小學(xué)五年級奧數(shù)第33講包含與排除(容斥原理)后附答案

1、第 33 講 包含與排除（容斥原理）一、專題簡析：集合是指具有某種屬性的事物的全體，它是數(shù)學(xué)中的最基本的概念之 一。如某班全體學(xué)生可以看作是一個集合， 0、1、2、3、4、5、6、7、 8、 9 便組成一個數(shù)字集合。組成集合的每個事物稱為這個集合的元素。如某 班全體學(xué)生組成一個集合，每一個學(xué)生都是這個集合的元素，數(shù)字集合中 有 10 個元素。兩個集合中可以做加法運算，把兩個集合 A、B合并在一起，就組成了一個 新的集合C。計算集合C的元素的個數(shù)的思考方法主要是包含與排除：先 把 A、 B 的一切元素都“包含”進來加在一起，再“排除” A、 B 兩集合的 公共元素的個數(shù)，減去加了兩次的元素，即：

2、C=ABAB。在解包含與排除問題時，要善于使用形象的圖示幫助理解題意，搞清數(shù)量 關(guān)系的邏輯關(guān)系。有些語言不易表達清楚的關(guān)系，用了適當(dāng)?shù)膱D形就顯得 很直觀、很清楚，因而容易進行計算。二、精講精練例 1 五年級 96 名學(xué)生都訂了報紙，有 64 人訂了少年報，有 48 人訂了小 學(xué)生報。兩種報紙都訂的有多少人？16練習(xí)1、一個班的 52 人都在做語文和數(shù)學(xué)作業(yè)。有 32 人做完了語文作業(yè)，有35 人做完了數(shù)學(xué)作業(yè)。語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的有多少人？2、五年級有 122 人參加語文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一門功課得優(yōu)。其中 語文得優(yōu)的有 65 人，數(shù)學(xué)得優(yōu)的有 87 人。語文、數(shù)學(xué)都得優(yōu)的有多少人？例

3、2：某校教師至少懂得英語和日語中的一種語言。已知有 35 人懂英語，34 人懂日語，兩種語言都懂的有 21人。這個學(xué)校共有多少名教師？練習(xí)二1、某校的每個學(xué)生至少愛體育和文娛中的一種活動。 已知有 900 人愛好體 育活動，有 850 人愛好文娛活動，其中 260 人兩種活動都愛好。這個學(xué)校 共有學(xué)生多少人？2、某班在一次測驗中有 26 人語文獲優(yōu)，有 30 人數(shù)學(xué)獲優(yōu)，其中語文、數(shù) 學(xué)雙優(yōu)的有 12 人，另外還有 8人語文、數(shù)學(xué)均未獲優(yōu)。這個班共有多少人？例 3：學(xué)校開展課外活動，共有 250 人參加。其中參加象棋組和乒乓球組 的同學(xué)不同時活動，參加象棋組的有 83 人，參加乒乓球組的有 8

4、6 人，這 兩個小組都參加的有 25人。問這 250名同學(xué)中，象棋組、乒乓球組都不參 加的有多少人？練習(xí)三1、五年級有 250人，其中參加象棋組的有 83人，參加乒乓球組的有 86 人， 這兩個小組都參加的有 25 人。兩個小組都不參加的有多少人？2、五（ 1）班有 50 人，在一次測試中，語文 90 分以上的有 30人，數(shù)學(xué)90 分以上的 35人，語文和數(shù)學(xué)都在 90分以上的有 20 人。兩科都在 90分 以下的有多少人？例 4 實驗小學(xué)各年級都參加的一次書法比賽中，四年級與五年級共有 20 人獲獎，在獲獎?wù)咧杏?16 人不是四年級的，有 12 人不是五年級的。該校 書法比賽獲獎的總?cè)藬?shù)是多

