隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1、第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征討論隨機(jī)變量數(shù)字特征的原因(1)在實(shí)際問題中，有的隨機(jī)變量的概率分布難確定，有的不可能知道，而它的一些數(shù)字特征較易確定。(2)實(shí)際應(yīng)用中，人們更關(guān)心概率分布的數(shù)字特征。(3) 一些常用的重要分布，如二項(xiàng)分布、泊松分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等，只要知道了它們的某些數(shù)字特征，就能完全確定其具體 的分布。4.1 數(shù)學(xué)期望一、數(shù)學(xué)期望的概念1 .離散性隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望例4. 1:大學(xué)一年級某班有32名同學(xué)，年齡情況如下：年齡171819202122人數(shù)2710841求該班同學(xué)的平均年齡解:17 2 18 7 19 10 20 8 21 4 22 12 7 10 8 4 1把上式

2、改寫為:設(shè)X為從該班任選一名同學(xué)的年齡，其概率分布為X171819202122P2/327/3210/328/324/321/32定義4.1:設(shè)離散型隨機(jī)變量 X的分布列為:x1X2X3.Xk.P1P2P3.Pk.若xkPk絕對收斂(IPxkPkxk Pk)則稱它為kkkX的數(shù)學(xué)期望或均值(此時(shí)，也稱 X的數(shù)學(xué)期望存在)，記為E(X)，即xk Pk發(fā)散，則稱X的數(shù)學(xué)期望不存在。說明:(1)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)實(shí)數(shù)，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均；(2) 要注意數(shù)學(xué)期望存在的條件：xk Pk絕對k收斂；(3) 當(dāng)X服從某一分布時(shí)，也稱某分布的數(shù)學(xué)期望為EX 。例4. 2:設(shè)X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分

3、布，求EXEX=p例 4. 3:設(shè) X?B(n,p),求 EXEX=np例4. 4:設(shè)X服從參數(shù)為？勺泊松分布，求EXEX=2 .連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義 4.2:設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的概率密度為f(x).若積分xf (x)dx絕對收斂，(即f (x)dx則稱它為X的數(shù)學(xué)期望或均值(此時(shí)，也稱 X的數(shù)學(xué)期望存在)，記為E(X)，即E (X ) xf (x)dx則稱X的數(shù)學(xué)期x f(x)dx望不存在。例 4.5設(shè) X 服從 Ua,b,求 E(X)。a bEX=2例4.6設(shè)X服從參數(shù)為？勺指數(shù)分布，求EXEX=2例 4.7: X N(,)，求 EXEX=下面分析書上P101-P104例。例

4、1P101P101例3P102-103解：注意由于8:009:00, 9:0010:00者B恰有一輛車至IJ站，所以(i)8:00到車站的旅客在8:50前一定會(huì)上車，而(ii)8:20到車站的旅客則可以直到9:50才會(huì)上車。例 4 P1033 .隨機(jī)變量函數(shù)得數(shù)學(xué)期望定理4.1設(shè)隨機(jī)變量X的函數(shù)為Y =g(X),1) 若離散型隨機(jī)變量X 的分布律為/ P(XXk),k =1,2,g(xk)pk 絕對收斂，則Y 的數(shù)學(xué)期k望存在，且E(Y) Eg(X)g(xk) pkk2) ) 若連續(xù)型隨機(jī)變量X 的概率密度為f(x), Y =g(X)也是連續(xù)型隨機(jī)變量,g(x) f (x)dx絕對收斂，則Y

5、的數(shù)學(xué)期望存在，且定理4.2:設(shè)二維隨機(jī)變量(X ,Y )的函數(shù)Z=g(x,y)(1)若二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律且有i,jg(xi,yj)pij絕對收斂，則Z 的數(shù)學(xué)期望存在，且(2)若二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度 為 f (x,y),Z=g(X,Y) 也 是 連 續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 g(x, y) f (x, y)dxdy 絕對收斂，則 Z 的數(shù)學(xué)期望存在，且例 5 P106例 6 P107例 7 P107以下為第一版例。并且例 4.8:設(shè) X?U?0,?，? Y=sin X,求 E(Y )例 8 P109中,n,例4.9設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律為 其/、0

