全等三角形培優(yōu)競(jìng)賽講義(全集)

1、全等三角形培優(yōu)競(jìng)賽講義(一)知識(shí)點(diǎn)全等三角形的性質(zhì)： 對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，對(duì)應(yīng)邊上的高相等， 對(duì)應(yīng)角的角平分線相等，面積相等.尋找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，常用到以下方法：(1) 全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊.(2) 全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角.(3) 有公共邊的，公共邊常是對(duì)應(yīng)邊.(4) 有公共角的，公共角常是對(duì)應(yīng)角.(5) 有對(duì)頂角的，對(duì)頂角常是對(duì)應(yīng)角.(6) 兩個(gè)全等的不等邊三角形中一對(duì)最長(zhǎng)邊(或最大角)是對(duì)應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)，一對(duì)最短邊(或最小角)是對(duì)應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角).要想正確地表示兩個(gè)三角形全等，找出對(duì)應(yīng)的

2、元素是關(guān)鍵.全等三角形的判定方法：(1)邊角邊定理(SAS :兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等. 角邊角定理(ASA:兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(3) 邊邊邊定理(SSS :三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(4) 角角邊定理(AAS :兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(5) 斜邊、直角邊定理(HL):斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.全等三角形的應(yīng)用：運(yùn)用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問(wèn)題，在證明的過(guò)程中，注意有時(shí)會(huì)添加輔助線.拓展關(guān)鍵點(diǎn)：能通過(guò)判定兩個(gè)三角形全等進(jìn)而證明兩條線段間的位置關(guān)系和大小關(guān)系.而證明兩條線段或兩個(gè)角

3、的和、差、倍、分相等是幾何證明的根底.例題精講板塊一、截長(zhǎng)補(bǔ)短【例1】(06年中考題) ABC中，A 60 , BD、CE分別平分 ABC和.ACB , BD、 CE交于點(diǎn)O，試判斷BE、CD、BC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.【解析】BE CD BC,理由是：在 BC上截取BF BE，連結(jié)OF ,利用SAS證得BEO也BFO , 12 , A60-BOC，190-2A 120DOE120 ,ADOE180 ,AEOADO18013 180 ,/ 24 180 ,12 , -34 ,利用AAS證得CDO也CFO, CDCF , BCBF CF BE CD點(diǎn)B除外，作與MN有怎樣的【例2】 如圖，點(diǎn)

4、M為正三角形 ABD的邊AB所在直線上的任意一點(diǎn)DMN 60，射線MN與Z DBA外角的平分線交于點(diǎn) N , DM 數(shù)量關(guān)系？.過(guò)點(diǎn)DMA【解析】猜想DM MN又 Z adm Z ADM Z NMB , DGM 也 MBN,M作MG / BD交AD于點(diǎn) 120 , Z DMA Z NMB 而 Z DGM Z MBN 120 DM MN .G , AG AM120二 GD MB【變式拓展訓(xùn)練】 如圖，點(diǎn)M為正方形ABCD的邊AB上任意一點(diǎn)，MN外角的平分線交于點(diǎn) N , MD與MN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？DM且與Z ABC【解析】【例3】【解析】猜想DM MN .在AD上截取AG AM DG MB ,

5、 Z AGM 45 Z DGM Z MBN 135 , Z ADM DGM 也 MBN , DM MN .Z NMB ,：如圖， ABCDi正方形，Z FA=Z FAE 求證:BEfDF=AEBMDF,連接 AM ABL BM BM=DF延長(zhǎng)CB至 M使得 ab=ad adl cd ABM2A ADFZ AFD=Z amb z/ AB/ CD Z AFD=Z BAf=Z eaf+z baez baev bamz eam Z AMBZEAM AE=EM=BEhBM=BEfDFdaf z bam【例4】 以 ABC的AB、AC為邊向三角形外作等邊ABD、 ACE，連結(jié)CD、BE相交于點(diǎn)0 .求證：

6、OA平分 DOE .EE【解析】因?yàn)?ABD、 ACE是等邊三角形，所以AB AD , AE AC ,CAE BAD 60 ,貝U BAE DAC，所以 BAE 也 DAC , 那么有 ABE ADC , AEB ACD , BE DC . 在DC上截取DF BO,連結(jié) AF，容易證得 ADF也 ABO , ACF也 AEO . 進(jìn)而由AF AO 得 AFO AOF ;由 AOE AFO 可得 AOF AOE，即 OA平分 DOE .【例5】市、XX市數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題如下圖，ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，BDC是頂角為120的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60的 MDN，點(diǎn)M、N分別在AB、 AC上，

