第1章 1.2 第2課時(shí) 利用排列數(shù)公式解應(yīng)用題

1、.第2課時(shí)利用排列數(shù)公式解應(yīng)用題1能用排列數(shù)公式解決一些簡單的應(yīng)用問題重點(diǎn)2掌握無限制條件的排列問題的解法重點(diǎn)3掌握幾種有限制條件的排列問題的解法難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)小組合作型無限制條件的排列問題1有5本不同的書，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？2有5種不同的書，要買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？【精彩點(diǎn)撥】1從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學(xué)，各人得到的書不同，屬于求排列數(shù)問題；2給每人的書均可以從5種不同的書中任選1本，各人得到哪本書互相之間沒有聯(lián)絡(luò)，要用分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)展計(jì)算【自主解答】1從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學(xué)，對應(yīng)于從5個(gè)不

2、同元素中任取3個(gè)元素的一個(gè)排列，因此不同送法的種數(shù)是A5×4×360，所以共有60種不同的送法2由于有5種不同的書，送給每個(gè)同學(xué)的每本書都有5種不同的選購方法，因此送給3名同學(xué)，每人各1本書的不同方法種數(shù)是5×5×5125，所以共有125種不同的送法1沒有限制的排列問題，即對所排列的元素或所排列的位置沒有特別的限制，這一類問題相對簡單，分清元素和位置即可2對于不屬于排列的計(jì)數(shù)問題，注意利用計(jì)數(shù)原理求解再練一題11將3張不同的購物券分給10人中的3人，每人1張，共有_種不同的分法2從班委會(huì)5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級學(xué)習(xí)委員，文娛委員與體育委員，不同的

3、選法共有_種【解析】1問題相當(dāng)于從10人中選出3人排列起來，故不同分法的種數(shù)為A10×9×8720.2從班委會(huì)5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級學(xué)習(xí)委員，文娛委員與體育委員，應(yīng)有A5×4×360種【答案】1720260有限制條件的排列問題7名師生站成一排照相紀(jì)念，其中老師1人，男學(xué)生4人，女學(xué)生2人，在以下情況下，各有多少種不同站法？1老師甲必須站在中間或兩端；22名女生必須相鄰而站；34名男生互不相鄰；4假設(shè)4名男生身高都不等，按從高到低的順序站【精彩點(diǎn)撥】解決此類問題的方法主要按“優(yōu)先原那么，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先考慮特殊位子，假設(shè)一個(gè)位子安排的元素影

4、響另一個(gè)位子的元素個(gè)數(shù)時(shí)，應(yīng)分類討論【自主解答】1先考慮甲有A種站法，再考慮其余6人全排，故不同站法總數(shù)為：AA2 160種22名女生站在一起有站法A種，視為一種元素與其余5人全排，有A種排法，所以有不同站法A·A1 440種3先站老師和女生，有站法A種，再在老師和女生站位的間隔含兩端處插入男生，每空一人，那么插入方法A種，所以共有不同站法A·A144種47人全排列中，4名男生不考慮身高順序的站法有A種，而由高到低有從左到右和從右到左的不同，所以共有不同站法2·420種解決排隊(duì)問題時(shí)應(yīng)注意的問題1對于相鄰問題可以采用捆綁的方法，將相鄰的元素作為一個(gè)整體進(jìn)展排列，但

5、是要注意這個(gè)整體內(nèi)部也要進(jìn)展排列2對于不相鄰問題可以采用插空的方法，先排沒有限制條件的元素，再將不相鄰的元素以插空的方式排入3對于順序給定的元素的排列問題只需考慮其余元素的排列即可4“在與“不在的有限制條件的排列問題，既可以從元素入手，也可以從位置入手，原那么是誰“特殊誰優(yōu)先再練一題23名男生，4名女生，按照不同的要求站成一排，求不同的排隊(duì)方案有多少種1甲不站中間，也不站兩端；2甲、乙兩人必須站兩端【解】1分兩步，首先考慮兩端及中間位置，從除甲外的6人中選3人排列，有A種站法，然后再排其他位置，有A種站法，所以共有A·A2 880種不同站法2甲、乙為特殊元素，先將他們排在兩頭位置，有

6、A種站法，其余5人全排列，有A種站法故共有A·A240種不同站法探究共研型數(shù)字排列問題探究1偶數(shù)的個(gè)位數(shù)字有何特征？從1,2,3,4,5中任取兩個(gè)不同數(shù)字能組成多少個(gè)不同的偶數(shù)？【提示】偶數(shù)的個(gè)位數(shù)字一定能被2整除先從2,4中任取一個(gè)數(shù)字排在個(gè)位，共2種不同的排列，再從剩余數(shù)字中任取一個(gè)數(shù)字排在十位，共4種排法，故從1,2,3,4,5中任取兩個(gè)數(shù)字，能組成2×48個(gè)不同的偶數(shù)探究2在一個(gè)三位數(shù)中，身居百位的數(shù)字x能是0嗎？假如在09這十個(gè)數(shù)字中任取不同的三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)，如何排才能使百位數(shù)字不為0?【提示】在一個(gè)三位數(shù)中，百位數(shù)字不能為0，在詳細(xì)排數(shù)時(shí)，從元素0的角度

7、出發(fā)，可先將0排在十位或個(gè)位的一個(gè)位置，其余數(shù)字可排百位、個(gè)位或十位位置；從“位置角度出發(fā)可先從19這9個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)數(shù)字排百位，然后再從剩余9個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字排十位與個(gè)位位置探究3如何從26,17,31,48,19中找出大于25的數(shù)？【提示】先找出十位數(shù)字比2大的數(shù)，再找出十位數(shù)字是2，個(gè)位數(shù)字比5大的數(shù)即可用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的1六位奇數(shù)？2個(gè)位數(shù)字不是5的六位數(shù)？【精彩點(diǎn)撥】這是一道有限制條件的排列問題，每一問均應(yīng)優(yōu)先考慮限制條件，遵循特殊元素或特殊位置優(yōu)先安排的原那么另外，還可以用間接法求解【自主解答】1法一：從特殊位置入手直接法分三步完成，

