遺傳算法求解最佳證券投資組合

1、遺傳算法求解最佳證券投資組合    【作 者】周群/孫德寶 【作者簡(jiǎn)介】周群孫德寶華中科技大學(xué)控制科學(xué)與工程系，湖北武漢430074 【內(nèi)容提要】遺傳算法作為一種高效并行的全局優(yōu)化搜索方法，已應(yīng)用到許多領(lǐng)域。通過將遺傳算法引入到證券投資分析領(lǐng)域，對(duì)最佳證券組合問題進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，介紹了利用遺傳算法計(jì)算最佳證券組合問題的求解步驟。 1前言 證券投資是證券市場(chǎng)運(yùn)行環(huán)節(jié)中的重要組成部分。作為最重要的證券投資理論之一的證券組合理論，通過數(shù)學(xué)方法來分析計(jì)算由不同證券構(gòu)成的證券組合，作為一個(gè)整體的風(fēng)險(xiǎn)與收益關(guān)系，進(jìn)而求出一個(gè)最佳的證券組合。通常意義下，求解最佳證券組合

2、問題的關(guān)鍵是解一個(gè)滿足多個(gè)約束條件下的極值問題，從數(shù)學(xué)的角度看，可歸入求解一類二次規(guī)劃問題，具有標(biāo)準(zhǔn)的解法，但實(shí)際的求解過程往往十分繁雜，而且對(duì)求解者的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)有較高要求。因此，如果能夠?qū)で蟮揭环N新求解方法，使求解過程更簡(jiǎn)潔、直觀，便于操作，將有助于證券組合理論在實(shí)際工作中的推廣應(yīng)用。 近幾十年來，隨著生命科學(xué)與工程科學(xué)的相互交叉、滲透和促進(jìn)，形成了一種用機(jī)器模擬自然過程來求解復(fù)雜問題的隨機(jī)搜索算法進(jìn)化算法。遺傳算法作為進(jìn)化算法的一種，借鑒達(dá)爾文進(jìn)化論中“適者生存、不適應(yīng)者淘汰”的自然選擇和自然遺傳機(jī)理，其本質(zhì)是求解問題的一種高效、并行的全局優(yōu)化搜索方法，它能在搜索過程中自動(dòng)獲取和積累有關(guān)

3、搜索空間的知識(shí)，并自適應(yīng)地控制搜索過程以求得最優(yōu)解。目前遺傳算法已應(yīng)用到許多領(lǐng)域，在求解科學(xué)研究和工程技術(shù)中各種組合優(yōu)化搜索與優(yōu)化計(jì)算問題方面取得了成功，已確定了它在21世紀(jì)智能計(jì)算技術(shù)中的關(guān)鍵地位。 遺傳算法作為一種新的全局優(yōu)化搜索算法，以其簡(jiǎn)單通用、魯棒性強(qiáng)、適于并行處理以及應(yīng)用范圍廣等顯著特點(diǎn)，已在解決諸多典型組合優(yōu)化問題中顯示了良好的性能和效果。由于最佳證券組合的求解實(shí)際上屬于一類組合優(yōu)化問題，所以可以嘗試?yán)眠z傳算法來求解最佳證券組合問題。 2遺傳算法框架 遺傳算法是模擬生物進(jìn)化過程的計(jì)算模型，是一個(gè)以適應(yīng)度函數(shù)（或目標(biāo)函數(shù)）為依據(jù)，通過對(duì)群體個(gè)體施加遺傳操作實(shí)現(xiàn)群體內(nèi)個(gè)體結(jié)合重組的

4、迭代處理過程。在這一過程中，群體個(gè)體（問題的解）一代一代地得以優(yōu)化并逐漸逼近最優(yōu)解。 遺傳算法是具有“生成加檢測(cè)”的迭代過程的搜索算法。它的基本處理流程如圖1所示。    圖1遺傳算法基本處理流程圖 由圖可見，遺傳算法是一種群體性操作，該操作以群體中的所有個(gè)體為對(duì)象。選擇、交叉和變異是遺傳算法的三個(gè)主要操作算子，它們構(gòu)成了所謂的遺傳操作，使遺傳算法具有了其它傳統(tǒng)方法所沒有特性。遺傳算法的實(shí)現(xiàn)涉及5個(gè)基本要素：參數(shù)的編碼；初始群體的設(shè)定；評(píng)估函數(shù)即適應(yīng)度函數(shù)的設(shè)計(jì)；遺傳操作的設(shè)計(jì)和算法控制參數(shù)的設(shè)定（主要是指群體大小和使用遺傳操作的概率等）。這五個(gè)要素構(gòu)成

