曲線的參數(shù)方程

1、曲線的參數(shù)方程教學目標：1 .通過分析拋物運動中時間與運動物體位置的關(guān)系，寫出拋物運動軌跡的參數(shù)方程，體 會參數(shù)的意義。2 .分析圓的幾何性質(zhì)，選擇適當?shù)膮?shù)寫出它的參數(shù)方程。3 .會進行參數(shù)方程和普通方程的互化。教學重點：根據(jù)問題的條件引進適當?shù)膮?shù)，寫出參數(shù)方程，體會參數(shù)的意義。參數(shù)方程和普通方程的互化。教學難點：根據(jù)幾何性質(zhì)選取恰當?shù)膮?shù)，建立曲線的參數(shù)方程。參數(shù)方程和普通方程的等價 互化。教學過程一.參數(shù)方程的概念1 .探究：如圖，一架救援飛機在離災區(qū)地面 500m的高處以100m/s的速度作水平直線飛行，為使投放 的救援物資準確落于災區(qū)指定的地面（不計空氣阻力），飛行員應(yīng)如何確定投放

2、時機呢？（1）平拋運動：一、方程組有3個變量，其中的x,y表示點的坐標，變量t叫做參變量，而且x,y分別是t的 函數(shù)。二、由物理知識可知，物體的位置由時間 t唯一決定，從數(shù)學角度看，這就是點 M的坐標x,y 由t唯一確定，這樣當t在允許值范圍內(nèi)連續(xù)變化時，x,y的值也隨之連續(xù)地變化，于是就可 以連續(xù)地描繪出點的軌跡。、平拋物體運動軌跡上的點與滿足方程組的有序?qū)崝?shù)對（ x,y）之間有一一對應(yīng)關(guān)系練習：斜拋運動:v=vo2 .參數(shù)方程的概念一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x#,y都是某個變數(shù)t的函數(shù)并且對于t的每一個允許值，由方程組（2）所確定的點詢&y）都在這條曲線上，那么方

3、程（2） 就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù) x,y的變數(shù)tj麻參變瓢簡稱參數(shù),相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間關(guān)系的方程叫做普通方程。0 說明：（1） 一般來說，參數(shù)的變化范圍是有限制的（2）參數(shù)是聯(lián)系變量x, y的橋梁，可以有實際意義，也可無實際意義x 3t例1 .已知曲線C的參數(shù)萬程是 9 （t為參數(shù)） y 2t2 1（1）判斷點M1（0,1）,M2（5,4）與曲線C的位置關(guān)系；（2）已知點M3（6,a）在曲線C上,求a的值。A、一個定點B、一個橢圓 C、一條拋物線 D、一條直線二.圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程的一般形式說明：（1）隨著選取的參數(shù)不同，參數(shù)方程形式也有不同，但表示的曲線

4、是相同（2）在建立曲線的參數(shù)方程時，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍三.參數(shù)方程和普通方程的互化例1、已知圓方程x2+y2 +2x-6y+9=0,將它化為參數(shù)方程。解：x2+y2+2x-6y+9=0化為標準方程,（x+1） 2+ （y-3） 2=1 ,參數(shù)方程為（8為參數(shù)）例2 如圖，圓。的半徑為2, P是圓上的動點，Q（6,0）是x軸上的定點，M是PQ的中點， 當點P繞O作勻速圓周運動時，求點 M的軌跡的參數(shù)方程。明確參數(shù)方程和普通方程的互化的方法。注意，在參數(shù)方程和普通方程的互化中，必須使 x, y的取值范圍保持一致。四.課堂練習鞏固與提高1.與普通方程xy=1表示相同曲線的參數(shù)方程（t為參數(shù)）

5、是（D）A.x t2B.x sinty csctC.1x tant D.y cott2,下列哪個點在曲線 x sin （為參數(shù)）上（C）y cos 2A. （2,7）B. （-,-）C.（）3 32 23 .曲線x 1 CO2s2（為參數(shù)）的軌跡是（D）y sinA. 一條直線 B. 一條射線C. 一個圓4 .方程 x 2（為參數(shù)）表示的曲線是（D）y cosD.(1,0)D.條線段A.余弦曲線B.與x軸平行的線段C.直線D.與y軸平行的線段5.曲線x cos （為參數(shù)）上的點到兩坐標軸的距離之和的最大值是（D） y sinA. ；（t為參數(shù)）的普通方程為x2y2 4。B.整C. 1 D.V2