6、;0 p 1; n 0, 1, 2, ;m 0,1,求 E(XY)。二 .數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)性質(zhì)1:若c為常數(shù)，則E(c)=c。性質(zhì)2:若c為常數(shù)，隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望存在，則:cX的數(shù)學(xué)期望存在，且E(cX尸cE(X)性質(zhì)3:若二維隨機(jī)變量(X,Y)的分量X,Y的數(shù)學(xué)期望都存在，則X+Y的數(shù)學(xué)期望存在，且E(X+Y)=E(X)+E(Y)推論:若 n 維隨機(jī)變量(X1,X2,.,Xn )的分量X1,X2,.,Xn 的數(shù)學(xué)期望都存在，則X1 + X2+.+ Xn的數(shù)學(xué)期望存在，且性質(zhì)4:若隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，它們的數(shù)學(xué)期望都存在，則 X?Y的數(shù)學(xué)期望存在，且推論:若隨機(jī)變量Xl,X2，.X相互獨(dú)

7、立，它們的數(shù)學(xué)期望都存在，則 XlX23Xn的數(shù)學(xué)期望存在,且性質(zhì)5:若隨機(jī)變量只取非負(fù)值，又 E(X)存在，則E(X)?0。若 X Y 對任何 S ， E(X), E(Y) 存在，則E(X) E(Y)。特 別 地 ， 若 a X b,a,b 為 常 數(shù) ， E(X) 存 在 ， 則a E(X) b。例 9 P110第一版例例4.14:設(shè)一批同類型的產(chǎn)品共有 N件，其中次品有M件。今從中任取n (假定n& N-M )件，記這n件中所含次品數(shù)為X,求E (X)。三.綜合性的例題(第一版)例:設(shè)X的概率密度為 .2f (x)a bx 0 x 10其它 ，3其中a,b為常數(shù)，且E (X)=。求a,b

8、的值。5注意：f(x)中有幾個(gè)未知數(shù)要建幾個(gè)方程來求之。例：射擊比賽規(guī)定：每位射手向目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊四法子彈， 全未中的0分，僅中一發(fā)得 15分，恰中兩發(fā)得30分，恰中三發(fā)得55分，全中得100分。若某射手的命中率為0.6, 求他得分的數(shù)學(xué)期望。例:某水果商店，冬季每周購進(jìn)一批蘋果。已知該店一周蘋果銷售量X(單位:kg)服從U1000,2000購進(jìn)的蘋果在一周內(nèi)售出，1kg獲純利1.5元；一周內(nèi)沒售出，1kg需付耗損、儲(chǔ)藏等費(fèi)用0.3元。問一周應(yīng)購進(jìn)多少千克蘋果，商店才能獲得最大的平均利潤。 4-2方差一.方差的概念1、定義4.3設(shè) 隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)，若E(X-E(X)2存在，則

9、稱它為X的方差(此 時(shí)，也稱X的方差存在)，記為D(X)或Var(X)，即D(X)=E(X-E(X) 2稱D(X)的算術(shù)平方根 Jd (X)為X的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差，記為 (X )，即由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)5知，若隨機(jī)變量X的方差D(X)存在，則D(X)?0o簡言之，方差 是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)。當(dāng)X服從某分布時(shí)，我們也稱某分布的方差為 D(X)02、計(jì)算方差(1)若X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為 pi=P(X=Xi),i=1,2,旦D(X)存在,則(2)若X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為 f(x)，且D(X)存在，則(第一版)例 1:設(shè) X?B(1,p),求 D(X)例 2:設(shè) X?N(?,?),求 D(X)

10、例 3:設(shè) X?Ua,b,求 D(X)(3)D(X)=E(X 2)-(EX)2證明： P112.例 1P112例 2P112(第一版)例 4:設(shè) X?(?)求 D(X)例 5：已知X N (10,22),Y (3)，求 E(X2 2Y2)二 .方差的性質(zhì)性質(zhì)1:若 C 為常數(shù)，則D(C)=0性質(zhì)2:若 C 為常數(shù),隨機(jī)變量X 的方差存在，則CX 的方差存在，且D(CX)=C 2D(X)證明由自己完成性質(zhì)3:若隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，它們的方差都存在，則 X?Y的方差也存在，且D(X?Y)=D(X)+D(Y)證明： P113推論:若隨機(jī)變量Xi,X2，,Xn相互獨(dú)立，它們的方差都存在，則Xi+X