5、了遺傳算法的核心內(nèi)容。 由于遺傳算法不能直接處理解空間的解數(shù)據(jù)，因此必須通過編碼將它們轉(zhuǎn)換成遺傳空間的解個(gè)體串，這一轉(zhuǎn)換操作稱為編碼。大多數(shù)問題都可以采用基于(0,1)字符集的二集編碼形式，如可以將十進(jìn)制的(36)10轉(zhuǎn)換二進(jìn)制的串(100100)2，反過來也可以將一個(gè)二進(jìn)制串解碼為一個(gè)十進(jìn)制數(shù)。 遺傳操作是對(duì)眾多個(gè)體同時(shí)進(jìn)行的。這眾多的個(gè)體組成了群體，第一代群體稱為初始群體，初始群體中的個(gè)體都是通過隨機(jī)方法產(chǎn)生的。在遺傳算法處理流程中，以初始群體為起點(diǎn)、一代代進(jìn)化直到按某種進(jìn)化停止準(zhǔn)則終止進(jìn)化過程，由此得到最后一代。群體中的個(gè)體數(shù)目稱為群體規(guī)模，在實(shí)際應(yīng)用中，需保持適度的群體規(guī)模。 遺傳算法

6、在進(jìn)化搜索中基本不用外部信息，僅用評(píng)估函數(shù)即適應(yīng)度函數(shù)來評(píng)估個(gè)體或解的優(yōu)劣，并作為以后遺傳操作的依據(jù)。在具體問題中，適應(yīng)度函數(shù)的設(shè)計(jì)要結(jié)合求解問題本身的要求而定，通常可用目標(biāo)函數(shù)作為適應(yīng)度函數(shù)。 遺傳操作是模擬生物基因遺傳的操作，它的任務(wù)就是對(duì)群體中的個(gè)體按照適應(yīng)度評(píng)估施加一定的操作，從而實(shí)現(xiàn)優(yōu)勝劣汰的進(jìn)化過程。從優(yōu)化搜索的角度而言，遺傳操作可使問題的解一代又一代地優(yōu)化，并逼近最優(yōu)解。 從群體中選擇優(yōu)勝的個(gè)體、淘汰劣質(zhì)個(gè)體的操作稱為選擇。選擇操作是建立在個(gè)體適應(yīng)度評(píng)估基礎(chǔ)上的，選擇的目是把優(yōu)化的個(gè)體直接遺傳到下一代或通過配對(duì)交叉產(chǎn)生新的個(gè)體再遺傳到下一代。常用的選擇方法有適應(yīng)度比例方法、最佳個(gè)

7、體保存方法等。 交叉在遺傳操作中起核心作用，它是指兩個(gè)父代個(gè)體的部分結(jié)構(gòu)加以替換重組而生成新個(gè)體的操作。通過交叉，遺傳算法的搜索能力得以飛躍提高。對(duì)于二值編碼而言，交叉操作按預(yù)先設(shè)定的交叉概率P。對(duì)經(jīng)過隨機(jī)配對(duì)的個(gè)體設(shè)定交叉點(diǎn)，然后再對(duì)這些點(diǎn)前后的配對(duì)個(gè)體的部分結(jié)構(gòu)進(jìn)行互換，并生成兩個(gè)新個(gè)體。以基本的一點(diǎn)交叉為例：配對(duì)個(gè)體交叉點(diǎn)交叉 個(gè)體A10011111001000新個(gè)體A' 個(gè)體B00110000011111新個(gè)體B'   變異是指以事先設(shè)定的變異概率P,m來對(duì)個(gè)體串的某些基因座上的基因值作變動(dòng)。對(duì)于二值編碼而言，變異操作就是把基因值取反，即01或10。遺傳算法導(dǎo)

8、入變異的目的主要是為了加強(qiáng)算法的局部搜索能力以及維持群體的多樣性。 一般來說，遺傳操作的終止條件是：若發(fā)現(xiàn)個(gè)體的進(jìn)化已趨于穩(wěn)定狀態(tài)，即發(fā)現(xiàn)某一代中占一定比例的個(gè)體已完全是同一個(gè)體，則可認(rèn)為已找到最優(yōu)解。 3遺傳算法求解最佳證券組合 我們用一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來說明用遺傳算法求解最佳證券組合的工作過程。 設(shè)證券組合P由三只風(fēng)險(xiǎn)證券組成，該組合可表示為P=（x,1、x,2、x,3），其中x,1、x,2、x,3分別表示這三只證券在組合中所占的投資資金比例，若三只證券各自的期望收益率E(r)和風(fēng)險(xiǎn)（用r的方差2(r)表示）分別為：E(r,1)=5.8%,E(r,2)=8.8%, E(r,3)=7.9%; 2

