論最近發(fā)展區(qū)與數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)

1、論最近發(fā)展區(qū)與數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)    摘要：學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)對數(shù)學(xué)教學(xué)的一些啟示，在最近發(fā)展區(qū)的已知彼岸如何才能把學(xué)生自然地過渡到所能達(dá)到的未知彼岸，從而提高教學(xué)效率，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和數(shù)學(xué)能力。提出了三個(gè)原則，循序漸進(jìn)原則，利用“變式”原則，螺旋循環(huán)原則。   關(guān)鍵詞：最近發(fā)展區(qū)、數(shù)學(xué)能力、培養(yǎng)最近發(fā)展區(qū)指的是學(xué)生已有的能力水平與現(xiàn)在還沒有，但經(jīng)過訓(xùn)練可以達(dá)到的水平之間的距離的差異，學(xué)生已有的能力是指學(xué)生能獨(dú)立解決問題的能力，而學(xué)生可以達(dá)到的能力指的是學(xué)生現(xiàn)在還不能獨(dú)立解決問題，但在教師的指導(dǎo)下，通過模仿加上個(gè)人的努力從而

2、形成解決問題的能力，最近發(fā)展區(qū)與學(xué)生的年齡、能力、知識(shí)水平等有緊密的聯(lián)系，不同的班，同一個(gè)班之中不同的學(xué)生，其最近發(fā)展區(qū)也有明顯的不同，根據(jù)具體情況具體分析，而教師對學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的把握與研究，直接影響到數(shù)學(xué)教學(xué)效率的高低，影響學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，從而對數(shù)學(xué)能力的形成有著重要的影響，在具體教學(xué)之中，盡管學(xué)生個(gè)體有著明顯的差異，但總體來說，如何把學(xué)生從已有的水平引渡到未知的水平彼岸，還是有規(guī)律可循的，本人根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，提出如下幾點(diǎn)看法，以期能拋磚引玉。一、循序漸進(jìn)原則教師對所教學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)估計(jì)得過高，學(xué)生不易掌握老師所教的內(nèi)容，即所教內(nèi)容相對于學(xué)生而言過難，在課堂教學(xué)之中表現(xiàn)出氣氛沉

3、悶，從而打擊了學(xué)生的信心，影響學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，反而欲速則不達(dá)；而對學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)估計(jì)得過低，則不宜學(xué)生能力的形成，使得學(xué)生老是在同一水平徘徊不前，從而使得教學(xué)效率低下，這種情況在課堂教學(xué)之中雖然氣氛活躍，但學(xué)生實(shí)際上沒有什么提高，教學(xué)效率也不會(huì)高。當(dāng)然，不同內(nèi)容，不同階段，不同的教學(xué)對象，最近發(fā)展區(qū)也不同，這要具體來分析，下面以數(shù)學(xué)概念的教學(xué)為例來作說明。對于數(shù)學(xué)科來說，概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)，中學(xué)數(shù)學(xué)概念是經(jīng)過教學(xué)法加工以后，帶有另外一些特征，即具有準(zhǔn)確性，層次性和發(fā)展性，在教學(xué)之中，對新概念的引入，要以原有的知識(shí)為基礎(chǔ)，并且能通過大量的事例揭露出概念的關(guān)鍵特征，概念少不了下定義，

4、在區(qū)分定義的特征時(shí)，首先要借助于直觀形式，通過具體的事例來說明定義，例如：在引入數(shù)列極限的定義之前，要引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察有極限和無極限的具體數(shù)列，獲得有關(guān)數(shù)列的直接表象，再把數(shù)列極限通過坐標(biāo)軸表現(xiàn)出來，這樣就可以把它看成數(shù)列的項(xiàng)能無限接近的一個(gè)數(shù)，最后才用數(shù)學(xué)形式（當(dāng)時(shí)，）表示出來，這樣才能發(fā)現(xiàn)數(shù)列極限的本質(zhì)特征，還要判斷具體的數(shù)列是否滿足這一特征，完成這些工作之后再對數(shù)列極限下定義，這樣學(xué)生就能很好地掌握所學(xué)的內(nèi)容，又如本人在上高三統(tǒng)計(jì)這一章里的隨機(jī)變量這一概念時(shí)，學(xué)生開始理解時(shí)也較為困難，加上符號(hào)等以前見得少，大多數(shù)學(xué)生都不知隨機(jī)變量表示什么意思，課本上在引入隨機(jī)變量這一概念時(shí)也過于簡單，所

