第五章連分?jǐn)?shù)

1、第五章第五章 連分?jǐn)?shù)連分?jǐn)?shù)基本內(nèi)容 連分?jǐn)?shù)的定義和性質(zhì)連分?jǐn)?shù)的定義和性質(zhì)：理解連分?jǐn)?shù)的有關(guān)：理解連分?jǐn)?shù)的有關(guān)概念，會(huì)證明每一個(gè)簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)都是一個(gè)概念，會(huì)證明每一個(gè)簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)都是一個(gè)實(shí)數(shù)。實(shí)數(shù)。 實(shí)數(shù)表示為連分?jǐn)?shù)實(shí)數(shù)表示為連分?jǐn)?shù)：會(huì)證明任一無(wú)理數(shù)都：會(huì)證明任一無(wú)理數(shù)都可表為無(wú)限簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)，了解有理數(shù)的連可表為無(wú)限簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)，了解有理數(shù)的連分?jǐn)?shù)表示法。分?jǐn)?shù)表示法。 循環(huán)連分?jǐn)?shù)循環(huán)連分?jǐn)?shù)：了解二次代數(shù)數(shù)都是循環(huán)連：了解二次代數(shù)數(shù)都是循環(huán)連分?jǐn)?shù)，會(huì)求二次方根的連分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)，會(huì)求二次方根的連分?jǐn)?shù)。 最佳漸近分?jǐn)?shù)：最佳漸近分?jǐn)?shù)： 5.1 連分?jǐn)?shù)的定義及性質(zhì)連分?jǐn)?shù)的定義及性質(zhì)例例 即 5.2 實(shí)數(shù)表示為連分

2、數(shù)實(shí)數(shù)表示為連分?jǐn)?shù) 任一個(gè)有限任一個(gè)有限簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)表示一個(gè)表示一個(gè)有理數(shù)有理數(shù)。反之，。反之，任意一個(gè)有理數(shù)可以有恰好任意一個(gè)有理數(shù)可以有恰好2種種方式表示成一個(gè)方式表示成一個(gè)有限簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)，其中一個(gè)含有奇數(shù)個(gè)項(xiàng)，另一有限簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)，其中一個(gè)含有奇數(shù)個(gè)項(xiàng)，另一個(gè)含偶數(shù)個(gè)項(xiàng)。個(gè)含偶數(shù)個(gè)項(xiàng)。 任一個(gè)無(wú)限任一個(gè)無(wú)限簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)表示一個(gè)表示一個(gè)無(wú)理數(shù)無(wú)理數(shù)。反之，。反之，任意一個(gè)無(wú)理數(shù)可以任意一個(gè)無(wú)理數(shù)可以唯一唯一的表示成的表示成 一個(gè)無(wú)限簡(jiǎn)單一個(gè)無(wú)限簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)。連分?jǐn)?shù)。 若一個(gè)實(shí)無(wú)理數(shù)是一個(gè)整系數(shù)一元二次方程的根，若一個(gè)實(shí)無(wú)理數(shù)是一個(gè)整系數(shù)一元二次方程的根，則稱(chēng)為二次無(wú)理數(shù)。則稱(chēng)為

3、二次無(wú)理數(shù)。 任意任意二次無(wú)理數(shù)二次無(wú)理數(shù)與與循環(huán)簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)循環(huán)簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)一一對(duì)應(yīng)。一一對(duì)應(yīng)。要把一個(gè)分?jǐn)?shù)寫(xiě)成連分?jǐn)?shù)，只要不斷地把分子分母同時(shí)除以分子，將分子化為 1 。如37/99？11,1 2, 1, 2, 0,1111121112112 2, 1, 2, 0,121211121251211213725219937當(dāng)然，連分?jǐn)?shù)也可寫(xiě)成分?jǐn)?shù)，如3043301311342114131211實(shí)數(shù)的連分?jǐn)?shù)表示算法由來(lái)：早在公元前三世紀(jì)，歐幾里德就發(fā)現(xiàn)了一個(gè)較優(yōu)的求連分?jǐn)?shù)算法輾轉(zhuǎn)相除法，實(shí)際上就是求最大公約數(shù)的輾轉(zhuǎn)相除法。我們先來(lái)回顧一下輾轉(zhuǎn)相除法，不過(guò)這次不用短除式，而嘗試用等式來(lái)描述這個(gè)算法。

4、既然上邊的式子成立，那么下面左式也會(huì)成立。 例1 用輾轉(zhuǎn)相除法求942和1350的最大公約數(shù)。13504081942942942126240840840830312612612664303030506 13501119422131450 代入得：于是，有5122111251251511151212111115112（）例3 斐波那契數(shù)列前項(xiàng)與后項(xiàng)之比的極限（黃金比）為如此反復(fù)，最后得例例4 例例5 例例 6 例例 7 5.3 最佳漸近分?jǐn)?shù)最佳漸近分?jǐn)?shù)三個(gè)問(wèn)題： 一個(gè)分?jǐn)?shù)的連分?jǐn)?shù)表達(dá)式是否可能永遠(yuǎn)寫(xiě)不完？（否） 即便能寫(xiě)完，是否一定要把它寫(xiě)完？ 如果沒(méi)有把它寫(xiě)完就截?cái)?，所得的分?jǐn)?shù)與原來(lái)的分?jǐn)?shù)有何關(guān)系？ 首先，任何一個(gè)有理數(shù)一定可以寫(xiě)成有限連分?jǐn)?shù)；任何一個(gè)無(wú)理數(shù)一定可以唯一地寫(xiě)成無(wú)限連分?jǐn)?shù)； 其次，利用分?jǐn)?shù)的連分?jǐn)?shù)表達(dá)式的逐次截?cái)嘀担?，漸近分?jǐn)?shù)）可以求出該分?jǐn)?shù)的近似值。