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1、第30卷第10期Volume30Number1()中國有色金屬學報TheChineseJournalofNonferrousMetalsDOI:10.11817/j.ysxb.1004.0609.2020-39521膏體輸送水平懸臂管道不同流速下的三維非線性振動分析李榮，2,李翠平，2,顏丙恒I(1.北京科技大學土木與資源工程學院，北京100083；2.北京科技大學金屬礦山高效開采與安全教育部重點實驗室，北京100083)摘要：充填管路末端水平管段的振動會極大地影響充填效果和充填效率，針對這問題，為探究管道振動狀態(tài)隨管內(nèi)膏體平均流速變化的規(guī)律，結合現(xiàn)場實際，構建管道振動分析模型，建立了水平輸送

2、管段的三維非線性振動控制方程組。采用伽遼金法和Runge-Kutta法進行數(shù)值求解，得到了輸送管道自由端的動力學響應，并通過時間歷程圖、分岔圖、相平面圖和運動軌跡圖進行呈現(xiàn)。結果表明：管內(nèi)商體無量綱流速“f在增大的過程中存在一個臨界流速"cr，且兩個方向上的臨界流速不同，方向上“8=10.55,方向上“cr=0.001。當“f<"cr時，管道最終會穩(wěn)定下來；當管道自由端會發(fā)生顫振失穩(wěn)，其運動形式表現(xiàn)為周期振動和概周期振動，且隨著，“的增大,管道的振動幅度也會不斷增大。關鍵詞：音體輸送；管道三維振動：非線性；平均流速文章編號：1004-0609(2020)-10-249

3、2-11中圖分類號：TD853；TB533文獻標志碼：A基金項目：國家重點研發(fā)計劃資助項目(2017YFC0602903)收稿日期：2019-09-02；修訂日期:2019-12-25通信作者：李翠平.教熱博士；電話E-mail：cpli隨著國家對礦業(yè)開采安全性和環(huán)保性的重視，膏體充填技術被廣泛應用在礦山建設中，其在保證礦山安全、環(huán)保、高效生產(chǎn)等方面都顯示出巨大的優(yōu)勢，成為當下礦業(yè)開采采用的主要綠色開采技術【II。管道輸送作為膏體充填工藝的重要環(huán)節(jié)，_定程度上決定著膏體充填的最終效果。膏體輸送的過程可分為豎直輸送段、水平輸送段、充填采場段三個部分，在豎直輸送段及與其

4、相接的水平輸送段中，管道被剛性固定，這種固定方式使整個管道系統(tǒng)的剛性非常大，振動被抑制。相比于前述兩個管段，入充填采場管段為保證其靈活性，對管道固定較為寬松，管道的振動較為強烈，導致膏體送出管道時極不均勻，影響了充填作業(yè)的高效性，對充填效果產(chǎn)生了負面作用，是個典型的輸流管道系統(tǒng)。關于輸流管道系統(tǒng)的動力學行為自20世紀80年代以來一直是國內(nèi)外學者研究的熱點問題，其在核電站、航空航天、海洋采礦工程等領域具有重要研兗意義13-切。在輸液管的動力學行為研究中，早在1966年，GREGORY等I，頊就對懸骨輸流管的失穩(wěn)方式進行了研究，得出懸臂管的失穩(wěn)方式為顫振失穩(wěn)這一重要結論，而目.在顫振發(fā)生前還可能會

5、出現(xiàn)發(fā)散失穩(wěn)。之后，這一領域的研究成果不斷涌出，1974年PAIDOUSSIS等建立了比較完整的二維線性振動控制方程，但線性模型并不能完整的描述輸流管道的動力學行為，研究人員開始關注輸流管道的非線性動力學行為，如概周期振動、倍周期振動、混沌等。PAIDOUSSIS等采用伽遼金法對平面內(nèi)豎直輸液管道在非線性約束下的動力學行為，結果表明，當伽遼金截斷階數(shù)N從2變化到4時，數(shù)值解和實驗結果的符合程度從良好變成優(yōu)秀。徐鑒等圓將數(shù)值解和精確解進行了對比，總結了模態(tài)截斷數(shù)和無量綱流體質(zhì)量歷對系統(tǒng)臨界流速的影響程度，結果表明，當N=2明崗=0.2時就可以得到相對精確的數(shù)值解。王乙坤等也對平面內(nèi)非線性約束下管

