《電磁場(chǎng)與電磁波》第10講

1、第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波11第三章第三章 靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題（靜態(tài)電磁場(chǎng)及其邊值問(wèn)題（3） 3.5 鏡像法鏡像法教師姓名：教師姓名： 宗福建宗福建單位：?jiǎn)挝唬?山東大學(xué)微電子學(xué)院山東大學(xué)微電子學(xué)院2018年年4月月19日日第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波2 本章內(nèi)容本章內(nèi)容 3.1 靜電場(chǎng)分析靜電場(chǎng)分析 3.2 導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)分析導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)分析 3.3 恒定磁場(chǎng)分析恒定磁場(chǎng)分析 3.4 靜態(tài)場(chǎng)的邊值問(wèn)題及解的惟一性定理靜態(tài)場(chǎng)的邊值問(wèn)題及解的惟一性定理 3.5 鏡像法鏡像法 3.6 分離變量法分離變量法 3.7 有限差分法有限差分法 靜態(tài)電磁場(chǎng)：靜態(tài)電磁場(chǎng)：場(chǎng)

2、量不隨時(shí)間變化，包括：場(chǎng)量不隨時(shí)間變化，包括： 靜電場(chǎng)、恒定電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng)靜電場(chǎng)、恒定電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng) 時(shí)變情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場(chǎng)時(shí)變情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場(chǎng) 靜態(tài)情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)由各自的源激發(fā)，且相互獨(dú)立靜態(tài)情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)由各自的源激發(fā)，且相互獨(dú)立 第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波33.5.1 接地導(dǎo)體平面的鏡像接地導(dǎo)體平面的鏡像3.5.2 導(dǎo)體球面的鏡像導(dǎo)體球面的鏡像3.5.3 導(dǎo)體圓柱面的鏡像導(dǎo)體圓柱面的鏡像3.5.4 介質(zhì)平面的鏡像介質(zhì)平面的鏡像 3.5 鏡像法鏡像法第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波4 當(dāng)有電荷存在于導(dǎo)體或介質(zhì)表面附

3、近時(shí)，導(dǎo)體和介質(zhì)表面會(huì)當(dāng)有電荷存在于導(dǎo)體或介質(zhì)表面附近時(shí)，導(dǎo)體和介質(zhì)表面會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電荷或極化電荷，而感應(yīng)電荷或極化電荷將影響場(chǎng)的分出現(xiàn)感應(yīng)電荷或極化電荷，而感應(yīng)電荷或極化電荷將影響場(chǎng)的分布。布。非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代解，可以用等效電荷的電位替代1. 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出幾個(gè)實(shí)例幾個(gè)實(shí)例接地導(dǎo)體板附近有接地導(dǎo)體板附近有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖所一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖所示。示。q qqq非均勻感應(yīng)電荷非均勻感應(yīng)電荷等效電荷等效電荷 3.5 鏡像法鏡像法第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波5 接地導(dǎo)體球附近有一個(gè)點(diǎn)電荷，如圖。接地導(dǎo)體球附近有一個(gè)點(diǎn)

4、電荷，如圖。非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代等效電荷的電位替代 接地導(dǎo)體柱附近有一個(gè)線電荷。情況與上例類似，但等效電接地導(dǎo)體柱附近有一個(gè)線電荷。情況與上例類似，但等效電 荷為線電荷。荷為線電荷。q q非均勻感應(yīng)電荷非均勻感應(yīng)電荷qq等效電荷等效電荷結(jié)論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點(diǎn)電荷結(jié)論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點(diǎn)電荷 或線電荷的作用。或線電荷的作用。問(wèn)題：這種等效電荷是否存在？問(wèn)題：這種等效電荷是否存在？ 這種等效是否合理？這種等效是否合理？第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波62. 鏡像法的原

5、理鏡像法的原理 用位于場(chǎng)域邊界外虛設(shè)的較簡(jiǎn)單的鏡像電荷分布來(lái)等效替代用位于場(chǎng)域邊界外虛設(shè)的較簡(jiǎn)單的鏡像電荷分布來(lái)等效替代該邊界上未知的較為復(fù)雜的電荷分布，從而將原含該邊界的非均該邊界上未知的較為復(fù)雜的電荷分布，從而將原含該邊界的非均勻媒質(zhì)空間變換成無(wú)限大單一均勻媒質(zhì)的空間，使分析計(jì)算過(guò)程勻媒質(zhì)空間變換成無(wú)限大單一均勻媒質(zhì)的空間，使分析計(jì)算過(guò)程得以明顯簡(jiǎn)化的一種間接求解法。得以明顯簡(jiǎn)化的一種間接求解法。 在導(dǎo)體形狀、幾何尺寸、帶電狀況和媒質(zhì)幾何結(jié)構(gòu)、特性不在導(dǎo)體形狀、幾何尺寸、帶電狀況和媒質(zhì)幾何結(jié)構(gòu)、特性不變的前提條件下，根據(jù)惟一性定理，只要找出的解答滿足在同一變的前提條件下，根據(jù)惟一性定理，只

