八年級下冊18.2 特殊平行四邊形 講義

1、.【知識體系】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、矩形1定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.2性質(zhì)：1具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2四個(gè)角都是直角；3對角線互相平分且相等； 4中心對稱圖形，軸對稱圖形.3面積：斷定：1 有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形. 2對角線相等的平行四邊形是矩形. 3有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.要點(diǎn)詮釋：由矩形得直角三角形的性質(zhì)：1直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；2直角三角形中，30度角所對應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半要點(diǎn)二、菱形1. 定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2性質(zhì)：1具有平行四邊形的一切性質(zhì)； 2四條邊相等； 3兩條對角線互相平分且垂直，并且每一條對角線平分

2、一組對角； 4中心對稱圖形，軸對稱圖形.3面積：4斷定：1一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；2對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；3四邊相等的四邊形是菱形.要點(diǎn)四、正方形1. 定義：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形.2性質(zhì)：1對邊平行； 2四個(gè)角都是直角；3四條邊都相等；4對角線互相垂直平分且相等，對角線平分對角；5 兩條對角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；6中心對稱圖形，軸對稱圖形.3面積：邊長×邊長×對角線×對角線4斷定：1有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；2一組鄰邊相等的矩形是正方形；3對角線相等的菱形是正方形；4對角線互相垂直的矩形是正方形；

3、5對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；6四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形類型一、矩形1、：如圖，D是ABC的邊AB上一點(diǎn)，CNAB，DN交AC于點(diǎn)M，MAMC求證：CDAN；假設(shè)AMD2MCD，求證：四邊形ADCN是矩形【思路點(diǎn)撥】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出DACNCA，然后利用“角邊角證明AMD和CMN全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得ADCN，然后斷定四邊形ADCN是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的對邊相等即可得證； 根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和推出MCDMDC，再根據(jù)等角對等邊可得MDMC，然后證明ACDN，再根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形即可得證【答案

4、與解析】證明：CNAB，DACNCA，在AMD和CMN中，AMDCMNASA，ADCN，又ADCN，四邊形ADCN是平行四邊形，CDAN；AMD2MCD ，AMDMCDMDC，MCDMDC，MDMC，由知四邊形ADCN是平行四邊形，MDMNMAMC，ACDN，四邊形ADCN是矩形【總結(jié)升華】要斷定一個(gè)四邊形是矩形，通常先斷定它是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形構(gòu)成矩形的條件，斷定有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等2、如下圖，在矩形ABCD中，AB6，BC8將矩形ABCD沿CE折疊后，使點(diǎn)D恰好落在對角線AC上的點(diǎn)F處，求EF的長.【思路點(diǎn)撥】要求EF的長，可以考慮把EF放入RtAEF中，由折疊可知CDCF

5、，DEEF，易得AC10，所以AF4，AE8-EF，然后在RtAEF中利用勾股定理求出EF的值 【答案與解析】解：設(shè)EF， 由折疊可得：DEEF，CFCD6， 又 在RtADC中， AFACCF4，AEADDE8 在RtAEF中， 即， 解得：3 EF3【總結(jié)升華】在矩形折疊問題中往往根據(jù)折疊找出相等的量，然后把未知邊放在適宜的直角三角形中，再利用勾股定理進(jìn)展求解舉一反三：【變式】把一張矩形紙片矩形ABCD按如圖方式折疊，使頂點(diǎn)B和點(diǎn)D重合，折痕為EF假設(shè)AB 3，BC 5，那么重疊部分DEF的面積是_【答案】5.1.提示：由題意可知BFDF，設(shè)FC，DF5，在RtDFC中，解得，BFDE3.

