2014年高考數學湖北卷試題及解析

1、2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試卷數學理科一選擇題：本大題共 10小題，每題5分，共50分.在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的。1.為虛數單位，那么1(1i2iA. 1B.C.iD.i答案C解析試題分析：因為(1 i )22i1，應選 Co1 i2i點評此題考查復數的運算，容易題。2.假設二項式2x 巧7的展開式中 的系數是84，那么實數a xxA.2 B. 5 4 C. 1 D.24答案D解析試題分析：因為 C； 2xr 27 r C；2ra7rx72r，令 7 2r 3，得 r 2， x所以C； 22 a； 284，解得a -，應選d。4點評此題考查二項式定理的通

2、項公式，容易題。3設U為全集，A,B是集合，那么“存在集合 C使得AC, B CUC 是“ A B的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析試題分析：依題意，假設 A C，那么 CUCCUA ,當B CUC，可得A B;假設A B，不能推出BCu C，應選Ao點評此題考查集合與集合的關系，充分條件與必要條件判斷，容易題。4.根據如下樣本數據x345678y4.02.50.50.52.03.0得到的回歸方程為 ? bx a，那么A. a 0, b 0 B. a 0,b0 C. a 0, b 0 D. a 0.b 0答案B解析試題分析：依題意，畫散點圖

3、知，兩個變量負相關，所以b 0 , a 0.選B。點評此題考查根據樣本數判斷線性回歸方程中的b與a的符號，容易題。5.在如下列圖的空間直角坐標系 O xyz中，一個四面體的頂點坐標分別是0,0,2，2,2,0，1,2，1，2,2,2，給出編號、的四個圖，那么該四面體的正視圖和俯視圖分別為A.和 B. 和 C. 和 D.和答案D與俯視圖為，解析試題分析：在坐標系中標出的四個點， 根據三視圖的畫圖規(guī)那么判斷三棱錐的正視圖為應選Db6.假設函數f (x),g(x)滿足 11 f (x)g(x)dx0,那么稱f (x),g(x)為區(qū)間1,1上的一組正交函數，給出三組函數: f (x)sinx,g(x)

4、 cos丄x ； f(x)2 21, g(x) x 1 ； f(x)x,g(x) x2其中為區(qū)間1,1的正交函數的組數是A.0B.1C.2D.3答案C解析試題分析:對的正交函數；對111(sin x cos x)dx122>21,x 1)(x 1)dx111d(sin x)dx cosx | 11221 311)dx (x3x)|110，那么30 ,那么 f (x)、g(x)為區(qū)間1,1上f x、gx不為區(qū)間1,1上的正1交函數；對x3dx 一x41 0，貝U fx、gx為區(qū)間1,1上的正交函數。所以滿足條件的正交函數有142組，應選Bo點評新定義題型，此題考查微積分根本定理的運用，容易

5、題。7.由不等式x 0y 0確定的平面區(qū)域記為y x 20x y 1,，不等式，確定的平面區(qū)域記為x y 22，在1中隨解析試題分析：依題意，不等式組表示的平面區(qū)域如圖，由幾何公式知，該點落在2的概率為機取一點，那么該點恰好在2的概率為(11c37A. B.C.D. -8448答案D78，選Q點評此題考查不等式組表示的平面區(qū)域，面積型的幾何概型，中等題。8?算數書?竹簡于上世紀八十年代在省江陵縣家山出土，這是我國現存最早的有系統(tǒng)的數學典籍，其中記載有 求“蓋的術：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一 1該術相當于給出了有圓錐的底面周長L與咼h，計算其體積V的近似公式vL2h.它實際上是將

6、圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么近似公式v36一 L h相當于將圓錐體積公式中的75近似取為()A. 22 B. 25C. 157 D. 3557850113答案B解析試題分析:設圓錐底面圓的半徑為r，高為h，依題意，L (2 r)2 ,12 2 2r h(2 r) h，所以37518252，即的近似值為 ，應選B。3758點評此題考查?算數書?中的近似計算，容易題。P是他們的一個公共點，且F1PF2,那么橢圓和雙曲線的離心率39.F1, F2是橢圓和雙曲線的公共焦點,的倒數之和的最大值為()4、323A.B.C.3D.233答案B解析試題分析：設橢圓的短半軸為a，雙曲線的實半軸為ai(

