中考數(shù)學系列專題15等腰三角形

1、專題15等腰三角形聚焦考點溫習理解一、等腰三角形1、等腰三角形的性質1等腰三角形的性質定理及推論：定理：等腰三角形的兩個底角相等簡稱：等邊對等角推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。推論2:等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60°。2等腰三角形的其他性質： 等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45 ° 等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角或直角，但頂角可為鈍角或直角。 等腰三角形的三邊關系：設腰長為a,底邊長為b,那么b<a2180 / 等腰三角形的三角關系： 設頂角為頂角為/ A,底角為/

2、 B / C,那么/ A=180° 2/ B, / B=Z C=22、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推論：定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等簡稱：等角對等邊。這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等。推論1:三個角都相等的三角形是等邊三角形推論2 :有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。推論3:在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。二. 等邊三角形1.定義三條邊都相等的三角形是等邊三角形2性質：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°3、判定 三個角都相等的三角形是等邊

3、三角形;有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形三. 線段垂直平分線1.定義垂直一條線段，并且平分這條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線2性質線段垂直平分線上的一點到這條線段的兩端距離相等3.判定到一條線段兩端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上名師點睛典例分類考點典例一、等腰三角形的性質【例1】2021山東濱州第 6題如圖， ABC中，D為AB上一點，E為BC上一點，且AC=CD=BD=BEZ A=50° ,那么/ CDE的度數(shù)為A. 50° B . 51° C. 51.5 ° D. 52.5 °【答案】D.【解析】試題分析：

4、根1E等月疋角冊的性質推ttiZA=ZCDA=50 , ZBDCE. ZBDEZBED,根握三角形的外角性 質求出Z0=25°，由三角形的內角和定理求出1刖-25° =77.5° ,，根抿平角的罡義 即可求出 ZCDEISO3 - ZCDfl- ZEDB=13Oa - 50° -也亍=62+bc ,故答案選 D 考點：等腰三角形的性質；三角形內角和定理；三角形的外角性質.【點睛】此題考查的是等腰三角形的性質，熟知等腰三角形的兩底角相等是解答此題的關鍵.【舉一反三】2021山東棗莊第 4題如圖，在 ABC中, AB = AC，/ A = 3 0°

5、, E為BC延長線上一點，/ ABC 與/ ACE勺平分線相交于點 D,那么/ D等于A. 15°B . 17.5 °C . 20°D. 22.5 °BCE第4題圖【答案】A.【解析】試題分析二在ABC中,ZA=30°，根摒等腥三甬形的性質可得ZABC=ZACB=75" , 0ftAZMCE=18Oc -ZACB=130* -?E° =105*根據(jù)角平分線的性質可得Z»BC=57. 5* f ACD=52. 5 ° 眾卩可得/BCD=127. 5* ， 根據(jù)三角形的內角和定理可得Z>1旳“ -ZDB

6、C-ZDCIrlSOc -37.5° -127. 54 -15°、故答案選A考點：等腰三角形的性質；三角形的內角和定理 考點典例二、等腰三角形的多解問題【例2】2021湖南懷化第8題等腰三角形的兩邊長分別為4cm和8cm,那么它的周長為A. 16cm B. 17cm C. 20cm D. 16cm或 20cm【答案】C.【解析】試題分析：分當腰長為 4cm或是腰長為8cm兩種情況：當腰長是 4cm時，那么三角形的三邊是 4cm, 4cm 8cm, 4cm+4cm=8cn不滿足三角形的三邊關系；當腰長是 8cm時，三角形的三邊是 8cm, 8cm, 4cm,三角形 的周長是2