9、(r,1)=4.0%,2=11.8%, 2=(r,3)=8.1%   此外該證券組合中任意兩只證券間的協(xié)方差分別為：    合的期望收益率為E(r,p)的條件下，利用遺傳算法求組合P=（x,1、x,2、x,3），使風(fēng)險(xiǎn)2,p最小，亦即考慮：    求p=（x,1、x,2、x,3），使目標(biāo)函數(shù)取最小值。 任意設(shè)定以上證券組合的期望收益率為E(r,p)=6.8%，由求解問題的限制條件可知： 0.058x,1+0.088x,2+0.079(1-x,1-x,2)=0.068，解得0.53x,10.67，為了方便采

10、用最常見的二進(jìn)制無符號(hào)整數(shù)表示形式來對(duì)解數(shù)據(jù)x,1進(jìn)行編碼，將x,1放大100倍，有53x,167，由此確定x,1的編碼長(zhǎng)度為7位，如x,1=56可用編碼表示為x,1=0111000。 在x,1的值確定后，依照限制條件可推得x,2和x,3的值。 將求解問題的目標(biāo)函數(shù)作為遺傳操作的評(píng)估準(zhǔn)則，即適應(yīng)度函數(shù)，代入數(shù)值后有：f（x,1、x,2、x,3）=0.04x2,1+0.118x2,2+0.081 x2,3+0.036x,1x,2+0.044x,1x,3+0.148x,2x,3   設(shè)群體規(guī)模為n=4，根據(jù)x,1的取值范圍，任意確定4個(gè)解個(gè)體構(gòu)成初始群體如下： 初始群體確定后，接下來要進(jìn)

11、行的是遺傳操作。選擇、交叉、變異是三個(gè)基本的遺傳算子，它們的共同特點(diǎn)是：隨機(jī)化操作、受操作概率控制、操作方法隨具體求解問題的不同而異。 選擇操作是建立在解個(gè)體適應(yīng)度評(píng)估基礎(chǔ)上的。針對(duì)上面的求解問題，我們采用最佳個(gè)體保存方法進(jìn)行選擇操作。該方法的思想是把群體中適應(yīng)度最佳的個(gè)體不進(jìn)行配對(duì)交叉而直接復(fù)制到下一代中。采用這種方法的優(yōu)點(diǎn)是進(jìn)化過程中，某一代的最優(yōu)解可不被交叉和變異操作所破壞。在復(fù)制最佳個(gè)體到下一代的同時(shí)，為了保證群體規(guī)模數(shù)不變，我們淘汰下一代中的最差個(gè)體。于是可知選擇概率P,si為：    P,si=0（當(dāng)f(x,i)=msxf(x,i)時(shí)）或P,

12、si=1（當(dāng)f(x,i)maxf(x,i)時(shí)）。 交叉操作中我們采取基本的一點(diǎn)交叉策略，交叉點(diǎn)隨機(jī)選擇，交叉概率P,c設(shè)定為1。為防止接近最優(yōu)的解個(gè)體結(jié)構(gòu)被變異操作所破壞，將變異概率P,m設(shè)為較小值，為0.01。 初始群體：    minf(x,i)=376.46，對(duì)應(yīng)最佳解個(gè)體為S3。 第一代：    minf(x,i)=376.44，對(duì)應(yīng)解個(gè)體為S,3；maxf(x,i)=389.34，對(duì)應(yīng)解個(gè)體為S2。 第二代：    minf(x,i)=376.46，對(duì)應(yīng)解個(gè)體為S,

13、2；maxf(x,i)=386.71，對(duì)應(yīng)解個(gè)體為S4。 第三代：    minf(x,i)=376.44，對(duì)應(yīng)解個(gè)體為S,2、S,3；maxf(x,i)=382.11，對(duì)應(yīng)解個(gè)體為S1。 對(duì)初始群體進(jìn)行交叉操作，形成第一代。根據(jù)選擇策略，淘汰最差解個(gè)體S,2，復(fù)制初始群體中的最佳解個(gè)體S,3至第一代中，形成解個(gè)體S,5。對(duì)第一代解群體進(jìn)行交叉操作，形成第二代。 根據(jù)選擇策略，淘汰最差解個(gè)體S,4，復(fù)制第一代中的最佳解個(gè)體S,3至第二代中，形成解個(gè)體S,5，淘汰不符合限制條件的解個(gè)體S,3，用第一代中的最佳解個(gè)體S,3代替，形成解個(gè)體S,6。對(duì)第二代解群體進(jìn)行交叉操作，形成第三代。 根據(jù)選擇策略，淘汰最差解個(gè)體S,1，復(fù)制第二代中的最佳解個(gè)體S,2至第三代中，形成解個(gè)體S,5。顯然，經(jīng)選擇操作后的四個(gè)解個(gè)體無論怎樣進(jìn)行交叉操作，均不能再形成新的個(gè)體，根據(jù)遺傳操作的終止條件，可以認(rèn)為在第三代中已出現(xiàn)最佳解個(gè)體，即S,2和S,3。該最佳解個(gè)體對(duì)應(yīng)