7、求 AMN的周長(zhǎng).CE在 BDM與 CDE中，因?yàn)锽D CD 所以 BDM也 CDE，故MD ED ., MBDECD90 ,BM CE ,因?yàn)?BDC 120 , MDN 60，所以 BDMNDC60 .又因?yàn)?BDMCDE，所以 MDNEDN60 .在 MND 與 END 中，DN DN ,MDNEDN 60 ,DMDE ,所以 MND 也 END，貝V NE MN ,所以AMN的周長(zhǎng)為2.五邊形 ABCD中, AB=AE BGDE=CD/ AB(+ZAED180°,如下圖，延長(zhǎng)AC到E使CE BM .【例6求證：AD平分/ CDE【解析】【解析】延長(zhǎng)DE至F,使得EF=BC連接

8、AC/ABC A AED180°,/ AEF+Z AED180°./ABC：/ AEF/ AB=AE BC=EF.A ABCA AEF EF=BC AC=AF/ BGDE=CD. CD=DEnEF=DF ADC ADF，./ ADC/ ADF 即AD平分/ CDE板塊二、全等與角度【例7】如圖，在 ABC中，BAC 60，AAD是 BAC的平分線，且 AC AB BD，求 ABC的度數(shù).A【解析】如下圖，延長(zhǎng) AB至E使BE BD，連接ED、EC .由 AC AB BD 知 AE AC，而B(niǎo)AC 60，那么 AEC為等邊三角形.故 AED也 ACD.從而有DEDC ,DEC

9、DCE ,故BEDBDEDCEDEC所以 DECDCE20 ,ABC注意到 EAD CAD，AD AD，AE AC ,BDC2 DEC .I*-BECBCE 602080 .AB，那么由題意可知CEAE， BADEAD那么 ABD也AED，從而B(niǎo)DDE ,進(jìn)而有DE CE,ECDEDC ,AEDECDEDC 2ECD.注意到ABDAED，那么:ABCACB1ABC -ABC2【另解】在AC上取點(diǎn)E，使得AE在ABD和AED中，AB故 ABC 80 .【點(diǎn)評(píng)】由條件可以想到將折線BD. AD3 ABC2180BDBAC 120，利用角平分線 AD可以構(gòu)造全等 三角形.同樣地，將 AC拆分成兩段，

10、之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十 分自然的.ABD “拉直成AE，需要說(shuō)明的是，無(wú)論采取哪種方法，都表達(dá)出關(guān)于角平分線“對(duì)稱(chēng)的思想.上述方法我們分別稱(chēng)之為“補(bǔ)短法和“截長(zhǎng)法，它們是證明等量關(guān)系時(shí)優(yōu)先考慮的方法.D! 【例8在等腰 ABC中，AB AC,頂角 A 20，在邊AB上取點(diǎn)D，使AD BC， 求 BDC.【解析】以AC為邊向 ABC外作正 ACE，連接DE .在ABC和EAD中,ADBC,ABEA, EADBAC A r-_CAE 20 C 6080ABC :>那么ABC也EAD.A由此可得EDEAEC，所以EDC是等腰三角形.D.E由于AEDBAC20 ,那么CEDAEC

11、AED602040 ,從而DCE70 ,DCADCEACE 706010，那么BDCDACDCA201030 .1 BC【另解1】以AD為邊在 ABC外作等邊三角形ADE，連接EC.在ACB和CAE 中，CAE 6020ACB ,AE AD因此 ACB也CAE ,從而 CABACE ,CE ABAC.在CAD和CED 中，AD ED ,CECA, CDCD ,故CAD也CED ,從而 ACDECD ,CABACE2 ACD ,故 ACD 10，因此BDC 30AA【另解2】如下圖，以BC為邊向 ABC內(nèi)部作等邊 BCN，連接在 CDA和 ANC 中，CN BC AD, CAD 20 , ACN

12、 ACB BCN 806020 ,故CADACN,而AC CA，進(jìn)而有 CDA也ANC .貝UACDCAN10 ，故BDCDACDCA30 .BC【點(diǎn)評(píng)】上述三種解法均是向三邊作正三角形，然后再由三角形全等得到邊長(zhǎng)、角度之間的關(guān)系.【例9】“勤奮杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題 又M在AC上，N在BC上，且滿(mǎn)足【解析】如下圖，在 ABC中，ACBAN 50 , ABM 60，求 CK，連接KA交MB于P .過(guò)M作AB的平行線交BC于MKP均為正三角形.BC , AB180連接PN，易知 因?yàn)?BAN 50 所以 ANB 50那么 PKN 40 故 PN KN . 從而 MPN也APB、,AC,BNKPNMKN

13、 .進(jìn)而有 PMNKMN ,CBP ,6020 ,BPN8040 , mNMB -2PKMP 30 .BNP 80 ,KNC【另解】如下圖，在AC上取點(diǎn)D，使得 ABD 20 A由C 20、AC 1BC可知BAC 80 .而ABD 20，故ADB80 , BA BD .在ABN 中，BAN50 ,ABN 80 ,故ANB 50，從而B(niǎo)A BN，進(jìn)而可得BNBD而DBNABCABD80 20 60 ,所以BDN為等邊三角形在ABM中，AMB 180ABMBAM180 80DBMADBAMB804040故DMBDBM，從而DMDB.我們已經(jīng)得到DMDNDB，故D是BMN的外心，【點(diǎn)評(píng)】1從而 NM