11、2 + .+Xn的方差存在, 且性質(zhì)4:若隨機(jī)變量X的方差存在，對任意的常數(shù) C?E(X)則D(X)= E(X EX )? E(X-C)2即函數(shù)g(C)=E(X-C)2在C=E(X)處達(dá)到最小值 D(X)。性質(zhì)5若D(X)存在，則D(X)=0的充要條件是：P(X=E(X)=1例 3 P113第一版例：例 6: X 服從 B(n,p),求 D(X).例 7：某種商品每件表面上的疵點(diǎn)數(shù)X 服從泊松分布，平均每件上有0.8個(gè)疵點(diǎn)。若規(guī)定表面不超過一個(gè)疵點(diǎn)的為一等品，價(jià)值十元，表面疵點(diǎn)數(shù)大于1 不多于 4 的為二等品，價(jià)值 8 元。某件表面疵點(diǎn)數(shù)是4 個(gè)以上著為廢品，求產(chǎn)品價(jià)值的均值和方差。已知 X

12、(0.8)設(shè)產(chǎn)品價(jià)值為R.V.YY取值0810X(X4)(1X 4)(X 1)P( Y=k)P(X4=p(1X4)P(X 1)1-0.8088=P(X 4)-=1-0.1898P(X 1)p(x 2)=i-p(X 5)=0.8088-i-p(X 2)=0.1898E(X) 8 0.1898 10 0.8088 9.6 元X E(X )v D (X )，其中E(X)是X的數(shù)學(xué)期望，求E(X )和 D(X例：設(shè)隨機(jī)變量X的方差D(X)存在，且D(X)?0令.契比雪夫不等式(Chebyshev)契比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量 X的方差D(X)存在，則對任意的？?0均有D ( X )P?X-E(X)? ?

13、2或等價(jià)地D(X)P?X-E(X)?1-2例：P?X-E(X)?3斗0.8889P?X-E(X)?4 斗0.93752解：P?X-E(X)?3(?1-(3 )21=1 -91P?X-E(X)?4(?1-16Data;A=8/9; put a=;A=15/16; put a=;Run;A=0.9375 4.3幾種生要隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差P115這部分結(jié)果很重要，要牢記。P117,關(guān)于正態(tài)隨機(jī)變量的三個(gè)重要數(shù)據(jù):SAS勺兩種計(jì)算公式：datap1=PROBNORM(1)-PROBNORM(-1); put p1=;p2= PROBNORM(2)-PROBNORM(-2); put p2=;p3

14、= PROBNORM(3)-PROBNORM(-3); put p3=; run;datap1=2*PROBNORM(1)-1; put p1=;p2=2*PROBNORM(2)-1; put p2=;p3=2*PROBNORM(3)-1; put p3=;run;也可以驗(yàn)證數(shù)據(jù)，即以為中心，需要幾倍的標(biāo)準(zhǔn)差距離所構(gòu)成的區(qū)間，其區(qū)間內(nèi)的概率為上述所示。Data;q1=abs(probit(1-)/ 2);put q1=;q2=abs(probit(1-)/ 2);put q2=;q3=abs(probit(1-)/ 2);put q3=;run;q2=2dataq1=probit(1-(1 -

15、)/ 2);put q1=;q2=probit(1-(1 -)/ 2);put q2=;q3=probit(1-(1 -)/ 2);put q3=;run;q2=2注意：為中心，概率為90%,95%, 98%, 99%的區(qū)間，需要幾倍的標(biāo)準(zhǔn)差距離Data;q1=abs(probit(1-0.9)/2);put q1=;q2=abs(probit(1-0.95)/2);put q2=;q3=abs(probit(1-0.98)/2);put q3=;q3=abs(probit(1-0.99)/2);put q3=;run;比如，P 1.96 X 1.96=0.95=0.9等的結(jié)論也是常用的。幾乎

