習(xí)題六樣本及抽樣分布解答

1、樣本及抽樣分布,、填空題 1 ?設(shè)來自總體 X的一個(gè)樣本觀察值為：2.1, 5.4, 3.2, 9.8, 3.5,則樣本均值=4.8，樣本方差 =2.716 2 ;2. 在總體XN(5,16)中隨機(jī)地抽取一個(gè)容量為36的樣本，則均值X落在4與6之間的概率=0.9332 ;3. 設(shè)某廠生產(chǎn)的燈泡的使用壽命XN(1000,二2)仲位:小時(shí))，抽取一容量為9 的樣本，得到 殳二 940,s =100，貝U P(X : 940) =;74. 設(shè) X1,X2,., X 為總體 X N(0,0.5 2)的一個(gè)樣本，則 PL Xi2 4)= 0.025 :i=15. 設(shè)X1,X2,.,X6為總體XN(0,1

2、)的一個(gè)樣本，且CY服從2分布，這里，丫 =(X1 X2 X3)2 (X4 X5 X6)2 ,貝U；6?設(shè)隨機(jī)變量 X,Y相互獨(dú)立，均服從N(0,32)分布且X1,X2,.,X9與丫，丫 2,., 丫 9分+ X別是來自總體X,Y的簡單隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計(jì)量 U二入1入9服從參數(shù)為 一9曲+丫 2 的_L_分布。7. 設(shè)X1,X2,X3,X4是取自XN(0,22)正態(tài)總體的簡單隨機(jī)樣本且丫 =a(X-2X2)2，b(3X3 -4X4)2,貝U a = 0 , b 二 QM 時(shí)，統(tǒng)計(jì)量 丫服從2分布，其自由度為一 2_;8. 設(shè)總體X服從正態(tài)分布XN(0,2 2),而X1,X2,.,X15是來自總體

3、的簡單隨機(jī)樣本，則隨機(jī)變量丫 x77利服從E分布，參數(shù)為105;19. 設(shè)隨機(jī)變量 Xt(n)(n 1),Y2,則丫X110. 設(shè)隨機(jī)變量 xE(n,n)且 P(X|A) = 0.3 , A 為常數(shù)，則 P(X a )= 0.7A2(X11+.+X15)2 - 1n11若1,是取自正態(tài)總體N （，；2 ）的一個(gè)樣本，則i服從n擋12樣本（Xi, Xn）的函數(shù)f （Xi, ,X n）稱為，其中f （X1，,Xn）不含未知參數(shù)。13設(shè)總體X服從N （匚2）, X和S2分別為來自總體 X的樣本容量為n的樣本均值和方I則i-(Xi -X )2 差，2(n - 1)S2Cr14設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立且

4、都服從正態(tài)分布N (0,32 )，而X1,，X9和第，丫 9分別Y +V是來自總體X和丫間單隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計(jì)量U = X曲十二+丫 92x9服從分布。t （9）15設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布N (0,32 )，而X1,，X9和第，丫 9分別是來自總體X和丫的簡單隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計(jì)量7 = XY + 算服從 +丫 9分布。F(9,9)1、選擇題1?設(shè)總體 X服從正態(tài)分布N （j二2）,其中二為未知參數(shù)，是取自總體 X的一個(gè)容量為3的樣本，下列不是統(tǒng)計(jì)量的是X3) D. (X1X2 X3)41 16則3XXi ,CT16 yD. N(0,1)1 n個(gè)樣本，XXi,n i#1A. X1

5、X2 X3 B. maxX1,X2,X3 C. (XX22.設(shè)X1,X2,X16是來自正態(tài)總體 N (2,；2)的一個(gè)樣本，).2A. t(15)B. t(16)C.2(15)設(shè)X1,X2/ ,Xn是取自正態(tài)總體X? NC-2)的(Xj -X) 2,則丫 = n-1儀)服從的分布是(n i iA. t(n _1)B. t(n)C.2(n-1)D.4.設(shè)X1,X2,.,Xn是來自總體N （字2）的簡單隨機(jī)樣本，X是樣本均值,記s2詁腫”4匕Xi-X） 2,亠我-聽n11A.是分布函數(shù)B.依概率收斂于F(X)c.是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量D .其數(shù)學(xué)期望是F(X)6.設(shè)總體X服從O 1分布，人公2,X5是來自總