5、少人？練習(xí)四1、五一小學(xué)舉行小學(xué)生田徑運動會，其中 24 名運動員不是六年級的， 28 名運動員不是五年級的，已知五、六年級運動員共有 32 名，求五、六年級 和中低年級運動員各有多少名？2、少年樂團學(xué)生中有 170 人不是五年級的，有 135 人不是六年級的，已知五、六年級的共有 205 人，求少年樂團中五、六年級以外的學(xué)生共有多少 人？例 5 在 100個外語教師中，懂英語的有 75人，懂日語的有 45人，其中必然有既懂英語又懂日語的老師。問：只懂英語的老師有多少人？練習(xí)五1、 40 人都在做加試的兩道題，并且至少做對了其中的一題。已知做對第一題的有 30 人，做對第二題的有 21 人。只

6、做對第一題的有多少人？2、五年級 122 名同學(xué)參加語文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一門得優(yōu)。已知語 文 65 人得優(yōu)，數(shù)學(xué) 78 人得優(yōu)，求只有語文一門得優(yōu)的人數(shù)。三、課后作業(yè)1、某班有 50 名學(xué)生，在一次測驗中有 26 人滿分，在第二次測驗中有 21 人滿分。如果兩次測驗都沒得過滿分的學(xué)生有 17 人，那么，兩次測驗都得 滿分的有多少人？2、第一小組的同學(xué)們都在做兩道數(shù)學(xué)思考題，做對第一題的有15 人，做對第二題的有 10 人，兩題都做對的有 7 人，兩題都做錯的有 2 人。第一小組共有多少人？3、老師在統(tǒng)計考試成績，數(shù)學(xué)得 90 分以上的有 25人，語文得 90 分以上 的有 21 人，兩科

7、中至少有一科在 90 分以上的有 38人。兩科都在 90 分以 上的有多少人？4、六一兒童狼子野心同學(xué)們做小花，有 24 朵不是紅色的，有 20朵不是黃 色的，已知紅花和黃花一共有 18 朵，其他顏色的花一共做了多少朵？5、全班 46 名同學(xué)，僅會打乒乓球的有 28 人，會打乒乓球又會打羽毛球的 有 10 人，不會打乒乓球又不會打羽毛球的有 6 人。僅會打羽毛球的有多少 人？第 33 周 包含與排除（容斥原理）答案解析專題簡析：集合是指具有某種屬性的事物的全體，它是數(shù)學(xué)中的最基本的概念之一。如某班全體學(xué)生可以看作是一個集合，O、1、2、3、4、5、6、7、8、9便組成一個數(shù)字集合。組成集合的每

8、個事物稱為這個集合的元素。如某班全體學(xué)生組成一個集合，每一個學(xué)生都是這個集合的元素，數(shù)字集合中有10個元素。兩個集合中可以做加法運算，把兩個集合A、B合并在一起，就組成了一個新的集合C。計算集合C的元素的個數(shù)的思考方法主要是包含與排除：先把A、B的一切元素都“包含”進來加在一起，再“排除” A、B兩集合的公共元素的個數(shù)，減去加了兩次的元素，即：C=A÷ B- ABO在解包含與排除問題時，要善于使用形象的圖示幫助理解題意，搞清數(shù)量關(guān)系的邏輯關(guān)系。有些語言不易表達清楚的關(guān)系，用了適當(dāng)?shù)膱D形就顯得很直觀、很清楚，因而容易進行計算。例1五年級96名學(xué)生都訂了報紙， 有64人訂了少年報，有48

9、人訂了小學(xué)生報。兩種報紙都訂的 有多少人？96人64人分析用左邊的圓表示訂少年報的64人，右邊的圓表示訂小學(xué)報的48人，中間重疊部分表示兩種報刊都訂的人數(shù)。顯然，兩種報刊都訂的人數(shù)被統(tǒng)計了兩次：64 + 48=112人，比總?cè)藬?shù)多112-96=161，一個班的52人都在做語文和數(shù)學(xué)作業(yè)。有 文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的有多少人？答案32人做完了語文作業(yè)，有35人做完了數(shù)學(xué)作業(yè)。語人，這16人就是兩種報刊都訂的人數(shù)。32 + 35 - 52= 67-5211 （人）答:語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的有 15人.解析因為每人至少做完一種作業(yè)，所以實際52人都參與了寫作業(yè)，做完數(shù)學(xué)和語文作業(yè)的總?cè)藬?shù)為靛萬需（人）,

