202X屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十一章計數(shù)原理11.1排列與組合課件

1、高考高考數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) (山東專用)第十一章 計數(shù)原理11.1排列與組合A A組山東省卷、課標(biāo)組山東省卷、課標(biāo)卷題組卷題組考點排列、組合考點排列、組合五年高考1.(2019課標(biāo)全國理,6,5分)我國古代典籍周易用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成,爻分為陽爻“”和陰爻“ ”,如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦,則該重卦恰有3個陽爻的概率是()A. B. C. D. 516113221321116答案答案 A 本題以數(shù)學(xué)文化為背景考查排列與組合;考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識;考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)運算.重卦是由從下到上排列的6個爻組成,而爻有“陽爻”和“陰爻

2、”兩種,故所有的重卦共有26=64種.重卦中恰有3個“陽爻”的共有=20種.故所求概率P=,故選A.36C33C2064516審題指導(dǎo)審題指導(dǎo) 本題滲透了中國傳統(tǒng)文化,以周易中的“卦”為背景,考查排列、組合,組成所有重卦的情況是“可重復(fù)排列”問題,從下到上的每個爻都有兩種選擇;而其中恰有3個陽爻的重卦,只需從6個爻中選出3個作為陽爻,其余均為陰爻,本題是一個標(biāo)準(zhǔn)的組合問題.2.(2013山東,10,5分)用0,1,9十個數(shù)字,可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為()A.243 B.252 C.261 D.279答案答案 B由分步乘法計數(shù)原理知:用0,1,9十個數(shù)字組成三位數(shù)(可有重復(fù)數(shù)字)的個數(shù)

3、為91010=900,組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為 =648,則組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為900-648=252,故選B.19A29A3.(2018課標(biāo)全國,15,5分)從2位女生,4位男生中選3人參加科技比賽,且至少有1位女生入選,則不同的選法共有 種.(用數(shù)字填寫答案)答案答案16解析解析本題主要考查組合問題.解法一:從2位女生,4位男生中選3人,且至少有1位女生入選的情況有以下2種:2女1男:有=4種選法;1女2男:有=12種選法,故至少有1位女生入選的選法有4+12=16種.解法二:從2位女生,4位男生中選3人有=20種選法,其中選出的3人都是男生的選法有=4種,所以至少有1位

4、女生入選的選法有20-4=16種.22C14C12C24C36C34CB B組課標(biāo)卷、其他自主命題省組課標(biāo)卷、其他自主命題省( (區(qū)、市區(qū)、市) )卷題組卷題組考考點排列、組合點排列、組合1.(2017課標(biāo)全國,6,5分)安排3名志愿者完成4項工作,每人至少完成1項,每項工作由1人完成,則不同的安排方式共有()A.12種 B.18種 C.24種 D.36種答案答案 D本題主要考查排列、組合.第一步:將4項工作分成3組,共有種分法.第二步:將3組工作分配給3名志愿者,共有種分配方法,故共有=36種安排方式,故選D.24C33A24C33A2.(2016課標(biāo)全國,5,5分)如圖,小明從街道的E處出

5、發(fā),先到F處與小紅會合,再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A.24 B.18 C.12 D.9答案答案 B分兩步,第一步,從EF,有6條可以選擇的最短路徑;第二步,從FG,有3條可以選擇的最短路徑.由分步乘法計數(shù)原理可知有63=18條可以選擇的最短路徑.故選B.思路分析思路分析小明到老年公寓,需分兩步進(jìn)行,先從E到F,再從F到G,分別求各步的最短路徑條數(shù),再利用分步乘法計數(shù)原理即可得結(jié)果.3.(2016課標(biāo)全國,12,5分)定義“規(guī)范01數(shù)列”an如下:an共有2m項,其中m項為0,m項為1,且對任意k2m,a1,a2,ak中0的個數(shù)不少于1

6、的個數(shù),若m=4,則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有()A.18個 B.16個 C.14個 D.12個答案答案 C當(dāng)m=4時,數(shù)列an共有8項,其中4項為0,4項為1,要滿足對任意k8,a1,a2,ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù),則必有a1=0,a8=1,a2可為0,也可為1.(1)當(dāng)a2=0時,分以下3種情況:若a3=0,則a4,a5,a6,a7中任意一個為0均可,則有=4種情況;若a3=1,a4=0,則a5,a6,a7中任意一個為0均可,有=3種情況;若a3=1,a4=1,則a5必為0,a6,a7中任一個為0均可,有=2種情況;(2)當(dāng)a2=1時,必有a3=0,分以下2種情況:若a4=0,則a5,

