抽樣抽樣也稱為也稱為取樣取樣或或采樣采樣，是利用抽樣脈沖序列，是利用抽樣脈沖序列 p (t) 從連續(xù)信號從連續(xù)信號 f (t) 中抽取一系列的離散樣值，通過抽樣過程得到的離散樣值信號中抽取一系列的離散樣值，通過抽樣過程得到的離散樣值信號稱為稱為抽樣信號抽樣信號，用，用 fs (t) 表示。表示。一、信號抽樣 .3抽樣的原理方框圖抽樣的原理方框圖:一、信號抽樣 連續(xù)信號經(jīng)抽樣后變成抽樣信號，往往還需要再經(jīng)量連續(xù)信號經(jīng)抽樣后變成抽樣信號，往往還需要再經(jīng)量化、編碼等步驟變成數(shù)字信號。這種數(shù)字信號經(jīng)傳輸、化、編碼等步驟變成數(shù)字信號。這種數(shù)字信號經(jīng)傳輸、處理等步驟后，再經(jīng)過上述過程的逆過

2、程就可恢復原處理等步驟后，再經(jīng)過上述過程的逆過程就可恢復原連續(xù)信號。連續(xù)信號。周期周期信號信號需要解決兩個問題：需要解決兩個問題：抽樣信號抽樣信號 fs (t)的頻譜的頻譜Fs()與原連續(xù)信號與原連續(xù)信號 f (t)的頻譜的頻譜F()的的關系關系；1.2. 在什么條件下可從抽樣信號在什么條件下可從抽樣信號 fs (t)中中無失真地恢復無失真地恢復原連續(xù)信號原連續(xù)信號 f (t) 。.4假設原連續(xù)信號假設原連續(xù)信號 f (t)的頻譜為的頻譜為 F()，即，即抽樣脈沖抽樣脈沖 p (t) 是一個周期信號，它的頻譜為是一個周期信號，它的頻譜為一、信號抽樣 ( )( )f tF( )( )2()sjn

3、tnnsnnp tPePPn ssT2sTssTf11( )( )( )( )( )2 ( ( )()(snsnssnnf tf tp tFPFFPnPnF 所以抽樣信號的頻譜為所以抽樣信號的頻譜為其中，其中， 為為抽樣角頻率抽樣角頻率， 為為抽樣間隔抽樣間隔 ， 為為抽樣頻率抽樣頻率， 在時域抽樣（離散化）相當于頻域周期化在時域抽樣（離散化）相當于頻域周期化頻譜是原連續(xù)信號的頻頻譜是原連續(xù)信號的頻譜以抽樣角頻率為間隔譜以抽樣角頻率為間隔周期地延拓，頻譜幅度周期地延拓，頻譜幅度受抽樣脈沖序列的傅立受抽樣脈沖序列的傅立葉系數(shù)加權。葉系數(shù)加權。.5(1) 沖激抽樣沖激抽樣若抽樣脈沖是沖激序列，則這

4、種抽樣稱為若抽樣脈沖是沖激序列，則這種抽樣稱為沖激抽樣沖激抽樣或或理想抽樣理想抽樣。一、信號抽樣 sss( )()()np ttnTn ( )( )( )() ()sssnf tf tp tf nTtnT沖激序列的傅立葉系數(shù)為沖激序列的傅立葉系數(shù)為所以沖激抽樣信號的頻譜為所以沖激抽樣信號的頻譜為 sTTtnsnTttTPsss1de )(122j -T11( )( )( ) ()2ssnsFFFnT抽樣信號的頻譜抽樣信號的頻譜 是以是以 s 為周期等為周期等幅地重復幅地重復.6頻譜圖：頻譜圖：一、信號抽樣 .7(2) 周期矩形脈沖抽樣周期矩形脈沖抽樣若抽樣脈沖是周期矩形脈沖，則這種抽樣稱為若抽

5、樣脈沖是周期矩形脈沖，則這種抽樣稱為周期矩形脈沖抽樣周期矩形脈沖抽樣。也稱。也稱為為自然抽樣自然抽樣一、信號抽樣 ( )()snp tG tnT( )( )( )( )()ssnf tf tp tf t G tnT在矩形脈沖抽樣情況下，抽樣信號頻譜也是周期重復，但在重復過在矩形脈沖抽樣情況下，抽樣信號頻譜也是周期重復，但在重復過程中，程中，幅度不再是等幅的幅度不再是等幅的，而是受到周期矩形脈沖信號的傅立葉系，而是受到周期矩形脈沖信號的傅立葉系數(shù)數(shù) 的加權。的加權。)2(SassnnTEP ( )Sa() ()2sssnsnEFFnT 周期矩形脈沖的傅立葉系數(shù)為周期矩形脈沖的傅立葉系數(shù)為則抽樣信

