第6章數(shù)理統(tǒng)計學中的基本概念

1、數(shù)理統(tǒng)計學中的基本概念數(shù)理統(tǒng)計學中的基本概念 衡量點估計好壞的標準衡量點估計好壞的標準 數(shù)理統(tǒng)計學中的常用數(shù)理統(tǒng)計學中的常用 點估計法點估計法 數(shù)據(jù)分布特征數(shù)據(jù)分布特征品質數(shù)據(jù)的分類整理：數(shù)量數(shù)據(jù)分組：組距分組：單變量分組：條形圖、餅圖直方圖、折線圖I.組數(shù)：II. 組距：2lgn lg1 K組數(shù)minmax排序計數(shù)6.0 頻率與直方圖分組的原則：窮盡原則，互斥原則例：某商店連續(xù)40天的商品銷售額（單位：萬元）如下： 根據(jù)上面的數(shù)據(jù)進行適當分組，編制頻數(shù)分布表，并畫出直方圖。41 25 29 47 38 34 30 38 43 40 46 36 45 37 37 36 45 43 33 44

2、42 28 46 34 30 37 44 26 38 44 42 36 37 37 49 39 42 32 36 35按銷售額分組（萬元）按銷售額分組（萬元） 頻數(shù)頻數(shù)頻率頻率% %25-3025-3030-3530-3535-4035-4040-4540-4545-5045-504 46 615159 96 610.010.015.015.037.537.522.522.515.015.0合計合計4040100.0100.0數(shù)據(jù)分布特征的測度1、分布的集中趨勢：1)眾數(shù)：出現(xiàn)頻率最高的值， 用記之。算法(1) 例 1,2,4,4,5,6則1,2,3,3,4,5,6,6,7 則0M40M630

3、0MorM算法(2)dffffffLM)()(1110其中 L為眾數(shù)組的下限值，d為眾數(shù)組的組距， f為眾數(shù)組的頻數(shù)，分別為眾數(shù)前，后一組的頻數(shù)11,ff2)中位數(shù)： 中間位置的數(shù)，用記之。算法(1) 例 1,2,3,4,5,6,7則1,2,3,4,5,6則eM4eM5 . 3243eM算法(2)LdfSMmmNe 12mf其中 L為中位數(shù)所在組的下限值；d為中位數(shù)所在組的組距。為中位數(shù)所在組以前各組的累計頻數(shù)；為中位數(shù)所在組的頻數(shù)；1mS3)均值：1)簡單平均2)加權平均3)調和平均4)加權調和平均5)幾何平均NXXNii1,1NiiiXfX11NiifNiXMiNH11NiXmNiiMii

4、mH11NNMXXXG21其中例考分506060707080809090100人數(shù) 4 7 11 12 8.X,eM求,0M解： 0M80)812()1112(11121082 eM704 221 11 01 1 79.1 X554（65775118512)95842/095.78眾數(shù)、中位數(shù)、均值的比較對稱分布左偏分布右偏分布XMMe00MMXeXMMe02、分布的離散程度：(1)(2)平均離差NXXMNiiD1樣本方差22111NiinXXN(3) 樣本標準差2111NiinXXN（4）極差iiXXminmax例：求1,2,3,4,5的均值，方差。2222221 2 3 4 53,5(1

5、3)(2 3)(3 3)(4 3)(5 3)5 12.5X 解： 數(shù)理統(tǒng)計學的任務數(shù)理統(tǒng)計學的任務 觀察現(xiàn)象,收集資料,創(chuàng)建方法,分析推斷。 統(tǒng)計推斷統(tǒng)計推斷 伴隨著一定概率的推測。其特點是:由“部分”推斷“整體”。 總體總體 研究對象的全體(整體)X。個體個體 每一個研究對象。有限總體有限總體無限總體無限總體1.基本概念基本概念 樣本樣本 由部分個體構成的集合。第第6.16.1節(jié)節(jié) 數(shù)理統(tǒng)計學中的基本概念數(shù)理統(tǒng)計學中的基本概念(X1,X2, Xn 樣本容量樣本容量 樣本中所含個體的數(shù)目n.）注注 樣本觀測值(x1,x2,xn）。簡單隨機樣本：簡單隨機樣本：獨立、同分布性。 注意注意:樣本是一

