截長(zhǎng)補(bǔ)短專題訓(xùn)練含解析

1、截長(zhǎng)補(bǔ)短專題訓(xùn)練一、解答題1 .在中，NA8C = 60。，點(diǎn)。、E分別在AC、BC上，連接6。、。石和AE；并且有 A5 = 3E, ZAED = ZC.試卷第8頁(yè)，總7頁(yè)(1)求NC0E的度數(shù)：(2)求證：AD+DE=BD.2 .如圖，在 6c 中，AC=BC. A£平分 NC4B.(1)如圖 1,若4C5 = 90。，求證：AB = ACCDi(2)如圖2,若筋= AC+8O,求NAC3的度數(shù)；(3)如圖 3,若 NAC8 = 100。，求證：AB = AD+CD.3 .己知在四邊形 ABCD 中，ZABC+ZADC=180°, ZBAD+ZBCD= 180°

2、;, AB = BC(1)如圖1,連接BD,若NBAD = 90。，AD = 7,求DC的長(zhǎng)度.(2)如圖2,點(diǎn)P、Q分別在線段AD、DC上，滿足PQ=AP + CQ,求證：ZPBQ = ZABP+ZQBC(3)若點(diǎn)Q在DC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)P在DA的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，仍然滿足PQ =AP + CQ,請(qǐng)寫(xiě)出NPBQ與/ADC的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過(guò)程.4 .（1）問(wèn)題背景：如圖1：在四邊形A8C。中，48=A。，NBAD=120。, ZB=ZADC =90。，E、產(chǎn)分別是8C, CO上的點(diǎn)且NE4尸=60。，探究圖中線段BE、EF、尸。之間 的數(shù)量關(guān)系.小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)

3、G.使DG=BE.連結(jié)AG,先證明 ABE9 AZX7,再證明AMgaAGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；（2）探索延伸：如圖2,若在四邊形48C。中，AB=AD9 N8+NO=180。. E, F分 別是8C,。上的點(diǎn)，且NE4F= = NB4。，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；（3）實(shí)際應(yīng)用：如圖3,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（。處）北偏西30。的 A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70。的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到 行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以45海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，同時(shí)艦艇乙沿北偏東50。 的方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，2小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩地分別到

4、達(dá)E、 產(chǎn)處，且兩艦艇之間的夾角為70。，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離.5 .已知：線段AB及過(guò)點(diǎn)A的直線1,如果線段AC與線段AB關(guān)于直線1對(duì)稱，連接 BC交直線1于點(diǎn)D,以AC為邊作等邊 ACE,使得點(diǎn)E在AC的下方，作射線BE交 直線1于點(diǎn)F,連接CF.（1）根據(jù)題意將圖1補(bǔ)全；（2）如圖 1,如果NBAD = a （300<a<60°）.NBAE= , NABE= （用含有a代數(shù)式表示）；用等式表示線段FA, FE與FC的數(shù)量關(guān)系，并證明.（3）如圖2,如果60。<01<90。，直接寫(xiě)出線段FA, FE與FC的數(shù)量關(guān)系，不證明.6 .如圖，在A6C中，AB

5、 = AC, Z45C<30°,。是邊8c的中點(diǎn)，以AC為邊作等邊三角形ACE，且ACE與A8C在直線AC的異側(cè)，連接虛交的延長(zhǎng) 線于點(diǎn)尸，連接/C交AE于點(diǎn)(1)求證：FB = FC；(2)求證：ZFE4 = ZFC4：(3)若產(chǎn)石=8, A0 = 2,求人尸的長(zhǎng).7 .閱讀題：如圖1, 0M平分NAO8,以。為圓心任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交射線。4, OB于C,。兩點(diǎn)，在射線OM上任取一點(diǎn)E (點(diǎn)。除外)，連接CE, DE,可證 OCE ZODE.請(qǐng)你參考這個(gè)作全等的方法，解答下列問(wèn)題：(1)如圖2,在ASC中，NA = 24，CO平分NAC8交A6于點(diǎn)。，試判斷5c 與4C、A

6、O之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖 3,在四邊形A5CO中，AC平分44£，8C = C0 = 1O, A8 = 20,人。=8,分別在A8，AC上，且NED尸= 60。，求3'的周長(zhǎng).A9 .如圖，ASC和8OC是等腰三角形，且A5 = AC, 50 = 8, ZBAC = 80°, 42X7 = 100。，以。為頂點(diǎn)作一個(gè)50。角，角的兩邊分別交邊A6, AC于點(diǎn)石、尸， 連接EF.（1）探究BE、EF、/。之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若點(diǎn)石、尸分別在A5、CA延長(zhǎng)線上，其他條件不變，如圖所示，則應(yīng):、EF、 B之間存在什么樣的關(guān)系？并說(shuō)明理由.10 .通過(guò)類比聯(lián)想

