排列組合基礎(chǔ)知識與習(xí)題集分析

1、 排列組合基礎(chǔ)知識及習(xí)題分析 在介紹排列組合方法之前 我們先來了解一下基本的運(yùn)算公式！ C5取3（5×4×3）/（3×2×1） C6取2（6×5）/（2×1） 通過這2個例子 看出 CM取N 公式 是種子數(shù)M開始與自身連續(xù)的N個自然數(shù)的降序乘積做為分子。 以取值N的階層作為分母 P535×4×3 P666×5×4×3×2×1 通過這2個例子 PMN從M開始與自身連續(xù)N個自然數(shù)的降序乘積 當(dāng)NM時 即M的階層 排列、組合的本質(zhì)是研究“從n個不同的元素中，任取m (mn

2、)個元素，有序和無序擺放的各種可能性”.區(qū)別排列與組合的標(biāo)志是“有序”與“無序”. 解答排列、組合問題的思維模式有二： 其一是看問題是有序的還是無序的？有序用“排列”，無序用“組合”； 其二是看問題需要分類還是需要分步？分類用“加法”，分步用“乘法”. 分 類：“做一件事，完成它可以有n類方法”，這是對完成這件事的所有辦法的一個分類.分類時，首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個適合于它的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個 標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類；其次，分類時要注意滿足兩條基本原則：完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類；分別屬于不同兩類的兩種方法是不同的方法. 分步：“做一件事，完成它需要分成n個步驟”，這是說完成這件事的

3、任何一種方法，都要分成n個步驟.分步時，首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)，確定一個可行的分步標(biāo)準(zhǔn)；其次，步驟的設(shè)置要滿足完成這件事必須并且只需連續(xù)完成這n個步驟后，這件事才算最終完成. 兩 個原理的區(qū)別在于一個和分類有關(guān)，一個與分步有關(guān).如果完成一件事有n類辦法，這n類辦法彼此之間是相互獨(dú)立的，無論那一類辦法中的那一種方法都能單獨(dú)完 成這件事，求完成這件事的方法種數(shù)，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n個步驟，缺一不可，即需要依次完成所有的步驟，才能完成這件事，而完成每一個 步驟各有若干種不同的方法，求完成這件事的方法種類就用乘法原理. 在解決排列與組合的應(yīng)用題時應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： 1有限制條件的排列問題

4、常見命題形式： “在”與“不在”“鄰”與“不鄰”在解決問題時要掌握基本的解題思想和方法： “相鄰”問題在解題時常用“合并元素法”，可把兩個以上的元素當(dāng)做一個元素來看，這是處理相鄰最常用的方法. “不鄰”問題在解題時最常用的是“插空排列法”. “在”與“不在”問題，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置. 元素有順序限制的排列，可以先不考慮順序限制，等排列完畢后，利用規(guī)定順序的實(shí)情求出結(jié)果. 2有限制條件的組合問題，常見的命題形式： “含”與“不含”“至少”與“至多”在解題時常用的方法有“直接法”或“間接法”. 3 在處理排列、組合綜合題時，通過分析條件按元素的性質(zhì)分類，做到

5、不重、不漏，按事件的發(fā)生過程分步，正確地交替使用兩個原理，這是解決排列、組合問題的最基本的，也是最重要的思想方法. * 提供10道習(xí)題供大家練習(xí) 1、三邊長均為整數(shù)，且最大邊長為11的三角形的個數(shù)為（ C ） (A)25個 (B)26個 (C)36個 (D)37個 -【解析】 根據(jù)三角形邊的原理 兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊 可見最大的邊是11 則兩外兩邊之和不能超過22 因?yàn)楫?dāng)三邊都為11時 是兩邊之和最大的時候 因此我們以一條邊的長度開始分析 如果為11，則另外一個邊的長度是11，10，9，8，7，6，。1 如果為10 則另外一個邊的長度是10，9，8。2， （不能為1 否則兩者

6、之和會小于11，不能為11，因?yàn)榈谝环N情況包含了11，10的組合） 如果為9 則另外一個邊的長度是 9，8，7，。3 （理由同上 ，可見規(guī)律出現(xiàn)） 規(guī)律出現(xiàn) 總數(shù)是1197。1（111）×6÷236 2、 （1）將4封信投入3個郵筒，有多少種不同的投法？ -【解析】 每封信都有3個選擇。信與信之間是分步關(guān)系。比如說我先放第1封信，有3種可能性。接著再放第2封，也有3種可能性，直到第4封， 所以分步屬于乘法原則 即3×3×3×334 （2）3位旅客，到4個旅館住宿，有多少種不同的住宿方法？ -【解析】跟上述情況類似 對于每個旅客我們都有4種選擇。