7、0cm.故答案選C.考點：等腰三角形的性質；三角形三邊關系.【點睛】題考查了等腰三角形的性質；對于底和腰不等的等腰三角形，假設條件中沒有明確哪邊是底哪邊是腰時，應在符合三角形三邊關系的前提下分類討論.【舉一反三】2021湖南湘西州第14題一個等腰三角形一邊長為 4cm,另一邊長為5cm,那么這個等腰三角形的周長 是 A. 13cm B. 14cm C. 13cm 或 14cm D.以上都不對【答案】C.【解析】試題分析：分伽為等謄三甬形的膘和 伽為等胺三角形的腰兩種冑兄：當 畑為等腰三角形的JR時， 三角形的三邊分卻展4叫 畑5沁符合三角形的三邊關系'周長為13當局為等月建角形的朦時,

8、 三邊分別罡丿氏恥日嘰4叫符合三甬形的三邊關系：周長為14幀故答案選匚考點：等腰三角形的性質；三角形三邊關系.考點典例三、等邊三角形的性質與判定【例3】2021年福建龍巖第15題如圖， ABC是等邊三角形，BD平分/ ABC點E在BC的延長線上，【答案】2.【解析】試題分析： / ABC是等邊三角形，/ ABC* ACB=60 , BA=BC ： BD平分/ ABCDBCM E=30°, BD丄 AC, / BDC=90 , BC=2DCvZ ACB玄 E+Z CDE / CDEM E=30°,. CD=CE=1 BC=2CD=2. 考點：等邊三角形【點睛】此題主要考查了等

9、邊三角形的判定和性質，解題的關鍵是利用性質和判定解決.【舉一反三】2021四川達州第15題如圖，P是等邊三角形 ABC內一點，將線段 AP繞點A順時針旋轉60°得到線段PC=10,那么四邊形APBQ的面積為【答案】24+9 - 3 .【解析】試題幷析：如連結PQj根擄等邊三角形的性質得ZEAC=60、AB=AC；再抿據(jù)Si韓的性質得込Pg, ZPAQ=6O° j即可判定APQ為等邊三角形J所決西二AF電 在厶戢和已磁中，腦AC，現(xiàn) AF寸鈣利用SA5判7eAAPCAABQ根將全竽三角形的性質可PC=QB=LO 在厶陰中，0 PB;=8'=S4, K：=6 B=LO即

10、PB2+PQ2=BQ%所lAPBQ為直角三角形，ZBPQ=90° 、所以匕中肚F弘屮弘護g心考點：旋轉的性質；等邊三角形的性質；全等三角形的判定及性質.考點典例四、線段垂直平分線的性質運用【例3】2021湖南長沙第17題如圖， ABC中，AC=8 BC=5, AB的垂直平分線 DE交AB于點D,交邊AC于點丘，那么厶BCE的周長為 .BC【答案】13.【解析】試題分析： DE是 AB的垂直平分線，根據(jù)線段的垂直平分線的性質得到EA=EB所以 BCE的周長=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13考點：線段的垂直平分線的性質 【點睛】此題考查了線段垂直平分線的性質，熟記性質

11、是解題的關鍵.【舉一反三】2021山東威海第10題如圖，在 ABC中，/ B=Z C=36 , AB的垂直平分線交 BC于點D,交AB于點H,AC的垂直平分線交 BC于點E,交AC于點G,連接AD, AE那么以下結論錯誤的選項是C.A ABE= ACD D . Saadf=Slceg【答案】A【解析】試題分析；±8=2036“可得AB=AC, ZBAO103fl ,又因DH垂直平分胡，田垂直平分航根據(jù)中 垂線性慣痔 DB=DA, EA=EC, ?JtZB=ZDAH= ZC=ZCAE=36D、即可ABDA<ABAC,根捋相似三甬形的 性質可得型=型，再由 ZDC= Zb+ZeAD

12、=72 ° f Z»AC= Zb JVC - ZSAI>=7 2 ° ,所以厶DC=NdAC.貝阿得BA BCCD=CA=BA,即ED=0C-CD=BC-AE,所以嚴；嚴二警內即墜墜迤二,選項包錯誤，因為乙 恥 此 LBA BGDAC=108D 、 ZZDZC= ZCAE-3Sc , fHAZDAEZBAC - ZDAB - ZC=36° 即ZDABZDAEZCAE二北“,即可得血，AE 將ZBACS等分選項 E 正確；因為Z0AE=Z0AD+ZDAE=72fl , ZCAB=ZCAE+ZfZB=ZCDAE=724 ,可得ZBAEZCAD,在ZiB