10、1工11（A）,超出了全班人數(shù)，超出的部分是兩種作業(yè)都完成的人數(shù)2 ,五年級有122人參加語文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一門功課得優(yōu)。其中語文得優(yōu)的有65人，數(shù)學(xué)得優(yōu)的有87人。語文、數(shù)學(xué)都得優(yōu)的有多少人？答案解roo - 亠 *2-112（人）答:兩門功課都得優(yōu)的有40人.解析根據(jù) 語文得優(yōu)的有65人,數(shù)學(xué)得優(yōu)的有87人'可得兩者的總?cè)?這其中把兩門功課都得優(yōu)的人數(shù)多計算了一次所以根據(jù)容斥原理可得兩門功課都得優(yōu)的人數(shù)是152-112 = 40（人）,據(jù)3,某班有50名學(xué)生，在一次測驗中有26人滿分，在第二次測驗中有21人滿分。如果兩次測驗都沒得過滿分的學(xué)生有17人，那么，兩次測驗都得滿分

11、的有多少人？答案設(shè)定每個頁碼用去三個數(shù)字第一頁就是001.這樣估算大學(xué)400頁,然后減去1-99補的多余的，就知道了，我沒紙筆沒法計算例2:某校教師至少懂得英語和日語中的一種語言。已知有35人懂英語，34人懂日語，兩種語言都懂的有21人。這個學(xué)校共有多少名教師？分析 把懂英語和懂日語的人數(shù)加起來得35 + 34=69人，但是，兩種語言都懂的21人被統(tǒng)計過兩 次，應(yīng)該從 69 里去掉一個 21 才能得出這個地區(qū)外語教師的總?cè)藬?shù)： 69 21=48 人。練習(xí)二1，某校的每個學(xué)生至少愛體育和文娛中的一種活動。已知有900 人愛好體育活動，有 850 人愛好文娛活動，其中 260 人兩種活動都愛好。這

12、個學(xué)校共有學(xué)生多少人？ 答案解：900+ 850 260 = 1 490（人）兩種都愛好的人被算了兩次 .解析將愛好兩種活動的學(xué)生求和， 因為兩種活動都愛好的人被算了兩次， 要去掉一次 .2，某班在一次測驗中有 26人語文獲優(yōu)，有 30 人數(shù)學(xué)獲優(yōu)，其中語文、數(shù)學(xué)雙優(yōu)的有 12人，另外 還有 8 人語文、數(shù)學(xué)均未獲優(yōu)。這個班共有多少人？ 答案解：根據(jù)分析可得，26+30-12+8=52（人）；答：這個班有 52 個學(xué)生故答案為：52 人.解析根據(jù)“有26人語文獲優(yōu)，有 30人數(shù)學(xué)獲優(yōu) ”可知：26+30=56人包括三部分，只 語文獲優(yōu)的人數(shù)、 只數(shù)學(xué)獲優(yōu)的人數(shù)、 數(shù)學(xué)、 語文都沒有獲優(yōu)的人，

13、所以既語文、 數(shù)學(xué)獲優(yōu)的人數(shù)是： 30+26-12=44（人），然后再加上數(shù)學(xué)、語文都沒有獲優(yōu)的 有 8 人，就是這個班的學(xué)生數(shù)；據(jù)此解答本題考查了同學(xué)們對容斥原理的理解和運用，注意：理解 52 人包括三部分的人數(shù)，知識點是：總?cè)藬?shù)=（A+B ）-既A又B ,是解題的關(guān)鍵.3，第一小組的同學(xué)們都在做兩道數(shù)學(xué)思考題，做對第一題的有15 人，做對第二題的有 10 人，兩題都做對的有 7人，兩題都做錯的有 2 人。第一小組共有多少人？ 答案解：15 + 10+ 2 7 = 20（人）兩題都對的人數(shù)被算了兩次 .解析將做對和做錯的人數(shù)求和，減去兩題都做對的人數(shù)例 3：學(xué)校開展課外活動，共有 250 人