6、號的頻譜為則抽樣信號的頻譜為 .8幅度不再是等幅，幅度不再是等幅，受到周期矩形脈沖受到周期矩形脈沖信號的傅立葉系數(shù)信號的傅立葉系數(shù) 的加權的加權一、信號抽樣 .9 如何從抽樣信號中恢復原連續(xù)信號，以及在什么條件下才可以無失如何從抽樣信號中恢復原連續(xù)信號，以及在什么條件下才可以無失真地由抽樣信號恢復原連續(xù)信號。著名的抽樣定理對此作了明確而精真地由抽樣信號恢復原連續(xù)信號。著名的抽樣定理對此作了明確而精辟的回答。辟的回答。 抽樣定理在通信系統(tǒng)、信息傳輸理論、數(shù)字信號處理等方面占有十抽樣定理在通信系統(tǒng)、信息傳輸理論、數(shù)字信號處理等方面占有十分重要的地位，該定理在連續(xù)時間信號與系統(tǒng)和離散時間信號與系統(tǒng)、

7、分重要的地位，該定理在連續(xù)時間信號與系統(tǒng)和離散時間信號與系統(tǒng)、數(shù)字信號與系統(tǒng)之間架起了一座橋梁。該定理從理論上回答了為什么數(shù)字信號與系統(tǒng)之間架起了一座橋梁。該定理從理論上回答了為什么可以用數(shù)字信號處理手段解決連續(xù)時間信號與系統(tǒng)問題?？梢杂脭?shù)字信號處理手段解決連續(xù)時間信號與系統(tǒng)問題。二、時域抽樣定理 .10二、時域抽樣定理 時域抽樣定理：時域抽樣定理：一個頻譜受限的信號一個頻譜受限的信號 f (t) ，如果頻譜只占據(jù)，如果頻譜只占據(jù) 的范圍，則信號的范圍，則信號 f (t)可以用等間隔的抽樣值可以用等間隔的抽樣值 唯一地表示，只要抽唯一地表示，只要抽樣間隔樣間隔 不大于不大于 ，其中，其中 為信

8、號的最高頻率，為信號的最高頻率，或者說，抽樣頻率或者說，抽樣頻率 滿足條件滿足條件通常把滿足抽樣定理要求的最低抽樣頻率通常把滿足抽樣定理要求的最低抽樣頻率 稱為稱為奈奎斯特頻率奈奎斯特頻率，把最大允許的抽樣間隔把最大允許的抽樣間隔 稱為稱為奈奎斯特間隔奈奎斯特間隔 。mm,()sf nTsTmf21mfsfmsff2msff2mssffT211.11時域抽樣定理的圖解時域抽樣定理的圖解：假定信號：假定信號 f (t)的頻譜只占據(jù)的頻譜只占據(jù) 的范圍，的范圍，若以間隔若以間隔 對對 f (t)進行抽樣，抽樣信號進行抽樣，抽樣信號 fs (t)的頻譜的頻譜 FS() 是以是以 S 為為周期重復，在

9、此情況下，只有滿足條件周期重復，在此情況下，只有滿足條件 各頻移的頻譜才不會各頻移的頻譜才不會相互重疊。這樣，抽樣信號相互重疊。這樣，抽樣信號 fs (t) 保留了原連續(xù)信號保留了原連續(xù)信號f (t)的全部信息，完的全部信息，完全可以用全可以用 fs (t) 唯一地表示唯一地表示 f (t) ，或者說，或者說， f (t)完全可以由恢復出完全可以由恢復出 fs (t) 。二、時域抽樣定理 (,)mmsTms2如果如果 ，那么原連續(xù)信號頻譜在周期重復過程中，各頻移的頻，那么原連續(xù)信號頻譜在周期重復過程中，各頻移的頻譜將相互重疊，就不能從抽樣信號中恢復原連續(xù)信號。頻譜重疊的這種譜將相互重疊，就不能