14、B NDB 302此題是一道平面幾何名題，加拿大滑鐵盧大學(xué)的幾何大師RossH on sberger 將其喻為“平面幾何中的一顆明珠.此題的大多數(shù)解法不是純幾何的，即使利用三角函數(shù)也不是那么容易【解析】如下圖，延長(zhǎng)BD至E，使DEDC，由可得ADE 180ADB18076104 ,ADCADBBDC7628104 ,ADB 76， BDC 28，E【例10】在四邊形ABCD中，AB AC, ABD 60 , 求 DBC的度數(shù)故 ADE ADC 又因?yàn)?AD AD , DE DC ,故 ADE 也 ADC ,因此 AE AC , E ACD , EAD CAD 又因?yàn)锳B AC ,故 AE AB

15、 , ABCACB 而 ABD 60 ,所以ABE為等邊三角形于是 ACD E EAB 60，故 CAD 180 ADC ACD 16，那么CABEABCADEAD 28 ,從而ABC1(1802CAB)76 ,所以DBCABCABD16 【例11】日本算術(shù)奧林匹克試題如下圖，在四邊形ABCD中，DAC 12 ，【解析】CAB 36， ABD 48，DBC 24，求 ACD的度數(shù)仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)角的度數(shù)都是 用正三角形在四邊形ABCD外取一點(diǎn)P，在ADP和 故ADP也 從而 APD 在ABC中，12的倍數(shù)，這使我們想到構(gòu)造ADC 中,ADC ACD CABPADPADCAD12 且 AP12，A

16、PAC，AC故 ACB 72 , AC 從而AP AB 而故 PAB是正三角形，在DAB中， 故 DA DB 在PDA和 故PDA也PABPADDABPDB 中, PDB，從而 APDBPD36，AB，ABC7260角，從而利DACAPBDACCAB60，CAB 12PA PB1APB12PA，PD PD，DA30，連接AD1236PB !36那么 ACD 30 【例12】XX省數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題在ABC外取一點(diǎn)E，使 DBE如下圖，連接DC.因?yàn)锳DBD , AC貝V ADC也 BDC,故 BCD 30 .而 DBEDBC ,BE ABBC , BD因此 BDE也BDC，故 BEDBCD【解析】【

17、例13】市數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題如下圖，在 ABC中,一點(diǎn)，使得MCA 30， MAC 16，求BAC BCA 44，M 為 ABC 內(nèi) BMC的度數(shù).【解析】 在 ABC中，由 BAC BCA 44可得AB AC， ABC 92 . 如下圖，作 BD AC于D點(diǎn)，延長(zhǎng)CM交BD于0點(diǎn)，連接OA，BAOBACOAC 443014 ,OAMOACMAC 301614 ,所以BAOMAO .又因?yàn)锳OD90OAD903060所以AOM120AOB .BOM 120而AOAO ,因此ABO也AMO ,故OBOM .由于BOM120180BOM那么 OMBOBM30 ,2故 BMC 180OMB 150 .貝U

18、有 OAC MCA 30，全等三角形培優(yōu)競(jìng)賽講義(二)【知識(shí)點(diǎn)精讀】1. 全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形；兩個(gè)全等三角形中，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)。互相重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫對(duì)應(yīng)角。2. 全等三角形的表示方法：假設(shè) ABC和厶A B' C'是全等的三角形，記作“ ABC A B' C'其中，“也讀作“全等于。記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的 字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上。3. 全等三角形的的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；4. 尋找對(duì)應(yīng)元素的方法(1) 根據(jù)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)找如果兩個(gè)三角形全等，那么，以對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的角是

19、對(duì)應(yīng)角；以對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的邊是對(duì)應(yīng)邊。通常情況下，兩個(gè)三角形全等時(shí)，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母都寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上，因此，由全等三角形的記法便可寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的元素。(2) 根據(jù)的對(duì)應(yīng)元素尋找相等的角是對(duì)應(yīng)角，相等的邊是對(duì)應(yīng)邊；相等的角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，相等的邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)邊；兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；(3) 通過(guò)觀察，想象圖形的運(yùn)動(dòng)變化狀況，確定對(duì)應(yīng)關(guān)系。通過(guò)對(duì)兩個(gè)全等三角形各種不同位置關(guān)系的觀察和分析，可以看出其中一個(gè)是由另一個(gè)經(jīng)過(guò)以下各種運(yùn)動(dòng)而形成的。翻折如圖(1) BOC也EOD , BOC可以看成是由 EOD沿直線AO翻折180得到的；旋轉(zhuǎn) 如圖(2) COD也BOA , COD可以看成是由 BOA

