換元積分法第二類換元法

1、§4.2 換元積分法（第二類）授課題目（章節(jié)）：§4.2 換元積分法 （第二類換元積分法）教學(xué)目的與要求：1.了解第二類換元法的基本思想2.掌握幾種典型題的第二類換元積分法解法教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)：第二換元法中的三角代換及根式代換難點(diǎn)：積分后的結(jié)果進(jìn)行反代換講授內(nèi)容：第一類換元積分法的思想是：在求積分時(shí), 如果函數(shù)g(x)可以化為的形式, 那么 所以第一換元積分法體現(xiàn)了“湊”的思想.把被積函數(shù)湊出形如函數(shù)來.對于某些函數(shù)第一換元積分法無能為力，例如.對于這樣的無理函數(shù)的積分我們就得用今天要學(xué)習(xí)的第二類換元積分法。第二類換元的基本思想是選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q將無理函數(shù)的積分化為有

2、理式的積分。即若上面的等式右端的被積函數(shù)有原函數(shù)，則,然后再把中的還原成，所以需要一開始的變量代換有反函數(shù)。定理2 設(shè)是單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，且，又設(shè)有原函數(shù)，則分析 要證明，只要證明的導(dǎo)數(shù)為， ， 證明 單調(diào)、可導(dǎo)，存在反函數(shù)，且是是一個(gè)原函數(shù).第二換元法，常用于如下基本類型類型1：被積函數(shù)中含有（）,可令（并約定）則，可將原積分化作三角有理函數(shù)的積分.例1 求 解 令，則.借助下面的輔助三角形把，用表示. 例2 求解 令，則，類型2：被積函數(shù)中含有可令 并約定，則； ；可將原積分化為三角有理函數(shù)的積分.例3 求解 令，則，. 例4 求解 令，則，例5求 （分母是二次質(zhì)因式的平方）解 令，則，練

3、習(xí)： 求（第二換元積分法分）解 ，令則 類型3 被積分函數(shù)中含有 ，當(dāng)時(shí)，可令，并約定，則，當(dāng)時(shí)，可令，則，可將原積分化為三角有理函數(shù)的積分。例6 求解 被積函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，令，則，有 .當(dāng)時(shí)，令，則有 時(shí)，例7 求解 時(shí)，令,則,，有，時(shí)，令，則有無論或均有注意：(1)以上三種三角代換，目的是將無理式的不定積分化為三角有理函數(shù)的不定積分(2)在利用第二類換元積分法時(shí)將積分的結(jié)果還原為的函數(shù)時(shí)，常常用到同角三角函數(shù)的關(guān)系，一種較簡單和直接的方法是作“輔助三角形” (3)在既可用第一換元法也可用第二換元法的時(shí)候，用第一換元法就使計(jì)算更為簡潔.例8 求解法一（用第一換元法）時(shí)，時(shí)，令則兩式合并解法二 （第二換元法）（1）當(dāng)時(shí)，,則,.（2）當(dāng)時(shí)，令由(1)(2)兩種情況可得歸納總結(jié)1、第二類換元積分法的思想若中的被積函數(shù)為無理函數(shù)，可以選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，將無理函數(shù)的積分化為有理式的積分.2、第二類換元積分法適用的被積函數(shù)類型類型1：被積函數(shù)中含有（）,可令（并約定）則；可將原積分化作三角有理函數(shù)的積分.類型2：被積函數(shù)中含有可令 并約定，則； ；可將原積分化為三角有理函數(shù)的積分.類型3 被積分函數(shù)中含有 ，當(dāng)時(shí)，可令，并約定，則，當(dāng)時(shí)，可令，則，可將原積分化為三角有理函數(shù)的積