7、a6,a7中任一個為0均可,有=3種情況;若a4=1,則a5必為0,a6,a7中任一個為0均可,有=2種情況.綜上所述,不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有4+3+2+3+2=14個,故選C.14C13C12C13C12C思路分析思路分析根據(jù)題意可知a1=0,a8=1,進(jìn)而對a2,a3,a4取不同值進(jìn)行分類討論(分類要做到不重不漏),從而利用分類加法計數(shù)原理求出不同的“規(guī)范01數(shù)列”的個數(shù).4.(2015四川,6,5分)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中比40 000大的偶數(shù)共有()A.144個 B.120個 C.96個 D.72個答案答案 B數(shù)字0,1,2,3,4,5中僅有0,

8、2,4三個偶數(shù),比40 000大的偶數(shù)為以4開頭與以5開頭的數(shù).其中以4開頭的偶數(shù)又分以0結(jié)尾與以2結(jié)尾,有2=48個;同理,以5開頭的有3=72個.于是共有48+72=120個,故選B.34A34A評析評析 本題考查了分類與分步計數(shù)原理、排列數(shù)的知識.考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力.5.(2019上海,10,5分)某三位數(shù)密碼,每位數(shù)字可在09這10個數(shù)字中任選一個,則該三位數(shù)密碼中,恰有兩位數(shù)字相同的概率是 .答案答案 27100解析解析設(shè)恰有兩位數(shù)字相同為事件A,解法一:P(A)=.解法二:P(A)=1-=.12110393CCC10271001310103CA1027100易錯警示易

9、錯警示 所有基本事件的個數(shù)為103,而非.310A6.(2018浙江,16,4分)從1,3,5,7,9中任取2個數(shù)字,從0,2,4,6中任取2個數(shù)字,一共可以組成 個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(用數(shù)字作答)答案答案1 260解析解析本小題考查排列、組合及其運用,考查分類討論思想.含有數(shù)字0的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有 =540個,不含有數(shù)字0的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有=720個,故一共可以組成540+720=1 260個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).25C13C13A33A25C23C44A易錯警示易錯警示 數(shù)字排成數(shù)時,容易出錯的地方:(1)數(shù)字是否可以重復(fù);(2)數(shù)字0不能排首位.7.(2017天津,1

10、4,5分)用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字,且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù),這樣的四位數(shù)一共有 個.(用數(shù)字作答)答案答案1 080解析解析本題主要考查計數(shù)原理及排列、組合的應(yīng)用.(1)有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)有=960個.(2)沒有偶數(shù)的四位數(shù)有=120個.故這樣的四位數(shù)一共有960+120=1 080個.14C35C44A45A思路分析思路分析分兩種情況:有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù);沒有偶數(shù)的四位數(shù).8.(2017浙江,16,4分)從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人,副隊長1人,普通隊員2人組成4人服務(wù)隊,要求服務(wù)隊中至少有1名女生,共有 種不同的選法.(用數(shù)字作答)

11、答案答案660解析解析本題考查計數(shù)原理、排列、組合,排列數(shù)、組合數(shù)計算,利用間接法解決“至少”類的組合問題,考查推理運算能力.從8人中選出4人,且至少有1名女學(xué)生的選法種數(shù)為-=55.從4人中選出隊長1人,副隊長1人,普通隊員2人的選法為=12種.故總共有5512=660種選法.48C46C24A9.(2015廣東,12,5分)某高三畢業(yè)班有40人,同學(xué)之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言,那么全班共寫了 條畢業(yè)留言.(用數(shù)字作答)答案答案1 560解析解析同學(xué)之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言,且全班共有40人,全班共寫了4039=1 560條畢業(yè)留言.C C組教師專用題組組教師專用題組考點排

12、列、組合考點排列、組合1.(2014四川,6,5分)六個人從左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共有()A.192種 B.216種 C.240種 D.288種答案答案 B若最左端排甲,其他位置共有=120種排法;若最左端排乙,最右端共有4種排法,其余4個位置有=24種排法,所以共有120+424=216種排法.55A44A2.(2014重慶,9,5分)某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序,則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A.72 B.120 C.144 D.168答案答案 B先不考慮小品類節(jié)目是否相鄰,保證歌舞類節(jié)目不相鄰的排法共