6、4，那么×3.4×35.1.類型二、菱形3、如圖,在菱形ABCD中，BAD80°，AB的垂直平分線交對角線AC于點(diǎn)F，E為垂足，連結(jié)DF，那么CDF等于 .A.80° B.70° C.65° D.60°【答案】D；【解析】解：連結(jié)BF，由FE是AB的中垂線，知FBFA，于是FBAFAB40°.CFB40°40°80°,由菱形ABCD知，DCCB，DCFBCF，CFCF，于是DCFBCF，因此CFDCFB80°,在CDF中, CDF180°40°80

7、6;60°.【總結(jié)升華】運(yùn)用菱形的性質(zhì)可以證明線段相等、角相等、線段的平行及垂直等問題，關(guān)鍵是要記住它們的斷定和性質(zhì). 舉一反三：【變式】用兩張等寬的紙帶穿插重疊地放在一起，重合的四邊形ABCD是菱形嗎？假如是菱形請給出證明，假如不是菱形請說明理由 【答案】四邊形ABCD是菱形；證明：由ADBC，ABCD得四邊形ABCD是平行四邊形,過A，C兩點(diǎn)分別作AEBC于E，CFAB于FCFBAEB90° AECF紙帶的寬度相等ABECBF，RtABERtCBF,ABBC,四邊形ABCD是菱形. 類型三、正方形4、如圖，一個(gè)含45°的三角板HBE的兩條直角邊與正方形ABCD

8、的兩鄰邊重合，過E 點(diǎn)作EFAE交DCE的角平分線于F點(diǎn)，試探究線段AE與EF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.【思路點(diǎn)撥】AEEF根據(jù)正方形的性質(zhì)推出ABBC，BADHADDCE90°，推出HAECEF，根據(jù)HEB是以B為直角的等腰直角三角形，得到BHBE，H45°，HACE，根據(jù)CF平分DCE推出HFCE，根據(jù)ASA證HAECEF即可得到答案【答案與解析】 探究：AEEF 證明：BHE為等腰直角三角形, HHEB45°，BHBE. 又CF平分DCE，四邊形ABCD為正方形， FCEDCE45°， HFCE. 由正方形ABCD知B90°，HAE90&#

9、176;DAE90°AEB, 而AEEF，F(xiàn)EC90°AEB， HAEFEC. 由正方形ABCD知ABBC，BHABBEBC， HACE, AHEECF ASA, AEEF.【總結(jié)升華】充分利用正方形的性質(zhì)和題目中的條件，通過證明全等三角形來證明線段相等.舉一反三：【變式】如下圖，E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，連接EF、FG、GH、HE，那么四邊形EFGH為_形 1當(dāng)四邊形滿足_條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形 2當(dāng)四邊形滿足_條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形 3當(dāng)四邊形滿足_條件時(shí)，四邊形EFGH是正方形 在橫線上填上適宜的條件，并說明你所填條件的合理性【答案】四邊

10、形EFGH為平行四邊形；解：1ACBD，理由：如圖，四邊形ABCD的對角線ACBD，此時(shí)四邊形EFGH為平行四邊形，且EHBD，HGAC，得EHGH，故四邊形EFGH為菱形2ACBD，理由：如圖，四邊形ABCD的對角線互相垂直，此時(shí)四邊形EFGH為平行四邊形易得GHBD，即GHEH，故四邊形EFGH為矩形3ACBD且ACBD，理由：如圖，四邊形ABCD的對角線相等且互相垂直，綜合12可得四邊形EFGH為正方形 此題是以平行四邊形為前提，加上對角線的特殊條件來斷定特殊的平行四邊形，加上鄰邊相等為菱形，加上對角線互相垂直為矩形，綜合得到正方形幾種特殊四邊形性質(zhì)、斷定四邊形性 質(zhì)判 定邊角對角線矩形

11、對邊平行且相等四個(gè)角是直角相等且互相平分有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；對角線相等的平行四邊形是矩形菱形四條邊相等對角相等，鄰角互補(bǔ)垂直且互相平分，每一條對角線平分一組對角有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；四條邊都相等的四邊形是菱形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 .正方形四條邊相等四個(gè)角是直角相等、垂直、平分，并且每一條對角線平分一組對角鄰邊相等的矩形是正方形對角線垂直的矩形是正方形有一個(gè)角是直角的菱形是正方形對角線相等的菱形是正方形類型一、矩形的斷定1、如圖，矩形的周長為，兩條對角線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，分別交于點(diǎn)，連結(jié)，那么的周長為 A5cmB8cmC