7、、引申拓展典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的.下面是一個(gè)案例, 請(qǐng)補(bǔ)充完整.（解決問(wèn)題）如圖，點(diǎn)、E、F分別在正方形ABCO的邊BC、CO上，ZEAF = 45°,連接七尸，則 EF = BE+DF，試說(shuō)明理由.cF D G證明：延長(zhǎng)。到G,使DG = BE ,在AB石與中，AB = AD< ZB = ZADG = 90°BE = DGaAB石0A3G理由：（SAS）進(jìn)而證出：AFEg，理由：（）進(jìn)而得EF = BE+DF.（變式探究）如圖，四邊形ABC。中，AB = AD 4A 0 = 90。點(diǎn)E、尸分別在邊BC、CO上，ZEAF = 45。.若n6、N。都不是直角

8、,則當(dāng)nB與ND滿足等量關(guān)系時(shí)，仍有所=5七+3/.請(qǐng)證明你的猜想.（拓展延伸）如圖，若= NfiWw90。，ZE4FW45。，但/4=" = 90。, 2連接EE請(qǐng)直接寫(xiě)出臣、BE、O尸之間的數(shù)量關(guān)系.11 .如圖，人46c中，點(diǎn)。在AC邊上，且/8。= 90)+ '乙43。.2(1)求證：DB = AB；(2)點(diǎn)E在5c邊上，連接AE交BD于點(diǎn)F,且/4/N)=NA5C, BE = CD,求 44cB的度數(shù).(3 )在(2)的條件下，若BC=16, ”16尸的周長(zhǎng)等于30,求人尸的長(zhǎng).12 .在aABC 中，A8=AC,點(diǎn)。與點(diǎn) E 分別在 A8、AC 邊上，DE/BC,

9、且 DE=DB, 點(diǎn)F與點(diǎn)G分別在8C、AC邊上，/FDG=2nBDE.(1)如圖1,若NBDE= 120。, DFLBC,點(diǎn)、G與點(diǎn)C重合，BF=1,直接寫(xiě)出BC=；(2)如圖2,當(dāng)G在線段EC上時(shí)，探究線段8尸、EG、FG的數(shù)量關(guān)系，并給予證明：(3)如圖3,當(dāng)G在線段AE上時(shí),直接寫(xiě)出線段BF、EG、FG的數(shù)量關(guān)系:13 .在四邊形45。石中，C是5。邊的中點(diǎn).（1）如圖（1）,若AC平分N班石，ZACE = 90°，則線段AE、AB .。上的長(zhǎng)度 滿足的數(shù)量關(guān)系為；（直接寫(xiě)出答案）（2）如圖（2）, AC平分“4石，EC平分NA。，若NACCIZO。，則線段A6、 BD、DE

10、、AE的長(zhǎng)度滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出結(jié)論并證明.14 .如圖所示，AB/DC, AB± AD,或;平分/46C, CE 平分 /BCD ；（1）求A6、C。與5c的數(shù)里關(guān)系，并說(shuō)明你的理由.（2）若把條件去掉，則（1）中A& C0與6c的數(shù)里關(guān)系還成立嗎?并說(shuō) 明你的理由.15 .已知等邊三角形ABC, D為 ABC外一點(diǎn)，NBDC = 120。，BD=DC, NMDN=60。，射線DM與直線AB相交于點(diǎn)M,射線DN與直線AC相交于點(diǎn)N.（1）當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，直接寫(xiě)出BM、NC、MN之間的數(shù) 量關(guān)系：（2）當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且DMhDN時(shí)

11、，猜想中的結(jié)論還成立嗎？若成 立，請(qǐng)證明；（3）當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)畫(huà)出圖形，并求出BM、NC、MN之 間的數(shù)量關(guān)系.本卷由系統(tǒng)自動(dòng)生成，請(qǐng)仔細(xì)校對(duì)后使用，答案僅供參考。參考答案1 .(1)60°： (2)見(jiàn)解析【分析】(1)由 = 6石，NA8C = 60。，可得A8E 為等邊三角形，由 NA&5=NE4C+NC, Z.CDE = ZEAC+ ZAED , Z4E£) =/C,可證 NC3X = ZA石8 = 60。(2)延長(zhǎng)D4至憶使AF = OE，連接所，由NBED=60o+ZAED,ZBAF = 60° + ZC,且/C = /

12、AE0,可證f84烏O6f(SAS)由 DB = FB，可證FBD為等邊三角形，可得BD = FD,可推出結(jié)論，【詳解】解：(1) : AB = BE，ZABC = 6O0 ,45石為等邊三角形， ABAE = ZAEB = 60° ,V ZAEB = ZEAC + ZC, ZCDE = ZEAC+ ZAED , : ZAED = /C, ZCDE = ZAEB = 60°(2)如圖，延長(zhǎng)D4至尸，使A尸=£)石，連接所，由(1)得ZVIS石為等邊三角形， ZAEB = ZABE = 60° , ABED = ZAEB+ ZAED = 60°+