20、繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180得到的；平移 如圖(3) DEF也ACB , DEF可以看成是由 ACB沿CB方向平行移動(dòng)而得到的。5. 判定三角形全等的方法：(1) 邊角邊公理、角邊角公理、邊邊邊公理、斜邊直角邊公理(2) 推論：角角邊定理6. 注意問(wèn)題：(1) 在判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，至少有一邊對(duì)應(yīng)相等；(2) 不能證明兩個(gè)三角形全等的是，a:三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，即 AAA ； b :有兩邊和其中一 角對(duì)應(yīng)相等，即 SSA。全等三角形是研究?jī)蓚€(gè)封閉圖形之間的根本工具，同時(shí)也是移動(dòng)圖形位置的工具。在平 面幾何知識(shí)應(yīng)用中，假設(shè)證明線段相等或角相等，或需要移動(dòng)圖形或移動(dòng)圖形元素的位置， 常 常需要借助全等三角形的

21、知識(shí)?！痉诸?lèi)解析】全等三角形知識(shí)的應(yīng)用1 證明線段或角相等例1：如圖， AD=AE,AB=AC.求證：BF=FC分析：由條件可證出 ACD ABE，而B(niǎo)F和FC分別位于厶DBF和厶EFC中, 因此先證明 ACD BA ABE，再證明A DBF A ECF，既可以得到 BF=FC.證明：在A ACD和A ABE中，AE=ADY / A= / AI AB=AC.A ACD BA ABE SAS/ B= / C 全等三角形對(duì)應(yīng)角相等又/ AD=AE,AB=AC.AB AD=AC AE即 BD=CE在A DBF和A ECF中/ B= / C-/ BFD= / CFE 對(duì)頂角相等BD=CE A DBF

22、ba ECF AAS BF=FC 全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等2證明線段平行例2:：如圖， DE丄AC , BF丄AC，垂足分別為 E、F, DE=BF , AF=CE.求證:AB / CD分析：要證AB / CD ,需證/ C=Z A，而要證/ C = Z A ,又需證 ABF CDE.由已 知 BF 丄 AC , DE 丄 AC,知/ DEC = Z BFA=90 °，且 DE=BF , AF=CE.顯然證明A ABF BA CDE條件已具備，故可先證兩個(gè)三角形全等，再證/C = Z A,進(jìn)一步證明 AB / CD.證明： DE丄AC，BF丄AC / DEC = Z BFA=90

23、76;垂直的定義在A ABF與A CDE中，f AF=CEY Z DEC = Z BFA已證Lde=bf A ABF BA CDE SASZ C = Z A 全等三角形對(duì)應(yīng)角相等 AB / CD內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行3證明線段的倍半關(guān)系，可利用加倍法或折半法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等例3:如圖，在 ABC中，AB=AC，延長(zhǎng)AB到D，使BD=AB，取AB的中點(diǎn)E,連 接CD和CE.求證：CD=2CE分析：i 折半法：取 CD中點(diǎn)F，連接BF，再證A CEB BA CFB.這里注意利用 BF是A ACD 中位線這個(gè)條件。證明：取CD中點(diǎn)F，連接BF1 BF=2 AC,且BF / AC 三角形中

24、位線定理 Z ACB =Z 2 兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等又 AB=AC Z ACB =Z 3 等邊對(duì)等角 Z 3=Z 2在A CEB與A CFB中，一 BF=BE-Z 3=Z 2一 CB=CB CEBCFB (SAS)1 CE=CF=2 CD (全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)即 CD=2CE(ii)加倍法證明：延長(zhǎng) CE到F,使EF=CE,連BF.C4 1A E2 3 BDF在A AEC與A BEF中，-AE=BEZ 1 = Z 2 對(duì)頂角相等CE=FE A AECBA BEF SAS AC=BF, Z 4=Z 3 全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等 BF / AC 內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行/Z ACB+ Z CB

25、F=180°Z ABC+ Z CBD=180 0又 AB=ACACB= Z ABCZ CBF= Z CBD等角的補(bǔ)角相等在A CFB與A CDB中，一CB=CB ZCBF= Z CBD BF=BD A CFBBA CDB SAS CF=CD即 CD=2CE說(shuō)明：關(guān)于折半法有時(shí)不在原線段上截取一半，而利用三角形中位線得到原線段一半的線段。例如上面折道理題也可這樣處理，取AC中點(diǎn)F,連BF如圖B為AD中點(diǎn)是利用這個(gè)方法的重要前提，然后證CE=BF.4證明線段相互垂直例4:：如圖，A、D、B三點(diǎn)在同一條直線上，A ADC、A BDO為等腰三角形， AO、BC的大小關(guān)系和位置關(guān)系分別如何？證

