題型一求軌跡方程利用中間變量法(轉(zhuǎn)移法)是求軌跡問題的重要方

1、題型一：求軌跡方程題型一：求軌跡方程:利用中間變量法（轉(zhuǎn)移法）是求軌跡問題的重要方法之一。利用中間變量法（轉(zhuǎn)移法）是求軌跡問題的重要方法之一。相關(guān)點(diǎn)法相關(guān)點(diǎn)法（代人法）：有些問題中，其動(dòng)點(diǎn)滿足的條件不便用等式列出，但動(dòng)點(diǎn)是隨著另一動(dòng)點(diǎn)（稱之為相關(guān)點(diǎn)）（代人法）：有些問題中，其動(dòng)點(diǎn)滿足的條件不便用等式列出，但動(dòng)點(diǎn)是隨著另一動(dòng)點(diǎn)（稱之為相關(guān)點(diǎn)）而運(yùn)動(dòng)的；如果相關(guān)點(diǎn)所滿足的條件是明顯的，或是可分析的，這時(shí)可以用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，而運(yùn)動(dòng)的；如果相關(guān)點(diǎn)所滿足的條件是明顯的，或是可分析的，這時(shí)可以用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程即可求得動(dòng)

2、點(diǎn)的軌跡方程。 例 1雙曲線有動(dòng)點(diǎn)，是曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的重心2219xyP12,F F12PFF的軌跡方程。M解析：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)各為，在已知雙曲線方程中，,P M11( ,),( , )P x yM x y3,1ab9 110c 已知雙曲線兩焦點(diǎn)為，12(10,0),( 10,0)FF存在，12PFF10y 由三角形重心坐標(biāo)公式有，即 。11(10)103003xxyy 1133xxyy，。10y 0y 已知點(diǎn)在雙曲線上，將上面結(jié)果代入已知曲線方程，有P22(3 )(3 )1(0)9xyy即所求重心的軌跡方程為：。M2291(0)xyy點(diǎn)評(píng)：定義法求軌跡方程的一般方法、步驟；“轉(zhuǎn)移法”求軌跡方程

3、的方法。例 2 （2001 上海，3）設(shè) P 為雙曲線y21 上一動(dòng)點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，M 為線段42xOP 的中點(diǎn)，則點(diǎn) M 的軌跡方程是 。解析：（1）答案：x24y21設(shè) P（x0，y0） M（x，y） 2xx0，2yy02,200yyxx4y21x24y21442x 點(diǎn)評(píng)：利用中間變量法（轉(zhuǎn)移法）是求軌跡問題的重要方法之一。練習(xí)練習(xí)：1、在雙曲線的兩條漸近線上分別取點(diǎn)和，使)0, 0( 12222babyaxAB（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線的半焦距） ，求中點(diǎn)的軌跡。2|cOBOAOCAB2、若動(dòng)點(diǎn) P 在 y=2x2+1 上移動(dòng),則點(diǎn) P 與點(diǎn) Q(0,-1)連線中點(diǎn)的軌跡方程是_ （

4、y= -2x2-3）3、已知ABC 中，B（1，0） 、C（5，0） ，點(diǎn) A 在 x 軸上方移動(dòng)，且tanB+tanC=3，則 ABC 的重心 G 的軌跡方程為_.3、解：設(shè) A（x0，y0） ，tanB+tanC=3，=3，點(diǎn) A 的軌跡方程為100 xy500 xyy0=（x026x0+5） （x01 且 x05）.43若 G（x，y）為ABC 的重心，則由重心坐標(biāo)公式：x=，y=，x0=3x6，且 y0=3y.3510 x30y代入 A 點(diǎn)軌跡方程得 G 的軌跡方程為y1=（x3）2（x且 x）.4937311答案：y1=（x3）2（x且 x）49373114、斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)

5、，則線段中點(diǎn)的軌跡方41422 yxBA,AB程是 二、充分利用韋達(dá)定理及二、充分利用韋達(dá)定理及“設(shè)而不求設(shè)而不求”的策略的策略我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)而不求它，而是結(jié)合韋達(dá)定理求解，這種方法在有關(guān)斜率、我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)而不求它，而是結(jié)合韋達(dá)定理求解，這種方法在有關(guān)斜率、中點(diǎn)等問題中常常用到。中點(diǎn)等問題中常常用到。典型例題 例 1 已知中心在原點(diǎn) O，焦點(diǎn)在軸上的橢圓與直線相交于 P、Q 兩yyx1點(diǎn)，且，求此橢圓方程。OP OQ|PQ 102 解：設(shè)橢圓方程為，直線與橢圓相交于 Paxbyab2210()yx1、兩點(diǎn)。()xy11，Q xy()22， 由方程組消去后得yxaxby11

6、22y ()ab xbxbxxbabx xbab 2121221021， 由，得 （1）kkOPOQ 1y yx x1212 又 P、Q 在直線上，yx1 yxyxy yxxx xxx1122121212121213111，( )( )()()() 把（1）代入，得，2101212x xxx() 即21210()babbab 化簡(jiǎn)后，得 （4）ab 2 由，得|PQ 102()()xxyy12212252 ()()()()xxxxx xbabbab1221221225445424154， 把（2）代入，得，解得或48302bbb 12b 32 代入（4）后，解得或a 32a 12 由，得。ab

7、 0ab3212， 所求橢圓方程為322122xy 評(píng)注：此題充分利用了韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略，簡(jiǎn)化了計(jì)算。例 2：已知常數(shù) a0，向量，經(jīng)過定點(diǎn) A（0，a）以為(0, ),(1,0)ma nmn方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn) B（0，a）以為方向向量的直線相交于點(diǎn) P，其中2nmR（）求點(diǎn) P 的軌跡 C 的方程；（）若過 E（0，1）的直線 l 交曲線 C 于 M、N 兩點(diǎn)，求的取,22aENEM 值范圍解：（）設(shè) P 點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y） ，則),(),(ayxBPayxAP又(1,0),(0, ),( , ),2(1,2)nmamna nma故由題知向量與向量AP,().mnyaax