13、 ZAED ,又4AF = ZA6E+NC=60o + NC,且/C = ZAE。，:.ZBED=ZBAF ,AB = BE在尸54 與 QBE 中,< 4BAF = /BEDAF = DE：.FBA學(xué).DBE(SAS)： DB = FB，ZDBE = ZEBA * ZDBE+ZABD = ZFBA+ ZABD， ZABE = ZFBD = 60°又： DB = FB， F8O為等邊三角形答案第i頁(yè)，總34頁(yè)本卷由系統(tǒng)I'l動(dòng)生成，請(qǐng)仔細(xì)校對(duì)后使用，答案僅供參考。: BD=FD,又：尸D=AF + AD，且 AF = OE，:, FD = DE + AD=BD，【點(diǎn)睛】

14、本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，線段和差，三角形外角性質(zhì)， 關(guān)健是引輔助線構(gòu)造三角形全等證明等邊三角形.2. (1)見(jiàn)詳解；(2) 108。；(3)見(jiàn)詳解【分析】(1)如圖1,過(guò)D作DM_LAB于M,由CA=CB, ACB = 90° ,得ASC是等腰直角 三角形，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CD = MD, ZABC=45%根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到 ac=am,于是得到結(jié)論；(2)如圖 2,設(shè)NACB=a,則NCAB = NCBA = 9()oL a,在 AB 上截取 AK=AC,連結(jié) 2DK,根據(jù)角平分線的定義得到NCAD = NKAD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到N

15、ACD = ZAKD=a,根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；(3)如圖3,在AB上截取AH=AD,連接DH,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NCAB= NCBA =40°,根據(jù)角平分線的定義得到NHAD=NCAD=20。，求得NADH= NAHD = 80。，在 AB上截取AK=AC,連接DK,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NACB= NAKD= 100。，CD = DK,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到DH=BH,于是得到結(jié)論.【詳解】(1)如圖1,過(guò)D作DM_LAB于M,圖1在ASC中，AC = BC,/. NABC=45。，V ZACB = 90°, AD是角平分線，A CD=MD,/. Z

16、BDM= ZABC=45°,ABM=DM,，BM=CD,在 RTA ADC 和 RTA ADM 中，(CD=MDAD=AD 'ARTA ADCRTA ADM (HL),/. AC=AM,，AB=AM+BM=AC + CD,即 AB = AC + CD；(2)設(shè)NACB = a,則NCAB=NCBA=90。一上 a, 2在AB上截取AK=AC,連結(jié)DK,如圖2,圖2VAB=AC+BD, AB=AK+BK，BK=BD,AD是角平分線，AZCAD=ZKAD,在 CAD和 KAD中，AC=AK< ZCAD= ZKAD AD=ADAACADAKAD (SAS),/. ZACD=Z

17、AKD = a,/. ZBKD=180°-a,圖2VBK=BD,AZBDK=180°-a,，在4 BDK 中，180。一（1+180。一1 + 90。一上£1=180。,2Aa=108°,Z. ZACB = 108°；（3）如圖3,在AB上截取AH=AD,連接DH,圖3V ZACB = 100°, AC = BC,AZCAB=ZCBA=40°,.AD是角平分線，Z. ZHAD= ZCAD=20°,Z. ZADH= ZAHD = 80°,在AB上截取AK=AC,連接DK,由（1）得，aCAD0KAD,Z.

18、ZACB = Z AKD = 100% CD=DK, ZDKH=80°=ZDHK,，DK=DH = CD,VZCBA=40°tZ. ZBDH= ZDHK -/CBA=40。，DH=BH,，BH = CD,VAB=AH + BHt ，AB=AD + CD.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和，正確的作出輔助線是解題的關(guān)健.3. (1) OC = 7;(2)見(jiàn)解析：(3) APBQ = 9Q0 + ZADC,證明見(jiàn)解析【分析】(1)根據(jù)已知條件得出5DC為直角三角形，再根據(jù)HL證出從而證出AD = CD即可得出結(jié)論；(2)如

19、圖2,延長(zhǎng)DC到K,使得CK=AP,連接BK,通過(guò)證 BPAZBCK (SAS)得到：Z1=Z2, BP=BK.然后根據(jù)SSS證明得P8Q空臺(tái)長(zhǎng)。，從而得出APBQ = Z2 + ZCBQ = Zl + ZCBQ ,然后得出結(jié)論；(3)如圖3,在CD延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)K,使得KC=AP,連接BK,構(gòu)建全等三角形： BPAABCK (SAS),由該全等三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理SSS證得： PBQ且BKQ,則其對(duì)應(yīng)角相等：ZPBQ=ZKBQ,結(jié)合四邊形的內(nèi)角和是360。可以推得：ZPBQ=90°+ y ZADC.【詳解】 ZABC + ZADC = 130° , ABAD