14、參加。其中參加象棋組和乒乓球組的同學(xué)不同時活動，參加 象棋組的有 83 人，參加乒乓球組的有 86 人，這兩個小組都參加的有 25 人。問這 250 名同學(xué)中， 象棋組、乒乓球組都不參加的有多少人？分析 兩個小組都參加的有 25 人，因此，至少參加這兩種小組的一個小組的人數(shù)是 84+ 8625=144 人，所以，這兩個小組都不參加的人數(shù)是 250144=106 人。練習(xí)三1，五年級有 250 人，其中參加象棋組的有 83 人，參加乒乓球組的有 86 人，這兩個小組都參加的 有 25 人。兩個小組都不參加的有多少人？ 答案解： 83 + 86 25=144（人）250 144=106（人）答：象

15、棋組、乒乓球組都不參加的有 106人.故答案為：106 人解析根據(jù)題意可以知道， 參加兩個小組的總?cè)藬?shù)=參加象棋組的人數(shù)+參加乒乓球組 的人數(shù)兩個小組都參加的人數(shù)， 再將總?cè)藬?shù)減去參加兩個小組的總?cè)藬?shù)就得到 象棋組、乒乓球組都不參加的人數(shù) .2，五（ 1）班有 50 人，在一次測試中，語文 90 分以上的有 30 人，數(shù)學(xué) 90 分以上的 35 人，語文 和數(shù)學(xué)都在 90 分以上的有 20 人。兩科都在 90 分以下的有多少人？ 答案解：30+ 35 20= 45（人）5045= 5（人）故答案為：略解析先算出 90 分以上的人數(shù)，再求 90 分一下的人數(shù) 語文、數(shù)學(xué)都在 90 分以上的被算了

16、兩次 .3，老師在統(tǒng)計考試成績，數(shù)學(xué)得90 分以上的有 25人，語文得 90分以上的有 21 人，兩科中至少有一科在 90 分以上的有 38 人。兩科都在 90 分以上的有多少人？ 答案解： 25+21=46 （人），46-38=8 （人）答；兩科都在 90 分以上的有 8 人解析提示 1：先計算出語文、數(shù)學(xué)都得 90 分以上的人數(shù)： 25+21=46 （人），其中語 文、數(shù)學(xué)只一門上 90 的人數(shù)各數(shù)了一次，兩科都在 90 分以上的人數(shù)數(shù)了兩次； 38 人包括只有語文或數(shù)學(xué)一科上 90 的人數(shù)和兩科都上 90 的人數(shù)，兩科都在 90 分以上的只數(shù)了一次， 所以：46-38=8 （人），就是兩

17、科都在 90 分以上的人數(shù) 提示 2：解決本題的關(guān)鍵是在25+21=46 （人）里，是語文、數(shù)學(xué)只一門上 90的人數(shù)各數(shù)了一次，包括兩科都在 90 分以上的人數(shù)數(shù)了兩次，而在 38 人中， 兩科都在 90 分以上的只數(shù)了一次，所以二者相減就是兩科都在 90 分以上的人 數(shù)解： 25+21=46 （人），46-38=8 （人）答；兩科都在 90 分以上的有 8 人例 4 實驗小學(xué)各年級都參加的一次書法比賽中，四年級與五年級共有 20 人獲獎，在獲獎?wù)咧杏?6 人不是四年級的，有 12 人不是五年級的。該校書法比賽獲獎的總?cè)藬?shù)是多少人？分析 由“ 16人不是四年級的”可知： 16 人是五年級和其他

18、年級的；由“ 12人不是五年級的”可 知： 12 人是四年級和其它年級的。用1612 可算出四年級加五年級以及兩個其它年級的人數(shù)和，再減去20就得兩個其他年級的人數(shù)，這樣其他年級的人數(shù)是：（16+ 12-20）÷ 2=4人，該校參加書法比賽獲獎的總?cè)藬?shù)是 420=24 人。練習(xí)四1，五一小學(xué)舉行小學(xué)生田徑運動會，其中24 名運動員不是六年級的， 28 名運動員不是五年級的，已知五、六年級運動員共有 32 名，求五、六年級和中低年級運動員各有多少名？ 答案 解：依題意：五年級運動員 +六年級運動員 =32五年級運動員+中低年級運動員=24六年級運動員+中低年級運動員=28將+得五年級運