7、 a 印)，半焦距為c，由橢圓、雙曲線的定義得 I PFi |IPF2I 2a，|PFi| PF21 2a2，所以 | PFi | aai，| PF21 a ai，因為FiPF2 60，由余弦定理得4c2(aai)2(aai)2(aai)(aai)，所以4c2a2 3a2 ，即2 a；2aicai 2i i 2丄)2，所以()2ce 6i84,，利用根本不等式可求得橢圓和雙曲線的離心率的倒8數之和的最大值為2.33點評此題橢圓、雙曲線的定義與性質，余弦定理與用根本不等式求最值，難度中等。1 2io.函數f(x)是定義在R上的奇函數，當 x 0時，f(x) (Ix a2|2|x 2a21 3a2

8、)，假設 x R，f (x 1) f (x)，那么實數a的取值圍為()B.-.6石.6C.対D.亠33答案B解析試題分析：依題意，當 x 0時，f(x)x 3a2,x 2a2a2,a2 x 2a2，作圖可知，f (x)的最小值為a2，因為2x,0 x a函數f (x)為奇函數，所以當 x0時f (x)的最大值為a2，因為對任意實數x都有,f (x 1)f(x)，所以,2 24a ( 2a )1，解得.666，故實數a的取值圍是6點評此題考查函數的奇函數的性質、分段函數、最值與恒成立，難度中等。二、填空題：本大題共 6小題，考生共需作答 5小題，每題5分，共25分.請將答案天災答題卡對應題號的位

9、 置上，答錯位置，書寫不清，模棱兩可均不得分(一)必考題(11 14題) 點評 此題考查直線13. 設 a 是一個各位數I a ， 按從大到D a 851). 閱讀 答案 495 解析 試題分析b 981 198 7那么 b 954 459 點評 新定義題型，14. 設 f x 是定義x 軸的交點為f (a,b)1)2)當當 fc,0(x 0)時，Mf(a,b)為a,b的幾何平均數;(x 0)時，Mf(a,b)為a,b的調和平均數以上兩空各只需寫出一個符合要求的函數即可)答案14. H ) /J： c U) t i 或填 l I、11)耳-K'Pi-pi X|1E 羽數均口門y 0,所

10、解析試題分析：設f(x) x(x 0)，那么經過點(a, a) , (b, b)的直線方程為 y-a，令x a b a2ab2 ab以c x，所以當fx x(x 0)時，Mf(a,b)為a,b的調和平均數 上竺。a ba b點評此題考查兩個數的幾何平均數與調和平均數，難度中等。(二)選考題15. (選修4-1 :幾何證明選講)1,CD 3,如圖，P為O O的兩條切線，切點分別為 代B，過PA的中點Q作割線交O O于C, D兩點，假設QC那么PB 答案4解析試題分析：由切割線定理得 QA2 QC QD 1 (13)4，所以QA 2 , PB PA 4。點評此題考查圓的切線長定理，切割線定理，容易

11、題。16. (選修4-4 :坐標系與參數方程)曲線G的參數方程是3t t為參數,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程是2，那么G與C2交點的直角坐標為 答案(31)2 3t消去t得X1 2 3y2(x 0, y 0)，由 2得x2 y2 4，解方程組X2 x3x解析試題分析：由y(3,1)。得C1與C2的交點坐標為極坐標方程與平面直角坐標方程的轉化，曲線的交點，容易題。點評此題考查參數方程、17、本小題總分值11分某實驗室一天的溫度單位：隨時間單位;h的變化近似滿足函數關系；y2 43y2J 2 時"4-> = 1 ；半2 14 時* bkii

12、+I123L2 3干足JX"血l叫24上収fVJft丈it IZi嵐紺ft小血乳ftt = 10- vcos-t 一sin-tt e0.24X戰(zhàn)氏監(jiān)空這犬必高鹽感為蛀1c*尺龍耀工為斗匸一i JL載邀點豈f> 11 L-J實醴鎂需晏降思巾【)得 /(f)-IO-ZsiD( -ft-)，J +li JIZ 3即林 rt(上 J + 5)<_1.1232.Oi <24 INJt 二電* 19110 -e j < IS .6123 i宦10 I時k 1«吋掘弊啦陽臭樣?L18 本小題總分值12分 等差數列化J滿足：.=2,1 求數列dj的通項公式且日，U