20、 = 90° , ZBCD= ABAD = 90。,在 RtABAD 和 RtBCD 中，JBD = BD AB = BC RtABAD冬RtABCD(HL), AD = DCt DC = 7 ；(2)如圖2,延長(zhǎng)OC至點(diǎn)K,使得CK = AP,連接8K,/ ZABC + ZADC = 130° , 443+48 = 180。，ZBCD+ZBCK = 180。, ABAD = ZBCK ,V AP = CK , AB=BC, ABPA四/BCK(SAS), N1 = N2, BP = BK,V PQ = AP + CQf QK = CK + CQ, PQ = QK , ：

21、BP = BK，BQ = BQ, 產(chǎn)僅2%6K0(SSS), . NPBQ = Z2+ ZCBQ =Z1+ ZCBQ , . ZPBQ = ZABP+ ZQBC.(3) = 90° +1ZADC：如圖3,在CO延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)K，使得KC=A尸，連接3K,/ ZABC + ZADC = LSO° , 440+48 = 180。， 4A O+ZR46 = 180。， ZPAB=ZBCK , 在ABPA和&BCK中，AP = CK /BAP = /BCK AB = BC LBPAdBCK(SAS),:.ZABP=ZCBK , BP = BK， APBK = ZABC, P

22、Q = AP + CQ, PQ = QK,在尸5。和aBKQ中，BP = BK bq = bq pq = kq aPBQBK縱sss),ZPBQ = ZKBQ , "PBQ + 4BK = 2NPBQ + ZABC = 360°, 1ZPBQ+(180° - ZADC) = 360°,【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì).在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共 邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形.4. (1) EF=BE+DF； (2)結(jié)論EF=BE+DF仍然成立；(3 )此時(shí)兩艦艇之間的距離是210 海里【分析】(1)延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G

23、,使DG=BE.連結(jié)AG,即可證明aABEgaADG,可得AE=AG,再 證明AEFgaAGF,可得EF=FG,即可解題；(2)延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使DG=BE.連結(jié)AG,即可證明aABEgaADG,可得AE=AG,再 證明AEFgaAGF,可得EF=FG,即可解題；(3 )連接EF,延長(zhǎng)AE、BF相交于點(diǎn)C,然后與(2)同理可證.【詳解】解：EF=BE+DF,證明如下:在aABE和aAOG中，DG = BE< NB = ZADG ,AB = AD，(SAS),：,AE=AG, NBAE=NDAG,< / zeaf=-zbad92< ZGAF= ZDAG+ZDAF= ZBAE+Z

24、DAF= ZBAD - ZEAF= NEAF,：.NEAF=NGAF,在 AEF和 GAF中，AE = AG< ZEAF = ZGAF , AF = AF: &AEF迫 4AGF (SAS),:EF=FG,FG=DG+DF=BE+DF, :.EF=BE+DF；故答案為EF=BE+DF.(2)結(jié)論歷=8E+OF仍然成立;理由：延長(zhǎng)尸。到點(diǎn)G.使。G=8瓦 連結(jié)AG,如圖2,圖2在“BE和aAOG中，DG = BE< NB = ZADG , AB = ADA ABEADG (SAS),：,AE=AG, NBAE=NDAG,< / zeaf=-zbad92< ZGAF

25、= ZDAG+ZDAF= ZBAE+ZDAF= ZBAD - NEAF= NEAF,：.NEAF=/GAF,在 AEF和 GAF中，AE = AG< ZEAF = ZGAF , AF = AF/. AEF且"GF (SAS),：.EF=FG,< FG=DG+DF=BE+DF,：.EF=BE+DF；(3)如圖3,連接EE延長(zhǎng)AE、8/相交于點(diǎn)C,圖3V ZAOB=30°+9Q°+ （90°-70°） =140。，NEOF =70。,ZEOF= - ZAOB, 2又，：OA = OB, ZOAC+ZOBC= （90°- 30&

26、#176;） + （70°+50°） =180°,符合探索延伸中的條件，,結(jié)論EF=AE+BF成立，即4=2x （45+60） =210 （海里）.答：此時(shí)兩艦艇之間的距離是210海里.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定以及全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證 AEFAAGF是解題的關(guān)鍵.5. （1）作圖見(jiàn)解析；（2）22- 60° , 120。一。；FA=FC +FE,證明見(jiàn)解析：（3 ）AF=FC-EF.【分析】（1）先根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作出線段AC,再分別以A、C為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧 交于點(diǎn)E,可得等邊AACE,最后根據(jù)題意畫(huà)出圖形即可：

27、（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得NBAC=2NBAD=2。，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知 ZEAC=60°,根據(jù)角的和差關(guān)系即可表示出NBAE：根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì) 可得AB=AE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可表示出NABE：在FA上截取FG=EF,連接EG,利用三角形內(nèi)角和定理可得NAFB=60。，即可證明 EFG 是等邊三角形，根據(jù)角的和差故選可得NAEG=NCEF,利用SAS可證明 AEGgZCEF, 即可得出AG=CF,根據(jù)線段的和差關(guān)系即可得結(jié)論；（3）由60。<（1<90?？芍c(diǎn)E在直線1右側(cè),根據(jù)題意畫(huà)出圖形，在FA上截取FG=EF,根 據(jù)