8、平行故又向量與向量BP,2.nmyaax平行故兩方程聯(lián)立消去參數(shù)，得點(diǎn) P（x，y）的軌跡方程是 .2,2)(222222xaayxaayay即（），故點(diǎn) P 的軌跡方程為22a, 12222 xy此時(shí)點(diǎn) E（0，1）為雙曲線的焦點(diǎn)若直線 l 的斜率不存在，其方程為 x=0，l 與雙曲線交于、，)22, 0(M)22, 0( N 此時(shí) .21211) 122)(122(ENEM若直線 l 的斜率存在，設(shè)其方程為化簡(jiǎn)得代入, 1 kxy12222 xy . 014) 1(222kxxk直線 l 與雙曲線交于兩點(diǎn)，. 1. 010) 1(8)4(222kkkk解得且設(shè)兩交點(diǎn)為， ),(),(221

9、1yxNyxM則.) 1(21,12221221kxxkkxx此時(shí)),(),() 1,() 1,(22112211kxxkxxyxyxENEM).121 (21) 1(21) 1(22221221221kkkxxkxxkxx當(dāng);21)121(21, 01,1122kENEMkk故時(shí)當(dāng).21)121 (21, 01,1122kENEMkkk故時(shí)或綜上所述，的取值范圍是 ENEM ).,2121,(提煉方法:1.交軌法也是求軌跡方程的一種重要方法,具體過程是:(1).建立動(dòng)直線(或曲線)的方程;(2).消去動(dòng)直線(或曲線)方程中的參數(shù),得到交點(diǎn)(即動(dòng)點(diǎn))坐標(biāo) x,y 的方程即為所求.2.“設(shè)而不求

10、”是解題(2)的一個(gè)亮點(diǎn).在解直線與圓錐曲線交點(diǎn)、弦長(zhǎng)、斜率等問題時(shí)，利用韋達(dá)定理、中點(diǎn)公式作整體代換處理，是簡(jiǎn)潔高效化難為易的好方法。3.以向量的形式給出題設(shè),或用向量的方法求解解析幾何問題,是一個(gè)新的命題方向,應(yīng)多留心關(guān)注. 變式練習(xí)：變式練習(xí)：1、若雙曲線方程為，AB 為不平行于對(duì)稱軸且不過原點(diǎn)的弦，Mxayb22221為 AB 中點(diǎn)，設(shè) AB、OM 的斜率分別為，則kkABOM、kkbaABOM22三、整體法（設(shè)而不求法）：當(dāng)探求的軌跡較復(fù)雜時(shí)，可擴(kuò)大考察視角，將問題中的條件、結(jié)論的各種三、整體法（設(shè)而不求法）：當(dāng)探求的軌跡較復(fù)雜時(shí)，可擴(kuò)大考察視角，將問題中的條件、結(jié)論的各種關(guān)系看成一

11、個(gè)整體，從整體出發(fā)運(yùn)用整體思想，注重整體結(jié)構(gòu)的挖掘和分析。關(guān)系看成一個(gè)整體，從整體出發(fā)運(yùn)用整體思想，注重整體結(jié)構(gòu)的挖掘和分析。注意：所有的求軌跡的問題都要根據(jù)題意，求其中注意：所有的求軌跡的問題都要根據(jù)題意，求其中的取值范圍。的取值范圍。yx, 例 1、AB 是圓 O 的直徑，且AB2a，M 為圓上一動(dòng)點(diǎn)，作 MNAB，垂足為 N，在 OM 上取點(diǎn) P，使OPMN，求點(diǎn) P 的軌跡.解：以圓心 O 為原點(diǎn)，AB 所在直線為 x 軸建立直角坐標(biāo)系（如下圖） ，則O 的方程為 x2y2a2，設(shè)點(diǎn) P 坐標(biāo)為（x，y） ，并設(shè)圓與 y 軸交于 C、D 兩點(diǎn)，作 PQAB 于Q，則有.|OMOP|MN

12、PQOPMN，OP2OMPQ.x2+y2ay，即 x2（y）2（）2.2a2a軌跡是分別以 CO、OD 為直徑的兩個(gè)圓.例 2、 設(shè)直線 xy=4a 與拋物線 y2=4ax 交于兩點(diǎn) A，B (a 為定值)，C 為拋物線上任意一點(diǎn)，求 ABC 的重心的軌跡方程分析：，是定點(diǎn)，影響 ABC 的重心運(yùn)動(dòng)的因素是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，故選點(diǎn)的坐標(biāo)作參數(shù)解：設(shè) ABC 的重心為 G(x,y) ,點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 C(x0,y0),A(x1,y1), B(x2,y2) 由方程組：消去 y 并整理得：axyayx442x212ax+16a2=0 x1+x2=12a, y1+y2=(x14a)+(x24a)=(x1+x2)8a=4a頭 頭頭 頭頭 頭 頭頭頭 頭頭 頭頭 頭頭http:/ 頭頭頭 頭頭 頭頭 頭頭 頭 頭頭頭 頭由于 G(x,y)為 ABC 的重心, ,343312302100210ayyyyyaxxxxx, 又點(diǎn) C(x0,y0)在拋物線上，ayyaxx4312300將點(diǎn) C 的坐標(biāo)代入拋物線的方程得：(3y4a)2=4a(3x12a), 即(y)2 = (x4a) 34a34a又點(diǎn) C 與 A，B 不重合，x (6)a5 O x yA B P Q M N C