6、道的混沌行為進行了研究。以上研究都集中于二維平面以內(nèi)。WADHAM-GAGNON等削總結了前人的研兗成果，推導了燧直懸臂管道在重力、中間彈簧支撐、末端附加質(zhì)量作用下的完整的控制方程，并對其動力學行為進行了理論分析；在此基礎上，GHAYESH等叫添加了-個單點外力進行了進步的動力學分析，并詳細地對比了數(shù)值求解過程中不同初始條件下的結果，表明不同的初始條件下管道的動力學行為會發(fā)生變化。的三維振動，對應于表2中右上斜線部分。當速度超過功方向上的臨界流速后，管道末端呈現(xiàn)三維振動，運動軌跡圖如圖10(b)所示，為一個折“8”形的極限環(huán)運動，對應于表2中的網(wǎng)格部分。1.51.00.5招0-0.5-1.0-

7、0.004-0.00200.0020.004們-1.5圖10管道自由端三維運動軌跡圖Fig.103Doscillationtrajectoriesoffree-endofpipe:(a)ut=103;(b)M(=134結論1) 當無量綱平均流速“fVO.001時，管道穩(wěn)定：«)»0.005時，x-y平面內(nèi)穩(wěn)定，xz平面顫振失穩(wěn)，開始出現(xiàn)多波峰概周期振動；隨著速度增大，i-y平面繼續(xù)穩(wěn)定，x-z平面周期振動頻率和振幅增大。2) s>1.59時，初始時間段內(nèi)管道自由端位移隨時間的變化極不規(guī)律，穩(wěn)定后的周期振動平衡位置在正負間跳動：Wl>1.7時初始時間段內(nèi)振動開始消

8、減，且平衡位置開始慢慢靠近。點：妙=3時，平衡位置回到0；速度繼續(xù)增大，振幅變大，但依然呈現(xiàn)周期振動，“內(nèi)左右出現(xiàn)振幅不穩(wěn)定的概周期振動；u=10.55時，x-y平面內(nèi)也開始失穩(wěn)，出現(xiàn)周期振動，有體輸送管道系統(tǒng)3維顫振失穩(wěn)：w=13時，兩個平面內(nèi)均出現(xiàn)振幅不穩(wěn)定概周期振動。REFERENCES吳愛祥，王洪江.金屬礦膏體充填理論與技術M.北京:科學出版社,2015.WUAi-xiang.WANGHong-jiang.Theoryandtechnologyofpastebackfillingonmetalore|M.Beijing:SciencePress.2015.1 吳愛祥，楊瑩，程海勇，陳順

9、滿.韓悅.中國膏體技術發(fā)展現(xiàn)狀與趨勢J.工程科學學報，2018.40(5):517-525.WUAi-xiang,YANGYing,CHENHai-yong,CHENShun-man,HANYue.StatusandprospectsofpastetechnologyinChina|J|.ChineseJournalofEngineering,2018,40(5):517-525.2 NIQ.WANGY.TANGM,LUOY.YANH.WANGL.Nonlinearimpactingoscillationsofafluid-conveyingpipesubjectedtodistributed

10、motionconstraints.NonlinearDynamics,2015,81(1/2):893-906.|4GREGORYRW.PAIDOUSSISMP.Unstableoscillationoftubularcanlilcvcrsconveyingfluid.I.Theory|C/ProceedingsoftheRoyalSocietyofLondon.SeriesA.MathematicalandPhysicalSciences.1966.293(1435):512-527.(51GREGORYRW.PAIDOUSSISMP.Unstableoscillationoftubula

11、rcantileversconveyingfluid,II.ExperimentsfC/ProceedingsoftheRoyalSocietyofLondon.SeriesA.MathematicalandPhysicalSciences,1966,293(1435):52K-542.|6|PAIDOUSSISMP,ISSIDNT.DynamicstabilityofpipesconveyingfluidJ.JournalofSoundandVibration,1974.33(3):267-294.|7|PAIDOUSSISMP.SEMLERC.Nonlinearandchaoticosci