28、軸對(duì)稱的性質(zhì)可得AF_LBC, BF=CF,根據(jù)（2）中結(jié)論可得NEBC=NFCB=30。，利用三 角形外角性質(zhì)可得NGFE=60。，可證明三角形EFG是等邊三角形，利用SAS可證明 AEFCEG,可得FA=CG,根據(jù)線段的和差關(guān)系即可得答案.【詳解】（1）補(bǔ)全圖形如下：(2)2。一60。，120。一a，AB、AC關(guān)于直線1對(duì)稱，A ZBAD=ZCAD, AB=AC, ACE是等邊三角形，A ZEAC=60°, AE=AC=EC, / NBAD=a ,A ZBAC=BAD+ZCAD=2ZBAD=2 Ct ,/. ZB AE= ZB AC- ZEAC=2 a -60°.AB=

29、AC, AC=AE,二 AB=AE,ZABE= (180°-ZBAE) =120。-。. 2故答案為：2。-60。，120。-。數(shù)量關(guān)系是FA=FC+FE,證明如下：在FA上截取FG=EF,連接EG,由得，ZABE=120°-a, NBAD=a,/. ZAFB= 180°-ZABE- ZBAD=60°,A AEFG為等邊三角形，EG=FE=FG, ZGEF=60°, AEC是等邊三角形，A ZAEC=60°, AE=CE, /. ZAEC=ZGEF=60%:.NAEC-NGEC=NGEF-NGEC,即NAEG=NCEF,EG = EF

30、在 AEG 和 CEF 中，ZAEG = ZCEF , AE = CE：.AAEGACEF,AAG=FC/. FA=AG+FG=FC+FE，(3) AF=FC-EF.V600<a<90°, 如圖所示，點(diǎn)E在直線1右側(cè)，在FA上截取FG=EF,連接EG,AB、AC關(guān)于直線1對(duì)稱，點(diǎn)F在直線1上，AAF1BC, BF=CF,/. ZABC=ZACB=90°-a,由(2)可知NABE=120。-明/. ZFBC=ZFCB=120°-a- (900-a) =30。，/. NEFG=NFBC+NFCB=60。， EFG是等邊三角形，/. ZFEG=60°

31、;, / ZAEC=60°,/. ZAEF+ ZAEG= ZCEG+ ZAEG=60°,/. ZAEF=ZCEG,EF = EG在4AEF 和CEG 中， ZAEF = NCEG , AE = CE：.AAEFACEG,/.AF=CG,AAF=FC-EF.【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)軸對(duì)稱 的性質(zhì)正確得出對(duì)應(yīng)邊并熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)健.6. (1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析：(3) 4【分析】(1)利用AO所在直線是5C的垂直平分線，點(diǎn)F在直線AD上即可得出結(jié)論.(2)由/XACE是等邊三角形,得AC=AE=AB

32、推得ZABF = ZFEA .易證aABF且Ab(SSS), /48尸=/F。1 = "£4即可，(3)延長(zhǎng)AO至點(diǎn)P處，使。p = AP，連接CP.先證直角三角形ADCg/PDC (SAS), 推出 4C = CP = CE, ZACD=ZPCD.再證=/E4C= 60。.求出， ZFCD=ZFBD = 30°.用 NAC。表示 NEb = 30。+NACZ).而"CP = 30。+/ACD,得 ZECF = ZFCP .可證尸且尸C尸(SAS),可推得= AP 即可.【詳解】(1)證明： A5 = AC,。是邊6c的中點(diǎn)， A3所在直線是6c的垂直平

33、分線，又：點(diǎn)F在直線AD上:.FB = FC.(2)證明：ACE是等邊三角形，A ZEAC = ZACE = 60°, AC = AE.AB = AC, AB = AE ZABF = ZFEA.由(1)可知，F(xiàn)B = FC, 又AF = AF, AB = AC,，AZ?/且Ab （sss）,ZABF = ZFCA, ZFE4 = ZFC4 .（3）解：如圖，延長(zhǎng)AO至點(diǎn)。處，使。尸= 4）,連接CP.AB = AC,。是邊6C的中點(diǎn)， ZADC = ZPDC = 90° . ACE是等邊三角形，A AC = CE, ZEAC = 60°. ： AD = DP ,

34、ZADC = APDC, CD = CD,， AOC g APDC（ SAS）,: AC = CP = CE，ZACD=ZPCD.由（2）可知，ZFEA = ZF'CA, : ZAMC = ZFME, ZEFC = ZE4C=60。.由（1）可知，BF = CF, ZBFD = Z.CFD = （180。- 60。）+2 = 60。，AZFCD = 90°-60° = 30°.,/ ZFCA = ZFCD- ZACD,/. ZFC4 = 30°-ZACD.,/ ZECF = ZECA-ZFCA, ZECF = ZECA-（30°-ZAC

