高等數(shù)學(xué)試題庫

1、高等數(shù)學(xué)試題庫一、 填空題1 函數(shù)的定義域?yàn)開。x|x2 y=ln(x+1)的定義域?yàn)開。 (x>-1)3 y=的定義域?yàn)開。（x|x3或x1）4 設(shè)f(x)=，則f(f(x)=_。()5 設(shè)，則f(1.5)=_.( 3)6 ，則f(f(1/2)=_。（5/2）7 =_.（3/5）8 =_。（1/2）9 y=的反函數(shù)為_。（y=x3-1）10 已知f(x)的定義域?yàn)镈=0,1，則f(x2)的定義域?yàn)開。（-1,1）11 =_。（2 ）12 =_。（-1/2）13 =_。( 0 )14 =_。（ 0 ）15 =_。（e2）16 =_。（2）17 設(shè)連續(xù)，則a=_。( 1 )18=_。（1/

2、2）19.=_。（ 1 ）20. =_。 （1/4）21. =_。 （ 0 ）22. =_。 （ 0 ）23.=_。24. =_。25.若，則k=_。26. =_。27. =_。28.設(shè)函數(shù)，則a=_。1. 設(shè)，則_。2. 設(shè)f(x)=x(x+1)(x+2).(x+100)，則f(0)=_.。3. 設(shè)y=y(x)由方程確定，則y(0)=_。4. 設(shè)，則=_。18 設(shè)y=x2lnx，則dy=_。 （(2xlnx+x）dx）19 設(shè)y=(1+x)10(2x+1)5，則y(15)=_。（ 25.15?。?0 曲線x2+2y2=1經(jīng)過點(diǎn)（）的切線方程為_。（y=）21 函數(shù)x 上點(diǎn)（，）處的切線方程是

3、_。（ y=2x+1 ）22 設(shè)f(0)=1，則=_。 （ 3 ）23 =_。( )24 設(shè)y=xex，則y=_。（2+x）ex）25 設(shè)y=xlnx，則y=_。（2xlnxlnx/x）26 設(shè)在x=1處連續(xù)且可導(dǎo)，則a=_，b=_。（2，-1）27 求隱函數(shù)xey+yex=1的導(dǎo)數(shù)y=_。（）28 曲線上對應(yīng)處的切線斜率為_。（-1）29 函數(shù)y=x3的拐點(diǎn)為_。 （0,0）30 曲線y=在（1,）處的曲率為_。（ ）31 半徑為3的圓上任一點(diǎn)的曲率為_。（1/3）32 設(shè)某產(chǎn)品生產(chǎn)x單位的總成本為C(x)=1100+x2/1200，則生產(chǎn)900個單位時的邊際成本為_。（1.5）33 使得拉

4、格朗日定理對函數(shù)y=lnx在區(qū)間1,e上成立的=_。（e-1）34 使得拉格朗日定理對函數(shù)y=x2在區(qū)間1,2上成立的=_。（3/2）35 函數(shù)y=4x-x3的凹區(qū)間為_。（）36 y=sinx的n階馬克勞林公式為_。（）37 =_。（+C）38 =_。（+C）39 =_。(+C)40 =_。（+C）41 =_。（+C）42 =_。（+C）43 =_。（sinx-sin3x/3+C）44 =_。（+C）45 =_。（+C）46 =_。（+C）=_。47 =_。（24）48 =_。（22/3）49 =_。（2）50 設(shè)，則f(x)=_。51 =_.52已知是的一個原函數(shù)，則=_。二、 選擇題1.

