高中數(shù)學(xué)：函數(shù)解析式的十一種方法

1、六、特殊值法八、累加法九、歸納法十、遞推法十一、微積分法高中數(shù)學(xué)：函數(shù)解析式的十一種方法一、定義法二、待定系數(shù)法三、換元（或代換）法四、配湊法五、函數(shù)方程組法七、利用給定的特性求解析式一、定義法:【例11設(shè)f (x 1) x2 3x 2,求 f (x).-2f (x 1) x2-=(x 1)5(x 1) 6一 一2 一3x 2 (x 1) 13(x 1) 1 2-，、2_f (x) x 5x 6x 1【例2】設(shè)ff (x)，求f(x).x 2【解析】設(shè)f f (x)x 1 x 11x 2 x 1 1 1 ±1 x1f(x) 11T，求 f g(x). xf (x) x2 2, 、3

2、一g(x) x 3x【例 3】設(shè) f(x 1) x2 ，g(x ) x3 x xx1211、2-【解析】f(x 1)x2T(x 1)22x x x1311 31又 g(x -) x -3 (x -)3(x -)x x xx故 fg(x) (x3 3x)2 2 x6 6x4 9x2 2【例 4】設(shè) f(cosx) cos17x,求 f(sinx).【解析】f (sin x)fcos( x) cos17( x)22cos(8 17x) cos( 17x) sin17x.22二、待定系數(shù)法：在已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時(shí)，可用待定系數(shù)法?！纠?】 設(shè)f(x)是一次函數(shù)，且ff(x) 4x 3,求f(x)【

3、解析】設(shè)f(x) ax b (a 0),則ff(x) af(x)2b a(ax b) b a xab ba 4a 2 或 a 2ab b 3b 1b 3f (x) 2x 1 或 f(x) 2x 32【例2】已知f (x 2) 2x 9x 13,求f (x).【解析】顯然，f (x)是一個(gè)一元二次函數(shù)。設(shè)則 f(x 2) a(x 2)2 b(x 2) c又 f(x 2) 2x2 9x 13a 2比較系數(shù)得：b 4a 9解得:4a 2b c 132f (x) ax bx c (a 0)ax2 (b 4a)x (4a 2b c)a 2- 2一b 1 f(x) 2x x 3c 3三、換元(或代換)法：

4、已知復(fù)合函數(shù)fg(x)的表達(dá)式時(shí)，還可以用換元法求f(x)的解析式。與配湊法一樣，要注意所換元的定義域的變化【例1】已知f(Vx 1) x 2jx，求f (x 1)【解析】令t 衣1,則t 1, x (t 1)2Q f(、x 1) x 2 x-2_2f (t) (t 1)2(t 1) t 1,2.f (x) x1 (x 1)f (x 1) (x 1)2 1x2 2x (x 0)【例2】1 x已知f() xx 11 -,求 f(x).x x1 x1【解析】設(shè) t,則x 則f(t)xt 1(六)2(t 1)2(t 1) t2 t 1f (x) x2 x 1例3設(shè)f (cos x-21) cos x

5、 ,求 f(x).解：令 t cosx 1,cosx t 1又 1cosx 1,2 cosx-2f(t) (t 1),2 t 0)即 f (x)(x1)* 2,2,0【例4】若f (x)f (x1) 1 xx(1)在(1)式中以x 1x 1代替x得f ()f(- ' x 11-)x 1即f ()又以f()x 12x 1(2)【例一代替(1)式中的1x 得：f(土)f(x)(3)(3) (2)得：2f(x) 12x 132x x 1x(x 1)f(x)32x x 12x(x 1)5】設(shè)f (x)滿足af (x)1 bf(-)xcx(其中a,b, c均不為0,1【斛析】af (x) bf

6、( ) cxx(1)1 -用一來(lái)代替x, xbf (x)(2)由 a (1) b(a2b2)f(x)acx2 bc a【例6】已知f(ax1)2,求 f (x).f(x)acx2 bc(a2b2)x【解析】設(shè)t1 log at 即 x logat代入已知等式中，得:2logax 3四、配湊法已知復(fù)合函數(shù)fg(x)的表達(dá)式，要求f(x)的解析式時(shí),若f g(x)表達(dá)式右邊易配成g(x)的運(yùn)算形式，則可用配湊法，使用配湊法時(shí)，要注意定義域的變化【例1】已知f(6 1) x 24,求f(x)的解析式?！窘馕觥縌x 2、.x可配湊成可用配湊法由 f (% x 1) x 2x ( x )2 1則 f(t

7、) t f (x) x 1 即 f(x) x2 1(x 1)當(dāng)然，上例也可直接使用換元法令 t JX 1 貝 U t Jx 12得 X22 即 f(x) x2 1(x 1)f (t) (t 1)2 2(t 1) t2 1由此可知，求函數(shù)解析式時(shí)，可以用配湊法來(lái)解決的，有些也可直接用換元法來(lái)求解?！纠?】已知f(x 1) x2 4,求f(x). x x【解析】此題直接用換元法比較繁鎖，而且不易求出來(lái)，但用配湊法比較方便。由 f(x 1) x2 口 (x 1)2 2x x x人12一令 t x x tx 1 0 x由 0即t2 4 0得t Rf(t) t2 2即：f (x) x2 2(x R)實(shí)質(zhì)