16、都成常識了。書示附表1中列出了多種常用的隨機(jī)變量的數(shù)據(jù)期望和方差。4.4協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)一.協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念1定義定義4.4:設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y),它的分量的數(shù)學(xué)期望為E(X),E(Y),若E(X-E(X)(Y-E(Y)存在，則稱它為X,Y的協(xié)方差，記為Cov(X,Y),即Cov(X,Y)=E(X-E(X)(Y-E(Y)2.計(jì)算(1)用定義計(jì)算若 二 維 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 (X,Y) 的 聯(lián) 合 概 率 分 布 律pijP(Xxi,Yyj 3=1,2?且 Cov(X,Y)存在，則E(Y)pijCov(X,Y)= i,j (xiE(X)(yj若二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)

17、合概率密度為f(x,y)H Cov(X,Y)存在，則2) 、公式在計(jì)算Cov(X,Y)時(shí)，除用定義外，有時(shí)用下述公式較方便:Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)第一版例：不講。例：設(shè)(X,Y)在圓域上服從均勻分布，判斷 X,Y是否不相關(guān)。并求Cov(X,Y)。例：設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律為0,0 p 1,n 0,1,2 ,m 0,1,2, ,n求Cov(X,Y),并討論X,Y的相關(guān)性。說明：(1)Cov(X,Y)能反映X與Y之間某種聯(lián)系的程度 (2)Cov(X,Y)是有量綱的量，其值與(X,Y)的取值單位有關(guān)。3相關(guān)系數(shù)定義4.5若二維隨機(jī)變量(X,Y)的分量的方差D(X),D(Y)

18、都存在，且D(X)?0,D(Y)?0則稱Cov(X,Y)vD(X)x/D(Y)為X,Y的相關(guān)系數(shù)，記為？XY,即Cov ( X , Y ) 廿、/d ( X )、/d (Y )定義4.6:若？y=0則稱X,Y不相關(guān)；若 XY 0稱X,Y正相關(guān)；若 XY則稱X,Y負(fù)相關(guān)4.隨機(jī)變量X,Y獨(dú)立性與不相關(guān)的關(guān)系(1)一般情況下，設(shè)xy存在，若X,Y相互獨(dú)立,則 xy 0 ，即 X,Y 不相關(guān)。22y r 上均勻分布?？芍猉， Y 不X,Y不相關(guān)。反之,X,Y不相關(guān)，但X,Y不一定獨(dú)立。2如例 ： (書4.31) ( X， Y) 在 D : x相關(guān)，但X， Y 不獨(dú)立。(2的別，對于二維正態(tài)分布(X,

19、Y)服從X,Y相互獨(dú)立二 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)1.性質(zhì)性質(zhì)1:若X,Y的協(xié)方差Cov(X,Y)存在，則E(XY)=E(X)E(Y)+Cov(X,Y)性質(zhì)2:若(X,Y)兩個(gè)分量的方差都存在，則D(X?Y)=D(X)+D(Y)?2Cov(X,Y)推論:若(Xi,X2,Xn)各分量的方差都存在，則 性質(zhì)3：設(shè)下述各式所出現(xiàn)的協(xié)方差都存在，則有Cov(X,Y)=Cov(Y,X)Cov(aX,Y)=a Cov(X,Y)Cov(X,X)=D(X)X2 y22 2Cov(a,X)=0 其中a為常數(shù)例3(第一版)：設(shè)(X, Y) f (x,y)例 1 P121Cov(2X+Y, X2Y)性質(zhì)4:若X,Y的相關(guān)系數(shù) XY存在，則？ XY ?1;的有Y=aX+b,即(2)? XY?=1的充要條件是：存在常數(shù)a,b且a?0得概率為1P(Y=aX+b)=1幾點(diǎn)說明(1) 由性質(zhì)的證明可見：1 xy 1 PY aX b 1，a0 ,這時(shí)稱X與Y完全正相關(guān)；2 xy 1 PY aX b 1,a0這時(shí)稱X與Y完全負(fù)相關(guān)。完全正相關(guān)和完全負(fù)相關(guān)統(tǒng)稱為完全相關(guān)，當(dāng) X與Y完全相關(guān)時(shí)，(X,Y)可能取的值概