13、AE 和Zif AP 中,AB=AC ,所ABAE£2ACAD,選項 C 正確： lZBAE=ZCAD由4BAE望/比扛可彳孚乩紅5工二十弘?yún)[壬一曲巴工“所以L監(jiān)W二宀又因M垂晝平分AB陽垂直平分ACj所IjA Sajjh= SaiM r Sjcc- Sjlcmj艮卩氐心二選項D正確*故答案選A7I-考點：黃金分割；全等三角形的判定與性質；線段的垂直平分線的綜合運課時作業(yè)能力提升一、選擇題1. 2021湖南湘西州第14題一個等腰三角形一邊長為4cm,另一邊長為5cm,那么這個等腰三角形的周長是A. 13cm B. 14cm C. 13cm 或 14cm D.以上都不對【答案】C.【解

14、析】試題分析：分4cm為等腰三角形的腰和 5cm為等腰三角形的腰兩種情況：當4cm為等腰三角形的腰時，三角形的三邊分別是 4cm, 4cm, 5cm符合三角形的三邊關系，周長為13cm；當5cm為等腰三角形的腰時,三邊分別是，5cm, 5cm, 4cm,符合三角形的三邊關系，周長為14cm,故答案選 C.考點：等腰三角形的性質；三角形三邊關系.2. 2021四川甘孜州第9題如圖，在 ABC中, BD平分/ ABC ED/ BC,AB=3, At=1，那么 AED的周長為A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C.【解析】試題分折:''3D平分厶EC*：匕疝乃G彷ZiSDE打厶5

15、慶Z貞覽二DE 的周長PF+DEMZK扌孕野欝啟A呂眥如，二坷刃，啟2打 二毎D的周長巧+24 應選口考點：等腰三角形的判定與性質；平行線的性質.3. 2021遼寧營口第8題如圖，在 ABC中，/ ACB90。，分別以點 A和點C為圓心，以相同的長大1于丄AQ為半徑作弧，兩弧相交于點M和點N,作直線MN交AB于點D,交AC于點E,連接CD以下結論2A. AD=CDB.Z A=Z DCEC.Z ADE：/DCBD.Z A=2/ DCB【答案】D.【解析】試題分析： DE是AC的垂直平分線， DA=DC AE=EC故A正確，二DE/ BC / A=Z DCE故B正確,/ AD匡/ CDE/ DCB

16、 故 C正確，應選 D.考點：作圖一根本作圖；線段垂直平分線的性質.4. 2021河南第6題如圖，在 ABC中，/ ACB=90 , AC=8 AB=10. DE垂直平分 AC交AB于點E,那么DE的長為【】A6 B5 C4 D3【答案】D.【解析】試題分析：在山咲中，ZACB=9O° , AC=8, AB=1O,根將勾股走理可得EC叭又因DE垂直平分？ ZACE=9O",可得的中位線，根據(jù)三角形的中位線主理可得DE=BC=3,故答秦選D.考點：勾股定理；三角形的中位線定理5. 2021河北第16題如圖，/ AOB120°, OP平分/ AOB且OF=2.假設點M

17、 N分別在 OA OB上，且PMt為等邊三角形，那么滿足上述條件的PMN第16題圖A. 1個B. 2個C. 3個 D. 3個以上【答案】d.【解析】試題分析：M、N分別在AO、EO上，一個；M N其中一個和O點重合，2個；反向延長線上，有一個,故答案選D.考點：等邊三角形的判定.6.在平面直角坐標系中，點 AJ2 , y/2 , B3J2 , 3J2 ,動點c在x軸上，假設以A B、C三點為頂點的三角形是等腰三角形，那么點C的個數(shù)為A. 2 B . 3 C . 4 D . 5【答案】B.【解析】試題分析：如團，T腫所在的直線是$皿設拙的中垂線所在的直線是一x +弗T點八恵, 血，遲3血，3爲第