26、明你的結(jié)論。AD B分析：此題沒(méi)有直接給出待證的結(jié)論，而是讓同學(xué)們先根據(jù)條件推斷出結(jié)論，然后再證明所得出的結(jié)論正確。通過(guò)觀察，可以猜想：AO=BC，AO丄BC.證明：延長(zhǎng) AO交BC于丘,在4 ADO和厶CDB中AD=DC-Z ADO= Z CDB=90°OD=DB ADO CDB SAS AO=BC, Z OAD= Z BCD 全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等Z AOD =Z COE 對(duì)頂角相等 Z COE+ Z OCE=9O° AO 丄 BC5、中考點(diǎn)撥：例1.如圖，在 ABC中，AB= AC, E是AB的中點(diǎn)，以點(diǎn) E為圓心，EB為半徑畫(huà)弧，交BC于點(diǎn)D,連結(jié)ED，并延長(zhǎng)

27、ED到點(diǎn)F ,使DF=DE,連結(jié)FC求證：ZF = Z A.A/BVFA分析：證明兩個(gè)角相等，常證明這兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形全等，在圖形中ZA、Z F不在全等的兩個(gè)三角形中， 但由可證得 EF / AC,因此把Z A通過(guò)同位角轉(zhuǎn)到厶BDE 中的Z BED，只要證厶EBDFCD即可.證明： AB = AC, Z ACB = Z B,/ EB = ED, Z ACB = Z EDB . ED / AC. Z BED = Z A./ BE = EA. BD = CD .又 DE = DF , Z BDE = Z CDF BDE CDF ,/ BED = Z F ./ F = Z A.說(shuō)明：證明角或線

28、段相等可以從證明角或線段所在的三角形全等入手，在尋求全等條件時(shí)，要注意結(jié)合圖形，挖掘圖中存在的對(duì)項(xiàng)角、 公共角、公共邊、平行線的同位角、 內(nèi)錯(cuò)角等相等的關(guān)系。例2如圖， ABC為等邊三角形，延長(zhǎng) BC到D，延長(zhǎng)BA到E,并且使AE=BD，連接 CE、DE.求證：EC=EDEAFz / /Y A / BCD分析：把條件標(biāo)注在圖上，需構(gòu)造和AEC全等的三角形，因此過(guò) D點(diǎn)作DF / AC交BE于F點(diǎn)，證明 AECFED即可。證明：過(guò)D點(diǎn)作DF / AC交BE于F點(diǎn) ABC為等邊三角形 BFD為等邊三角形 BF=BD=FD/ AE=BD AE=BF=FD AE AF=BF AF 即 EF=AB EF

29、=AC在厶ACE和厶DFE中，EF=AC 已證/ EAC =Z EDF 兩直線平行，同位角相等 AE=FD 已證 AEC FED SAS EC=ED 全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等題型展示:例 1 如圖， ABC 中，/ C = 2/ B，/ 1 = / 2。求證：AB = AC + CD .分析：在 AB上截取AE = AC,構(gòu)造全等三角形， AED ACD，得DE = DC,只需證DE = BE問(wèn)題便可以解決.證明：在AB上截取AE = AC,連結(jié)DE ./ AE = AC, / 1 = Z 2, AD = AD, AED ACD , DE = DC，/ AED = / C./ AED = / B

30、+ / EDB，/ C = 2 / B, 2/ B=/ B + / EDB .即 / B = / EDB . EB = ED，即 ED = DC , AB = AC+ DC .剖析：證明一條線段等于另外兩條線段之和的常用方法有兩種，一種是截長(zhǎng)法(即在長(zhǎng)線段上截取一段等于兩條短線段的一條，再證余下的局部等于另一條短線段)；如作 AE =AC是利用了角平分線是角的對(duì)稱(chēng)軸的特性，構(gòu)造全等三角形，另一種方法是補(bǔ)短法(即延 長(zhǎng)一條短線段等于長(zhǎng)線段，再證明延長(zhǎng)的局部與另一條短線段相等)，其目的是把證明線段的和差轉(zhuǎn)化為證明線段相等的問(wèn)題，實(shí)際上仍是構(gòu)造全等三角形，這種轉(zhuǎn)化圖形的能力是中考命題的重點(diǎn)考查的內(nèi)容

31、.【實(shí)戰(zhàn)模擬】1. 以下判斷正確的選項(xiàng)是()(A )有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(B )有兩邊對(duì)應(yīng)相等，且有一角為30°的兩個(gè)等腰三角形全等(C) 有一角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(D) 有兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等2. ：如圖，CD丄AB于點(diǎn)D, BE丄AC于點(diǎn)E,BE、CD交于點(diǎn)0,且AO平分/ BAC.求 證：0B= 0C.AABc3. 如圖， C為線段AB上的一點(diǎn)， ACM和CBN都是等邊三角形， AN和CM相14如圖，在 ABC中，AD為BC邊上的中線.求證： AD(AB+AC)A5.如圖，在等腰 RtAABC中，/ C= 90°