35、D） = ZECA _ 30。+ ZACD = 30° +ZACD. ZFCP = ZFCD+ ZPCD,A ZFCP = 30°+Z4CD, ZECF = ZFCP .FC = FC , CE = CP ,: AECF 且 4PCF (SAS),：FE = FP，F(xiàn)E = FA+AP = AF + 2ADfAF = EF-2AD = S-2x2=4.【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，掌握線段垂直平 分線性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，會(huì)利用引輔助線構(gòu)造三角形全等轉(zhuǎn)化 線與線關(guān)系，角與角關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題.7. (1) BC=

36、AC+AD； (2) ABC 的面積為 80.【分析】(1)在CB上截取CE=CA,則由題意可得AD=DE, ZCED=ZA,再結(jié)合NA=2NB可得 DE=BE,從而得至IJBC=AD+AC：(2)在AB上截取AE=AD,連結(jié)CE,過(guò)C作CF_LAB于F點(diǎn)，由題意可得EC=BC,從 而得到EF的長(zhǎng)度，再由勾股定理根據(jù)EC、EF的長(zhǎng)度求得CF的長(zhǎng)度，最后根據(jù)面積公式 可以得到解答.【詳解】解：(1)如圖，在CB上截取CE=CA,則由題意得：2XCAD且ZCED,/.AD=DE, ZCED=ZA,V ZA=2ZB, AZCED=2ZB,又NCED=NB+NEDB,ZB+ZEDB=2ZB, /. Z

37、EDB=ZB, ADE=BE,/. BC=BE+CE=DE+CE=AD+AC ；（2）如圖，在AB上截取AE=AD,連結(jié)CE,過(guò)C作CF_LAB于F點(diǎn),答案第34頁(yè)，總34頁(yè)，由題意可得：CDAgZiCEA,，EC=CD=BC=10, AE=AD=8,VCF1AB.，EF=FB=20-8 ,=o ，2： CF = yjEC2-EF2 =>/102-62 =8，/. S = AB x CF = 9x20x8 = 80.22【點(diǎn)睛】 本題考查三角形全等的綜合運(yùn)用，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和 性質(zhì)、勾股定理是解題關(guān)鍵.8. 2【分析】延長(zhǎng)AC至點(diǎn)P,使CP = BE,連

38、接產(chǎn)。，證明5OE4C0P（SAS）推出。石二 DP，ABDE = 4CDP,進(jìn)而得到 ZEDF = APDF = 60°,從而證明 ADEF/ADPF（SAS）, 推出EF=CP,由此求出aAEF的周長(zhǎng)=AB+AC得到答案.【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)夕，使CP = BE,連接PO. 44方。是等邊三角形， ZABC = ZACB = 60°. : BD = CD, 400 = 120。， :.ZDBC=ZDCB = 30。，:ZEBD=ZDCF = 90。, ZDCP = ZDBE = 900.BD = CD在 aBDE 和 »CDP 中，< ZDBE

39、 = /DCP , BE = CP abdeacdp(sas),:DE=DP, ZBDE = ZCDP. , /BDC = 120。, ZEDF = 60°,:, ZBDE+ 2CDF = 6S, /CDP+/CDF = 60。，: ZEDF = ZPDF = 60。.DE = DP在 »DEF 和 &DPF 中,< NEDF = /PDF , PF = DF . ADEF%ADPF(SAS),: EF = FP，：EF = FC+BE, A£F的周長(zhǎng)=AE+七尸+ A尸=46+AC = 2.【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，

40、等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)，題 中輔助線的引出是解題的關(guān)鍵.9. (1) EF=BE+FC； (2) EF=FC-BE.【分析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)，解得NABC=NAC5 = 50。，ZDBC = ZDCB = 40。,延長(zhǎng)AB至G,使得BG=CF,連接DG,進(jìn)而證明G6。三尸CO(S4S),再根據(jù)全等三角形 對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)解得DG = FD,再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可證明.DEF =DGE(SAS),最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解題即可；(2)在CA上截取CG=BE,連接DG,由等腰三角形的性質(zhì)，可得NA6C= NAC6 = 50。， ZDBC = ZDCB = 40%進(jìn)而證明BED =

41、CGD(SAS)得到DG = DE,據(jù)此方法再證明&EDF = 4GDF(SAS),最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解題即可.【詳解】(1) 45c和6DC是等腰三角形，:.ZABC=ZACBZDBC = ZDCBvZAC = 80°, AB = ACZABC=ZACB = 50°-ZBDC = 100°, BD = CDADBC = ADCB = 40°ZABD = ZACD = 90° = ZDCF延長(zhǎng)AB至G,使得BG=CF,連接DGZ.GBD = 180°-ZABD = 90°在G6。和尸8中，v BG=CF, /G