12、llationsofaconstrainedcantileveredpipeconveyingfluid:afullnonlinearanalysisJ|.NonlinearDynamics,1993,4(6):655-670.|8|徐鑒，王琳.輸液管動力學分析和控制M.北京：科學出版社,2015.XUJian,WANGLin.DynamicsandcontroloffluidconveyingpipesystemM.Beijing:SciencePress,2015.19王乙坤，王琳.分布式運動約束下懸普輸液管的參數(shù)共振研究J.力學學報,2019.51(2):558-568.WANGYi-k

13、ong.WANGLin.Parametricresonanceofacantileverpipelineconveyingfluidsubjectedtodistributedmotionconstraints.ChineseJournalofTheoreticalandAppliedMechanics,2019,51(2):558-568.101WADHAM-GAGNONM.PAlDOUSSISMP.SEMLERC.Dynamicsofcantileveredpipesconveyingfluid.Part1:Nonlinearequationsofthree-dimensionalmoti

14、on|J.JournalofFluidsandStructures,2(X)7,23(4):545-567.11GHAYESHMH.PAlDOUSSISMP.Three-dimensionaldynamicsofacantileveredpipeconveyingfluid,additionallysupportedbyanintermediatespringarray!J|.InternationalJournalofNon-LinearMechanics,2010,45(5):507-524.|I2|吳愛祥，程海勇，王貽明，王洪江，劉曉輝，李公成.考慮管壁滑移效應看體管道的輸送阻力特性.中

15、國有色金屬學報,2016,26(1):180-187.WUAi-xiang,CHENHai-yong,WANGYi-ming,WANGHong-jiang.LIUXiao-hui,LIGong-cheng.Transportresistancecharacteristicofpastepipelineconsideringeffectofwallslip|J.TheChineseJournalofNonfeuousMetals,2016,26(1):180-187.|13jWUA,RUANZ,WANGY,YINS,WANGS,WANGY,WANGJ.Simulationoflong-disla

16、nccpipelinetransportationpropertiesofwhole-tailingspastewithhighslimingJ.JournalofCentralSouthUniversity,2018,25(1):141-150.114顏丙恒，李翠平，吳愛祥，王洪江，侯賀子.有體料漿管道輸送中粗骨料顆粒運動規(guī)律分析J.中南大學學報(自然科學版),2019,50(1):172-179.YANBing-heng,LICui-ping,WUAi-xiang,WANGHong-jiang,HOUHc-zi.Analysisoflawofmovementofcoarseaggregat

17、eparticlesinpipelinetransportationofpastelJ.JournalofCentralSouthUniversity(ScienceandTechnology),2019,50(1):172-179.|I5|KHEIRIM.PAlDOUSSISMP,DELPOZOGC,AMABILIM.DynamicsofapipeconveyingfluidflexiblyrestrainedattheendsJ.JournalofFluidsandStructures.2014.49:360-385.|I6|KHEIRIM,PAlDOUSSISMP.Ontheuseofg

18、eneralizedHamilton'sprincipleforthederivationoftheequationofmotionofapipeconveyingfluidJ.JournalofFluidsandStructures,2014,50:18-24.Analysisofthree-dimensionalnonlinearvibrationofhorizontalcantileveredpipelineconveyingpasteatvariousflowvelocityLlRong1-2.LICui-ping1-2,YANBing-heng1,2(1.SchoolofCi

19、vilandResourceEngineering,UniversityofScienceandTechnologyBeijing,BeijingIOOO83,China;2.SlateKeyLaboratoryofHigh-EfficientMiningandSafetyofMetalMines,MinistryofEducation,UniversityofScienceandTechnologyBeijing,Beijing100083,China)Abstract:Intheprocessofpaste-filling,theviolentvibrationofthehorizonta

20、lpipelineconveyingpasteclosetopastefillingareatendstoaffecttheeffectoffillingandefficiencygreatly.Toinvestigatetheeffectofpasteaverageflowvelocityonvibration,theanalysismodelwasobtainedforthehorizontalpipelineconveyingpasteaccordingtotheactualconditiononsite.Basedonthis,thegoverningequationsfornonli