32、, D是斜邊上AB上任一點(diǎn)，AE丄CD于E,BF丄CD交CD的延長(zhǎng)線于F, CH丄AB于H點(diǎn)，交AE于G.求證：BD=CG.【試題答案】1. D2證明： AO平分/ ODB, CD丄AB于點(diǎn)D, BE丄AC于點(diǎn)E, BE、CE交于點(diǎn)O, OD= OE, / ODB = Z OEC= 90° ,Z BOD = Z COE。 BODN COE (ASA).OB= OC3分析由 ACM= BCN=60，知 ECF=60，欲證 CEF是等邊三角形，只要證明是等腰三角形。先證 CAN也MCB，得1= 2.再證CFN也CEB，即可推得 CEF三角形的結(jié)論。證明：在 CAN和MCB ,/ AC=M

33、C , CN=CB ,CAN= MCB=120 , ACN 也 MCB 中， FCB 和 CEB 中，/ FCN= ECB=60 ,1= 2, CN=CB , CFN 也 CEB , CF=CE ,又 ECF=60 , CEF是等邊三角形4分析：關(guān)于線段不等的問(wèn)題，一般利用在同一個(gè)三角形中三邊關(guān)系來(lái)討論，由于AC、AD不在同一個(gè)三角形，應(yīng)設(shè)法將這三條線段轉(zhuǎn)化在同一個(gè)三角形中，也就是將線段 相等地轉(zhuǎn)化，而轉(zhuǎn)化的通常方法利用三角形全等來(lái)完成，注意AD是BC邊上的中線,AD 至 E,使 DE = AD，即可得到 ACDEBD .CEF是等邊AB、延長(zhǎng)證明：延長(zhǎng)AD到E，使DE = AD，連結(jié)BE在A

34、CD與EBD中血=ED 作法& ZADC = ZEDB 對(duì)頂角相竽CD = BD 己知 ACD 也 EBD SAS AC = EB 全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等在ABE中，AB + EB > AE 三角形兩邊之和大于第三邊 AB + AC > 2AD 等量代換即 AD<- (AB 4- AC)說(shuō)明：一般在有中點(diǎn)的條件時(shí)，考慮延長(zhǎng)中線來(lái)構(gòu)造全等三角形。5分析：由于 BD與CG分別在兩個(gè)三角形中，欲證BD與CG相等，設(shè)法證厶CGEBDF。由于全等條件不充分，可先證厶AECA CFB證明：在 Rt AEC與Rt CFB中，/ AC= CB, AE丄CD于E, BF丄C交CD的延長(zhǎng)線

35、于 F/ AEC =Z CFB = 90°又/ ACB = 90 °/CAE = 90° -Z ACE = Z BCF Rt AEC也 Rt CFB CE= BF在 Rt BFD 與 Rt CEG 中，Z F = Z GEC = 90°, CE = BF,由Z FBD = 90°-Z FDB = 90°-Z CDH =Z ECG , Rt BFD 也 Rt CEG BD = CG全等三角形培優(yōu)競(jìng)賽講義三全等三角形的證明方法【知識(shí)點(diǎn)精讀】1. 幾何證明是平面幾何中的一個(gè)重要問(wèn)題，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有著很大作用。 幾何證明有兩種根本

36、類(lèi)型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這 兩類(lèi)問(wèn)題常?？梢韵嗷マD(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補(bǔ)的問(wèn)題。2. 掌握分析、證明幾何問(wèn)題的常用方法：1綜合法由因?qū)Ч?，從條件出發(fā)，通過(guò)有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前推進(jìn)，直到問(wèn)題的解決；2分析法執(zhí)果索因從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到事實(shí)為止；3 兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用， 比擬起來(lái)，分析法利于思考， 綜合法易于表達(dá)， 因此，在實(shí)際思考問(wèn)題時(shí)，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后到達(dá)證明目的。3. 掌握構(gòu)造根本圖

37、形的方法：復(fù)雜的圖形都是由根本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜圖 形分解成根本圖形。在更多時(shí)候需要構(gòu)造根本圖形，在構(gòu)造根本圖形時(shí)往往需要添加輔助 線，以到達(dá)集中條件、轉(zhuǎn)化問(wèn)題的目的?！痉诸?lèi)解析】1證明線段相等或角相等兩條線段或兩個(gè)角相等是平面幾何證明中最根本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其它問(wèn)題最后都可化歸為此類(lèi)問(wèn)題來(lái)證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的 性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到。例 1.：如圖 1 所示， ABC 中， C 90，AC BC, AD DB, AE CF 。AEDC F B求證：DE = DF圖1分析：由