6、要找出的解答滿足在同一泛定方程下問(wèn)題所給定的邊界條件，那就是該問(wèn)題的解答，并且泛定方程下問(wèn)題所給定的邊界條件，那就是該問(wèn)題的解答，并且是惟一的解答。鏡像法正是巧妙地應(yīng)用了這一基本原理、面向多是惟一的解答。鏡像法正是巧妙地應(yīng)用了這一基本原理、面向多種典型結(jié)構(gòu)的工程電磁場(chǎng)問(wèn)題所構(gòu)成的一種有效的解析求解法種典型結(jié)構(gòu)的工程電磁場(chǎng)問(wèn)題所構(gòu)成的一種有效的解析求解法3. 鏡像法的理論基礎(chǔ)鏡像法的理論基礎(chǔ)解的惟一性定理解的惟一性定理第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波7 像電荷的個(gè)數(shù)、位置及其電量大小像電荷的個(gè)數(shù)、位置及其電量大小“三要素三要素” ” ；4. 鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn)鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn)5. 確定鏡像

7、電荷的兩條原則確定鏡像電荷的兩條原則等效求解的等效求解的“有效場(chǎng)域有效場(chǎng)域”。鏡像電荷的確定鏡像電荷的確定像電荷必須位于所求解的場(chǎng)區(qū)域以外的空間中；像電荷必須位于所求解的場(chǎng)區(qū)域以外的空間中；像電荷的個(gè)數(shù)、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場(chǎng)像電荷的個(gè)數(shù)、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場(chǎng) 區(qū)域區(qū)域 的邊界條件來(lái)確定。的邊界條件來(lái)確定。第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波8 電像法概念、適用情況電像法概念、適用情況電像法：電像法：用假想點(diǎn)電荷來(lái)等效地用假想點(diǎn)電荷來(lái)等效地代替導(dǎo)體邊界面上的面代替導(dǎo)體邊界面上的面電荷分布，然后用空間電荷分布，然后用空間點(diǎn)電荷和等效點(diǎn)電荷迭點(diǎn)電荷和等效點(diǎn)電荷迭加給出空間

8、電勢(shì)分布。加給出空間電勢(shì)分布。適用情況：適用情況： a) 所求區(qū)域有少許幾個(gè)點(diǎn)電荷，所求區(qū)域有少許幾個(gè)點(diǎn)電荷，它產(chǎn)生的感應(yīng)電荷一般可以它產(chǎn)生的感應(yīng)電荷一般可以用假想點(diǎn)電荷代替。用假想點(diǎn)電荷代替。b)導(dǎo)體邊界面形狀比較規(guī)則，具導(dǎo)體邊界面形狀比較規(guī)則，具有一定對(duì)稱性。有一定對(duì)稱性。 c) 給定邊界條件給定邊界條件注意注意：a a）做替代時(shí)，所研究空間的泊松方程不能被改變（即自由）做替代時(shí)，所研究空間的泊松方程不能被改變（即自由 點(diǎn)電荷位置、點(diǎn)電荷位置、Q Q 大小不能變）。所以假想電荷必須放在大小不能變）。所以假想電荷必須放在 所求區(qū)域之外。所求區(qū)域之外。b b）不能改變?cè)羞吔鐥l件（實(shí)際是通過(guò)邊

9、界條件來(lái)確定假）不能改變?cè)羞吔鐥l件（實(shí)際是通過(guò)邊界條件來(lái)確定假 想電荷的大小和位置）。想電荷的大小和位置）。c c）一旦用了假想（等效）電荷，不再考慮原來(lái)的電荷分布。）一旦用了假想（等效）電荷，不再考慮原來(lái)的電荷分布。d d）坐標(biāo)系選擇仍然根據(jù)邊界形狀來(lái)定。）坐標(biāo)系選擇仍然根據(jù)邊界形狀來(lái)定。第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波91. 點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像,qq hh 11()04qzRR（）00zRR滿足原問(wèn)題的邊界條件，所得的結(jié)果是正確的。滿足原問(wèn)題的邊界條件，所得的結(jié)果是正確的。3.5.1 接地導(dǎo)體平面的鏡像接地導(dǎo)體平面的鏡像鏡像電荷鏡像電荷電