12、9cmD10cm【解析】D舉一反三【變式】如圖，矩形ABCD沿對角線BD折疊，記點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C，假設(shè)ADC20°，那么BDC的度數(shù)為_【答案與解析】55°【變式2】矩形的邊長為10和15,其中一個(gè)內(nèi)角平分線分長邊為兩部分,這兩部分的長度分別為 A. 6和9 B. 5和10 C. 4和11 D. 7和8【解析】【答案】B【變式3】四邊形ABCD的對角線交于點(diǎn)O，在以下條件中，不能說明它是矩形的是 A. AB=CD，AD=BC，BAD=90° B.BAD=ABC =90°,BAD+ADC=180°C、BAD=BCD,ABC+ADC=180

13、6; D. AO=CO,BO=DO,AC=BD【答案】C2、在平行四邊形中，過點(diǎn)作于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊上，連接，。1求證：四邊形是矩形。2假設(shè),求證：平分?！窘馕觥?證明：1因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以DC/AB，即DF/BE，又因?yàn)镈F=BE，所以四邊形DEBF為平行四邊形。又因?yàn)镈EAB，所以DEB=90，所以平行四邊形DEBF為矩形。2因?yàn)樗倪呅蜠EBF為矩形，所以BFC=90。在BFC中，CF=3，BF=4，根據(jù)勾股定理得，所以根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，AD=BC=5，所以AD=DF=5，所以DAF=DFA。因?yàn)镈C/AB，所以DFA=FAB，所以DAF=FAB，即AF平分DAB?！九e

14、一反三】【變式】如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，連接AE并延長交DC的延長線于點(diǎn)F1求證：AB=CF；2當(dāng)BC與AF滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形ABFC是矩形，并說明理由【解析】解答：1證明：四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，AB=CD，BAE=CFE，ABE=FCE，E為BC的中點(diǎn)，EB=EC，ABEFCE，AB=CF.2當(dāng)BC=AF時(shí)，四邊形ABFC是矩形。理由如下：ABCF，AB=CF，四邊形ABFC是平行四邊形，BC=AF，四邊形ABFC是矩形。3、如圖，ABC中，點(diǎn)O是AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MNBC，設(shè)MN交BCA的平分線于點(diǎn)E，交BCA的外角平分線于點(diǎn)F， 1

15、求證：OE=OF； 2當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形，并證明你的結(jié)論?！窘馕觥颗e一反三【變式】如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，以AD為邊作等邊三角形ADE.1求CAE的度數(shù)；2取AB邊的中點(diǎn)F，連結(jié)CF、CE，試證明四邊形AFCE是矩形【解析】【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)以及矩形的斷定方法矩形的斷定定理：1有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；2對角線相等的平行四邊形是矩形； 3有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.類型二、菱形的斷定1. 如圖在ABC中，AD平分BAC交BC于D點(diǎn)，過D作DEAC交AB于E點(diǎn), 過D作DFAB交AC于F點(diǎn). 求證：1四邊形AEDF是平行四邊形 ；22

16、3 ；3四邊形AEDF是菱形。【解析】舉一反三【變式】：如圖ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于E、F求證：四邊形AFCE是菱形【解析】證明：AEFC.EAC=FCA.在AOE與COF中,EO=FO，AOECOFASA.四邊形AFCE為平行四邊形，又EFAC，四邊形AFCE為菱形；2. 如圖，ABC中，AD是邊BC上的中線，過點(diǎn)A作AEBC，過點(diǎn)D作DEAB，DE與AC、AE分別交于點(diǎn)O、點(diǎn)E，連接EC1求證：AD=EC；2當(dāng)BAC=時(shí)，求證：四邊形ADCE是菱形【解析】【方法總結(jié)】舉一反三【變式】如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一點(diǎn)，BE交AC于