19、動員 +中低年級運動員 +六年級運動員 +中低年級運動員 =24+28五年級運動員 +六年級運動員 +2 中低年級運動員 =5232+2 中低年級運動員 =52則中低年級運動員 =10（名）將中低年級運動員 =10 代入得五年級運動員 +10=24則五年級運動員 =14（ 名）將中低年級運動員 =10 代入得六年級運動員 +10=28則六年級運動員 =18（ 名）答：五年級運動員有 14 名，六年級運動員有 18名，中低年級運動員有 10 名.故答案為：五年級運動員有 14名，六年級運動員有 18名，中低年級運動員有 10名.解決問題策略 -等量替換是小學(xué)數(shù)學(xué)常考知識點；本題某小學(xué)舉行田徑運動

20、會，其中 24 名運動員不是六年級的， 28 名運動員不是五年級的，五年級運動員 +六年級運動員 =32，則有五年級運動員 +中低年級運動員 =24，六年級運動員 +中低年級運動員 =28，通過這些等量關(guān)系本題很容易解答 .解析解答本題就要熟悉解決問題策略-等量替換；本題某小學(xué)舉行田徑運動會，其中24名運動員不是六年級的，28名運動員不是五年級的，五年級運動員+六年級運動員=32,則有五年級運動員+中低年級運動員=24，六年級運動員+中低年級運 動員=28,通過這些等量關(guān)系本題很容易解答.2 ,少年樂團學(xué)生中有 170人不是五年級的，有 135人不是六年級的，已知五、六年級的共有 205 人，

21、求少年樂團中五、六年級以外的學(xué)生共有多少人？答案解：根據(jù)題干分析：(135+170-205)÷，=100+2，=50 (人)，答：少年樂團中五、六年級以外的學(xué)生共有50人.解析提示1 :根據(jù)題干分析可得，170人是一至四年級和六年級的人數(shù)之和；135人是一至四年級和五年級的人數(shù)之和；由此可以畫出下圖進行分析：兩個集合加起來的數(shù)量是：135+170=305 ,根據(jù)圖中可以看出 C部分加了 2次，即：A+2C+B=305 ,而已知 A+B=205 ,所以 2C=305-205=100 ,故 C=50 .提示2:此題考查了利用容斥原理解決問題的方法，此題關(guān)鍵是抓住題干得出一然后找出相容至四

22、年級和六年級的人數(shù)之和與一至四年級和五年級的人數(shù)之和,的部分解：根據(jù)題干分析：(135+170-205 ) ÷ ,=100÷2,=50(人)， 答：少年樂團中五、六年級以外的學(xué)生共有 50 人3,六一兒童狼子野心同學(xué)們做小花,有 24 朵不是紅色的,有 20 朵不是黃色的,已知紅花和黃花 一共有 18 朵,其他顏色的花一共做了多少朵？ 答案解：(24 + 20 18) ÷ = 13(朵).答：其它顏色的花一共有 13 朵.故答案為：13朵解析根據(jù)題意, 24 朵不是紅花,則黃花和其它顏色的花共有 24 朵, 20 朵不是黃花, 則紅花和其它顏色的花共有 20朵，其它顏色的花有：(24 + 20 18) ÷ = 13(朵). 此題屬于邏輯推理題,解答此題的關(guān)鍵是通過題意,找出突破口,進行推理,如本題 24 朵不是紅花,則黃花和其它顏色的花共有24 朵, 20 朵不是黃花,則紅花和其它顏色的花共有 20朵，其它顏色的花有：(24 + 20 18) ÷ = 13(朵)，進而 很容易得出所有答案 .例 5 在 100 個外語教師中，懂英語的有 75 人，懂日語的有 45 人，其中必然有既懂英語又懂日語 的老師。問：只懂英語的老師有多少人？分析 顯然，兩種語言都懂的人在懂英語的 75 人中統(tǒng)計過一次， 在懂日語的