5、以在教學(xué)之中要先舉例，通過具體事例介紹不同的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，那么隨機(jī)變量就代表實(shí)驗(yàn)的所有不同結(jié)果，例如：袋中有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，現(xiàn)每次從袋中任取2個(gè)球，那么能作為隨機(jī)變量的是，  取出的球中至少有一個(gè)白球，                   取出的球中至多有一個(gè)白球，  取出的球中所含白球的個(gè)數(shù)，      &

6、#160;            至少有一個(gè)黑球，引導(dǎo)學(xué)生分析，能代表實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果的，只有這一項(xiàng)，所有應(yīng)為，其它選項(xiàng)則沒有把所有的實(shí)驗(yàn)結(jié)果包含進(jìn)去，當(dāng)然就不可能作為隨機(jī)變量了，通過這一例子，學(xué)生才終于對隨機(jī)變量這一概念有了鮮明的認(rèn)識(shí)。二、充分應(yīng)用變式，發(fā)揮數(shù)學(xué)“變”的魅力（一） 在對公式、定理、公理的教學(xué)之中，在學(xué)生對公式的來源、背景加以理解之后，如何才能加強(qiáng)學(xué)生對公式、定理的理解從而形成數(shù)學(xué)能力呢？如何才能避免低層次的反復(fù)重復(fù)呢？這里，“變式”起著重大的作用，通

7、過變式能把公式、定理、公理的本質(zhì)揭露出來，比如初中的完全平方公式：，可以通過設(shè)計(jì)如下的題組來進(jìn)行。（1）關(guān)于公式的簡單的理解                              （2）擴(kuò)大的變化范圍        

8、                                       （3）公式的逆用練習(xí)         &#

9、160;                                  （4）項(xiàng)的系數(shù)限定在正整數(shù)范圍內(nèi)的練習(xí)            &

10、#160;            在關(guān)于公式具體化的過程中，隨著 意義的逐步加深，其內(nèi)容和難度也在逐步增大，使學(xué)生對公式的結(jié)構(gòu)、內(nèi)在聯(lián)系體會(huì)得更加具體、深刻，這一比較，可以使學(xué)生開闊視野，更好地掌握公式，防止的錯(cuò)誤，當(dāng)然，還可以用如圖長方形的面積來表示，在上述練習(xí)都達(dá)到一定的程度后，還可以把公式形式化為其中和是待填的空位置，不但可以填數(shù)字，字母，代數(shù)式子，還可以填寫其它復(fù)雜的式子，到了這一步，這種表達(dá)形式給學(xué)生一種非常深刻非常形象的感受，從而為學(xué)生的形式運(yùn)算能力打下

11、了基礎(chǔ)。在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)當(dāng)中， 這方面的應(yīng)用就更加廣泛了，比如：1，對于高一代數(shù)抽象函數(shù)的定義域的教學(xué)，歷來是個(gè)難點(diǎn)，可以設(shè)計(jì)如下的一組題組練習(xí)，（1）已知的定義域?yàn)?，求下列函?shù)定義域，                            （2）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋笙铝泻瘮?shù)的定義域，  