6、226.方程xt10.已知x 2 cos （為參數(shù)），則（x 5）2 （y 4）2的最大值是6。 y sin11.設(shè)飛機以勻速v=150m/s作水平飛行，若在飛行高度h=588m處投彈（設(shè)投彈的初速度等 于飛機的速度，且不計空氣阻力）。 y2 4tx 2ty 5t2 4 0 （t為參數(shù)）所表示的一族圓白圓心軌跡是（D）7.A.A. 一個定點直線x tcos y t sinM或5r 66B. 一個橢圓（為參數(shù)）與圓x 4 2 cosy 2sin8.曲線x22y的一個參數(shù)方程為xyC. 一條拋物線D. 一條直線為參數(shù)）相切，那么直線的傾斜角為（A）cos (為參數(shù))o1 sin9.x曲線y(1)求

7、炸彈離開飛機后的軌跡方程；(2)試問飛機在離目標多遠(水平距離)處投彈才能命中目標。解：(1) x 150t 2 為參數(shù))。y 588 4.9t(2) 1643m。12 .火炮以 為發(fā)射角，vo為初速度發(fā)射，求炮彈的軌跡方程。解：yXVo cos t,1 ,2（t為參數(shù)）。yoSin t gt213 .動點M從起點Mo(1,2)出發(fā)作等速直線運動，它在x軸與y軸方向上的分速度分別為6和 8,求點M的軌跡的參數(shù)方程。解：x 1 6t (t為時間參數(shù))。y 2 8t14 .求直線X 1 t (t為參數(shù))與圓x2 y2 4的交點坐標。 y 1 t解：把直線的參數(shù)方程代入圓的方程，得(1+t)2+(1

8、-t)2=4相t=1,分別代入直線方程，得交 點為(0, 2)和(2, 0)。圓的參數(shù)方程的應(yīng)用教學目標：知識與技能：利用圓的幾何性質(zhì)求最值(數(shù)形結(jié)合)過程與方法：能選取適當?shù)膮?shù)，求圓的參數(shù)方程教學重點：會用圓的參數(shù)方程求最值。教學難點：選擇圓的參數(shù)方程求最值問題.教學過程：一、最值問題1 .已知 P (x,y )圓 C: x2+y2 6x 4y+12=0 上的點。y(1)求 一 的最小值與最大值(2)求x y的最大值與最小值x2 .圓x2+y2=1上的點到直線3x+4y-25=0的距離最小值是 ;2/.圓(x-1) 2+(y+2) 2=4上的點到直線2x-y+1=0的最短距離是;3 .過點

9、(2,1)的直線中，被圓x2+y2-2x+4y=0截得的弦：為最長的直線方程是 ;為最短的直線方程是;4 .若實數(shù)x,y滿足x2+y2-2x+4y=0 ,則x-2y的最大值為; 二、參數(shù)法求軌跡1) 一動點在圓x2+ y2=1上移動，求它與定點(3,0)連線的中點的軌跡方程2)已知點A(2,0),P是x2+y2=1上任一點， AOP的平分線交PA于Q點，求Q點的軌跡.C.參數(shù)法解題思想：將要求點的坐標x,y分別用同一個參數(shù)來表示例題：1)點P(m,n)在圓x2+y2=1上運動，求點Q(m+n,2mn)勺軌跡方程2)方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m 2)y+16m4+9=0.若該方程

10、表示一個圓，求m的取值范圍和圓心的 軌跡方程。圓錐曲線的參數(shù)方程教學目的：知識與技能：了解圓錐曲線的參數(shù)方程及參數(shù)的意義過程與方法：能選取適當?shù)膮?shù)，求簡單曲線的參數(shù)方程情感、態(tài)度與價值觀：通過觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。教學重點：圓錐曲線參數(shù)方程的定義及方法教學難點：選擇適當?shù)膮?shù)寫出曲線的參數(shù)方程.授課類型：新授課教學模式：啟發(fā)、誘導發(fā)現(xiàn)教學.教學過程：一、復習引入：1 .寫出圓方程的標準式和對應(yīng)的參數(shù)方程。x r cos圓x2 y2 r2參數(shù)方程(為參數(shù))y r sin x x r cos(2)圓(x xo)2 (y yo)2 r2參數(shù)方程為：0(為參數(shù))y Vo r s

11、in2 .寫出橢圓、雙曲線和拋物線的標準方程。3 .能模仿圓參數(shù)方程的推導，寫出圓錐曲線的參數(shù)方程嗎?、講解新課：1 .橢圓的推導：橢圓1參數(shù)方程x acos y bsin為參數(shù))2 .雙曲線的參數(shù)方程：雙曲線2 x -2 a2 y b21參數(shù)方程x a sec y btan為參數(shù))3 .拋物線的參數(shù)方程：拋物線y22 Px參數(shù)方程x2Pt2（t為參數(shù)）y 2Pt1、關(guān)于參數(shù)幾點說明：(1)參數(shù)方程中參數(shù)可以是有物理意義，幾何意義，也可以沒有明顯意義。(2)同一曲線選取的參數(shù)不同，曲線的參數(shù)方程形式也不一樣(3)在實際問題中要確定參數(shù)的取值范圍2、參數(shù)方程的意義：參數(shù)方程是曲線點的位置的另一種