5、下列函數(shù)中f(x)與g(x)相同的是 ( ) DA.f(x)=|x|/x，g(x)=sgn(x) B. f(x)=x/x，g(x)=1C.f(x)=ln(x2-4)，g(x)=ln(x-2)+ln(x+2) D. f(x)=x，g(x)=()32.時，與x等價的無窮小量是 ( ) CA. sin2x B. tan2x C. arctanx D. ln(1+x2)3. 設(shè)f(x)=ex-1，則當(dāng)時，有 （ ）AA. f(x)與x是等價無窮小 B. f(x)與x同階但非等價無窮小C. f(x)是比x高階的無窮小 D.f(x)是比x低階的無窮小4.設(shè)f(x)在x0可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)為f(x0)，那么= (

6、) BA. f(x0) B. 2 f(x0) C. -f(x0) D. -2 f(x0)5.= ( ) DA. 0 B. C. 2 D. -6. 設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3x2+x-1，則函數(shù)f(x)的拐點(diǎn)為 ( ) B A. (0,-1) B. (1,-2) C. (-1,-6) D. 不存在7. 設(shè)f(x)=，g(x)=1-x，則f(g(x)= ( ) CA. 1- B. 1+ C. D. x8. 設(shè)（X）在 XXo 的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是（X）在 XXo 可導(dǎo)的 （ ）AA. 充分必要的條件 B. 必要非充分的條件 C. 必要且充分的條件 D.既非必要又非充分的條件9下列說法正確的是 （

7、）D A. 若(X)在XXo連續(xù)，則(X )在XXo可導(dǎo) B. 若(X)在 XXo不可導(dǎo)，則(X)在XXo不連續(xù) C. 若(X)在 XXo不可微，則(X)在XXo極限不存在 D. 若(X )在XXo不連續(xù)，則(X)在XXo不可導(dǎo)10.xsinxdx= ( ) CA. xcosxsinxc B. xcosxsinxcC. xcosxsinxc D. xcosxsinxc11.若，則= （ ）DA. B. C. D. 12. 設(shè)，則= （ ）CA. B. lnx+C C. D. lnx+C13. = ( )A. B C. D. 14. 設(shè)函數(shù)，則x=1是 （ ）A. 跳躍間斷點(diǎn) B.可去間斷點(diǎn) C

8、.無窮間斷點(diǎn) D 連續(xù)點(diǎn)。15. 設(shè)函數(shù)，則f(x)有 （ ）A 一個可去間斷點(diǎn)，一個跳躍間斷點(diǎn) B 一個可去間斷點(diǎn)，一個無窮間斷點(diǎn)C 2個可去間斷點(diǎn) D 2個無窮間斷點(diǎn)16.設(shè) ，則x=0是 （ ）A 可去間斷點(diǎn) B 跳躍間斷點(diǎn) C 第二類間斷點(diǎn) D 連續(xù)點(diǎn)17. 設(shè)函數(shù)g(x)可微，則g(1)= ( )A ln3-1 B ln3-1 C ln2-1 D ln2-118. 在區(qū)間-1,1上滿足羅爾定理?xiàng)l件的有 （ ）A B C D 19. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為 （ ）A 0 B 1 C 2 D 320. 設(shè)在0，1上，則下列大小關(guān)系正確的為 （ ）A B C D 21 下列函數(shù)中不為sin

9、xcosx的原函數(shù)的是 （ ）A B C D 22 設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，則 （ ）A B C D 23.由y=x2，x=1，y=0所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為 （ ） A /2 B /3 C /4 D /524由y=x，x=1，y=0所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積為 （ ） A /3 B 2/3 C 4/3 D 8/325設(shè)非齊次線性微分方程y+p(x)y=q(x)有兩個不同的解y1(x)，y2(x)，C為任意常數(shù)，則該方程的通解為 （ ）A Cy1(x)-y2(x) B y1(x)+Cy1(x)-y2(x)C Cy1(x)+y2(x) D y1(x)+Cy1(x)+y2(x)三、 計算

10、題1. 設(shè)f(x)=x2lnx，求 解：f(x)=2xlnx+x f(x)=2lnx+2+1=2lnx+32. 求 ()解：當(dāng)x0時，sin(xn)xn,sinxx 故原式= =3. 求解：原式= =4.求函數(shù)f(x)=x3-6x2+9x-5的極值解：f(x)=3(x-1)(x-3)駐點(diǎn)為x1=1，x2=3當(dāng)x<1時，f(x)>0當(dāng)1<x<3時，f(x)<0當(dāng)x>3時，f(x)>0故f(1)=-1為極大值，f(3)=-5為極小值5.求曲線y=3x4-4x3+1的拐點(diǎn)及凹凸區(qū)間解：y=36x2-24x=36x(x-2/3) 由y=0得x1=0,x2=2/