6、組獨立同總體分布的隨機變量樣本是一組獨立同總體分布的隨機變量. 例如例如 檢驗一批燈泡的質量,從中選擇100只,則總體總體 這批燈泡(有限總體)個體個體 這批燈泡中的每一只 樣本樣本 抽取的100只燈泡(簡單隨機樣本)樣本容量樣本容量 100樣本值樣本值 x1,x2,x100顯然,可以選擇“樣本的函數(shù)”:n1iiXn1X作為燈泡質量的一個衡量指標.總體總體選擇個體選擇個體樣本樣本觀測樣本觀測樣本樣本觀察值樣本觀察值 (數(shù)據(jù)數(shù)據(jù))數(shù)據(jù)處理數(shù)據(jù)處理樣本有關結論樣本有關結論推斷總體性質推斷總體性質 統(tǒng)計統(tǒng)計量量這樣的“不含未知未知參數(shù)的樣本的函數(shù)”稱為統(tǒng)計量統(tǒng)計量。統(tǒng)計量的分布成為抽樣分布抽樣分布.

7、統(tǒng)計的一般步驟統(tǒng)計的一般步驟(2) 樣本均值(4) 修正樣本方差(5)修正樣本標準差(3) 樣本k階中心矩n1iiXn1Xn1i2i2)XX(1n1Sn1i2i)XX(1n1S), 2 , 1()(11iXXnBnikik(1) 樣本k階原點矩), 2 , 1(11iXnAnikik注注21212)(XnXXXniinii常用統(tǒng)計量常用統(tǒng)計量 未知,則(2456)不是統(tǒng)計量。 是來自總體 例例1.1.設nXXX,21),(2N, 的s.r.s,其中n2122221n1i2Xn1n1i2in1n1i2in1n1iin1.XXX62X5X)(4)X(X3)(X2X1i 統(tǒng)計統(tǒng)計量量標準一標準一:無

8、偏性 設 為的一個點估計,若 則稱 為的一個無偏估計無偏估計.,)(E注意注意 無偏估計若存在，則可能不唯一.衡量估計量好壞的標準衡量估計量好壞的標準:標準三標準三:相合性(一致性) 設統(tǒng)計量 是未知參數(shù) 的點估計量,樣本容量為n , 若對任意 則稱 為 的相合估計相合估計,又稱一致估計一致估計.1limpn, 0)0lim(pn或標準二標準二:有效性 設 和 是 的兩個無偏估計,若 稱 比 更有效有效2)()(21DD112例：例： 設X1,X2,X3為來自總體X的簡單隨機樣本,EX=,DX=2,驗證下列的估計量哪個更有效.32133212211X31X32X21,X31X31X31,X21

9、X21解解X21X21EE21165EX65EX31EX32EX21E3213,EXEX31EX31EX31E321221EX21EX21=EX=X21X21DD21121DX41DX41=DX/2=2/2同理, 3/DX91DX91DX91D23212所以21,為無偏估計量,DD212更有效.例例：驗證: 是總體X方差的一個無偏估計; 不是方差的無偏估計.n1i2i2)XX(1n1SniiXXnB122)(1解解)X(nE)X(E1n1ES2n1i2i2n1i2i)XX(n1i2i2i)XXX2X(2n1iin1i2iXnXX2X2n1i2iXnX)X(E1nnEX1nn22)XE(XD)E