18、.腫的中點坐標是2血，2血，扌巴塔2血，戶2血代入y二-丸十乩解 得掃斗的中垂線所在的宜線是y = -42, /.Ci 42, 5以點衛(wèi)為同心，U謔的長為半徑畫弧，£工軸的交點為恵q、G ；上* J3花J血 7肚-a 亂V3T5>4; ：-b為圓h以肋的長為半徑畫弧，與寛軸沒有交點.綜匕 可得假設人矢禺匚三點 為頂點的三角形是等腫三角刑、!M負C的個數(shù)為3 .應選B.考點：1.等腰三角形的判定；2坐標與圖形性質；3分類討論；4 綜合題；5壓軸題.7. 2021 山東濱州第 6 題如圖， ABC中，D為 AB上一點，E為 BC上一點，且 AC=CD=BD=BE/ A=50

19、6; ,那么/ CDE的度數(shù)為 A. 50° B . 51° C. 51.5 °D. 52.5【答案】D.【解析】試題分析；根據(jù)等腰三角形的性虞推出±2/3450"2>4電 ZBDEZBED,根據(jù)三角形的外角性 JfiSajZB=25fl ,由三甬刑的內角SIS：理求出三BD0ZBEg£ 1BT -疔=7T. r 根抿平甬的定義 艮卩可求出/CDE=1旳“ -ZCDi- ZEDB=190° - &T -77.5° =52,故答案選 D考點：等腰三角形的性質；三角形內角和定理；三角形的外角性質.二、填空

20、題8. 2021貴州遵義第14題如圖，在 ABC中, AE=BC / ABC110。，AB的垂直平分線 DE交AC于點D, 連接BD那么/ ABD度.【答案】35.【解析】試題分析：在ABC中,AB=BC/AB=110°,aZA=ZC=35°,v AB的垂直平分線DE交AC于點D,二AD=BDABD/ A=35°,故答案為：35 .考點：線段垂直平分線的性質.9. 2021 江蘇蘇州 第17題如圖，在 ABC中，AB=10 , / B=60°, 點 D、E分別在 AB、BC上，且BD=BE=4 ,將 BDE沿DE所在直線折疊得到 B' DE 點B

21、'在四邊形ADEC內，【答案】2 ,.'7.【解析】試題分析：過點D作DF丄B'E于點F,過點B'作B'G丄AD于點G,v/ B=60°, BE=BD=4 丄BDE是等1邊三角形， B' DEA BDE B' FB' E=BE=2 DF=2/3,二 GD=B F=2,. B' G=DF=3, v AB=10, AG=10- 6=4, AB' =2.：7.考點：1軸對稱；2等邊三角形.10. 2021湖北隨州第12題等腰三角形的一邊長為9，另一邊長為方程 x2-8x+15=0的根，那么該等腰三角形的周長為.

22、【答案】19或21或23.【解析】試題分析：解方程貳-盼燼0得口或蚱5,分以下幾種情況：當?shù)劝闳切蔚娜呴L為隊3時， 其周橫為21;當?shù)妊切痰娜呴L為9、沢弓時，具周長為23;當?shù)妊切蔚娜呴L為沐氣3 時，旳叭不符合三角形三邊關系定理，舍去當?shù)妊切蔚娜呴L為鉄5. 5時，甘周長為 綜上該等腰三角形的周長為1921或幼考點：一元二次方程的解法；三角形三邊關系；等腰三角形的性質.11. 2021廣西河池第18題如圖的三角形紙片中，ABAC BC=12cm / C=30°,折疊這個三角形，使點B落在AC的中點D處，折痕為EF,那么BF的長為cm【答案】二.3【解析】試題分析：