11、3當(dāng)x<0時，y>0,為凹的當(dāng)0<x<2/3時，y<0，為凸的當(dāng)x>2/3時，y>0，為凹的故拐點(diǎn)為（0，1）及（2/3,11/27）5 求曲線的拐點(diǎn)及凹凸區(qū)間。6. 求解：原式=x+2/3x3/2+3/2cos2x+C7. 求解：原式= =8. 求解：令，則x=t2，dx=2tdt，故原式=2=2et(t-1)+C =9. 求解：原式= =e-=110.求由兩條拋物線y2=x和y=x2所圍成的圖形面積。解：兩條拋物線交點(diǎn)為（0，0）及（1，1），圍成區(qū)域的x的變化區(qū)間為0,1,s=11.求拋物線y2=2x與直線x-y=4所圍成的圖形面積。解：兩曲線交

12、點(diǎn)為（2，-2），（8，4），取y為積分變量，則 S=1812. 求解：= = = =13.設(shè)函數(shù)在x=1處連續(xù)且可導(dǎo)，求a,b的值。解：f(x)在x=1連續(xù)，故a+b=1又而f(x)在x=1處可導(dǎo)，故f(1-)=f(1+)，即2=a故得：a=2,b=-114.某農(nóng)場要用長20m的鐵絲靠一面墻圍一個長方形養(yǎng)雞場，問應(yīng)圍成怎樣的長方形才能使這間小屋的面積最大。解：設(shè)長為x,則寬為(20-x)/2 (0<x<20)故長方形面積為:S(x)=x(20-x)/2S(x)=10-x令S(x)=0，得唯一的駐點(diǎn)x=10由問題的實(shí)際意義知，此駐點(diǎn)為最大值點(diǎn)，即當(dāng)長為10，寬為5時，面積最大。15

13、.已知，求常數(shù)c的值。解：因?yàn)?所以由=4解得c=ln216.求微分方程的通解。解：變量分離得：兩端積分得：ln|y|=x2+C即：y=Cex216 求微分方程的通解16“ 求微分方程的通解17. 已知，求a,b的值18. 設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，求 a，b的值。19若(1, 3)為曲線的拐點(diǎn)，求a，b的值。20 設(shè) ，求21 求不定積分22 已知，求23.求極限四、 證明題1.求證方程xsinx1=0在區(qū)間 0,2內(nèi)有唯一零點(diǎn)。證：設(shè)f(x)=xsinx1，顯然f(x)在0x2上連續(xù)，f(0)=1<0，f(2)=1sin2>0，f(x)在0,2內(nèi)有零點(diǎn)。又f(x)=1cosx>0(&l

14、t;x<2)f(x)嚴(yán)格單調(diào)上升，f(x)只有唯一的零點(diǎn)。 2. 證明方程x=asinx+b(a>0,b>0)至少有一個不超過a+b的根。證明：設(shè)f(x)=x-(asinx+b) 顯然f(x)在0,a+b上為連續(xù)函數(shù) 又f(0)=-b<0 f(a+b)=a+b-(asin(a+b)+b) =a(1-sin(a+b) 當(dāng)sin(a+b)=1時，f(a+b)=0,此時x0=a+b為原方程的根 當(dāng)sin(a+b)1時，f(a+b)>0 由零點(diǎn)定理，至少存在一個根x0(0,a+b)綜上，原方程至少存在一個不超過a+b的根3. 證明不等式（其中）證明：設(shè)f(x)=lnx，顯然f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)且f(x)= 由Lagrang中值定理，存在（a,b），使得： f()=又 <f()=<代人上式即得證。4. 證明當(dāng)x>0時，證明：設(shè)f(t)=ln(1+t)，顯然f(t)在0,x上