21、nearthree-dimensionaldynamicswerededuced.BytheGalcrkindiscretizationandtheRunge-Kuttaalgorithm,theequationsweresolvednumericallyandthedynamicresponsesoffrcc-cndwhichwerepresentedbytime(race,bifurcationdiagram,phasc-pluncdiagramandoscillaiiontrajectorieswereobtained.Thenumericalresultsshowthatthereis

22、acriticalflowvelocitywhichisdifferentintwodimensionswhennon-dimensionalvelocityofpasteu(increases,anduais10.55in心如is0.(X)lin72.Italsoshowsthatthepipeisstableasu(<ucr.Whenu(>Ua,thepipelosesstabilityviaflutter,meanwhile,theperiodandquasi-periodvibrationareobserved.Moreover,(heamplitudeofvibratio

23、nincreasesasu(increases.Keywords:pastetransportation;three-dimensionalvibrationofpipeline;nonlinear;averageflowvelocityFoundationitem:Project(2017YFC0602903)s叩portedbytheNationalKeyResearchandDevelopmentProgramofChinaReceiveddate:2019-09-02;Accepteddate:2019-12-25Correspondingauthor:LICui-ping;Tel:+

24、86-10-62334756;E-mail:cpli（編輯龍懷中）|17|PAlDOUSSISMP.Fluid-structureinteractions:Slenderstructuresandaxialflow(Vol.l)M.London:AcademicPress.2014.圖1管道布置圖Fig.1Layoutofhorizontalpipeconveyingpaste笫30卷第10期在輸流管道系統(tǒng)中，管內(nèi)流體是影響管道振動的一個重要因素。膏體是多尺度散體材料與水復合而成的無泌水、牙音狀結構流體，屬于非牛頓流體的一種類型I。有體料漿在管道輸送中的運動規(guī)律是國內(nèi)外學者研究的重點問題，可以

25、采用2參數(shù)的Bingham流體模型模擬管道橫截面上膏體的速度分布規(guī)律。管內(nèi)流動可分為柱塞流動區(qū)與剪切流動區(qū)兩個區(qū)域，柱塞流動區(qū)域流速相等，而剪切流動區(qū)域流速沿管徑方向逐漸降低f,J-,4k吳愛祥等【在此基礎上考慮避免滑移的影響，增加了滑移流動區(qū)域，結果表明，當滑移流動區(qū)很小時，速度分布規(guī)律與文獻13-14得到的規(guī)律相一致。本文針對肓體自流輸送條件下的入采場水平輸送管路末端水平管道，進行數(shù)學建模、數(shù)值求解，在求解結果的基礎上對管道自由末端進行動力學分析，著重研究管內(nèi)膏體平均流速對管道振動規(guī)律影響，探究輸送膏體管道在不同平均流速下的振動狀態(tài)，為礦山膏體輸送振動控制提供理論基礎。1數(shù)學建模11生瓢普

26、本輸送水平懸臂管道的布置情況如圖1所示。設此段輸送管道長為L,管道材質(zhì)為硬質(zhì)PVC,管道的內(nèi)徑為Din,外徑為Dout,管道的抗彎剛度為EI,密度為Qp,單位長度管道質(zhì)量為，：為靜態(tài)狀態(tài)下管道中的一點：P為管道運動后對應的R)點。考慮到現(xiàn)場管道的長徑比較大，管道在輸送中表現(xiàn)出的非線性動力學行為更貼近于Euler-Bernoulli梁模型，且現(xiàn)場水平管道入口處與前段管道采用兩個半鋼圈制固，末端自由，在此種邊界條件下，在分析中將青體輸送水平管道看作Euler-Bernoulli懸臂梁模型處理，同時不考慮中間約束的影響，認為管道在軸線上不訶壓縮。2493膏體是一種結構流體皿叫其密度為單位長度流體質(zhì)量