8、上，配湊法也細(xì)含換元的思想，只是不是首先換元，而是先把函數(shù)表達(dá)式配湊成用此復(fù)合 函數(shù)的內(nèi)函數(shù)來(lái)表示出來(lái)，在通過(guò)整體換元。和換元法一樣，最后結(jié)果要注明定義域。五、函數(shù)方程組法函數(shù)方程組法適用的范圍是：題高條件中，有若干復(fù)合函數(shù)與原函數(shù)f( x)混合運(yùn)算，則要充分利用變量代換，然后聯(lián)立方程組消去其余部分。1【例1】設(shè)f(x)酒足f (x) 2 f () x,求f(x)的解析式。f(x)與f (1)的等式,xx1【解析】要求f(x)可消去f(),為此，可根據(jù)題中的條件再找一個(gè)關(guān)于 x通過(guò)解方程組達(dá)到消元的目的。1_Q f(x) 2f (-) xx1顯然，x 0,將x換成1得x,1,f (-) 2f(

9、x)x1x3x1f(x) 2f(一) x 1.f(-) 2f(x) x覆 w2消去f (1),x1，,一 一.一小結(jié)：函數(shù)方程組法適用于自變量的對(duì)稱規(guī)律?；榈箶?shù)，如 f(x)、 f(-)；互為相反數(shù)，如f(x)、f(-x),通 x過(guò)對(duì)稱代換構(gòu)造一個(gè)對(duì)稱方程組，解方程組即得f(x)的解析式?！纠?】已知f(ax1) x 21f (x) x x (x N ) 2【例2】 已知：f(0) 1,對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y,等式f(x y) f (x) y(2x y 1)恒成立，求f(x)【解析】對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y,等式f(x y) f (x) y(2x y 1)恒成立，不妨令 x 0,則有 f ( y) f

10、(0) y( y 1) 1 y(y 1) y2 y 1 2,求f(x). x 1【解析】設(shè)t a 0,則x 1 loga t即x logat 1代入已知等式中，得：f (t) (log a t 1)2 2 logat 2logat 3f (x) log a x 2log a x 31一例3 設(shè)f (x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，又f(x) g(x) ,試求f (x)和g(x)的解析式x 1【解析】f (x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，f ( x) f (x), g( x) g(x)1又 f (x) g(x) 一-， x 11用 x替換x得：f( x) g( x) x 1 rr -1即 f (

11、x) g(x) x 1解聯(lián)立的方程組，得一、 1,、1f(x) 一，g(x)-x 1x x六、特殊值法：(賦值類求抽象函數(shù))【例1】設(shè)f(x)是定義在N上的函數(shù)，滿足f (1) 1 ,對(duì)于任意正整數(shù)x, y,均有f(x) f ( y) f (x y) xy , 求 f(x).解：由 f(1) 1, f (x) f (y) f (x y) xy設(shè) y 1 得：f(x) 1 f(x 1) x即：f (x 1) f(x) x 1在上式中，x分別用1,2,3, ,t 1代替，然后各式相加1 1 21可得：f(t)1(t2)(t 1) 11t2(t2 22再令 y x得函數(shù)解析式為：f(x) x2 x

12、1七.利用給定的特性求解析式.【例1】設(shè)f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x) ex 1(2 1a) 4 20 2 a2221112(3 a) 4 2 二 a2423 ex,求當(dāng)x<0時(shí)，f(x)的表達(dá)式.【解析】對(duì) xCR,f(x)滿足 f(x) f (x 1),且當(dāng) xC 1, 0時(shí)，f (x) x2 2x 求當(dāng) xC9, 10時(shí)f (x)的表達(dá)式.七.利用給定的特性求解析式.八、累加法：(核心思想與求數(shù)列的通項(xiàng)公式相似)1x 1_【例 1】若 f(1) lg,且當(dāng) x 2 時(shí)，滿足 f(x 1) f (x) lga , (a 0,x N),求f(x). a【解析】f(x) f

13、 (x 1) lgax1 (a 0, x N )遞推得：f (x 1) f (x 2) lg ax 2x 3f (x 2) f(x 3) lga2f(3)f(2) lgaf(2)f(1) lga以上(x 1)個(gè)等式兩邊分別相加,得:f(x)-2f (1) lg a lg aI x 2lgax 1lga-1 2f (1) lg a(x 2) (x 1)lg1 ax(x 1)lg a 2x(x 1) 1x(x1)-1lgalg a【例U已知f (x 1)【解析】 f (1) a,.1 .f(3) 2f(2)2.1 .f(4) 2f(3)2九、歸納法:1 、2 - f (x), (x N )且 f

14、(1) a ,求 f (x). 2,1,11f (2)2-f (1)2-a4 2-a222111191f(5) 2f(4) 2(3 a) 4 2 24a2 2 2 82,依此類推，得3 x 1f(x) 4 22rya再用數(shù)學(xué)歸納法證明之。十、遞推法：若題中所給條件含有某種遞進(jìn)關(guān)系, 代等運(yùn)算求得函數(shù)解析式。則可以遞推得出系列關(guān)系式，然后通過(guò)迭加、迭乘或者迭設(shè)f (x)是定義在N 上的函數(shù)，滿足f(1) 1 ,對(duì)任意的自然數(shù)a,b 都有f(a) f(b) f(a b) ab,求 f(x)【解析】f(a) f (b) f(a b) ab, a, b N ,不妨令 a x,b 1,得：f (x) f (1) f(x 1) x,又 f 1,故 f(x 1) f (x) x 1 分別令式中的x 1,2L n 1 得：f(2) f(1) 2, f(3) f(2) 3,L Lf (n) f(n 1) n,將上述各式相加得：f (n) f (1) 2 3 n,f(n) 1 2 3n(n 1)n 2f(x) 1x2 1x,x 221一、微積分法：(當(dāng)你學(xué)了導(dǎo)數(shù)和微積分之后.就會(huì)用到，不過(guò)平時(shí)的考題還是比較少出現(xiàn)的，多見(jiàn)識(shí)下各種題型對(duì)你有幫助的。)【例 1】設(shè) f(sin