42、BD=ADCF, BD = FD/. AGBD 三bCQ(SAS),/. DG = FDZBDG = NCDFZEDF = 50°, ZBDC = 100°:.ZBDE+NCDF = 5。ZGDE = ZBDG + ZBDE = NCDF + ZBDE = 50°在£石斤和OG£中，v DE=DE, ZEDF = /GDE, DF = GD二. GEF 三aDGE(SAS),EF = EG = BE+GB = BE+CF(2)在CA上截取CG=BE,連接DG ”15。是等腰三角形，ZBAC = S0°ZABC = ZACB = 50&

43、#176;vZZ?DC = 100°, BD = CDZDBC = ZDCB = 40°:.ZEBD=NGCD = 90。;CG = BE, BD = CD在aBED和CGD中，v CG=BE, AEBD= /GCD, BD = CD:aBED 三 CGD(SAS) .-.DG = DE 在包尸和GQF中，VFD=FD, NGDF = AEDF, ED = GD:.&EDF 三 GDF(SAS)EF = FG = FCCG = FCBE【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌 握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.10.(1) AAF

44、EZAFG，理由：SAS； (2) 4+ ZD = 180。，證明見(jiàn)解析：(3 ME+OF=EE【分析】(1)在前面已證的基礎(chǔ)上，得出結(jié)論AE=AG,進(jìn)而證明尸G,從而得出結(jié)論；(2)利用“解決問(wèn)題''中的思路，同樣去構(gòu)造AFE且尸G即可；(3)利用前面兩步的思路，證明全等得出結(jié)論即可.【詳解】(1) ,/ ABE=ADG» AE = AG, 4BAE = ZD AG, BE = DG,則ZMD = NMD+NAZX7 = NMG ,ZEAF = 45°, /.ZMG = 45°,在AFG與"E中，AE = AG< ZEAF = Z

45、GAF AF = AF:.hFE9lAFG、理由：(SAS)：.EF = FG = FD+ DG = FD+ BE ；(2)滿足4+ND = 180。即可，證明如下：如圖，延長(zhǎng)尸。至G,使BE = DG,.4+ZA3f= 180。，ZADF + ZADG = 180°f:.ZB=ZADG,在/石與AOG中，AB = AD< NB = ZADGBE = DG:.ABEADGSAS,AE = AG,ZBAE = ZZMG,BE=DG,則ZMD = NMD+NA£>G = NMG ,< / ZEAF = 45°, :.ZFAG = 45°,在

46、 aAFG 與中，AE = AG< ZEAF = ZGAFAF = AF:.點(diǎn)E9XAFG、理由：(SAS)；.EF = FG = FD+ DG = FD+ BE ；(3) BE+DF=EF.證明如下：如圖，延長(zhǎng)尸。至G,使BE = DG,在/后與.AOG中，AB = AD< /B = ZADG = 90°BE = DG. ABEaADG(SAS),AE = AG, /BAE = ZDAG ,則 NBAE+ NFAD= NFAD+ NADG= "AG ,-ZEAF = -ZBAD, ZFAG = - ZEAD = ZFAE, 22在 aAFG 與中，AE = A

47、G< ZEAF = ZGAFAF = AF:.點(diǎn)E9XAFG、理由：（SAS）.EF = FG=FD+DG = FD+BE；【點(diǎn)睛】本題考查了截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法構(gòu)造全等三角形，能夠理解前面介紹的方法并繼續(xù)探究是解決問(wèn) 題的關(guān)鍵.11. （1）見(jiàn)解析；（2） Z4c8 =60。；（3） AF=11【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角與外角之間的關(guān)系建立等式，運(yùn)用等量代換得出NA=N8D4,證得DB = AB；（2）作CH=BE,連接DH,根據(jù)角的數(shù)量關(guān)系證得NE4C=NC,再由三角形全等判定得BDHgABE,最后推出 DCH為等邊三角形，即可得出NAC8 =60。；（3）借助輔助線AOJ_CE,構(gòu)造直

48、角三角形，并結(jié)合平行線構(gòu)造 BFEsBDH,建立相 應(yīng)的等量關(guān)系式，完成等式變形和求值，即可得出AF的值.【詳解】（1）證明：V ZBDC = 90°+ ZABD, ZBDC=ZABD+ZA,2:.ZA=90°- ZABD.2NBDC+ ZBDA=180°,/. ZBDA= 1800- ZBDC = 90°- ZABD.2/. ZA= ZBDA=90°- ZABD.2DB AB .解：（2）如圖1,作CH=BE,連接DH,V ZAFD=ZABC, ZAFD = ZABD + ZBAE, NABC= NABD+NDBC, /. ZBAE=ZDBC

49、.;由（1）知，ZBAD=ZBDA,又NEAC=NBAD NBAE, NC= NADBNDBC,/. ZCAE=ZC./ AE = CE.VBE = CH,ABE+EH=CH+EH.即 BH=CE=AE.VAB = BD.AABDHAABE.ABE=DH.VBE = CD,ACH=DH = CD.DCH為等邊三角形.ZACB =60°.（3 ）如圖2,過(guò)點(diǎn)A作AO_LCE,垂足為O.；DHAE,AZCAE=ZCDH=60°, ZAEC= ZDHC = 60°.ACE是等邊三角形.設(shè) AC=CE=AE=x,則 BE=16x,VDHAE,AABFEABDH.BF BE