7、彼此之間選擇沒有關(guān)系 不夠成分類關(guān)系。屬于分步關(guān)系。如：我們先安排第一個旅客是4種，再安排第2個旅客是4種選擇。知道最后一個旅客也是4種可能。根據(jù)分步原則屬于乘法關(guān)系 即 4×4×443 （3）8本不同的書，任選3本分給3個同學(xué)，每人一本，有多少種不同的分法？ -【解析】分步來做 第一步：我們先選出3本書 即多少種可能性 C8取356種 第二步：分配給3個同學(xué)。 P336種 這 里稍微介紹一下為什么是P33 ，我們來看第一個同學(xué)可以有3種書選擇，選擇完成后，第2個同學(xué)就只剩下2種選擇的情況，最后一個同學(xué)沒有選擇。即3×2×1 這是分步選擇符合乘法原則。最

8、常見的例子就是 1，2，3，4四個數(shù)字可以組成多少4位數(shù)？ 也是滿足這樣的分步原則。 用P來計(jì)算是因?yàn)槊總€步驟之間有約束作用 即下一步的選擇受到上一步的壓縮。 所以該題結(jié)果是56×6336 3、 七個同學(xué)排成一橫排照相. （1）某甲不站在排頭也不能在排尾的不同排法有多少種？ （3600） -【解析】 這個題目我們分2步完成 第一步： 先給甲排 應(yīng)該排在中間的5個位置中的一個 即C5取15 第二步： 剩下的6個人即滿足P原則 P66720 所以 總數(shù)是720×53600 （2）某乙只能在排頭或排尾的不同排法有多少種？ （1440） -【解析】 第一步：確定乙在哪個位置 排頭排

9、尾選其一 C2取12 第二步：剩下的6個人滿足P原則 P66720 則總數(shù)是 720×21440 （3）甲不在排頭或排尾，同時乙不在中間的不同排法有多少種？ （3120） -【解析】特殊情況先安排特殊 第一種情況：甲不在排頭排尾 并且不在中間的情況 去除3個位置 剩下4個位置供甲選擇 C4取14， 剩下6個位置 先安中間位置 即除了甲乙2人，其他5人都可以 即以5開始，剩下的5個位置滿足P原則 即5×P555×120600 總數(shù)是4×6002400 第2種情況：甲不在排頭排尾， 甲排在中間位置 則 剩下的6個位置滿足P66720 因?yàn)槭欠诸愑懻摗Ｋ宰詈?/p>

10、的結(jié)果是兩種情況之和 即 24007203120 （4）甲、乙必須相鄰的排法有多少種？ （1440） -【解析】相鄰用捆綁原則 2人變一人，7個位置變成6個位置，即分步討論 第1： 選位置 C6取16 第2： 選出來的2個位置對甲乙在排 即P222 則安排甲乙符合情況的種數(shù)是2×612 剩下的5個人即滿足P55的規(guī)律120 則 最后結(jié)果是 120×121440 （5）甲必須在乙的左邊（不一定相鄰）的不同排法有多少種？（2520） -【解析】 這個題目非常好,無論怎么安排甲出現(xiàn)在乙的左邊 和出現(xiàn)在乙的右邊的概率是一樣的。 所以我們不考慮左右問題 則總數(shù)是P775040 ,根據(jù)

11、左右概率相等的原則 則排在左邊的情況種數(shù)是5040÷22520 4、用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù). （1）能組成多少個四位數(shù)？ （300） -【解析】 四位數(shù) 從高位開始到低位 高位特殊 不能排0。 則只有5種可能性 接下來3個位置滿足P53原則5×4×360 即總數(shù)是 60×5300 （2）能組成多少個自然數(shù)？ （1631） -【解析】自然數(shù)是從個位數(shù)開始所有情況 分情況 1位數(shù)： C6取16 2位數(shù)： C5取2×P22C5取1×P1125 3位數(shù)： C5取3×P33C5取2×P22×

12、;2100 4位數(shù)： C5取4×P44C5取3×P33×3300 5位數(shù)： C5取5×P55C5取4×P44×4600 6位數(shù)： 5×P555×120600 總數(shù)是1631 這里解釋一下計(jì)算方式 比如說2位數(shù)： C5取2×P22C5取1×P1125 先從不是0的5個數(shù)字中取2個排列 即C5取2×P22 還有一種情況是從不是0的5個數(shù)字中選一個和0搭配成2位數(shù) 即C5取1×P11 因?yàn)?不能作為最高位 所以最高位只有1種可能 （3）能組成多少個六位奇數(shù)？ （288） -【解析】