27、為另外，考慮自流輸送的情形，不考慮此段管內(nèi)皆體速度波動，不考慮管內(nèi)多相流、壁面滑移等復雜情況的影響?；诠艿垒斔臀锪掀胶庠恚斔凸艿廊肟谔幒统隹谔幐囿w的運動速度是相同的，壓力對盲體的作用與流體和管壁的摩擦作用抵消，因此，在此段水平輸送膏體的管道振動分析中，不考慮水平管道內(nèi)膏體速度的復雜狀態(tài)，假設膏體具有恒定流速U。除此之外，還有如卜假設：管道變形很小，但管道位移不受限制：忽略管道的旋轉(zhuǎn)慣性和剪切變形；莒體不可壓縮。管道的運動狀態(tài)可以分為無變形的初始狀態(tài)和變形中的振動狀態(tài)，為方便分析，在每一狀態(tài)上建立坐標系，即固定坐標系I(Eulerian坐標系(x,y,z)、跟隨管道運動的坐標系II(Lag

28、rangian坐標系(X,V,Z)和沿管道中心線自然坐標系s,如圖1所示，管道位移在坐標系II中可以表示為(“，v,w).這樣，管道的不可壓縮條件可表示為如下形式：(卻嘻N卻7或者從不可壓縮條件可以看到，3個方向的管道位移存在變換關系，利用式和中的變換關系，令管道的軸向位移隱式存在于控制方程中，則管道的三維振動可以只分析火z方向上的振動情況，在之后的分析中，令+fJrj)<!/'+r|_222II2Jz2,!)|jSf+4rfj+伊+孕卻if+爪功')+孕L(根2+冊+沂+債'X1Z-圖2管內(nèi)膏體橫截面流速分布圖Fig.2Distributionofvelocit

29、yofpasteflowaroundpipecross-section1.2控制方程相比于兩端釵支輸流管道，懸臀輸流管道系統(tǒng)是一個開放系統(tǒng)，整個系統(tǒng)存在能量的交換，所以不能直接應用HALMITON原理【5。KHEIRI等四對這一問題進行了詳細的回顧和分析，給出了適用于開放系統(tǒng)的改進的HALMITON定理。在此基礎之上，WADHAM-GAGNON等的采用適用于開放系統(tǒng)的Hamilton原理導出了具有中間彈簧和末端重力的垂直輸流管道三維非線性振動的控制方程，本文在其控制方程基礎上，考慮了無中間彈簧水平輸流管道，將重力做功路徑調(diào)整方向，消去中間彈簧和末端重力的影響，得到了描述膏體管道水平輸送3-D振

30、動的控制方程。y方向上：rj""+2m'+u曲"+1lrfIfl.-i2一"(萬)d?'+f寸&L'l1221JzII22JU1+T1J1-7J("+H7Rz+f|_III22Iz1I22|j(%+4時+們+們22+3"+fj'"+'"2)+W2+方+廣+萬而-122121Jo1II222Z.2r*.，24!(71Hl+也+22)頓/+/+0(£)=0(5)Z方向上：匯"+在節(jié)2七*'+''+|2“l(fā)+時-+時'爵+

31、J22*"r()d/12J/22?J'J(I+麗;+沂+帶'攻奴+。(£)=。(6)式(5)和(6)中的無量綱量如下：rj=v/V,=w/L,x=s/L必=LJL,r=/£Z/(m+M)L4l/2,u(=UL(mf/El)"2,倪=m/(m+M),/7t=M/(m+M),/=g(m+M)1/El式中：i(/)和"2(/,r)分別為y、z方向上的無量綱位移；/為無量綱重力加速度；點和撤分別代表對無量綱時間r和無量綱曲線坐標/的導數(shù)；身和煉分別代表百體和管道的單位氏度無量綱質(zhì)量；表示無量綱肓體流速；0(/)為四階精度項。13所跚物樣

32、拆11(6)中由管道中流體流速U變(換而來，在方程的推導過程中，認為流速沿管道界面均勻分布，但對膏體來說，它作為一種非牛頓流體，存在黏性，在管道輸送中，速度沿截面不均勻。吳愛新筏稀勰珈散翠醐植弟零艘翩瓣m切流動區(qū)被稱為主流區(qū)，如圖2所小。由圖2可以看到，在柱塞流動區(qū)內(nèi)，流速不變，在剪切流動區(qū)內(nèi)流速隨管道半徑方向減小，在滑動區(qū)內(nèi)流速快速減小，速度梯度極大。描述管道振動的控制方程中，U值應該為平均流速，考慮到膏體速度在第短博摩要擊乍拘勻分布，忽略壁面滑移區(qū)，則平均式中：仁為柱塞區(qū)膏體流速；知為柱塞區(qū)寬度；Din為管道內(nèi)徑。2方程求解2.1方程離散育體輸送管道是一個連續(xù)系統(tǒng)，具有無限自由度，對控制方