13、俺|成等比數列.2記久為數列3已的前n項和，是否存在正整數 n,使得5 > 6Qn -I- 30D?假設存在，求n的最小值；假設不存在，說明理由is. f 11迎戟列sj胯公巒為d.罐恵理，" n :覇成留比救列*放打 wZ(2 + 4rfh化前軸/-M- 0解稈d二0或川=.與才=0吋-21"i甘二 4 時,叭 2 + (n -1) '4 = 4n-2叢勵礙監(jiān)那么叫時通頊公式黑叫=2或叫三舸學Ml> 叫=211-f, =2rt. U2fl<6flft + 8O0,直時爪存隹正鑒敎皿慄鮒巳他皿+瞅戰(zhàn)立.坤氣E-2時.£二史±如也

14、=濃>MM-?SQO t 即(一3勺冷一側?0粧胃 ma 朋誠hv-i> < £? J< t此時存框花整敢樸 型桐£ A 60,川和底立."的加小值為41.驛匕知廠2時不井雀滿北題啟的；耳叫時存尬肅足建蠹的略梵址申就為磯.19(本小題總分值12分)如圖，在棱長為2的正方體ABCD ABiGU中，E,F,M,N分別是棱AB, AD, ABi, AU的中點，點P,Q分別在棱DDBB,上移動，且DP BQ 02 .(1) 當 1時，證明：直線BG平面EFPQ ;(2) 是否存在，使平面EFPQ與面PQMN所成的二面角？假設存在，求出的值；假設不存

15、在，說 明理由円一兒何方祛:< 1 > 址加 SiifiH 仃,田 MCD肚正方恪 BCAfh.-I >1 =3時.尸足口厲閥甲點艾廠赴MD觸屮克，fify Fr/ZXD|.所 UM'MF.而片f匚平面 efvq . JI Ac a ilii 忙網.iZftn fic, if 甲面 effq .cm mi.匹接創(chuàng)> 因為e尸分伺捷.歷*血前中點"曲罠 FFV 白b REF -Jin .,< 門嚴=hQ f 門屮 & fiQ 1所旦四辿理吃展>亂卵打回邊圧，pg/BD. Apq-hd 甌EM"目曲斗尸認壺Ht砌。和Rt尸Wl

16、u 風為HQ D卩* E * HE5F 兒F界gQ±F2浙以四血理EFPQ地丐悵鐲也何幵可UF叫邊憎陀磁葩警髓祎型，甘別就屮.尸卩 胚甲的中/.'： !J ti，<? . G t Gfi . OG.5Sl|Gf9 1MU 丄 F"， I血 *仃打心=0 發(fā)WGOH圧面U7%>Ji浙PQMN斫M庖魚的Wlft.秤存在必-使|M EFfQ Jj血rvv ry<股的：而站為良.価曲*刖aofi - w . 述播 陽 Ar *期由 砒卅人仲11或尸h .W.V .劃聞邊焉瓦FNM理r抒沖迪殆 Ji |£ till.虬|為胃G吐群 .W.V的屮鮎

17、所U GH 3 .wt - 1.在心<?0"中* GH-4 Qf產二“丸：Ty =丘。$,0(7 =1 + (3 -A):-(l_ii);十£ tilj(xr*OF尸*<vr】樹卩纖+*翠W", A = tr 啟存占必T 土半，便E £円空與面陀忖W所成的1両ffi燉忙而張廚織方怯k玖口為駅黑 射幽加r叱，M卄料為浙p H軸的近半桶建立如閤3旺不的空卿NAi坐虹異e嚴一 ilr已劃曲 C(O.X 2), F(2, L0鞏htXD,円厲 D).8C = (-2, 0;2i *0=卜】.0") FE -GJ,O) +CT)證明】時入列時

18、n ?(-!* fltl)r-3. 0,2),所試目<7；m2FP"即肌7FK而FPlBBFPQi-且JCg平師鹵f/V握直盤址打平畫EFf£?.U()設平面毋理臨一代聞量為鞏斗f"MEti *>A = O.F址叮聯喬=(X. 耳1).網押可稈千両 EQ腫 佬閆做為 -<4-3,2-13).假設存Q快和E護。山"G空所成帕】曲勵為4二脈陽則! 林亠初芥&呼山-底1)=觸沖芒-町-如“吋皿，di 制禪丄訂主乂.2JR"繪存霍丄?|士辛.故個呂即g與而暫財川所底的二面幣為或二*fit20. (本小題總分值12分)方案在某水

19、庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X (年入流量：一年上游來水與庫區(qū)降水之和單位：億立方米)都在 40以上.其中，缺乏80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，并假設各年的 年入流量相互獨立(1) 求未來4年中，至多1年的年入流量超過 120的概率；X限制，并有如下關系;(2) 水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數受年入流量I隼AJU*I 4O< JT <90 1笈電肚專阿運村臺|二-+廠 V假設某臺發(fā)電機運行，那么該臺年利潤為5000