6、體X的樣本，X是樣本均值，則下列各選項(xiàng)中的量不是統(tǒng)計(jì)量的是(A. min X!,X2,X3,X4,X5B. X DXC. maxMXXXXD. X5-5X7.設(shè)X-X2,Xn是正態(tài)總體N(? ; 2)的一個(gè)樣本，其中已知而匚2未知,則下列各選項(xiàng)中的量不是統(tǒng)計(jì)量的是(C )。nA.、(Xi 72tn11 謠B . (XiX) n i 呂一i呂nXi 2C. Q)2i 1、D. min Xi1s:二 (Xj ? i)2,則服從自由度n 1的t分布的隨機(jī)變量是T二(A ); n i AA. X 二B . _X 二c.S、n -1S . n -15.設(shè)Fn(X)是經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，基于來自總體F (X)是

7、X總體的分布函數(shù)，貝U下列命題錯(cuò)誤的為，對(duì)于每個(gè)給定的X,Fn(x)S3、n-1X - 1S4n-1X的樣本，而8.設(shè)XX2,Xn和分別來自兩個(gè)正態(tài)總體N(-1,22)和N(2,5)的樣本，且相互獨(dú)立，S2,S2分別為兩個(gè)樣本的樣本方差，則服從F(7,9)的統(tǒng)計(jì)量是(B )B9. 設(shè)XX2, Xn是正態(tài)總體N(,2)的一個(gè)樣本, 和樣本方差，則下面結(jié)論不成立的有(X和S2分別為樣本均值A(chǔ). X,S相互獨(dú)立;B . X與(n - 1)S2相互獨(dú)立;C. X與一(Xi -X)相互獨(dú)立D ?CT i 410.是正態(tài)總體N(f2)的一個(gè)樣本，S2X與r V (Xj )相互獨(dú)立CT _i1 n _ 設(shè)

8、XX2,Xn(X-X)2,n -1 丄則D(S2)等于()12.設(shè)Xi,X2,Xn是正態(tài)總體N(r； 值和樣本方差，則(C)XA.孑卩(1, n-1)C.答F(1,n 1)S13?設(shè)隨機(jī)變量 X，Y都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則(A) X + Y服從正態(tài)分布。(C)X 2和Y2都服從2分布。14?設(shè)總體2)的一個(gè)樣本，X和S2分別為樣本均2 2(n-1)XB.sF(1, n)2 2D. 4-gx ? F (1, n 1)X服從N(1,9) , X1,X9為X的樣本，則有(S)。(B) X2 + Y2服從2分布2 2(D) X / 丫服從F分布X J(A)? N(0,1)1X 1(B)? N (0,1)

9、3X 一 1 K. / A(C).? N(0,1)9X(D )N(0,1)A 石XSnxC. nXnXs14 a4 CT2 二 4A.B.C.D.nnn 1n-111 .設(shè) X1,X2,. .,Xn是正態(tài)總體N (怙2)的一個(gè)樣本，X和S2分別為樣本均值和樣本方差，則服從自由度為 n 1的t分布的隨機(jī)變量是(C )X和S分別為樣本的均值和標(biāo)15?設(shè)X1 Xn是來自正態(tài)總體 N(0,1)的簡單隨機(jī)樣本,準(zhǔn)差，則有(A )n X ? N (0,1)( B )X ? N(0,1)( C) X ? t (n-1)(D 八 X：? 2 (n)S y2 216 . 設(shè) X , Y 相互獨(dú)立 ,X ? N(

10、r,6 ), Y ? N02f2 ) ,Xi,Xni為X 的樣本 ,Yi/ Yn2為Y的樣本，則有()。2 2 2 2 1C 2iC 2(A )X - Y ? NGV2， 1-) (B )X - Y ? N(r2， 1-)n1 n2n1n22 2(C ) X Y ? WJ,12) ( D ) X Y ?n1n2N( ，廠 1 V) mn2三、解答題1. 設(shè) X1,X2,X3 是總體 NOf 2)的一個(gè)樣本，其中已知而二 0 未知，則以下 的函數(shù)中哪些為統(tǒng)計(jì)量？為什么？(1) X1 X2 X3 ；是(2) X3 31 ; 是(3) X1 ; 是(4) X；; 是；Xi/(5) 72 ；不是/ C