17、F，連接DF1證明：BAC=DAC，AFD=CFE2假設(shè)ABCD，試證明四邊形ABCD是菱形；3在2的條件下，試確定E點(diǎn)的位置，EFD=BCD，并說明理由類型三、正方形的斷定與性質(zhì)1、如圖，在正方形ABCD中，P是AD上任一點(diǎn)，PEAC,PFBD,點(diǎn)E、F分別是垂足，BD+AC=14，那么PE+PF=_【答案】3.5三角形APE為等腰直角三角形，所以PE+PF的長為對角線長度一半舉一反三【變式1】在正方形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，AE把正方形分成兩部分，且，AB=6, 那么AE=_【答案】【變式2】在四邊形ABCD中，O是對角線的交點(diǎn)，能斷定這個(gè)四邊形是正方形的是 AAC=BD，ABCD，A

18、B=CD B. ADBC，A=C C. AO=BO=CO=DO，ACBD D. AO=CO，BO=DO，AB=BC【答案】C【變式3】如下圖，正方形的面積為12，是等邊三角形，點(diǎn)在正方形內(nèi)，在對角線上有一點(diǎn)，使的和最小，那么這個(gè)最小值為 A B C3 D【答案】A【解析】2. ：如下圖，在正方形ABCD和正方形AEFG有一具公共頂點(diǎn)A，試說明：DGBE?！窘馕觥颗e一反三【變式1】如下圖，在等腰直角三角形ABC中，C90°，A、B的平分線交于點(diǎn)D，DEBC于E，DFAC于F，試說明四邊形CEDF為正方形?！窘馕觥俊咀兪?】如圖，正方形ABCD中對角線AC、BD相交于O，E為AC上一點(diǎn)，

19、AGEB交EB于G，AG交BD于F。證明OE=OF【解析】動(dòng)點(diǎn)平行四邊形解題一般步驟：1設(shè)未知數(shù)，一般以時(shí)間為未知數(shù)，用含未知數(shù)的式子表示出線段長； 2列等式。尋找不同線段的等量關(guān)系注意題目中的多解性，列一元方程，解方程； 3作答：根據(jù)未知數(shù)做答并檢驗(yàn)。 【典型例題】1.如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，B90°，AB8 cm，AD24 cm，BC26 cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1 cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以3 cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停頓運(yùn)動(dòng)從運(yùn)動(dòng)開場，使PQCD和PQCD，分別需經(jīng)過多少時(shí)間？為什么？解：設(shè)經(jīng)過t

20、s時(shí)，PQCD，此時(shí)四邊形PQCD為平行四邊形PD24tcm，CQ3t cm，24t3t，t6.當(dāng)t6 s時(shí)，PQCD，且PQCD.設(shè)經(jīng)過t s時(shí)，PQCD，分別過點(diǎn)P，D作BC 邊的垂線PE，DF，垂足分別為E，F(xiàn).當(dāng)CFEQ 時(shí)，四邊形PQCD為梯形腰相等或平行四邊形BADFB90°，四邊形ABFD是矩形ADBF.AD24 cm，BC26 cm，CFBCBF2 cm.當(dāng)四邊形PQCD 為梯形腰相等時(shí)，PD2BCADCQ，24t43t.t7.當(dāng)t7 s 時(shí)，PQCD.當(dāng)四邊形PQCD 為平行四邊形時(shí)，由知當(dāng)t6 s時(shí)，PQCD.綜上所述，當(dāng)t6 s時(shí)，PQCD；當(dāng)t6 s或t7 s

21、時(shí)，PQCD.【舉一反三】【變式】如圖,在四邊形ABCD中,AD/BC,且AD>BC,BC=6cm,點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)的位置同時(shí)出發(fā),點(diǎn)P以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q以2cm/s的速度由點(diǎn)C出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).試探究:幾秒后四邊形ABQP是平行四邊形?【解析】【變式2】如圖，矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于O點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)不與點(diǎn)D重合，PO的延長線交BC于Q點(diǎn)1求證：四邊形PBQD為平行四邊形；2假設(shè)AB3 cm，AD4 cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1 cm/s的速度向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s，問四邊形PBQD可以成為菱形嗎？假如能，求出相應(yīng)的t值；