50、 _ EF _16-xBF = 巴士 BD ="匚AB,XX16-x(16-x)Lr =Drl =-XXV ABF的周長(zhǎng)等于30,即 ab+bf+af=ab+16- a AB +x-(167)=30.r解得 AB=16一2. 8在 RS ACO 中，AC=-, AO=I ,22x ABO=16-.2在 RS ABO 中，AO2 + BO2=AB2,即為+ 16-2)16.解得士=。（舍去）X =:-21256AAC= 21AAF=U.【點(diǎn)睛】 本題考查了三角形角的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合 應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能熟練掌握三角形的性質(zhì)與全等判定并借助輔助

51、線構(gòu)造特殊三角形的能 力，.12. (1) 4； (2) FG=BF+EG,見(jiàn)解析；(3) FG=BF-EG【分析】(1)解直角三角形分別求出DF, CF即可解決問(wèn)題.(2)如圖2中，結(jié)論：FG=BF+EG.在EA上截取EH,使得EH=BF.利用兩次全等，證 明FG=GH即可解決問(wèn)題.(3)如圖3中，結(jié)論：FG=BF-EG.在射線EA上截取EH,使得EH=BF.利用兩次全等, 證明FG=GH即可解決問(wèn)題.【詳解】(1) VDE/7BC,AZBDE+ZABC=180°,VZBDE=120°, /. ZABC=60°,VDF±BF, /. ZBFD=90&#

52、176;, , DF=BF<tan600 = 1 x Q = C，V ZCDF= - ZBDE=60°, ZDFC=90°, 2/. CF=DF<tan60° =逐 x 召=3， ，BC=BF+CF=l+3=4；(2)如圖2中,結(jié)論：FG=BF+EG.理由：在EA上截取EH,使得EH=BF.VAB=AC,/. NB=NC,VDE/BC,A ZADE=ZB, NAED=NC,/. NADE=NAED,/. ZDEH=ZB,在 DBF DEH 中，BF = EH< ZB = ZDEH ,BD = DEAADBFADEH (SAS),，DF=DH, N

53、BDF=NEDH,VZFDG=-ZBDE,2, ZBDF+ ZEDG= ZEDH+ ZEDG= ZGDH = - ZBDE, 2, NGDF=NGDH,在 DGFfflA DGH 中，DF = DH< ZGDF = ZGDH ,DG = DGAADGFADGH (SAS),，F(xiàn)G=HG,HG=EG+HE=EG+BF,AFG=BF+EG；(3)如圖3中，結(jié)論：FG=BF-EG.理由：在射線EA上截取EH,使得EH=BF.圖3VAB=AC, NB=NC,VDE/BC,A ZADE=ZB, ZAED=ZC,Z. NADE=NAED,Z. ZDEH=ZB,在 DBF和 DEH中，BF = EH&

54、lt; ZB = /DEH , BD = DEAADBFADEH (SAS),，DF=DH, NBDF=NEDH,/. NBDE=NFDH,< / ZFDG= - ZBDE= - NFDH, 22/. NGDF=NGDH,在 DGFfflA DGH 中，DF = DH< /GDF = ZGDH , DG = DGAADGFADGH (SAS),，F(xiàn)G=HG,VHG=HE-GE=BF-EG,，F(xiàn)G=BF=-EG.【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān) 鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題.13. (1) AE=AB+DE；

55、(2) AE=AB + DE+- BD.證明見(jiàn)解析.2【分析】(1)在AE上取一點(diǎn)F,使AF=AB,由三角形全等的判定可證得 ACB0ZACF,根據(jù)全 等三角形的性質(zhì)可得BC=FC, NACB = NACF,根據(jù)三角形全等的判定證得 CEFACED, 得到EF=ED,再由線段的和差可以得出結(jié)論；(2)在AE上取點(diǎn)F,使AF=AB,連結(jié)CF,在AE上取點(diǎn)G,使EG=ED,連結(jié)CG,根 據(jù)全等三角形的判定證得 ACBAACF和 ECDAECG,由全等三角形的性質(zhì)證得CF =CG,進(jìn)而證得 CFG是等邊三角形，就有FG=CG=BD,從而可證得結(jié)論.2【詳解】解：(1)如圖(1),在AE上取一點(diǎn)F,使AF=AB.圖(I)AC 平分NBAE, ，ZBAC=ZFAC. 在 ACB和 ACF中,AB=AF< ZBAC=ZFAC AC=ACA ACBACF (SAS).，BC=FC, ZACB=ZACF. C是BD邊的中點(diǎn)，ABC = CD.ACF=CD. / NACE = 90。，A ZACB+ZDCE=90°, ZACF+ZECF=90°.Z. ZECF=ZECD.iEA CEF