12、;                                              還可以形象地比喻為：為一個(gè)人，（ ）

13、為他所背的口袋，不管口袋里面裝的是什么東西，這人能背動(dòng)的重量是固定的，超過了這人的承受能力，那么這人就背不動(dòng)了，相當(dāng)于此時(shí)函數(shù)沒有意義了，這樣學(xué)生對“對應(yīng)法則”的理解就更加深入了。2，對于“三角函數(shù)”這一部分，公式很多，這里面更應(yīng)把一些變式讓學(xué)生把握，如：（1）對公式的逆用（2）公式變形這里面還有很多，這里不一一舉例了，3，對于“立體幾何”中三垂線定理的教學(xué)，學(xué)生往往把參照面看成水平面， 課本上對三垂線定理的介紹為，如圖：已知直線點(diǎn)， ，且垂足為點(diǎn)，若平面內(nèi)一條直線，那么由于課本上的平面是水平放置的，所以學(xué)生在頭腦之中總是以為參照面總是水平放置的，所以在遇到如下的題目時(shí)，學(xué)

14、生往往不知如何來做：例：已知， 且兩兩互相垂直，求：點(diǎn)到直線的距離 這道題目用坐標(biāo)系來做當(dāng)然可以，但如果用三垂線定理來做則更容易，但學(xué)生往往不知如何用三垂線定理，所以，在三垂線定理的教學(xué)之中，應(yīng)設(shè)計(jì)如下的題組，（1）下列正方體的圖形之中，判斷與是否垂直                （2）下面有一個(gè)四棱錐與三棱錐，四棱錐的底面是正方形，三棱錐的底面為直角三角形，且都與底面垂直，判斷兩個(gè)棱錐的側(cè)面各有多少個(gè)直角三角形？

15、（3）已知， 且兩兩互相垂直，求：點(diǎn)到直線的距離？              通過上述例子，學(xué)生對三垂線定理的理解更加深入了，特別是對參照面的理解更加靈活了。（二）一題多變和一題多解，變式在教學(xué)之中，往往能起到一座橋的作用，在最近發(fā)展區(qū)之中能把學(xué)生從已知的彼岸渡到未知的彼岸，其中特別是一題多變和一題多解，在這方面應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探討，往往能起到事半功倍的效果，下面舉例加以說明；一題多變，就是引導(dǎo)學(xué)生在解答某些數(shù)學(xué)題之后，進(jìn)行觀察、聯(lián)想、判斷、猜想，

16、對數(shù)學(xué)題的內(nèi)容、形式、條件和結(jié)論作進(jìn)一步的探索，從不同的側(cè)面深入思考數(shù)學(xué)題的各種變化，并對這些“變形題”進(jìn)行論證，從而培養(yǎng)學(xué)生靈活、深刻、廣闊、發(fā)散的數(shù)學(xué)思維能力，以教材上的一道題目為例說明“變”的魅力，設(shè)都是實(shí)數(shù)，且，求證之后，保留條件，作出如下的變化：（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 一道多變，即教師對題目本身進(jìn)行思考，一般在做完一道題之后，向?qū)W生提出幾個(gè)問題，（1）能否推廣 （2）逆命題是否成立 ，否命題是否成立 

17、;（3）從此題之中你能總結(jié)出怎樣的規(guī)律，這些規(guī)律你能解哪些題，一題多解，一道數(shù)學(xué)題，因思考的角度不同可得到多種不同的思路，廣闊尋求多種解法，有助于拓寬解題思路，發(fā)展學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生分析問題的能力，如以求復(fù)數(shù)的模的最大值為例，例：已知復(fù)數(shù)滿足條件，求的最大值？這里可以用代數(shù)法，三角法，圖象法，用公式和等等，總之，數(shù)學(xué)的魅力就在于“變”，有“變”才有“活”，在這當(dāng)中，設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)淖兪?，可以給學(xué)生提供一座橋，讓學(xué)生在已知的水平和未知的水平之間自然過渡，這里的最近發(fā)展區(qū)要把握得好，“變式”能避免讓學(xué)生反復(fù)的練習(xí)同一題型，避免學(xué)生在低水平層次之間反復(fù)的重復(fù)，從而使學(xué)生的思維能力得到更寬，更廣，更深