23、過D作DHL BC過點A作ANL BC于點N,/ ABACB=Z C=30°,根據(jù)折疊可得：DF=BF,/ EDf=Z B=30°, / ABAC BC=12cm BN=N(=6cm v點 B落在 AC的中點 D處，AN/ DH, - NH=HC=3cmDH=3tan30°BF=DF=xcm,那么 FH=12 - x- 3=9- x( cm),故在 Rt DFO中, DFDH2FH2故x2 (J3)2 (9 x)2，解得：x=14，即BF的長為：14 cm故答案為:33143考點：翻折變換(折疊問題)12. ( 2021內蒙古通遼第14題)等腰三角形一腰上的高與另

24、一腰的夾角為48°，那么該等腰三角形的底角的度數(shù)為【答案】69°或21°.【解析】試題分析；分兩種情況討論； 假設乙1<90"、如圖1所示：'：3DJUG .厶4十乙罰彷帥° ,，八二9/ 一4& 討2弓， A£=ACf .'.ZABC=C=(180° -42")弓2二妙; 假設；如團2所示=同可得：Z=50° -48° =42° ； /.OlS0° -42° =43S° , '.4B=ACf(180° -1

25、38° ) 4-2=21e |綜上所述；竿脛三甬形底角的度數(shù)為6廠或-故答案為：砂?；?1° .考點：等腰三角形的性質；分類討論.13. (2021福建南平第16題)如圖，等腰 ABC中, C/=CB=4，/ AC昏120°,點 D在線段AB上運動(不與A B重合)，將 CADW CBD分別沿直線 CA CB翻折得到厶CAPW CBQ給出以下結論：CD=C民CQ / PCQ的大小不變； 厶PCC面積的最小值為心；5 當點D在AB的中點時， PDC是等邊三角形，其中所有正確結論的序號是 【答案】.【解析】試題分與cm分別沿直線a沢 佃翻折得到與/.©

26、63; 確；T將01£與4CSD分昂於直維6、C3翻折得到3與厶CBQ八厶*厶5 ZBCQ=ZBCDf/. ZCJM-Zcg= ZACLH-ZSC ZJ C5=l 20* ,他 -(ACB ) =360-(120° 4120s ) =120° , AZPCfi 的大小不變".正確丫如圖，過點 Q 作 CEL PC交 PC延長線于 E, / PCC120。，/ QCE60。，在 RtA CCE中, tan / CCEQE , CC QE=CQ< tan / QCECQ< tan 60°=3 CQ / CP=CD=CQ SpcQF 丄

27、CPX QE=lcPX V3 CQ= CD2 , CD 2 2 2最短時，Spcq最小，即：CDL AB時，CD最短，過點 C作CFL AB,此時CF就是最短的 CD ： AC=BC=4,/ACB=120°./ AB(=30°,a CF=- B(=2,即:2CD最短為2, s _V3“2 V3-Sa pcq最小CD =2 222 = 2.3，錯將 CADW CBD分別沿直線 CA CB翻折得到厶 CAP與 CBQ. AD=AP, / DAC/ PACDA(=30°,/ AP!=60°,.A APD是等邊三角形， PD=AD / ADf=60。，同理： B

28、DQ是等邊三角形，二 DOBD, /BDQ60°,./ PDO60°,v 當點 D在 AB的中點，AD=BD PD=DQ DPC是等邊三角形，.正確，故答案為：.考點：幾何變換綜合題；定值問題；最值問題；綜合題；翻折變換折疊問題14. 2021四川達州第15題如圖，P是等邊三角形 ABC內一點，將線段 AP繞點A順時針旋轉60°得到線段AQ連接BQ假設PA=6 PB=8, PC=1Q那么四邊形 APBC的面積為.【解析】試題分析：如朗連結皿根據(jù)等邊三角形的性質得公航弋於,漳0再根據(jù)龍轉的性質得滬FE，Zpaq=0o<> ,即可判定肛念為等邊三角形，所t