11、T(6) maxX j; 是(7) 二 X3; 不是2. 在總體 N(52,6.3 2)中隨機(jī)地抽取一個(gè)容量為 36 的樣本，求樣本均值 X 落在50.8 與 53.8 之間的概率。解 : X N (52,垃)361_ X _ 52P 50.8 ： X ： 53& = Pf 1.142 1.714 /6.3/ 6對(duì)下列兩種X 與樣本方差= G ( 1.714 ) _：. ：( 1.142) =0.82933.情形中的樣本觀測值，分別求出樣本均值的觀測值的觀測值S2 ,由此你能得到什么結(jié)論？ 2 2(1) 5, 2, 3, 5, 8： x=4.6 S -2.059(2) 105, 102, 10

12、3, 105, 108 X =104.6 S2 = 2.0594.設(shè)Xl,X2,Xn是取自總體X的一個(gè)樣本.在下列三種情形下，分別寫出樣 本Xi , X2, ,Xn的概率函數(shù)或密度函數(shù)：(1)X B(1,p) ; X Exp( -);n7X二 px-p1 i1)ii=1(3) X U (0, 力門 0。P(X1=X1X 2= X 2；Xn =Xn_,X,x 0x nhe*- -i|n he*ni,Xi 0(i =1,2,n)iT! cO,0X (i=1,2,，n)f( X) 0Z0f(Xl,X2, ,Xn)二二 f(X) =im解:(1) P(X 二 Xi) =pX(1-p)J,i =0,1I

13、 1 0 f(x)二 J0, 心 0f (X1,X2,，Xn)= 口 f (Xi) = Wn 0 牛蘭日(i =1,2 ,n)Qo.w5.設(shè)Xi,X2,Xn是取自總體X的一個(gè)樣本？在下列三種情形下，分別求出E(X),D(X),E(S 2).(1) X B(1,P) ；E(X )= p D X=)P( 1- P ) oE,S2(詡n-p(1 )(2) X Exp( ) ；E(X) ,D(X)2,E(S ) XU(0,R,r 0 。E(X) ,D(X),E(S 2) =12n126設(shè)Xi,X2,.,Xn是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且都服從N （0,二 2），試證:(1)n1V Xi2 2(n)； 口

14、i =1(2)nn3i)2 2解:(1)Xi，X2,Xn是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且都服從N(0f 2)CTXN (0,1), L(i =1,2n)獨(dú)立，CTn n X4 Xi2 八(糾 2? fn)(2)、Xi、Xi N(0, nJ, 7 N(0,1)gn丸 XJ22(1)7?設(shè)X1,X2是取自總體X的一個(gè)樣本.試證：Xi-X與X2-X相關(guān)系數(shù)等于-1.解：(XXi +X21 rCoV(X 1, X) =CoV(X 1, 12)= cov(X1,X1)covX X 2)2 2 2 2 二 2 11 2(二 0)1 212I 2-CTD( X1 X)=D(X 1)D(X)-2cov( X 11X

15、)r_ 1 _ 1同理 cov(X2,X)2,D(X2-X)二2cov(X 1 -X,X2 -X)2 CF -0 -2 22CT CT二 cov(X1,X2) cov(X 1 ,X) cov(X,X 2) cov(X,X)2CXI (LL eX NLSCXlOCXIrSQ0bCXI)XOb(X I 2X2 )2 .(3X3- 4X4) 2 ? 2(2)、20 . 1001 2 1 2 2(Xi -2X2) E(Xi Xn i -2X)2 =E(X i Xni -2X) 2 D(Xi X., -2 天)=0 2；=2 二(3X3-4X4) 2 2(2)20 1001 . 1a , b =20 10012.設(shè)X,X2,Xn,Xn1是取自正態(tài)總體 N(T2)的一個(gè)樣本，記X ;丄 XiS :丄 (Xi X)2n yn i 二試證：統(tǒng)計(jì)量,XnH t(門)；13.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(,2)