10、X(DX1nn22XDDX1nnnDXDX1nn=DX所以,S2為DX的無偏估計量.ES2=DX,122SnnB故221ESnnEBDXn1n 所以, 不是DX的無偏估計量.2B1.矩估計法矩估計法 將總體的各階原點矩用相應階的樣本原點矩替代,布列方程或方程組, 所得到的解, 作為總體未知參數(shù)的點估計的方法. 例例 設總體 , 為取自該總體的樣本, 求未知參數(shù) 的矩估計量. ), 0(UXnXXX,21解解XEX2X2所以參數(shù) 的矩估計量為X2點估計法點估計法(2)2222EEXEXEX 無偏估計例例 設總體的概率密度函數(shù)為 為取自該總體的樣本. 其它, 00,)(6)(3xxxxfnXXX,

11、21求(1)未知參數(shù) 的矩估計量 ;(2).(D解解 (1)306 ()2xxXEXxdx X2所以參數(shù) 的矩估計量為X2XDXDD4)2()2()(4422EXEXnnDXnn5)2(2064222例例:設總體XU(a,b),X1,X2,Xn為取自該總體的樣本,求a,b的矩估計量.解解 因為12)(,22abDXbaEX所以令2211,()niiiEXX DXBXEXn 得方程組222()12abXbaB 解得223,3aXBbXB(1) 似然函數(shù)似然函數(shù)(樣本的聯(lián)合密度函數(shù)樣本的聯(lián)合密度函數(shù)) 設總體X為連續(xù)型，Xf(x;1,2,m), i為待估參數(shù)(i=1,2,m),X1,X2,Xn為來

12、自該總體的樣本,則Xif(xi;1,2,m), (i=1,2,m)（X1,X2,Xn）的聯(lián)合密度函數(shù)為nimimnxfxxxL1212121),.,;(),.,;,.,(似然函數(shù)似然函數(shù))2 2 最大似然估計法最大似然估計法例例 XE(),即0 x00 xe);x(fXx則0 x00 xe);x( fXiixiiin1iin21),x( f);x,.,x ,x(L其它, 00,.,0, 0,211nnixxxxei11ln1lnln,0nniiiidLnL nXXdX 得得 設總體X為離散型離散型,P(X=x)=P(x;1,2,m), i為待估參數(shù)(i=1,2,m),X1,X2,Xn為來自該總

13、體的s.r.s,則P(Xi=xi)=P(xi;1,2,m), (i=1,2,m)（X1,X2,Xn）的聯(lián)合概率函數(shù)為n1im21im21n21),.,;x(P),.,;x,.,x ,x(L(似然函數(shù)似然函數(shù))例例 XP(),即ekkXPk!)(e! x)xX(Pxn1iin21),x(P);x,.,x ,x(Le!x);x(Pixiin1iixe!xi1211ln()lnln( ! !),ln0.nininiiLxx xxnxdLnXd 得得(2) 基本思想基本思想:最大似然估計就是通過樣本值 來求得總體的分布參數(shù),使得 取值為 的概率最大.nXX,1nxx,1nxx,1 若似然函數(shù) 在 取到

14、最大值,則稱 分別為 的 最大似然估計.),.,;x,.,x ,x(Lm21n21m21,.,m21,.,m21,.,最大似然估計最大似然估計:(3) (3) 方法與步驟方法與步驟: :設總體的分布密度(或概率密度)其中 是待估參數(shù). ),; x( fm1m,1 寫出似然函數(shù)(即樣本的聯(lián)合密度函數(shù))n1im1im1n1),;x( f),;x ,x(LL 寫出對數(shù)似然函數(shù)（對似然函數(shù)取對數(shù)）nimixfL11),;(lnln 寫出似然方程miiL,2, 1,0ln 求解似然方程并寫出估計量mii, 3 , 2 , 1,(只有一個待估參數(shù)時求只有一個待估參數(shù)時求 )dLlnd例例:XN(,2),求