10、位函數(shù)電位函數(shù)因因z = 0時(shí)，時(shí)，q qhhq 有效區(qū)域有效區(qū)域RR q qh第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波10上半空間上半空間( ( z0 ）的電位函數(shù)）的電位函數(shù)q qh22222211( , , )4()()qx y zxyz hxyz h(0)z 2223 202 ()Szqhzxyh 2223 2d dd2()inSSqhx yqSxyh 222 3 200d d2()qhqh 導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷密度為導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷密度為導(dǎo)體平面上的總感應(yīng)電荷為導(dǎo)體平面上的總感應(yīng)電荷為第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波113. 點(diǎn)電荷對(duì)相交半無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像點(diǎn)電荷對(duì)相交半無(wú)

11、限大接地導(dǎo)體平面的鏡像 如圖所示，兩個(gè)相互垂直相連的半無(wú)限大接地導(dǎo)體平板，點(diǎn)如圖所示，兩個(gè)相互垂直相連的半無(wú)限大接地導(dǎo)體平板，點(diǎn)電荷電荷q 位于位于(d1, d2 )處。處。 顯然，顯然，q1 對(duì)平面對(duì)平面 2 以及以及q2 對(duì)平對(duì)平面面 1 均不能滿足邊界條件。均不能滿足邊界條件。1231111()4qRRRR 對(duì)于平面對(duì)于平面1，有鏡像電荷，有鏡像電荷q1=q，位于，位于(d1, d2 )對(duì)于平面對(duì)于平面2，有鏡像電荷，有鏡像電荷q2=q，位于，位于( d1, d2 ) 只有在只有在(d1, d2 )處處再設(shè)置一再設(shè)置一鏡像電荷鏡像電荷q3 = q，所有邊界條件才能，所有邊界條件才能得到滿

12、足。得到滿足。電位函數(shù)電位函數(shù)q d1d212RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波12 例例3.5.1 一個(gè)點(diǎn)電荷一個(gè)點(diǎn)電荷q與無(wú)限大導(dǎo)體平面距離為與無(wú)限大導(dǎo)體平面距離為d，如果把它，如果把它移至無(wú)窮遠(yuǎn)處，需要做多少功？。移至無(wú)窮遠(yuǎn)處，需要做多少功？。qqx = 0d-d 解解：移動(dòng)電荷：移動(dòng)電荷q時(shí)，外力需要克服電場(chǎng)力做功，而電荷時(shí)，外力需要克服電場(chǎng)力做功，而電荷q受受的電場(chǎng)力來(lái)源于導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷?？梢韵惹箅姾傻碾妶?chǎng)力來(lái)源于導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷?？梢韵惹箅姾蓂 移至無(wú)窮移至無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)電場(chǎng)力所做的功。遠(yuǎn)時(shí)電場(chǎng)力所做的功。20( )4(2 )xq

13、xxEe222001( ) dd4(2 )16eddqqWqE xxxxd 2016oeqWWd 由鏡像法，感應(yīng)電荷的電場(chǎng)可以由鏡像法，感應(yīng)電荷的電場(chǎng)可以用像電荷用像電荷qq 替代。當(dāng)電荷替代。當(dāng)電荷q 移移至至x時(shí)，像電荷時(shí)，像電荷q應(yīng)位于應(yīng)位于x，則有，則有第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波133.5.1 接地導(dǎo)體平面的鏡像接地導(dǎo)體平面的鏡像思考題1：無(wú)限大導(dǎo)體上部有一個(gè)電偶極矩為P的電偶極子。求電勢(shì)、電場(chǎng)分布。第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波143.5.1 接地導(dǎo)體平面的鏡像接地導(dǎo)體平面的鏡像思考題2：無(wú)限大導(dǎo)體的邊角處有點(diǎn)電荷。求電勢(shì)、電場(chǎng)分布。第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁

14、波153.5.1 接地導(dǎo)體平面的鏡像接地導(dǎo)體平面的鏡像思考題2：無(wú)限大導(dǎo)體的邊角處有點(diǎn)電荷。求電勢(shì)、電場(chǎng)分布。第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波163.5.1 接地導(dǎo)體平面的鏡像接地導(dǎo)體平面的鏡像思考題2：無(wú)限大導(dǎo)體的邊角處有點(diǎn)電荷。求電勢(shì)、電場(chǎng)分布。n12n像電荷數(shù)像電荷數(shù)第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波173.5.1 接地導(dǎo)體平面的鏡像接地導(dǎo)體平面的鏡像思考題3：無(wú)限大平行導(dǎo)體板內(nèi)有點(diǎn)電荷。求電勢(shì)、電場(chǎng)分布。第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波18山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建182.3 電像法思考題3：無(wú)限大平行導(dǎo)體板內(nèi)有點(diǎn)電荷。求電勢(shì)、電場(chǎng)分布。第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波19