12、表示形式，它借助于中間變量把曲線上的動點的兩個坐 標間接地聯(lián)系起來，參數(shù)方程與變通方程同等地描述，了解曲線，參數(shù)方程實際上是一個方程 組，其中x , y分別為曲線上點M的橫坐標和縱坐標。3、參數(shù)方程求法(1)建立直角坐標系，設(shè)曲線上任一點 P坐標為(x,y)(2)選取適當?shù)膮?shù)(3)根據(jù)已知條件和圖形的幾何性質(zhì)，物理意義，建立點P坐標與參數(shù)的函數(shù)式(4)證明這個參數(shù)方程就是所由于的曲線的方程4、關(guān)于參數(shù)方程中參數(shù)的選取選取參數(shù)的原則是曲線上任一點坐標當參數(shù)的關(guān)系比較明顯關(guān)系相對簡單。與運動有關(guān)的問題選取時間t做參數(shù)與旋轉(zhuǎn)的有關(guān)問題選取角 做參數(shù)或選取有向線段的數(shù)量、長度、直線的傾斜斜角、斜率等

13、。二、典型例題：例1 .設(shè)炮彈發(fā)射角為 ，發(fā)射速度為v0 ,(1)求子彈彈道曲線的參數(shù)方程(不計空氣阻力)(2)若Vo 100m/s, 一,當炮彈發(fā)出2秒時，6求炮彈高度求出炮彈的射程例2,求橢圓的參數(shù)方程(見教材)22橢圓xr冬1參數(shù)方程(為參數(shù))a by bsinx 3cos變式訓練1.已知橢圓(為參數(shù))y 2sin求(1)至時對應(yīng)的點P的坐標(2)直線OP的傾斜角變式訓練2 A點橢圓長軸一個端點，若橢圓上存在一點 P,使/OPA=90 ,其中。為橢 圓中心，求橢圓離心率e的取值范圍。例3.把圓x2 y2 6x 0化為參數(shù)方程(1)用圓上任一點過原點的弦和x軸正半軸夾角 為參數(shù)(2)用圓中

14、過原點的弦長t為參數(shù)三、鞏固與練習四、小結(jié)：本節(jié)課學習了以下內(nèi)容：1 .選擇適當?shù)膮?shù)表示曲線的方程的方法；2 .體會參數(shù)的意義五、課后作業(yè)：教材P圓錐曲線參數(shù)方程的應(yīng)用教學目的：知識與技能：利用圓錐曲線的參數(shù)方程來確定最值，解決有關(guān)點的軌跡問題過程與方法：選擇適當?shù)膮?shù)方程求最值。情感、態(tài)度與價值觀：通過觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。教學重點：選擇適當?shù)膮?shù)方程求最值。教學難點：正確使用參數(shù)式來求解最值問題授課類型：新授課教學模式：講練結(jié)合教學過程：一、復習引入：通過參數(shù) 簡明地表示曲線上任一點坐標將解析幾何中以計算問題化為三角問題，從而運用三角性質(zhì)及變換公式幫助求解諸如最值，

15、參數(shù)取值范圍等問題。二、講解新課：例1.求橢圓的內(nèi)接矩形面積的最大值變式訓練122橢圓x2 4 1 (a b 0)與x軸正向交于點A,若這個橢圓上存在點P,使OPLAP, a2 b2(O為原點)，求離心率e的范圍。 22例2. AB為過橢圓、匕1中心的弦，F(xiàn)1，F(xiàn)2為焦點，求 ABF1面積的最大值。25 16例3.拋物線y2 4x的內(nèi)接三角形的一個頂點在原點，其重心恰是拋物線的焦點，求內(nèi)接三 角形的周長。例4、過P (0, 1)到雙曲線x2 y2 1最小距離變式訓練2:2設(shè)P為等軸雙曲線x2 y2 1上的一點，F(xiàn)1, F2為兩個焦點，證明F1P F2 P OP例5,在拋物線y2 4ax(a 0

16、)的頂點，引兩互相垂直的兩條弦 OA, OB,求頂點。在AB上射影H的軌跡方程。三、鞏固與練習四、小 結(jié)：本節(jié)課學習了以下內(nèi)容：適當使用參數(shù)表示已知曲線上的點用以求最值問題五、課后作業(yè)：直線的參數(shù)方程教學目的：知識與技能：了解直線參數(shù)方程的條件及參數(shù)的意義過程與方法：能根據(jù)直線的幾何條件，寫出直線的參數(shù)方程及參數(shù)的意義情感、態(tài)度與價值觀：通過觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識 教學重點：曲線參數(shù)方程的定義及方法教學難點：選擇適當?shù)膮?shù)寫出曲線的參數(shù)方程.授課類型：新授課教學模式：啟發(fā)、誘導發(fā)現(xiàn)教學.一、復習引入：1.寫出圓方程的標準式和對應(yīng)的參數(shù)方程。圓x2xy2 r2參數(shù)方程yr c