13、有=144種,再剔除小品類節(jié)目相鄰的情況,共有=24種,于是符合題意的排法共有144-24=120種.33A34A33A22A22A3.(2014大綱全國,5,5分)有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生,從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組.則不同的選法共有()A.60種 B.70種 C.75種 D.150種答案答案 C從6名男醫(yī)生中選出2名有種選法,從5名女醫(yī)生中選出1名有種選法,由分步乘法計數(shù)原理得不同的選法共有=75種.故選C.26C15C26C15C思路分析思路分析分兩步,先選2名男醫(yī)生,再選1名女醫(yī)生,求出各步選法數(shù),進(jìn)而利用分步乘法計數(shù)原理得結(jié)果.4.(2014安徽,8,5分)從正方

14、體六個面的對角線中任取兩條作為一對,其中所成的角為60的共有()A.24對 B.30對 C.48對 D.60對答案答案 C利用正方體中兩個獨立的正四面體解題,如圖,它們的棱是原正方體的12條面對角線.一個正四面體中兩條棱成60角的有(-3)對,兩個正四面體有(-3)2對.又正方體的面對角線中平行成對,所以共有(-3)22=48對.故選C. 26C26C26C5.(2014福建,10,5分)用a代表紅球,b代表藍(lán)球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,從1個紅球和1個藍(lán)球中取出若干個球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展開式1+a+b+ab表示出來,如:“1”表示一個球都不取、“a”表示取出一個

15、紅球、而“ab”則表示把紅球和藍(lán)球都取出來.依此類推,下列各式中,其展開式可用來表示從5個無區(qū)別的紅球、5個無區(qū)別的藍(lán)球、5個有區(qū)別的黑球中取出若干個球,且所有的藍(lán)球都取出或都不取出的所有取法的是()A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)答案答案 A從5個有區(qū)別的黑球中取k個的方法數(shù)為,故可用(1+c)5的展開式中ck的系數(shù)表示.所有的藍(lán)球都取或都不取用1+b5表示,由乘法原理知,符合題

16、意的取法可由(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5表示.5CkA A組組2017201920172019年高考模擬年高考模擬考點基礎(chǔ)題組考點基礎(chǔ)題組考點排列、組合考點排列、組合三年模擬1.(2019河南南陽期末評估,3)把四個不同的小球放入三個分別標(biāo)有1、2、3號的盒子中,則不允許有空盒子的放法有()A.12種 B.24種 C.36種 D.48種答案答案 C根據(jù)題意得三個盒子中有1個盒子放2個球,剩下的2個盒子各放1個球.分2步進(jìn)行分析:先將四個不同的小球分成3組,有=6種分組方法;將分好的3組放到3個盒子中,有=6種放法.則不允許有空盒子的放法有66=36種.故選C.24

17、C33A2.(2019河南洛陽第一次統(tǒng)一考試,5)4名大學(xué)生到三家企業(yè)應(yīng)聘,每名大學(xué)生至多被一家企業(yè)錄用,則每家企業(yè)至少錄用一名大學(xué)生的情況有()A.24種 B.36種 C.48種 D.60種答案答案 D每家企業(yè)至少錄用一名大學(xué)生的情況有兩種:一種是一家企業(yè)只錄用一名大學(xué)生,則有=24種;另一種是其中有一家企業(yè)錄用了兩名大學(xué)生,則有=36種.一共有24+36=60種,故選D.34C33A24C33A3.(2018河北唐山二模,6)用兩個1,一個2,一個0可組成不同四位數(shù)的個數(shù)是()A.18 B.16 C.12 D.9答案答案 D根據(jù)題意,分3步進(jìn)行分析:0不能放在千位,可以放在百位、十位和個位

18、,有3種情況,在剩下的3個數(shù)位中任選1個,安排2,有3種情況,在最后2個數(shù)位安排2個1,有1種情況.則可組成331=9個不同四位數(shù),故選D.4.(2017福建漳州八校2月聯(lián)考,8)有六人排成一排,其中甲只能在排頭或排尾,乙、丙兩人必須相鄰,則滿足要求的排法有()A.34種 B.48種 C.96種 D.144種答案答案 C特殊元素優(yōu)先安排,先讓甲從頭、尾中選取一個位置,有種選法,乙、丙相鄰,捆綁在一起看作一個元素,與其余三個元素全排列,最后乙、丙可以換位,故共有=96(種),故選C.12C12C44A22A5.(2018福建福州二模,8)福州西湖公園花展期間,安排6位志愿者到4個展區(qū)提供服務(wù),要