15、2 線電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像線電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像2,0;0,0lx zhzz 鏡像線電荷：鏡像線電荷：ln(0)2lRzR滿足原問(wèn)題的邊界條件，滿足原問(wèn)題的邊界條件，所得的解是正確的。所得的解是正確的。電位函數(shù)電位函數(shù)原問(wèn)題原問(wèn)題hhl 有效區(qū)域有效區(qū)域RR l當(dāng)當(dāng)z=0時(shí)，時(shí)，RR0,llhh 第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波203.5.2 導(dǎo)體球面的鏡像導(dǎo)體球面的鏡像1. 點(diǎn)電荷對(duì)接地導(dǎo)體球面的鏡像點(diǎn)電荷對(duì)接地導(dǎo)體球面的鏡像 球面上的感應(yīng)電荷可用鏡像電荷球面上的感應(yīng)電荷可用鏡像電荷q來(lái)等效。來(lái)等效。q應(yīng)位于導(dǎo)體球內(nèi)（顯然應(yīng)位于導(dǎo)體球內(nèi)（顯然不影響原方程），且在點(diǎn)電荷

16、不影響原方程），且在點(diǎn)電荷q與球與球心的連線上，距球心為心的連線上，距球心為d。則有。則有 01()4qqRR ?dq 如圖所示，點(diǎn)電荷如圖所示，點(diǎn)電荷q 位于半徑位于半徑為為a 的接地導(dǎo)體球外，距球心為的接地導(dǎo)體球外，距球心為d 。方法：利用導(dǎo)體球面上電位為零確定方法：利用導(dǎo)體球面上電位為零確定 和和q。d 問(wèn)題：?jiǎn)栴}： PqarRdqPaqrRRdd第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波21 令令ra，由球面上電位為零，由球面上電位為零，即即 0，得，得=0qqRR =RqRq 常常數(shù)數(shù)此式應(yīng)在整個(gè)球面上都成立。此式應(yīng)在整個(gè)球面上都成立。oqPoPq =RdaqRadq 常常數(shù)數(shù)2add a

17、qqd 條件：若條件：若像電荷的位置像電荷的位置像電荷的電量像電荷的電量1ad qq qPaqaRRdd第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波223.5.2 導(dǎo)體球面的鏡像導(dǎo)體球面的鏡像對(duì)A點(diǎn)：r=a-R0,r=R0-b對(duì)B點(diǎn)： r=a+R0,r=R0+b0000RbRbrQraRaRQ 常數(shù)200RbaRQQa 0000()()()()Rb aRaRRb=rqrq 常常數(shù)數(shù)第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波233.5.2 導(dǎo)體球面的鏡像導(dǎo)體球面的鏡像2222000001( )()042cos2cosQQPaRR abRR b第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波243.5.2 導(dǎo)體球面的鏡像導(dǎo)

18、體球面的鏡像2222000001( )()042cos2cosQQPaRR abRR b222200002cos2cosQQaRR abRR b 222200002cos2cosQ bRR bQaRR a 2222220000(2cos ) (2cos )Q bRR bQaRR a第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波253.5.2 導(dǎo)體球面的鏡像導(dǎo)體球面的鏡像200RbaRQQa 2222220000(2cos ) (2cos )Q bRR bQaRR a2222220022() ()Q bRQaRQ bQa()baQQ 不合理，舍去。第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波263.5.2 導(dǎo)體球

19、面的鏡像導(dǎo)體球面的鏡像由Q和鏡像電荷Q 激發(fā)的總電場(chǎng)能夠滿足在導(dǎo)體面上= 0 的邊界條件。因此是空間中電場(chǎng)的正確解答。球外任一點(diǎn)P的電勢(shì)為，式中r為由Q到P點(diǎn)的距離，r 為由Q到P點(diǎn)的距離，R為由球心O到P點(diǎn)的距離，為OP與OQ的夾角。 0002222014/142cos2cosR QQrarR Q aQRaRaRbRb第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波273.5.2 導(dǎo)體球面的鏡像導(dǎo)體球面的鏡像0002222014/142cos2cosR QQrarR Q aQRaRaRbRb第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波283.5.2 導(dǎo)體球面的鏡像導(dǎo)體球面的鏡像由高斯定理，收斂于球面上的電通量為