13、高位不能為0 個位為奇數(shù)1，3，5 則 先考慮低位，再考慮高位 即 3×4×P4412×24288 （4）能組成多少個能被25整除的四位數(shù)？ （21） -【解析】 能被25整除的4位數(shù)有2種可能 后2位是25： 3×39 后2位是50： P424×312 共計(jì)91221 （5）能組成多少個比201345大的數(shù)？ （479） -【解析】 從數(shù)字201345 這個6位數(shù)看 是最高位為2的最小6位數(shù) 所以我們看最高位大于等于2的6位數(shù)是多少？4×P554×120480 去掉 201345這個數(shù) 即比201345大的有4801479

14、 （6）求所有組成三位數(shù)的總和. （32640） -【解析】每個位置都來分析一下 百位上的和：M1=100×P52(5+4+3+2+1) 十位上的和：M2=4×4×10(5+4+3+2+1) 個位上的和：M3=4×4(5+4+3+2+1) 總和 MM1+M2+M3=32640 5、生產(chǎn)某種產(chǎn)品100件，其中有2件是次品，現(xiàn)在抽取5件進(jìn)行檢查. （1）“其中恰有兩件次品”的抽法有多少種？ （152096） 【解析】 也就是說被抽查的5件中有3件合格的 ，即是從98件合格的取出來的 所以 即C2取2×C98取3152096 （2）“其中恰有一件次品

15、”的抽法有多少種？ （7224560） 【解析】同上述分析，先從2件次品中挑1個次品，再從98件合格的產(chǎn)品中挑4個 C2取1×C98取47224560 （3）“其中沒有次品”的抽法有多少種？ （67910864） 【解析】則即在98個合格的中抽取5個 C98取567910864 （4）“其中至少有一件次品”的抽法有多少種？ （7376656） 【解析】全部排列 然后去掉沒有次品的排列情況 就是至少有1種的 C100取5C98取57376656 （5）“其中至多有一件次品”的抽法有多少種？ （75135424） 【解析】所有的排列情況中去掉有2件次品的情況即是至多一件次品情況的 C10

16、0取5C98取375135424 6、從4臺甲型和5臺乙型電視機(jī)中任意取出3臺，其中至少要有甲型和乙型電視機(jī)各1臺，則不同的取法共有（ ） (A)140種 (B)84種 (C)70種 (D)35種 -【解析】根據(jù)條件我們可以分2種情況 第一種情況：2臺甲1臺乙 即 C4取2×C5取16×530 第二種情況：1臺甲2臺乙 即 C4取1×C5取24×1040 所以總數(shù)是 304070種 7、在50件產(chǎn)品中有4件是次品，從中任抽5件，至少有3件是次品的抽法有_種. -【解析】至少有3件 則說明是3件或4件 3件：C4取3×C46取24140 4件：C

17、4取4×C46取146 共計(jì)是 4140464186 8、有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù), 甲需2人承擔(dān), 乙、丙各需1人承擔(dān).從10人中選派4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù), 不同的選法共有（ C ） (A)1260種 (B)2025種 (C)2520種 (D)5040種 【解析】分步完成 第一步：先從10人中挑選4人的方法有：C10取4210 第二步：分配給甲乙并的工作是C4取2×C2取1×C1取16×2×112種情況 則根據(jù)分步原則 乘法關(guān)系 210×122520 9、12名同學(xué)分別到三個不同的路口進(jìn)行車流量的調(diào)查，若每個路口4人，則不同的分配方案共有

18、_ C(4,12)C(4,8)C(4,4) _種 【解析】每個路口都按次序考慮 第一個路口是C12取4 第二個路口是C8取4 第三個路口是C4取4 則結(jié)果是C12取4×C8取4×C4取4 可能到了這里有人會說 三條不同的路不是需要P33嗎 其實(shí)不是這樣的 在我們從12人中任意抽取人數(shù)的時候，其實(shí)將這些分類情況已經(jīng)包含了對不同路的情況的包含。 如果再×P33 則是重復(fù)考慮了 如果這里不考慮路口的不同 即都是相同路口 則情況又不一樣 因?yàn)槲覀冊诜峙淙藬?shù)的時候考慮了路口的不同。所以最后要去除這種可能情況 所以在上述結(jié)果的情況下要÷P33 10、在一節(jié)目表中原有8個節(jié)目，若保持原有節(jié)目