19、求甲、乙兩個展區(qū)各安排一個人,剩下兩個展區(qū)各安排兩個人,不同的安排方案共有()A.90種 B.180種 C.270種 D.360種答案答案 B 根據(jù)題意,分3步進(jìn)行分析:在6位志愿者中任選1個,安排到甲展區(qū),有=6種情況;在剩下的5個志愿者中任選1個,安排到乙展區(qū),有=5種情況;將剩下的4個志愿者平均分成2組,然后安排到剩下的2個展區(qū),有=6種情況.則一共有656=180種不同的安排方案,故選B.16C15C224222C CA22A6.(2017豫南九校2月聯(lián)考,10)某醫(yī)院擬派2名內(nèi)科醫(yī)生、3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士共8人組成兩個醫(yī)療分隊,平均分到甲、乙兩個村進(jìn)行義務(wù)巡診,其中每個分隊都必須有

20、內(nèi)科醫(yī)生、外科醫(yī)生和護(hù)士,則不同的分配方案有()A.72種 B.36種 C.24種 D.18種答案答案 B (+)=36(種).12A23C13C13C23C7.(2018河南商丘二模,8)高考結(jié)束后6名同學(xué)游覽我市包括日月湖在內(nèi)的6個景區(qū),每名同學(xué)任選一個景區(qū)游覽,則有且只有兩名同學(xué)選擇日月湖景區(qū)的方案有()A.種 B.54種 C.種 D.54種26A45A26A26C45A26C答案答案 D根據(jù)題意,分2步進(jìn)行分析:先從6名同學(xué)中任選2人,去日月湖景區(qū)旅游,有種方案,對于剩下的4名同學(xué),每人都有5種選擇,則這4人有5555=54種方案.則有且只有兩名同學(xué)選擇日月湖景區(qū)的方案有54種,故選D

21、.26C26C思路分析思路分析 根據(jù)題意,分2步進(jìn)行分析:先從6名同學(xué)中任選2人,去日月湖景區(qū)旅游,分析剩下的4個同學(xué),由分步計數(shù)原理可得4人的方案數(shù)目.最后由分步計數(shù)原理計算可得答案.方法總結(jié)方法總結(jié)常見的排列、組合問題的處理方法:相鄰問題捆綁處理.不相鄰問題插空處理.有限制條件問題優(yōu)先處理.8.(2017江西八所重點中學(xué)聯(lián)合模擬,13)攝像師要對已坐定一排照相的5位小朋友的座位順序進(jìn)行調(diào)整,要求其中恰有2人座位不調(diào)整,則不同的調(diào)整方案的種數(shù)為 .(用數(shù)字作答)答案答案20解析解析從5人中任選3人有種,將3人位置全部進(jìn)行調(diào)整,有種,故有N=20種調(diào)整方案.35C12C11C11C35C12C

22、11C11C思路分析思路分析先考慮從5人中任選3人的方法數(shù),再考慮3人位置全調(diào)的方法數(shù),進(jìn)而利用分步計數(shù)原理得結(jié)果.B B組組2017201920172019年高考模擬年高考模擬專題綜合題組專題綜合題組 時間:20分鐘分值:30分一、選擇題(每小題5分,共15分)1.(2018河北保定一模,9)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)高考之后計劃去A、B、C三個不同社區(qū)進(jìn)行幫扶活動,每人只能去一個社區(qū),每個社區(qū)至少一人.其中甲必須去A社區(qū),乙不去B社區(qū),則不同的安排方法種數(shù)為()A.8 B.7 C.6 D.5答案答案 B根據(jù)題意,分2種情況討論:乙和甲一起去A社區(qū),此時將丙、丁二人安排到B、C社區(qū)即可,有=2種

23、情況,乙不去A社區(qū),則乙必須去C社區(qū),若丙、丁都去B社區(qū),有1種情況,若丙、丁中有1人去B社區(qū),則先在丙、丁中選出1人,安排到B社區(qū),剩下1人安排到A或C社區(qū),有22=4種情況.則不同的安排方法有2+1+4=7種,故選B.22A思路分析思路分析根據(jù)題意,分2種情況討論:乙和甲一起去A社區(qū),此時將丙、丁二人安排到B、C社區(qū)即可,乙不去A社區(qū),則乙必須去C社區(qū),分別求出每種情況的安排方法數(shù)目,由加法原理計算可得答案.方法總結(jié)方法總結(jié)利用分類計數(shù)原理解決實際問題時應(yīng)做到分類標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一,且不重不漏.2.(2018河南豫北名校聯(lián)考,9)2018年元旦假期,高三的8名同學(xué)準(zhǔn)備拼車去旅游,其中(1)班、(2)