17、osr sin為參數(shù))(2)圓(x Xo)2 (y y。)2r2參數(shù)方程為:x x0 r cosy V。 r sin為參數(shù))3復習方向向量的概念.提出問題:已知直線的一個點和傾斜角,如何表示直線的參數(shù)方程?、講解新課：1、教師引導學生推導直線的參數(shù)方程：過定點P（xo, yo）傾斜角為 的直線的參數(shù)方程x x0 tcosy y0 tsint 為參數(shù)）2、辨析直線的參數(shù)方程：T 的幾何意義是指它表示點P0P 的長,帶符號 .三、直線的參數(shù)方程應(yīng)用：課本例題,此略.四、小結(jié)：（ 1）直線參數(shù)方程求法（ 2）直線參數(shù)方程的特點（ 3）根據(jù)已知條件和圖形的幾何性質(zhì)，注意參數(shù)的意義參數(shù)方程與普通方程互化

18、教學目的：知識與技能：掌握參數(shù)方程化為普通方程幾種基本方法過程與方法：選取適當?shù)膮?shù)化普通方程為參數(shù)方程情感、態(tài)度與價值觀：通過觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。教學重點：參數(shù)方程與普通方程的互化教學難點：參數(shù)方程與普通方程的等價性授課類型：新授課教學模式：啟發(fā)、誘導發(fā)現(xiàn)教學.教學過程：一、復習引入：（ 1）圓的參數(shù)方程（ 2）橢圓的參數(shù)方程二、講解新課：1、參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消參過程常見方法有三種：（1）代入法：利用解方程的技巧求出參數(shù)t,然后代入消去參數(shù)（ 2） 三角法：利用三角恒等式消去參數(shù)（ 3） 整體消元法：根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征，從整體上消去?；瘏?shù)方程為

19、普通方程為F（x,y） 0：在消參過程中注意變量x、y取值范圍的一致性,必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定f（t）和g值域得x、y的取值范圍。2、常見曲線的參數(shù)方程x rcos（1）圓x2 y2 r 2參數(shù)方程（為參數(shù)）y rsinx x rcos2）圓 （x x0）2 （y y0）2r 2參數(shù)方程為：0（ 為參數(shù)）y y0 rsin22橢圓0 -1參數(shù)方程（為參數(shù)）a2 b2y bsin22（4）雙曲線、y- 1參數(shù)方程a2b2x（5）拋物線y2 2Px參數(shù)方程yx asec / 4公粉、(為參數(shù))y btan2Pt22Pt (t為參數(shù))2Ptx x0 tcos y yo tsin（t為參數(shù)）典型

20、例題1、將下列參數(shù)方程化為普通方程(1)t2t22t(2)x siny sin 2cos22t2x(4)y21 t22t1 t2(5)12(t -)213(t)變式訓練12、(1)方程 x ty 2表示的曲線A、一條直線B、兩條射線（2）下列方程中，當方程y2C、條線段x表示同一曲線的點A、x ty t2x sin21B、y sin tc x 11C、 y tD、D、拋物線的一部分1 xos2t x1 cos2t tant例2化下列曲線的參數(shù)方程為普通方程，并指出它是什么曲線。(1)1 2 . t _ 一 (t是參數(shù))3 4 .t(2)x 2 cosy cos 2是參數(shù)）(3)Jt1 2t1

21、2t2（t是參數(shù)）（6）過定點P（x0,y。）傾斜角為的直線的參數(shù)方程x 4sin變式訓練2。P是雙曲線(t是參數(shù))上任一點，F(xiàn)i, F2是該焦點:y 3tan求aFiF2的重心G的軌跡的普通方程。例3、已知圓O半徑為1, P是圓上動點，Q (4, 0)是x軸上的定點，M是PQ的中點，當點P繞O作勻速圓周運動時，求點 M的軌跡的參數(shù)方程。變式訓練3:已知P(x,y)為圓(x 1)2 (y 1)2 4上任意一點，求x y的最大值和最小值。三、鞏固與練習四、小結(jié)：本節(jié)課學習了以下內(nèi)容：熟練記憶把參數(shù)方程化為普通方程的幾種方法。五、課后作業(yè)：見教材53頁.5圓的漸開線與擺線教學目的：知識與技能：了解圓的漸