20、萬元；假設某臺發(fā)電機未運行，那么該臺年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值到達最大，應安裝發(fā)電機多少臺？2d f 5電愆科 W 552器仇緘p： 腫叱"£砂 礙心.藥=fXr>i2o)= = ni_由二頂吩布膽木靈4年屮蚩臺知I伍的年入謐詁超過I現的槪串QQipCi-舟)'丼1正* 4減(帀r x(蚯2。工卻廠.CEI)記加I壯站年總利網馮r(執(zhí)忖T 77元h<1) I會發(fā)電機的植鏗一fli千木咋年入施就観大于和故一合竣唱機運行的鷲申期h對貳的殲刊潤 r = S(W. tp ) = 5tW0*li=5tW0,<2>空裁】fT發(fā)電機踰解.戦

21、廻也 44KX<K0時.-含腿屯機辿彳J. L七時1'=5<"0-畑0*衛(wèi)00*閔 Jit f(y rr 4200) = P(J0 < .¥ < 80) =pt= 0.2 :與 2軸吋淅 A比電機運廿 北軸 r = 50OOv1 = KKX)0h 関此Fp - IDOOO) -P(_rS0)= P；亠 土0用=由此 鉗r的分布尅如卜Y4測1<WOPaiQ$i U E| Y) =沖工曲X “丄 + lUOOO OS =<3>蚩施3舍覽電林的帶廂ft起慝.斗和 WXUIH)吋.-臺奴屯機lltElt r s$WO-1600 =

22、34(MJ .囚 WO<JtKO A - t hliMJi 120 nt.兩臺竝電杠業(yè)ir. |itlh!r5000r 2-800 = 9200* M P(Y - 92(W =1120)= p,= 0.7 :卅*>1卻咁：合戲電機國打*亂時F二血附曲=沾就0 .圉此片廣寧巧000)=鬥A A*扣冃第=0J >由此甜F的分布時如下r34009200I5UUUPJ0.22 JOil網以.£ - 3400* 0.2 9200« C,7 + 15000j< 0.1 - 8610.嫁上.fit便水電站隼思和樹豹均苗到達凰心 應集裳戲電PUfr21. (總分值1

23、4分)在平面直角坐標系 xOy中，點M到點F 1,0的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1，記點M的軌跡為C.(1)求軌跡為C的方程(2)設斜率為k的直線過定點p 2,1，求直線與軌跡 C恰好有一個公共點，兩個公共點，三個公共點時k的相應取值圍。2. I 松庖MCxj 睡管意衛(wèi)禮門=|xi*r化祈靈庫側尸址期斗"神竝點M伽逵C鮎親力b亍J 'g .T < 0.12也點陽的較逵L札記仏：尸牡，“F=gz如 依羯駛 可謖H總的方用為廠1=刖卄比 由方禮蛆；4中日"訕鉤丄八令*咻7“ y »+a<O當ZlHr此1卄“耙T代人軌進汕硼.肌* 故此肘*竝/:嚴I m

24、驗砂亡松即oe竝其慮G，m<2肖R單0時、方理前甸剳式為冉=162*'+±1打應H蛭/與工輛的空血為心0那么!jy-1 Mr+2b y-0< 謝也=-當二.XC i > K-，V：t'd Hi魏解帶*噸小 縱“丄.X,譏、28|3 耳 Jr 屋. * 1山&，珀巧 附切歸匚沒棄公其民 與GTIf 處典也址此時門紅r Si止</恰呵-*典也* ill 假設F °r 取山縮解豺*曰T2 我一丄占R弋趴斗弋口I斗印，22郎日氏I 如時 HjC.Rn 十公典點，*冇一"畑.蘭九卜土。曲 跑 兀杓兩松皿 g沒右處心.畝肖ee卜?時.罰綾r稠尢跡黔好有商炸公*總 甘$5 由©雜外丄.J!EO<A<i.嶺吃厲22即M卜卜I,；吋，訶宦LjC訂刈心恿此點*與GY，6仝共戌.韭北陀訂埋r與毗逡恰如仃寧牛僅其點.垢m 可知齊展-不-|山&十時ue時mv與機述怡野裔 一嚇魯共點匚邛上列-呂如Uh弓時朮織j*也誠<"恰好肓曲個令兒肖：當JLurirtl門出1 - njt57 和|n-t門即與軌遊£恰好有三個益