29、XPQ=AP=sj在Aafc和abq中，ab=ac> Zcaf=Zbaq,AP二PQ,別用SAS判定ZkAPC仝ABQ,根據(jù)全等三角形的性質可得FC=QB=10;在ABFO中，F(xiàn)F=8J=54,PQ:=6 EQ:=1O 0PFD海所以PBQ為直角三角形ZBFd=90° ,所以§代“尸五十歸才牙心 XS +X羽.考點：旋轉的性質；等邊三角形的性質；全等三角形的判定及性質.15. 2021湖南長沙第 17題如圖， ABC中，AC=8, BC=5 AB的垂直平分線 DE交AB于點D,交邊 AC于 點巳那么厶BCE的周長為.【解析】試題分析：已 DE是抽的垂直平分純根抿線段的

30、垂直平分線的性庚得到砂EB,所£UBCE的周長帀嚴取托滬現(xiàn)丹；墟人=鞏+航=13、考點：線段的垂直平分線的性質16. 2021湖南婁底第17題如圖，將 ABC沿直線DE折疊，使點C與點A重合，AB=7, BC=6那么試題分析：將 ABC沿直線DE折疊后，使得點 A與點C重合，由折疊的性質可得 AD=CD由AB=7, BC=6可得 BCD的周長=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB=7+6=13考點：翻折變換折疊問題三、解答題17. 2021山東淄博第 22題8分如圖， ABC AD平分/ BAC交BC于點D, BC的中點為 M ME/ AD 交BA的延長線于點 E,交AC于

31、點F.1求證：AE=AF【解析】試題分析；1根據(jù)角平分線的性質及平f娥關性質易厶EPZ佛即可得們旳<2>作曲，交甌 的延長線于G,虻詢，根據(jù)三角形中位線定理的推論證明BDEG,再利用三甬形的中位線定理艮冋證 得結論.試題解析：1> *DA 平分 ZfiAC,/.Zbad=Zcad,Tad" em,/.Zso=Zaef Zcad=Zafe化Z肛嚴Zafe,AAE=AF.2作,交站的延長纟訐GVEF/C<,/-Zg=Zaef Zacg=Zafe,vZaejZafe,Zg=Zacc7/-AG=AC,TBIM1. EM/CG,/.BE-EC,1 1 1 BE=BG B

32、A+AG 二一AB+AC.G考點：三角形中位線定理；等腰三角形的判定與性質.18. 2021湖南懷化第17題如圖， AD=BC AC=BD1求證： ADBA BCA20A與OB相等嗎？假設相等，請說明理由.【答案】1詳見解析；2 OA=OB理由詳見解析【解析】試題分析：1根據(jù)換定理推出全等貝呵；根拐全等得出ZOAB二山朋，根據(jù)等甬對等邊得出可. 試題解析：L證明：T 在ADE 和AB 中，AB=BC? AB-BA, BD-AC,.AALB£2ABCA SSS解;OA=OB,理由杲；'.AadeAbgai/_ZaBD=ZBA£；.OA=CB.考點：全等三角形的判定與性

33、質；等腰三角形的判定.19. 2021廣西河池第21題如圖，AE/ BF, AC平分/ BAE交BF于C.1 尺規(guī)作圖：過點 B作AC的垂線，交 AC于O,交AE于D,保存作圖痕跡，不寫作法2 在1的圖形中，找出兩條相等的線段，并予以證明.(2) AB=AD=BC【解析】試題分析； 剎用根本11乍團作陽丄M祁可，(2)先剎用平行線的#JS得zXmez：眈9再根18角平分線的定義和等量代撫得到ZBCA=ZSACt那么BABC,然后根據(jù)等腰三角形的判定方法由SDj_AO, AO平分ZHQ得到丄爐Q, ffitA AD=BC. 試題解析：(D如區(qū)恥対所作；DBCF(2) AB=AI>BC.證明如下：'AEJl BFf 二&人C=ZJ3j 'AC 平分ZB-4E, ,Z£.4CZJL4C,:-BA-BCr 'BD_Lj