38、ABC是等腰直角三角形可知，A B 45，由D是AB中點(diǎn)，可考慮連結(jié)CD，易得CDAD ,DCF45。從而不難發(fā)現(xiàn)DCFDAE證明：連結(jié)CDAC BCABACB 90,ADDBCD BDAD,DCBBAAE CF,ADCB,ADCDADE CDFDE DF說(shuō)明：在直角三角形中，作斜邊上的中線是常用的輔助線；在等腰三角形中，作頂角的平分線或底邊上的中線或高是常用的輔助線。顯然，在等腰直角三角形中，更應(yīng)該連結(jié)CD，因?yàn)镃D既是斜邊上的中線，又是底邊上的中線。此題亦可延長(zhǎng)ED到G,使DG = DE,連結(jié)BG,證 EFG是等腰直角三角形。有興趣的同學(xué)不妨一試。例 2.：如圖 2 所示，AB = CD

39、, AD = BC, AE = CF。求證：/ E=Z FEAD /1 VjJrBCF圖2證明：連結(jié)AC在ABC和 CDA中，AB CD, BC AD, ACCAABC CDA (SSSBDAB CD, AE CFBE DF在BCE和 DAF中，BE DFBDBC DABCEDAF (SASE F說(shuō)明：利用三角形全等證明線段求角相等。常須添輔助線，制造全等三角形，這時(shí)應(yīng)注意：(1 )制造的全等三角形應(yīng)分別包括求證中一量；(2 )添輔助線能夠直接得到的兩個(gè)全等三角形。2、證明直線平行或垂直在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁?xún)?nèi)角的關(guān)系來(lái)證，也

40、可通過(guò)邊對(duì)應(yīng)成比例、 三角形中位線定理證明。 證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個(gè)角等于90°,或利用兩個(gè)銳角互余，或等腰三角形“三線合一來(lái)證。例3.如圖3所示，設(shè)BP、CQ是 ABC的內(nèi)角平分線，AH、AK分別為A到BP、CQ的垂線。求證：KH / BCA/Q / P/ K 二 H £1B MN C圖3分析：由，BH平分/ ABC，又BH丄AH，延長(zhǎng) AH交BC于N，貝U BA = BN , AH =HN。同理，延長(zhǎng) AK交BC于M，貝U CA = CM , AK = KM。從而由三角形的中位線定理，知 KH / BC。證明：延長(zhǎng)AH交BC于N，延長(zhǎng)AK交BC于M/ BH 平分

41、/ ABC/ ABH / NBH又BH丄AHZ AHB Z NHB 90BH = BHABH NBHA SABA BN, AH HN同理，CA = CM , AK = KMKH是AMN的中位線KHM/ N即 KH/BC說(shuō)明：當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分線、中線或高線重合時(shí)，那么此三角形必為等腰三角形。我 們也可以理解成把一個(gè)直角三角形沿一條直角邊翻折軸對(duì)稱(chēng)而成一個(gè)等腰三角形。例 4.：如圖 4 所示，AB = AC,/ A 90 , AE BF, BD DC。求證：FD丄EDAII! EF z : X2；31 '/ BDC圖4證明一：連結(jié)ADAB AC, BD DCZ 1 Z 290，/

42、DAE Z DABZ BAC 90 , BD DCBD ADZ B Z DAB Z DAE在ADE和 BDF中，AE BF，Z B Z DAE，AD BDADE BDF313290FD ED說(shuō)明：有等腰三角形條件時(shí)，作底邊上的高，或作底邊上中線，或作頂角平分線是常用輔助線。證明二：如圖5所示，延長(zhǎng) ED到M，使DM = ED，連結(jié)FE, FM , BMAFE亍、/ 1BDC:JXM圖5BD DCBDMCDE, DM DEBDM CDECE BM, C CBMBM / /ACA 90ABM 90 AAB AC, BF AEAF CE BM說(shuō)明：證明兩直線垂直的方法如下：1首先分析條件，觀察能否用

43、提供垂直的定理得到，包括添常用輔助線，見(jiàn)此題證2找到待證三直線所組成的三角形，證明其中兩個(gè)銳角互余。3 證明二直線的夾角等于 90°。3、證明一線段和的問(wèn)題一在較長(zhǎng)線段上截取一線段等一較短線段，證明其余局部等于另一較短線段。截長(zhǎng)法 例5：如圖6所示在 ABC中， B 60，/ BAC、/ BCA的角平分線 AD、CE相交于O。求證：AC = AE + CD分析：在AC上截取AF = AE。易知AEOAFO ,56 601,602,3 120 。122。由 B 60，知3460 ，得：FOCD OC, FC DC證明：在AC上截取AF = AEBADAEO4 2CAD, AO AOAF

44、O SAS又 B 6056601 6023120123 460FOC DOC(AAS)FCDC即 AC AE CD二延長(zhǎng)一較短線段，使延長(zhǎng)局部等于另一較短線段，那么兩較短線段成為一條線段，證 明該線段等于較長(zhǎng)線段。補(bǔ)短法例6.：如圖7所示，正方形 ABCD中，F(xiàn)在DC上，E在BC上， EAF 45 。求證：EF= BE + DF分析:此題假設(shè)仿照例1,將會(huì)遇到困難，不易利用正方形這一條件。不妨延長(zhǎng)CB至G,使BG = DF。證明：延長(zhǎng)CB至G,使BG = DF在正方形 ABCD 中， ABG D 90 , AB ADABG ADF (SAS)AG AF,13又 EAF 4523 4521 45