18、的培養(yǎng)。三，螺旋循環(huán)原則由于中學(xué)數(shù)學(xué)存在兩種不同的數(shù)學(xué)知識(shí)，一種是中學(xué)課本中明確給出的概念、法則等，而另一種則是蘊(yùn)藏于其中的知識(shí)，如數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法等等，我們稱前者為表層知識(shí)，后者為深層知識(shí)，在中學(xué)數(shù)學(xué)里，數(shù)學(xué)內(nèi)容由表層知識(shí)和深層知識(shí)兩部分組合而成，二者相輔相成，缺一不可，由于深層知識(shí)與表層知識(shí)相比、具有抽象度高、隱蔽性強(qiáng)和難以表達(dá)等特點(diǎn)，所以在教學(xué)之中，對深層知識(shí)的處理應(yīng)尊循下列原則。（1）滲透性原則，在表層知識(shí)教學(xué)之中，一般不直接點(diǎn)明所用的深層知識(shí)，而是通過精心設(shè)計(jì)的教學(xué)過程，有意識(shí)潛移默化引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)蘊(yùn)含于其中的深層知識(shí)。（2）反復(fù)性原則，學(xué)生通過表層知識(shí)的學(xué)習(xí)，對蘊(yùn)含于其中的某些深層

19、知識(shí)（如數(shù)學(xué)思想方法等）開始有了感性的認(rèn)識(shí)，經(jīng)過多次的反復(fù)，在比較豐富的感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，逐漸概括為理性認(rèn)識(shí)，然后在應(yīng)用中對形成的深層知識(shí)進(jìn)行驗(yàn)證與發(fā)展，加深理性認(rèn)識(shí)，從較長的學(xué)習(xí)過程來看，學(xué)生是經(jīng)過多次反復(fù)，逐漸提高認(rèn)識(shí)的層次，從低級到高級，螺旋式上升的，另外，深層知識(shí)的學(xué)習(xí)與表層知識(shí)的學(xué)習(xí)相比較，學(xué)生之間的領(lǐng)會(huì)與掌握情況有更大的差異性，所以具有更大的不同性，但僅是長期反復(fù)與不明確的滲透，將會(huì)影響學(xué)生認(rèn)識(shí)從感性到理性的飛躍，妨礙學(xué)生有意識(shí)地去掌握知領(lǐng)會(huì)，滲透性與明確性是深層知識(shí)教學(xué)的兩個(gè)方面，因此，在反復(fù)滲透的過程中，利用適當(dāng)?shù)臋C(jī)會(huì)，對某種深層知識(shí)進(jìn)行概括、系統(tǒng)化和提高，對其內(nèi)容、規(guī)律、和使用方法適度明確化，這是數(shù)學(xué)深層知識(shí)教學(xué)的一個(gè)原則。下面舉例加以說明，如“數(shù)形結(jié)合”思想的形成，（1）孕育階段，學(xué)生在初中，學(xué)習(xí)了坐標(biāo)，使得點(diǎn)與數(shù)對形成了一一對應(yīng)，在學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)之后，能對圖形與式子之間的關(guān)系有一個(gè)印象，（2）形成階段，在高中，通過函數(shù)圖象的學(xué)習(xí)，解析幾何的學(xué)習(xí)，學(xué)生頭腦之中逐步形成了一個(gè)數(shù)形結(jié)合的思想，如：已知滿足，求的范圍？（3）應(yīng)用階段，通過專題的形式，特別是在高三的復(fù)習(xí)之中，對數(shù)形結(jié)合的思想作專門的總結(jié)，從而把學(xué)生頭腦之中零散的知識(shí)加以概括提高，從而形成應(yīng)用能力，下面舉例說明