15、參數(shù),2的最大似然估計.解解222)x(2e21), x(f222)x(2e21n1i2)x(222ie21),;x,.,x ,x(L2n21n1i2i2)x(21n2e)21(Llnn1i2i22)x(21)21ln(nn1i2i22)x(212ln2n0)(112niix0)x(212nn1i2i42Lln2LlnXXn1n1iiniiniiXXnXn12122)(1)(1注意: 不是無偏估計.2例例:設X服從0,區(qū)間上的均勻分布,參數(shù)0,求的最大似然估計.解解 由題意得:其它001);(xxfX);,.,(21nxxxL其它0,.,0121nnxxxddL01nn無解.基本方法失效.要使

16、L取值最大,應最小,而nxxx,.,021取),.,max(21nxxx此時,L取值最大,所以,最大似然估計為),.,max(21nXXX應用最大似然估計基本思想: L越大越大,樣本觀察值越可能出現(xiàn)樣本觀察值越可能出現(xiàn).),.,max(21nxxx 例例 求參數(shù)求參數(shù)為p的0-1分布的最大似然估計.解解P(X=0)=1-pP(X=1)=pP(X=m)=pm(1-p)1-m(m=0,1)P(X=x)=px(1-p)1-xn1ix1xii)p1(p)p1ln()xn(pln)x(n1iin1iin1iin1iixnx)p1(p0111pxnpxniinii0)()1 (11niiniixnpxp)

17、p;x,.,x ,x(Ln21LlndpLlnd解得niixnp11最大似然估計為XXn1pn1ii注意: 為p的無偏估計量.X例例 設總體X其他,01, 10 ,) 1()(xxxf解解 由題意得:);x,.,x ,x(Ln21當 時， )n,.,2 , 1i (1x0iLlnx)1ln(n1iinn1iixln)1ln(ndLlnd0 xln1nn1ii所求最大似然估計為n1iiXlnn1其它0n,.,2 , 1i , 1x0 x)1(in1ii其中 是未知參數(shù). 是來自總體的一個容量為 n 的s.r.s,求 的最大似然估計nXX,1).(1neE及n1iiXlnn1所以nnnEXXXXE

18、eE)()()(211另一方面21) 1(101dxxEX故nneE)21()(1設總體XN(,2),X1,X2,Xn為取自該總體X的樣本.(1)四大分布及其分位數(shù)四大分布及其分位數(shù) 標準正態(tài)分布及其下側分位數(shù)標準正態(tài)分布及其下側分位數(shù)若P(Zz1-)=1-,則稱z1-為標準正態(tài)分布的下側側1-分位數(shù)分位數(shù).1()1z Z1- X(x)其中nXZ定義定義 設XN(,2),則 N(0,1),對任意01,正態(tài)總體下的常用統(tǒng)計量及其分布正態(tài)總體下的常用統(tǒng)計量及其分布例例:在總體XN(12,4)中抽取容量為5的樣本X1,X2,X5,求下列概率:)1|12(| XP (1)因為),54,12( NX），

19、（所以105412NX ) 1|12(|XP5415412XP=2(1.118)-1=0.7364解解即: n 個相互獨立同標準正態(tài)分布的隨機變量的平方和X的分布為自由度為 n 的 分布.2)(2nmYX性質性質 X1,X2,Xn獨立,XiN(0,1),(i=1,2,n),則)(212nXXnii定義定義 分布具有可加性可加性,即 X,Y獨立,X (m),Y (n),則222分布的下側分位數(shù)分布的下側分位數(shù)2 分布的下側分位數(shù)分布的下側分位數(shù)Xf(x)21( )n (1)若P(X)=1-,則21( )n (1)若P(X1)=0.025, P(X2)=0.05,求1,2.解解 210.975(1