10、從抽樣信號中恢復原連續(xù)信號。頻譜重疊的這種現(xiàn)象稱為現(xiàn)象稱為頻率混疊現(xiàn)象頻率混疊現(xiàn)象。ms2.12二、時域抽樣定理 ( )f t( )sf t( )sf t( )F( )sF( )sFmmmmmssTsT(a) 連續(xù)信號的頻譜(b) 高抽樣速率時抽樣信號的頻譜(c) 低抽樣速率時抽樣信號的頻譜及頻譜混疊000000tttsss.13 在滿足抽樣定理的條件下，可用一截止頻率為在滿足抽樣定理的條件下，可用一截止頻率為 的理想低通濾的理想低通濾波器，即可從抽樣信號波器，即可從抽樣信號 fs(t) 中中無失真無失真恢復原連續(xù)信號恢復原連續(xù)信號 f (t) 。三、連續(xù)時間信號的重建 mc.14因為因為所以

11、，選理想低通濾波器的頻率特性為所以，選理想低通濾波器的頻率特性為若選定若選定 ，則有，則有理想低通濾波器的沖激響應為理想低通濾波器的沖激響應為若選若選 ，則，則而沖激抽樣信號為而沖激抽樣信號為三、連續(xù)時間信號的重建 1( )()ssnsFFnT 0 )(sCCTHsmcm( )( )( )sFFH)()(tSaTthCCs2sccssT2( )( )( )( ) ()() ()ssssnnf tf tp tf ttnTf nTtnT.15則連續(xù)低通濾波器的輸出信號為則連續(xù)低通濾波器的輸出信號為說明：說明： （1）信號可以展開成抽樣函數(shù)的無窮級數(shù)，該級數(shù)的系數(shù)等于抽樣值；信號可以展開成抽樣函數(shù)的

12、無窮級數(shù)，該級數(shù)的系數(shù)等于抽樣值； （2）若在抽樣信號的每個樣點處，畫出一個峰值為若在抽樣信號的每個樣點處，畫出一個峰值為 的的Sa函數(shù)波形，函數(shù)波形，那么其合成信號就是原連續(xù)信號；那么其合成信號就是原連續(xù)信號；結(jié)論：結(jié)論：只要已知各抽樣值，就能唯一地確定出原信號。只要已知各抽樣值，就能唯一地確定出原信號。三、連續(xù)時間信號的重建 ( )( )() ()()()( )(CssssCsCnnsf th tf nTtnTTSf tf natT SatnT()sf nT.16注意：注意：在實際工程中要做到完全不失真地恢復原連續(xù)信號是不可能的。在實際工程中要做到完全不失真地恢復原連續(xù)信號是不可能的。三、

13、連續(xù)時間信號的重建 .17假設連續(xù)頻譜函數(shù)為假設連續(xù)頻譜函數(shù)為F() ，抽樣頻譜函數(shù)為，抽樣頻譜函數(shù)為FS() ,即在頻域抽樣有即在頻域抽樣有假設假設 FS() 對應的時間信號為對應的時間信號為 fs (t) ，則有，則有 四、頻域抽樣與頻域抽樣定理 ( )( ) ()() ()ssssnnFFnF nn 1( )()ssnsf tf tnT說明：說明：信號在頻率域抽樣（離散化）等效于在時間域周期化。信號在頻率域抽樣（離散化）等效于在時間域周期化。頻域抽樣定理頻域抽樣定理：頻域抽樣定理表明，一個時間受限的信號：頻域抽樣定理表明，一個時間受限的信號 f (t) ，如果時間，如果時間只占據(jù)只占據(jù)

14、的范圍，則信號的范圍，則信號 f (t)可以用等間隔的頻率抽樣值可以用等間隔的頻率抽樣值 唯一地表示，抽樣間隔為唯一地表示，抽樣間隔為 ，它必須滿足條件，它必須滿足條件 ，其中，其中(,)mmtt()sF nsmstT22ssT .18例：例： 大致畫出圖所示周期矩形信號沖激抽樣后信號的頻譜。大致畫出圖所示周期矩形信號沖激抽樣后信號的頻譜。四、頻域抽樣與頻域抽樣定理 .19解：解：信號在時域抽樣、周期化過程中頻譜的變化規(guī)律：信號在時域抽樣、周期化過程中頻譜的變化規(guī)律：（1）信號在）信號在時域周期化時域周期化，周期為，周期為 T ，則，則頻譜離散化頻譜離散化， 抽樣間隔為抽樣間隔為 02/T。（2）信號在）信號在時域抽樣時域抽樣，抽樣間隔為，抽樣間隔為 TS ，則，則頻譜周期化頻譜周期化， 重復周期為重復周期為 S2/TS 。四、頻域抽樣與頻域抽樣定理 .20矩形單脈沖信號的頻譜矩形