33、程進行伽遼金離散，將其轉(zhuǎn)換為有限自由度系統(tǒng)進行數(shù)值求解。在求解中，選擇N=2即截斷模態(tài)為2階，理論上，N越大，求解所得的解越精確：但個相對精確的結果I別。計算過程中，無量綱位移可以表示為有限項無量綱懸臂梁形函數(shù)和廣義響應函數(shù)乘積之和，如："1（"）=力,（Z）Pr3）r=l2（，"）=£&（7以（丁）（8）式中：如Jlo（z）為懸臂梁的無量綱形函數(shù)；P,0）、%.（）為無量綱響應函數(shù)：N為截斷階數(shù)，文中選N=2°其中，hr（X）和c,（z）需滿足懸臂梁的邊界條件，且兩者描述的都是橫向位移，所以兩者是相同的，則：如(/)=(，)=cosh

34、(/2r)-cos(/2r)-sinh(A,.)-sin(2r)cos(A)4-cosh(2)*(sinh(/2)-sin(/2)式中：4為特征根，滿足coshAcosA=-l，貝ijrrr2i=1.8751,22=4.69409。將771（/）、帶入無量綱化方程中對其進行離散，利用特征函數(shù)的正交性，分別左乘而（）和&（%）,然后在0,1上積分，這樣y方向的方程如下：mtjPj+cijDj+kgPj+BjjkiPjPkPi+DwpjPPi+EijkiPjDkDCFjjkiPjPkh+HijkiPjqe+L典PjqMh+MgP血S+竭虹血+G=0（10）z方向的方程為灼+勺們+m+Bgc

35、gch+Q汨幻帆功+鳥即幻久S+Hjj虹qjPkPi+LjkqjPk機+MgqjPkPi+P山=。（11）式（10）和（11）中各項系數(shù)是一致的，其中G,是重力項，只在)，方向存在，計算方式如下：m=.hbd/»c=2'bb'd>yJoiJUf處JoiJk=隨'"'奴+“2"d/,.f.ff.VJo1JfJo1JBijkl=峋2J3W"-hj匚碇阪)切+£)".也"+4小妒+外%")d/，-勺3位)d,，(b'Xb'b(1-b'zbb>JJJo*c

36、'c"<x)d/+Dijki=2氣EijklHijklF=b-眼Jo*iJok1=u2*/?(b'c'cu-bnfJoijjtfmr9ftftttf，9HttH，Jo切飽a。+3bjCkC+bjCkq+bjCkq)d/,九用=2f楊L切飽以qQ.Qdz)dZ,G=ybd%,'"'i,/,iM=N=b(h'ccd/-bxc'c'd/d/)d/叭1ijklJ。ijj()kiJJok12.2求解前的分析在數(shù)值計算中，選取的無量綱量的值為7=0.1、A=0.2。本文采用4階Runge-Kutta法對離散后得到的常

37、微分方程組進行求解，得到方向和方向上的廣義位移P*）和4（），管道在距離首端Z處的位移rrs值l（Z.、/）=S3s）Pl3）+b2（Zs）P2（），2（乙，?。?G（Zs）0i（r）+c2（/s）02（?。﹐在常微分方程組求解中,為了得到最終的數(shù)值結果，初始條件必須給定，否則無法進行求解，而11在三維管道振動分析中，若只給定一個方向上的初始值，求解得到的結果僅在這一方向上運動，呈現(xiàn)二維平面振動特性。初始條件借鑒GHAYESH等對初始條件的處理方式，令/?（0為A-'d）的任意倍數(shù)，考慮到現(xiàn)場的實際情況，方I12向的初始位移取值取P1I0的百分之一，則Pl0=-0.04,P20=0,冰