45、即/ GAE = Z FAEGE EFEF BE DF4、中考題：如圖8所示， ABC為等邊三角形，延長(zhǎng) BC到D，延長(zhǎng)BA到E,并且使 AE = BD，連結(jié) CE、DE。求證：EC = EDBCD圖8證明：作DF/AC交BE于FABC是正三角形BFD是正三角形又 AE = BDAE FD BFBA AF EF即 EF = ACAC/FDEAC EFDEAC DFE (SAS)EC EDAC 。題型展示：證明幾何不等式：例題：如圖 9所示， 12, AB求證：BDD C CBD證明一：延長(zhǎng)AC到E,使AE = AB，連結(jié)DE在ADE和 ADB中，AE AB,2ADE ADB1, AD ADBD

46、 DE,DCEDCEDEDC,BDDC證明二:如圖10所示,在 AB上截取 AF = AC，連結(jié) DF圖10那么易證ADF ADC4, DF DCBFD3,4 BBFD BBD DFBD DC說(shuō)明：在有角平分線條件時(shí)，常以角平分線為軸翻折構(gòu)造全等三角形，這是常用輔助線?！緦?shí)戰(zhàn)模擬】1.：如圖11所示,ABC 中， C90 , D是AB上一點(diǎn)，DE丄CD于D,交BC于E,且有AC ADCE。求證：DE1 CD2D圖112：如圖12所示，在 ABC中， A 2 B , CD是/ C的平分線。求證：BC = AC + AD3.：如圖13所示，過(guò)ABC的頂點(diǎn)A,垂線BP和CQ。設(shè)M為BC的中點(diǎn)。求證：

47、MP = MQ圖134. ABC 中， BAC 90 , AD BC 于 D，求證:AD 1 AB4AC BC【試題答案】1. 證明：取CD的中點(diǎn)F，連結(jié)AFADBAC AD90 ，1390AF CD又 14AFC CDE 9043AC CEACF CED (ASA)CF ED1DE CD22. 分析：此題從和圖形上看好象比擬簡(jiǎn)單，但一時(shí)又不知如何下手，那么在證明一條線段等于兩條線段之和時(shí)，我們經(jīng)常采用“截長(zhǎng)補(bǔ)短的手法?！敖亻L(zhǎng)即將長(zhǎng)的線段截成兩局部，證明這兩局部分別和兩條短線段相等；“補(bǔ)短即將一條短線段延長(zhǎng)出另一條短EADX、/ / W丄線段之長(zhǎng)，證明其和等于長(zhǎng)的線段。L BC_證明：延長(zhǎng)CA

48、至E,使CE= CB，連結(jié)ED 在 CBD和 CED中，CB CE3.證明:延長(zhǎng)PM交CQ于RBCDECDCDCDCBDCEDBEBAC2BBAC2E又 BACADEEADEE,ADAEBC CEACAEAC ADCQ AP, BP APBP/CQPBM RCM又 BM CM, BMP CMRBPM CRMPM RMQM是Rt QPR斜邊上的中線MP MQ4.取BC中點(diǎn)E,連結(jié)AEAIB DECBAC 902AEBCADBC,ADAEBC2AE2 ADABACBC2BCABACBC4ADABACBCAD-ABACBC4全等三角形培優(yōu)競(jìng)賽講義四等腰三角形【知識(shí)點(diǎn)精讀】一、等腰三角形的性質(zhì)1.有關(guān)

49、定理與其推論定理：等腰三角形有兩邊相等；定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等簡(jiǎn)寫(xiě)成“等邊對(duì)等角。推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，這就是說(shuō)，等腰三角形的頂 角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。推論 2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°。等腰三角形是以底邊的垂直平分線為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形；2. 定理與其推論的作用等腰三角形的性質(zhì)定理揭示了三角形中邊相等與角相等之間的關(guān)系，由兩邊相等推出 兩角相等，是今后證明兩角相等常用的依據(jù)之一。等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高、 頂角的平分線“三線合一的性質(zhì)是今后證明兩條線段相等，兩個(gè)角相等以與兩條直線互 相垂直的重要依據(jù)。二、等腰三角形的判定1. 有關(guān)的定理與其推論 定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等簡(jiǎn)寫(xiě)成“等角對(duì)等 邊。推論 1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。推論 2：有一個(gè)角等于 60°的等腰三角形是等邊三角形。推論 3：在直角三角形中， 如果一個(gè)銳角等于 30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。2. 定理與其推論的作用。 等腰三角形的