24、班、(3)班、(4)班每班各兩名,分乘甲乙兩輛汽車,每車限坐4名同學(xué)(乘同一輛車的4名同學(xué)不考慮位置),其中(1)班兩位同學(xué)是孿生姐妹,需乘同一輛車,則乘坐甲車的4名同學(xué)中恰有2名同學(xué)是來自同一個班的乘坐方式共有()A.18種 B.24種 C.48種 D.36種答案答案 B由題意,有兩類:第一類,一班的2名同學(xué)在甲車上,甲車上剩下兩個要來自不同的班級,從三個班級中選兩個,有=3種,然后分別從選擇的班級中再選擇一個學(xué)生,有=4種,故有34=12種.第二類,一班的2名同學(xué)不在甲車上,則從剩下的3個班級中選擇一個班級的兩名同學(xué)在甲車上,有=3種,然后從剩下的兩個班級中分別選擇一人,有=4種,這時共有

25、34=12種,根據(jù)分類計數(shù)原理得,共有12+12=24種不同的乘車方式,故選B.23C12C12C13C12C12C3.(2019河南中原名校第一次質(zhì)量考評,9)甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)相約去學(xué)校圖書室借A、B、C、D四類課外書(每類課外書均有若干本),已知每人只借閱一本,每類課外書均有人借閱,且甲只借閱A類課外書,則不同的借閱方案種數(shù)為()A.48 B.54 C.60 D.72答案答案 C當(dāng)除甲外的四位同學(xué)每人借閱一類課外書,且各不相同時,有=24種借閱方案,當(dāng)除甲外的四位同學(xué)借閱除A類外的三類課外書時,有=36種借閱方案,所以共有24+36=60種不同的借閱方案,故選C.44A24C33

26、A二、填空題(每小題5分,共15分)4.(2019湖北仙桃、天門、潛江期末,15)在學(xué)校國慶文藝晚會上,有三對教師夫婦參加表演節(jié)目,要求每人只能參加一個單項表演節(jié)目,按節(jié)目組節(jié)目編排要求,男教師的節(jié)目不能相鄰,且夫妻教師的節(jié)目也不能相鄰,則該6名教師表演的節(jié)目的不同編排順序共有 種.(用數(shù)字填寫答案)答案答案24解析解析把6個節(jié)目按照先后出場順序依次記為編號1,2,3,4,5,6,則3名男教師只有(1,3,5),(1,3,6),(1,4,6),(2,4,6),4種位置,由夫妻教師的節(jié)目不能相鄰,可得以上4種安排的每種安排里,3名女教師的安排均是1種,故該6名教師表演的節(jié)目的不同編排順序共有4=

27、24種.33A5.(2019河北衡水中學(xué)第一次聯(lián)考,15)由數(shù)字0,1組成的一串?dāng)?shù)字代碼,其中恰好有7個1,3個0,則這樣的不同數(shù)字代碼共有 個.答案答案120解析解析10個元素進(jìn)行全排列共有 種結(jié)果,這樣前面的全排列就出現(xiàn)了重復(fù),共重復(fù)了 次,故得到不同的數(shù)字代碼共有=120個.1010A77A33A10107373AA A6.(2019廣東汕頭質(zhì)檢,14)把分別寫有1,2,3,4,5的五張卡片全部分給甲、乙、丙三個人,每人至少一張,且若分得的卡片超過一張,則必須是連號,那么不同的分法種數(shù)為 (用數(shù)字作答).答案答案36解析解析先將卡片分為符合條件的3份,由題意,3人分5張卡片,且每人至少一

28、張,至多三張,若分得的卡片超過一張,則必須是連號,相當(dāng)于將1、2、3、4、5這5個數(shù)用2個板子隔開,在4個空位插2個板子,共有=6種情況,再對應(yīng)到3個人,有=6種情況,則共有66=36種分法.24C33AC C組組2017201920172019年高考模擬年高考模擬應(yīng)用創(chuàng)新題組應(yīng)用創(chuàng)新題組1.(2019安徽合肥質(zhì)檢,10)某商場進(jìn)行購物摸獎活動,規(guī)則是:在一個封閉的紙箱中裝有標(biāo)號分別為1,2,3,4,5的五個小球,每次摸獎需要同時取出兩個球,每位顧客最多有兩次摸獎機會.并規(guī)定:若第一次取出的兩個球號碼連號,則中獎,摸獎結(jié)束;若第一次未中獎,則將這兩個小球放回后進(jìn)行第二次摸球.若與第一次取出的兩個小球號碼相同,則為中獎.按照這樣的規(guī)則摸獎,中獎的概率為()A. B. C. D. 451925235041100答案答案 C分兩種情況,第一種情況是第一次摸到連號,則概率為P(A)=,第二種情況對應(yīng)概率為P(B)=,所以中獎的概率為P(A)+P(B