38、0=0,P2O=0,0J=0.0004,"°=°，礦0=0,礦0=0。首先對1方向上重力的影響做分析，重力方向為），的負方向且不變，分別求解有無重力情況下管道振動情況并進行對比。從圖3可以看出，時間歷程圖的變化規(guī)律相似，整個系統(tǒng)發(fā)展相似，但平衡位置由0偏移到了7/1=-0.025左右，PAIDOUSSIS1171也指出，r=o和/ho下管道的基本動力學行為是相似的。為r更清晰地描述管道的振動狀態(tài)在速度變化下的規(guī)律，消除由無量綱重力太大而導致的管道屈曲影響數(shù)值解的穩(wěn)定性，分析中先不考慮重力的影響，主要探究無量綱速度變化對管道動力學行為的影響。051015202530

39、T圖3有無重力情況下“戶0.5時的時間歷程圖Fig.3Timetracediagramswith"f=0.5inpresenceorabsenceofgravity:(a)y=0;(b)y=i3求解結果與分析無量綱控制方程采取截斷階數(shù)片2進行伽江金離散后，偏微分方程被化為4個描述輸送音體管道系統(tǒng)常微分方程，不考慮重力的影響，對其進行數(shù)值求解，求解的結果采用時間歷程圖、相平面圖、運動軌跡圖和分岔圖來呈現(xiàn)。其中，時間歷程圖能完美地表現(xiàn)符體輸送管道在某一點的振動幅值隨時間的變化情況，但其無法清晰描述管道振動速度和管道位移的相關關系；相平面圖以位移為橫坐標、速度為縱坐標，表達管道自由末端位移

40、和速度隨時間的變化，箭頭的指向系統(tǒng)整體發(fā)展趨勢的方向：運動軌跡圖以兩個方向上的位移分別作為坐標軸，顯示了管道自由端的運動軌跡；分岔圖可以從整體上給出管道自由末端的位移隨控制參數(shù)無量綱流速w的變化規(guī)律，但并不能清晰的描述某一特定點的振動狀態(tài)。文中的圖像如未特別標明,皆表示的是管道自由端處的振動響應圖像。圖4以管內(nèi)無量綱流速“f為控制參數(shù)的管道自由端位移分岔圖Fig.4Bifurcationdiagramsoffree-enddisplacementusingdimensionalvelocityinpipeascontrolparameter文中主要研究無量綱速度016以內(nèi)、無量綱時間0200之

41、內(nèi)的管道自由末端位移響應情況，管道整體的運動情況在分岔圖中給出。分岔圖中管道自由端振動的位移在管道振動相對穩(wěn)定時取得，忽略初始段不穩(wěn)定的振動，當管道末端的速度為0時，即4（1.）=0和力（1擇）=0時，記錄此時的管道末端的位彩值，其可畝下式計算得出：功（1,?。?力Pi（T）+P2（r），S（l,r）=C（l”i（r）+C2（10（f）,并以點的形式繪制在以速度為橫坐標、末端位移為縱坐標的圖中得到分岔圖如圖4所示。圖4反映了管道自由端在勺、2方向管道自由端位移響應隨管內(nèi)骨體無量綱平均流速M的變化規(guī)律。懸臂管輸流管系統(tǒng)是一非保守系統(tǒng)，其失穩(wěn)是由Hopf分岔引起的顫振失穩(wěn)。由圖4可以看到，言體輸送

42、管系統(tǒng)在“r增大的過程中存在一個臨界速度如當/時，管道末端振幅隨時間衰減，的越大，衰減速度越快，位移最終為0,整個系統(tǒng)最后趨于穩(wěn)定：當管內(nèi)流速超過臨界流速后，管道末端振幅先減小，然后開始增大到一個特定值，開始周期振動，這代表著發(fā)生了顫振失穩(wěn)，這一點稱為Hopf分岔點。從圖4中可以看到，方向上的uCT*10.55o相比于外方向,m方向上管道發(fā)生分岔現(xiàn)象很早，可以看到在0.005左右、T=6500左右時，管道就開始出現(xiàn)的多波峰概周期振動，如圖5所示。另外，相比于方向上的振動變化，從圖4右邊小框圖可以看到，仰在0.005-1.8區(qū)間內(nèi)位移點十分密集，此時管道在欄方向上展現(xiàn)出更加復雜的動力學行為。Gu