8、第一步先填個(gè)位，有A種填法，第二步再填十萬位，有A種填法，第三步填其他位，有A種填法，故共有AAA288個(gè)六位奇數(shù)法二：從特殊元素入手直接法0不在兩端有A種排法，從1,3,5中任選一個(gè)排在個(gè)位有A種排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有A種排法，故共有AAA288個(gè)六位奇數(shù)法三：排除法6個(gè)數(shù)字的全排列有A個(gè)，0,2,4在個(gè)位上的六位數(shù)為3A個(gè)，1,3,5在個(gè)位上，0在十萬位上的六位數(shù)有3A個(gè)，故滿足條件的六位奇數(shù)共有A3A3A288個(gè)2法一：排除法0在十萬位的六位數(shù)或5在個(gè)位的六位數(shù)都有A個(gè)，0在十萬位且5在個(gè)位的六位數(shù)有A個(gè)故符合題意的六位數(shù)共有A2AA504個(gè)法二：直接法十萬位數(shù)字的排法因

9、個(gè)位上排0與不排0而有所不同因此需分兩類：第一類：當(dāng)個(gè)位排0時(shí)，符合條件的六位數(shù)有A個(gè)第二類：當(dāng)個(gè)位不排0時(shí)，符合條件的六位數(shù)有AAA個(gè)故共有符合題意的六位數(shù)AAAA504個(gè)解排數(shù)字問題常見的解題方法1“兩優(yōu)先排法：特殊元素優(yōu)先排列，特殊位置優(yōu)先填充如“0不排“首位2“分類討論法：按照某一標(biāo)準(zhǔn)將排列分成幾類，然后按照分類計(jì)數(shù)原理進(jìn)展，要注意以下兩點(diǎn)：一是分類標(biāo)準(zhǔn)必須恰當(dāng)；二是分類過程要做到不重不漏3“排除法：全排列數(shù)減去不符合條件的排列數(shù)4“位置分析法：按位置逐步討論，把要求數(shù)字的每個(gè)數(shù)位排好再練一題3用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)取不同的數(shù)字組數(shù)1能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且為5的倍數(shù)的五位數(shù)

10、？2能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且比1 325大的四位數(shù)？3假設(shè)所有的六位數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)數(shù)列an，那么240 135是第幾項(xiàng)【解】1符合要求的五位數(shù)可分為兩類：第一類，個(gè)位上的數(shù)字是0的五位數(shù)，有A個(gè)；第二類，個(gè)位上的數(shù)字是5的五位數(shù)，有A·A個(gè)故滿足條件的五位數(shù)的個(gè)數(shù)共有AA·A216個(gè)2符合要求的比1 325大的四位數(shù)可分為三類：第一類，形如2，3，4，5，共A·A個(gè)；第二類，形如14，15，共有A·A個(gè)；第三類，形如134，135，共有A·A個(gè)由分類計(jì)數(shù)原理知，無重復(fù)數(shù)字且比1 325大的四位數(shù)共有：A·AA·A

11、A·A270個(gè)3由于是六位數(shù)，首位數(shù)字不能為0，首位數(shù)字為1有A個(gè)數(shù)，首位數(shù)字為2，萬位上為0,1,3中的一個(gè)有3A個(gè)數(shù)，240 135的項(xiàng)數(shù)是A3A1193，即240 135是數(shù)列的第193項(xiàng)構(gòu)建·體系16名學(xué)生排成兩排，每排3人，那么不同的排法種數(shù)為_種【解析】由于6人排兩排，沒有什么特殊要求的元素，故排法種數(shù)為A720種【答案】7202要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有_種. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：29440007】【解析】從5名志愿者中選2人排在兩端有A種排法，2位老人的排法有A種，其余3人和老人排有A種排法，共有AA

12、A960種不同的排法【答案】9603用1,2,3,4,5,6,7這7個(gè)數(shù)字排列組成一個(gè)七位數(shù)，要求在其偶數(shù)位上必須是偶數(shù)，奇數(shù)位上必須是奇數(shù)，那么這樣的七位數(shù)有_個(gè)【解析】先排奇數(shù)位有A種，再排偶數(shù)位有A種，故共有AA144個(gè)【答案】1444兩家夫婦各帶一個(gè)小孩一起去公園玩耍，購票后排隊(duì)依次入園為平安起見，首尾一定要排兩位爸爸，另外，兩個(gè)小孩一定要排在一起，那么這6人的入園順序排法種數(shù)為_種【解析】分3步進(jìn)展分析，先安排兩位爸爸，必須一首一尾，有A2種排法，兩個(gè)小孩一定要排在一起，將其看成一個(gè)元素，考慮其順序有A2種排法，將兩個(gè)小孩看作一個(gè)元素與兩位媽媽進(jìn)展全排列，有A6種排法那么共有2×2×624種排法【答案】245從6名短跑運(yùn)發(fā)動(dòng)中選出4人參加4×100 m接力賽，甲不能跑第一棒和第四棒，問共有多少種參賽方案？【解】法一：從運(yùn)發(fā)動(dòng)元素的角度考慮，優(yōu)先考慮甲，分以下兩類：第1類，甲不參賽，有A種參賽方案；第2類，甲參賽，可優(yōu)先將甲安排在第二棒或第三