高等數(shù)學D7_7常系數(shù)齊次線性微分方程

1、目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt常系數(shù) 第七節(jié)齊次線性微分方程 基本思路: 求解常系數(shù)線性齊次微分方程 求特征方程(代數(shù)方程)之根轉化 第七章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt二階常系數(shù)齊次線性微分方程:),(0為常數(shù)qpyqypy xrye和它的導數(shù)只差常數(shù)因子,代入得0e)(2xr qprr02qrpr稱為微分方程的特征方程特征方程,1. 當042qp時, 有兩個相異實根,21r ,r方程有兩個線性無關的特解:,e11xry ,e22xry 因此方程的通解為xrxrCCy21ee21( r 為待定常數(shù) ),xrre,函數(shù)為常數(shù)時因為所

2、以令的解為 則微分其根稱為特征根特征根.目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt),(0為常數(shù)qpyqypy 特征方程02qrpr2. 當042qp時, 特征方程有兩個相等實根21rr 則微分方程有一個特解)(12xuyy 設另一特解( u (x) 待定)代入方程得:e1xr)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根0 u取 u = x , 則得,e12xrxy 因此原方程的通解為xrxCCy1e)(21,2p.e11xry )(e1xuxr0)()2(1211 uqrprupru目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt),(0為常數(shù)qpyqypy 特征方程02qrp

3、r3. 當042qp時, 特征方程有一對共軛復根i,i21rr這時原方程有兩個復數(shù)解:xy)i(1e)sini(cosexxxxy)i(2e)sini(cosexxx 利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關特解:)(21211yyy)(21i212yyyxxcosexxsine因此原方程的通解為)sincos(e21xCxCyx目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt小結小結:),(0為常數(shù)qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxrCCy21ee2121,:rr特征根21rr 實根 221prrxrxCCy1e)(21i21,r)sincos(e21xCxCyx特 征 根通 解以上結論

4、可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt若特征方程含 k 重復根,ir若特征方程含 k 重實根 r , 則其通解中必含對應項xrkkxCxCCe)(121xxCxCCkkxcos)( e121sin)(121xxDxDDkk則其通解中必含對應項)(01) 1(1)(均為常數(shù)knnnnayayayay特征方程: 0111nnnnararar),(均為任意常數(shù)以上iiDC推廣推廣:目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt例例1. 032 yyy求方程的通解.解解: 特征方程, 0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解為xxCCy321ee例例2. 求解

5、初值問題0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解: 特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解為ttCCse)(21利用初始條件得, 41C于是所求初值問題的解為ttse)24(22C目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt例例3.052)4( yyy求方程的通解. 解解: 特征方程, 052234rrr特征根:i21, 04,321rrr因此原方程通解為xCCy21)2sin2cos(e43xCxCx例例5.0)4()5( yy解方程解解: 特征方程:, 045rr特征根 :1, 054321rrrrr原方程通解:1CyxC223xC34xCxC e5(不難看出,

6、 原方程有特解)e, 132xxxx目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt02)(22222rr例例4. . )0(0dd444wxw解方程解解: 特征方程:44r即0)2)(2(2222rrrr其根為),i1(22,1r)i1(24,3r方程通解 :xw2e)2sin2cos(21xCxCx2e)2sin2cos(43xCxC目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt例例5.02)4( yyy解方程解解: 特征方程:01224rr0)1(22r即特征根為i,2,1ri4,3r則方程通解 :xxCCycos)(31xxCCsin)(42目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt內容小結內容小結)

7、,(0為常數(shù)qpyqypy 特征根:21, rr(1) 當時, 通解為xrxrCCy21ee2121rr (2) 當時, 通解為xrxCCy1e)(2121rr (3) 當時, 通解為)sincos(e21xCxCyxi2, 1r可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解 .目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt思考與練習思考與練習 求方程0 yay的通解 .答案答案:0a通解為xCCy21:0a通解為xaCxaCysincos21:0a通解為xaxaCCyee21作業(yè)作業(yè) P340 1 (3) , (6) , (10) ; 2 (2) , (3) , (6) ; 3第八節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 編輯ppt備用題備用題,2cos,e2,e321xyxyyxx求一個以xy2sin34為特解的 4 階常系數(shù)線性齊次微分方程,并求其通解 .解解