43、EQ3-ds5l4-0.0050.00500200040006000800010000r圖5如=0.005時2方向管道末端振動狀態(tài)圖Fig.5Vibrationdiagramsoffree-endatvariousfbrut=0.005inz/2direction7/1方向上平面)需要特別分析的速度范圍為10-13區(qū)間內(nèi)，0方向上(x-z平面)為1.5-3.0區(qū)間內(nèi)，兩個方向上分析的重點并不在一個速度區(qū)域內(nèi)，為了更清晰地描述管道的動力學行為，需對管道的三維振動狀態(tài)分別從兩個方向上的進行分析。3.1萬向上CLy平面)振動分析在速度達到分岔點之前，即uf如時，在戶0.0011。區(qū)間內(nèi),對比圖3(a

44、)和6(a)發(fā)現(xiàn),“戶0.5、t=I4時，管道在功方向上的位移為0,但在s=4、ra2.5左右時管道位移己經(jīng)為0。這一階段中，流速的增大引起的音體輸送管道系統(tǒng)阻尼的增大超過此時系統(tǒng)剛度減小的影響，整體上，管道在方向振動衰減越來越快。在圖6(b)中可以看到，當s=9時，小020-0.08-0.06-0.04-0.020"Displacement圖6不同流速下方向管道末端振動狀態(tài)圖Fig.6Vibrationdiagramsoffree-endatvariousflowvelocityinijdirection:(a)-(b)Timehistoryatn(=4andu(=9;(c)Pha

45、seportraitatut=4O.3O.2O.I范圍內(nèi)，管道穩(wěn)定之前又會出現(xiàn)一段不規(guī)律振動，稱為振動I。這段振動在S繼續(xù)增大時仍然存在，形態(tài)基本相似，且這段波動的最大振幅增大，但并沒有對此方向上之后的發(fā)展有影響。振動I的發(fā)生在編=4時就開始顯現(xiàn)，從其相圖6(c)中可以看到，小=0.005時，管道的速度會發(fā)生一個突變，對應圖6(a)中r«0.3時的一個階梯上升，這說明r振動【的發(fā)生。管內(nèi)流速MF10時，管道在振動I之后不會像圖6(b)那樣快速穩(wěn)定，而是呈現(xiàn)開始不斷衰減的振動形式(見圖7(a),系統(tǒng)最終會穩(wěn)定下來，11隨著速度的增大，系統(tǒng)回到穩(wěn)定所需的時間也越來越多。當/f=10.55

46、左右時，由圖7(b)中可以看出，經(jīng)歷振動I后，在r-1.2左右管道開始小幅周期振動。從圖7(c)和7(d)可以清晰地看到，振動I后管道末端存在振幅先增大然后趨于穩(wěn)定，旦最終呈現(xiàn)極限環(huán)形周期振動。隨著流速的增大，=13時，r=90-100內(nèi)，其相圖7(f)相比圖7(e)環(huán)面增大，說明此時發(fā)生了振幅時變的概周期振動。當w在1316范圍內(nèi)，結合圖4發(fā)現(xiàn)，振動的振幅隨速度增大而增大，但并沒有觀察到混沌現(xiàn)象。3.2方向上Clz平面)振動分析72方向上管道的振動狀態(tài)相對比較復雜，臨界速度很?。撼^臨界速度后，戶0.005時，管道在發(fā)生多波峰概周期振動之前會先發(fā)生一段與振動I相似的不規(guī)律運動，稱為振動II,

47、如圖5中r=0-4000內(nèi)的振動。cMUVW-dssI=2u4>w-ds-at060402A1UO.UA'CQE8B一dssa't020406-O.-O.-O.o.o.o.o.o.o.-0.06-0.04-0.0200.020.04-Displacement.06.04.020.02.04,06-0.15-0.10-0.0500.050.100.15"Displacement圖7不同流速下方向管道末端振動狀態(tài)圖Fig.7Vibrationdiagramsoffree-endatvariousflowvelocityinrjdirection:(a)-(d)Timehistoryat“(=10,“(=10.55(7=0-10),/t=10.55(r=1.4-10)andu(=10.55(r=90-100);(e)-Phaseportraitsat*<=10.55andz/f=l3(r=90-100)隨著速度增大，達到周期振動的時間減少，振動的頻率明顯加快。當婦.59時，對比圖7(b)和8