20、0)20.483220.05(10)3.247定義定義 設 ,對于給定的(0 )=,則稱 為自由度為n的 分布的下側側1-分位數(shù)分位數(shù).)n(X2221( )n 21( )n 2 2 例例 設 是取自總體N(0,4)的簡單隨機樣本 時, ).2(2XXa XXbXXa 221234(2)(34)=_,b=_當當4321,XXXX解解由題意得)1 ,0(N)X4X3(b)1 ,0(N)X2X(a43211)X4X3(bD1)X2X(aD4321ab 1201100 設隨機變量 ,隨機變量 Y ,且它們互相獨立,則稱隨機變量 的分布為自由度是 n 的t 分布,記作) 1 , 0( NX)(2nnY

21、XT/).(ntT定義定義t t分布的密度曲線分布的密度曲線: :Xf(x) 特點特點 關于y軸對稱;隨著自由度的逐漸增大,密度曲線逐漸接近于標準正態(tài)密度曲線. t t分布及其下側分位數(shù)分布及其下側分位數(shù)服從( )分布,參數(shù)為( ). 例例: :設隨機變量X 和Y 相互獨立且都服從正態(tài)分布 ,而 和分別是來自總體 X 和 Y 的 s.r.s,則統(tǒng)計量 )9 ,0(N91,XX 91,YY 29Y21Y9X1XUt t9 9解解),1 ,0(NX91X91ii)1 ,0(N3Yi故)9(91)3(2912912iiiiYYY 與 獨立,YX所以 )9(9/tYXU t分布的下側分位數(shù)分布的下側分

22、位數(shù)例例:設t1-(n)為t(n)的下側1-分位數(shù)則P(T t1-(n)= ,P(T t1-(n)= .1( )tn Xf(x)1-2設Xt(n),對于給定(01),若P(t(n) )=1-,則稱 為t(n)分布的下側側1-分位數(shù)分位數(shù).1( )tn 1( )tn (4)設隨機變量 隨機變量 且它們相互獨立,則稱隨機變量 的分布為自由度是 的 F 分布。),(12nX),(22nY21/nYnXF ),(21nn(1)若P(F)=1-,則P(1/F1/)=1-1211(,)Fn n),(1),(1221nnFXnnFX則若F F分布的分位數(shù)分布的分位數(shù)Xf(x)112(,)Fn n 設 是來自

23、總體 的 s.r.s, 分別是樣本均值和修正樣本方差,則 nXXX,21),(2NX2, SX)1 ,0(Nn/X222 (1)/(1)/(1)XXnt nSnnSn);1() 1(222nSn抽樣分布基本定理抽樣分布基本定理1),(2nNX2)3) 與 相互獨立.2SX 4)設XN(1,12),Y N(2,22),從中分別抽取容量為n1,n2的樣本,且兩組樣本獨立,則)1 , 0(Nnn)()YX(22212121)2nn( tn1n1S)(YX2121p215）當 時,記2221222112212(1)(1)2pnSnSSnn ) 1, 1(/)62122222121nnFSS這樣的“不含

24、未知未知參數(shù)的樣本的函數(shù)”稱為統(tǒng)計量統(tǒng)計量。統(tǒng)計量的分布成為抽樣分布抽樣分布.小結:(2) 樣本均值(4) 修正樣本方差(5)修正樣本標準差(3) 樣本k階中心矩n1iiXn1Xn1i2i2)XX(1n1Sn1i2i)XX(1n1S), 2 , 1()(11iXXnBnikik(1) 樣本k階原點矩), 2 , 1(11iXnAnikik注注21212)(XnXXXniinii常用統(tǒng)計量常用統(tǒng)計量標準一標準一:無偏性 設 為的一個點估計,若 則稱 為的一個無偏估計無偏估計.,)(E注意注意 無偏估計若存在，則可能不唯一.衡量估計量好壞的標準衡量估計量好壞的標準:標準三標準三:相合性(一致性) 設統(tǒng)計量 是未知參數(shù) 的點估計量,樣本容量為n , 若對任意 則稱 為 的相合估計相合估計,又稱一致估計一致估計.1limpn, 0)0lim(pn或標準二標準二: