第5章幾何變換

1、第5章 幾何變換 二維幾何變換 三維幾何變換 二維幾何變換 基本變換 矩陣表示和齊次坐標(biāo) 復(fù)合變換 其它變換 坐標(biāo)系間的變換 仿射變換 變換的光柵方法 基本變換 平移將物體沿直線路徑從一個(gè)坐標(biāo)位置到另一個(gè)坐標(biāo)位置的重定位平移是不產(chǎn)生變形而移動(dòng)物體的剛體變換 旋轉(zhuǎn)將物體沿xy平面內(nèi)的圓弧路徑重定位 縮放縮放變換改變物體的尺寸矩陣表示 平移 x x dx y y dy = +P(x,y)P(x,y)(dx,dy)=XY旋轉(zhuǎn)cos sinsin cos P(x,y)P(x,y)rrX=rcos(a+) =r(cosa cos - sina sin)=Xcosa - YsinaY=rsin(a+) =

2、r(sina cos + cosa sin)=Xsina + Yconaa二維旋轉(zhuǎn)XY= XY縮放 x sx 0 y 0 syP(x,y)P(x,y)二維縮放以原點(diǎn)為基準(zhǔn)點(diǎn)的縮放矩陣表示和齊次坐標(biāo) 平移 P=T (dx, dy) P 旋轉(zhuǎn) P=R() P 縮放 P=S（Sx，Sy）P 逆變換XY1=XY11 0 dx0 1 dy0 0 1cosa -sina 0 sina cosa 0 0 0 1XY1=XY1XY1=Sx 0 00 Sy 00 0 1XY1齊次坐標(biāo)表示：(X,Y) (Xh,Yh,h) (hX,hY,h) (X,Y,1)復(fù)合變換 設(shè)連續(xù)兩次的變換,變換矩陣為M1,M2 則復(fù)合變

3、換矩陣M=M2 M1 ,P= M2 M1 P; P=M P 連續(xù)兩次平移 連續(xù)兩次縮放 連續(xù)兩次旋轉(zhuǎn) 繞任意選擇的基準(zhǔn)點(diǎn)(x,y)的旋轉(zhuǎn) 通用固定點(diǎn)縮放 通用定向縮放 復(fù)雜任意變換 (tx1,ty1)(tx,ty)(tx2,ty2)連續(xù)兩次平移XY1=XY11 0 tx20 1 ty20 0 11 0 tx10 1 ty10 0 11 0 tx1+tx20 1 ty1+ty20 0 1=XY1tx=tx2+tx1ty=ty2+ty1連續(xù)兩次縮放1 2 4sx = sx1.sx2sy = sy1.sy2XY1=sx2 0 00 sy2 00 0 1XY1sx1 0 00 sy1 00 0 1=X

4、Y1sx1.sx2 0 0 0 sy1.sy2 0 0 0 1sx1=sx2 =2連續(xù)兩次旋轉(zhuǎn)cosa2 -sina2 0 sina2 cosa2 0 0 0 1cosa1 -sina1 0 sina1 cosa1 0 0 0 1cos(a1+a2) -sin(a1+a2) 0 sin(a1+a2) cos(a1+a2) 0 0 0 1=a1a2R(2) R(1) =R(1+2) P=R (1+2)P繞任意選擇的基準(zhǔn)點(diǎn)(x,y)的旋轉(zhuǎn)：平移物體使基準(zhǔn)點(diǎn)位置被移動(dòng)到坐標(biāo)原點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)平移物體使基準(zhǔn)點(diǎn)回到其原始位置平移物體使固定點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)縮放用步驟1的反向平移將物體移回原始位

5、置通用固定點(diǎn)縮放 通用定向縮放沿s1方向縮放步驟：旋轉(zhuǎn)，縮放，平移s1s2復(fù)雜任意變換 若干次簡(jiǎn)單變換合成一次復(fù)雜變換 一次復(fù)雜變換往往可以分解成若干次簡(jiǎn)單變換的有序組合通用復(fù)合變換和計(jì)算效率P=M3M2M1P 每點(diǎn)12 次乘法,12次加法M=M3M2M1 24次乘法,16次加法P=MP 每點(diǎn)4次乘法,4次加法XY1=rsxx rsxy trsx rsyx rsyy trsy 0 0 1XY1其它變換 反射反射是產(chǎn)生物體的鏡像的一種變換 任意直線反射 任意點(diǎn)反射 -1 0 0 0 1 0 0 0 11 0 00 -1 00 0 1-1 0 0 0 -1 0 0 0 1Y軸反射X軸反射原點(diǎn)反射

6、錯(cuò)切錯(cuò)切是一種會(huì)使物體形狀發(fā)生變化的變換1 shx 00 1 00 0 11 0 0shy 1 00 0 11 shx 0shy 1 00 0 1x=x+ shx yy=yy=y+shyxx=xx=x+ shx yy=y+shyxxxyy 1.010001xxrefshsh y-10010001xsh 仿射變換 形式為 x=axx x + axy y + bx y=ayx x + ayy y + by的坐標(biāo)變換稱為二維仿射變換。 平行線轉(zhuǎn)換成平行線,有限點(diǎn)轉(zhuǎn)換成有限點(diǎn) 平移、旋轉(zhuǎn)、縮放、反射和錯(cuò)切是二維仿射變換的特例 任何常用的二維仿射變換總可以表示為這五種變換的組合幾何變換的光柵方法 光柵操

7、作 操縱長方形象素?cái)?shù)組的光柵功能 象素值的塊移動(dòng)(bitBlt) 將一塊象素從一個(gè)位置移到另一位置 典型光柵功能：copy 將象素塊從一個(gè)光柵區(qū)域移到另一區(qū)域；read 將一個(gè)象素塊存入設(shè)定的數(shù)組中；write 將象素?cái)?shù)組傳送到幀緩沖器中的某位置。 組合象素值的方法replace模式布爾操作(與、或和異或)二進(jìn)制運(yùn)算操作 90度倍數(shù)的旋轉(zhuǎn):旋轉(zhuǎn)像素值陣列 非90度倍數(shù)的旋轉(zhuǎn) 計(jì)算平均復(fù)蓋象素 象素塊的縮放三維空間的幾何變換 1.三維平移、縮放和旋轉(zhuǎn) 平移 縮放xyz1xyz1=P=TPxyz1sx 0 0 00 sy 0 00 0 sz 00 0 0 1xyz1=P=SP1 0 0 tx0 1

8、 0 ty 0 0 1 tz 0 0 0 1 一般比例變換 以任意點(diǎn)（xf,yf,zf)為中心的縮放將該點(diǎn)平移到原點(diǎn) T=縮放(以原點(diǎn)為中心) S=平移回原處 T-1 T-1 S T= 1 0 0 -xf0 1 0 - yf 0 0 1 - zf 0 0 0 1sx 0 0 00 sy 0 00 0 sz 00 0 0 1Sx 0 0 (1-Sx) xf0 Sy 0 (1-Sy) yf 0 0 Sz (1-Sz) zf 0 0 0 1 三維旋轉(zhuǎn) 旋轉(zhuǎn)的正方向 復(fù)合矩陣 M = T-1ST =xyz1cosa 0 sina 0 0 1 0 0-sina 0 cosa 0 0 0 0 1xyz1=

9、 P=RyPxyz1 1 0 0 0 0 cosa -sina 0 0 sina cosa 0 0 0 0 1xyz1= P=RxP繞Y軸旋轉(zhuǎn)繞X軸旋轉(zhuǎn)xyz1cosa -sina 0 0sina cosa 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1xyz1=P=RzP繞Z軸旋轉(zhuǎn)一般三維旋轉(zhuǎn)繞任意軸旋轉(zhuǎn)繞任意軸旋轉(zhuǎn) 角角 平移使旋轉(zhuǎn)軸過原點(diǎn) T 繞X軸旋轉(zhuǎn)使旋轉(zhuǎn)軸落到XZ平面 Rx 繞 Y軸旋轉(zhuǎn)使旋轉(zhuǎn)軸與Z軸重合 Ry 繞Z軸旋轉(zhuǎn)指定角 (Rz() Ry-1 Rx-1 T-1M=T-1.Rx-1. Ry-1.Rz().Ry.Rx.T 旋轉(zhuǎn)軸 軸單位矢量 平移 T= 旋轉(zhuǎn)任意軸與Z軸重合 1。繞X軸

10、轉(zhuǎn)角，至u” 2。繞Y軸轉(zhuǎn)角，至z軸 1 0 0 -xf0 1 0 -yf 0 0 1 -zf 0 0 0 1 u=(0,b,c) uz=(0,0,1) u”=(a,0,d)旋轉(zhuǎn)（正交矩陣） 設(shè) R=Ry() Rx() R=若定義任何坐標(biāo)軸的矢量u作為旋轉(zhuǎn)軸，建立ux uy uz 坐標(biāo)系并令uz=u, (a,b,c）ux與u垂直，大小為aR11R12 R13 0R21R22 R23 0R31R32 R33 00 0 0 1 uux =(0,ac,-ab) | uux |=ad uy =(0, c/d, -b/d) ux= uy uz =(d, -ab/d, -ac/d) 代入RR=d ab/d

11、 -ac/d 00 c/d -b/d 0a b c 00 0 0 1其它變換 反射點(diǎn)反射 (原點(diǎn))(非原點(diǎn))軸反射 繞軸轉(zhuǎn)180平面反射 坐標(biāo)平面，非坐標(biāo)平面 錯(cuò)切Z軸錯(cuò)切改變X、Y坐標(biāo) x=x+az y=y+bzZ坐標(biāo)保持不變1 0 a 00 1 b 00 0 1 00 0 0 1SHz=建模變換與坐標(biāo)系變換 建模坐標(biāo)系統(tǒng)輪子建模 拖拉機(jī)建模 公路建模坐標(biāo)系 坐標(biāo)系 坐標(biāo)系 局部變換與全局變換 研究生高級(jí)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)課題設(shè)計(jì)研究生高級(jí)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)課題設(shè)計(jì)1. 寫一篇三維造型方面的論文，要求不少于3000字，獨(dú)立完成。內(nèi)容可以是以下幾方面：2. 繪制一個(gè)具有真實(shí)感的三維場(chǎng)景，其中至少含有2個(gè)三維物體?？梢允褂肙penGL或其他函數(shù)庫，要求獨(dú)立完成從建模、坐標(biāo)變換到消隱算法、光照模型、面繪制算法、紋理映射的全部過程。3. 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)