22、假如不能，說明理由解：1證明：四邊形ABCD是矩形，ADBC，ODOB.PDOQBO.在POD和QOB中， PODQOBASAOPOQ.又OBOD，四邊形PBQD為平行四邊形2點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)運(yùn)動(dòng)t s時(shí)，APt cm，PD4tcm.當(dāng)四邊形PBQD是菱形時(shí)，PBPD4tcm.四邊形ABCD是矩形，BAP90°.在RtABP中，AB3 cm，AP2AB2PB2，即t2324t2，解得t.點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 s時(shí)，四邊形PBQD為菱形老師：本專題你有哪些收獲和感悟？課后作業(yè)一選擇題1. 如圖，ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，DE平分ADC交BC邊于點(diǎn)E，那么BE的長等于 A.2cm

23、B.1cm C.1.5cm D.3cm2在口ABCD中，AB3，AD4，A120°，那么口ABCD的面積是 A. B. C. D.3.如下圖，將一張矩形紙ABCD沿著GF折疊F在BC邊上，不與B，C重合，使得C點(diǎn)落在矩形ABCD的內(nèi)部點(diǎn)E處，F(xiàn)H平分BFE，那么GFH的度數(shù)滿足 A90°180° B90° C0°90° D隨著折痕位置的變化而變化 4. 在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師和同學(xué)們判斷一個(gè)四邊形門框是否為矩形，下面是某合作學(xué)習(xí)小組的4位同學(xué)擬定的方案，其中正確的選項(xiàng)是 A測量對角線是否互相平分 B測量兩組對邊是否分別相等C測量一組對角

24、是否都為直角 D測量其中三個(gè)角是否都為直角5.正方形具備而菱形不具備的性質(zhì)是 A. 對角線相等； B. 對角線互相垂直；C. 每條對角線平分一組對角； D. 對角線互相平分.6. 如下圖，口ABCD的周長為16，AC、BD相交于點(diǎn)O，OEAC，交AD于點(diǎn)E，那么DCE的周長為 A4 B6 C8 D10 7. 矩形對角線相交成鈍角120°，短邊長為2.8，那么對角線的長為 A2.8 B1.4C5.6D11.28. 如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E為AB的中點(diǎn)，且OE，那么菱形ABCD的周長為 ABCD二.填空題9如圖，假設(shè)口ABCD與口EBCF關(guān)于B，C所在直線對

25、稱，ABE90°，那么F_10矩形的兩條對角線所夾的銳角為60°，較短的邊長為12，那么對角線長為_.11如圖，菱形ABCD的邊長為2，ABC45°，那么點(diǎn)D的坐標(biāo)為_12.如圖，ABCD中，AC=AD，BEAC于E.假設(shè)D=70°,那么ABE= °.13.如圖, 有一塊邊長為4的正方形塑料模板ABCD，將一塊足夠大的直角三角形的直角頂點(diǎn)落在點(diǎn)A，兩條直角邊分別與CD交于點(diǎn)F，與CB的延長線交于點(diǎn)E，那么四邊形AECF的面積是 _.14菱形ABCD的面積是12，對角線AC4，那么菱形的邊長是_15.菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足為E，A

26、B那么，菱形ABCD的面積是_，對角線BD的長是_ 16. 如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，假設(shè)AOD=120°，AB=1，那么AC= ,BC = .三.解答題17. 如圖，在口ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O，AEBC于E，EO交AD于F，求證：四邊形AECF是矩形18.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，AE=AD，DFAE于F，連接DE證明：DF=DC19. ：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC和CD上，AE AF1求證：BE DF；2連接AC交EF于點(diǎn)O，延長OC至點(diǎn)M，使OM OA，連接EM、FM判斷四邊形AEMF是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論【答案與解析】一.選擇題1【答案】B；2【答