20、 Q ，因此，Q等于球面上的總感應(yīng)電荷，它是由于受電荷Q 的電場(chǎng)吸引而從接地處傳至導(dǎo)體球上的。由|Q|Q，由Q發(fā)出的電場(chǎng)線只有一部分收斂于球面上，剩下的部分伸展至無(wú)窮遠(yuǎn)，電場(chǎng)如右圖所示。 第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波293.5.2 導(dǎo)體球面的鏡像導(dǎo)體球面的鏡像如上例，但導(dǎo)體球不接地也不帶電荷，求球外電勢(shì)。解解 這里給處的條件是導(dǎo)體球上的總電荷為零。這條件包括（1）球面為等勢(shì)面（電勢(shì)待定）；（2）從球面發(fā)出的總電通量為零 。 第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波303.5.2 導(dǎo)體球面的鏡像導(dǎo)體球面的鏡像由上例可知，若在球外有電荷Q而在球內(nèi)放置假想電荷Q ，其位置和大小如前，則球面上電勢(shì)

21、為零。若在球心再放一個(gè)假想電荷Q ，則導(dǎo)體球所帶總電荷為零 ，同時(shí)球面仍為等勢(shì)面，其電勢(shì)為 Q/40 R0 。因此，條件（1）和（2）都被滿足。球外任一點(diǎn)P的電勢(shì)為 000/14R Q aR Q aQrrR第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波313.5.2 導(dǎo)體球面的鏡像導(dǎo)體球面的鏡像000/14R Q aR Q aQrrR第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波323.5.2 導(dǎo)體球面的鏡像導(dǎo)體球面的鏡像如上例，但導(dǎo)體球不接地而帶電荷 Q0 ，求球外電勢(shì)，并求電荷Q所受的力。解解 這里給處的條件是導(dǎo)體上的總電荷。這條件包括（1）球面為等勢(shì)面（電勢(shì)待定）；（2）從球面發(fā)出的總電通量為 Q 0 。

22、第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波333.5.2 導(dǎo)體球面的鏡像導(dǎo)體球面的鏡像由上例可知，若在球外有電荷Q而在球內(nèi)放置假想電荷Q ，其位置和大小如前，則球面上電勢(shì)為零。若在球心再放一個(gè)假想電荷Q 0 Q ，則導(dǎo)體球所帶總電荷為Q 0 ，同時(shí)球面仍為等勢(shì)面，其電勢(shì)為:（Q 0Q）/40 R0 。因此，條件（1）和（2）都被滿足。球外任一點(diǎn)P的電勢(shì)為 0000/14R Q aQR Q aQrrR第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波343.5.2 導(dǎo)體球面的鏡像導(dǎo)體球面的鏡像0000/14R Q aQR Q aQrrR第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波353.5.2 導(dǎo)體球面的鏡像導(dǎo)體球面的鏡像

23、因?yàn)榭臻g中的電場(chǎng)相當(dāng)于點(diǎn)電荷Q、鏡像電荷Q 和球心處的電荷Q0 Q 所激發(fā)的電場(chǎng)，因此電荷Q所受的力等于Q 和球心處的電荷Q0Q 對(duì)它的作用力F，式中第二項(xiàng)是吸引力，而且當(dāng) a R0 時(shí)這項(xiàng)的數(shù)值大于第一項(xiàng)。由此可見(jiàn)，即使Q與Q 0 同號(hào)，只要Q距球面足夠近，它就可能受到導(dǎo)體的吸引力。這是由于感應(yīng)作用，雖然整個(gè)導(dǎo)體的總電荷是正的，但在靠近Q的球面部分可能出現(xiàn)負(fù)電荷。 23220000022232220()(2)4()()Q QQQQQ RaRQQFaabaa aR第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波362222221()42cos()2 ()cosqarardrdd radr ad22223

24、2()4(2cos )Sr aq dara adad2222223 200()sin d dd4(2cos )inSSq daaaqSqaadadd 可見(jiàn)，導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷也與所設(shè)置的鏡像電荷相等?？梢?jiàn)，導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷也與所設(shè)置的鏡像電荷相等。球外的電位函數(shù)為球外的電位函數(shù)為導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷為導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷為球面上的感應(yīng)電荷面密度為球面上的感應(yīng)電荷面密度為第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波37點(diǎn)電荷對(duì)接地空心導(dǎo)體球殼的鏡像點(diǎn)電荷對(duì)接地空心導(dǎo)體球殼的鏡像,aqqd 如圖所示接地空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)半徑為如圖所示接地空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)半徑為a 、外半徑為、外半徑為b，點(diǎn)電，

25、點(diǎn)電荷荷q 位于球殼內(nèi)，與球心相距為位于球殼內(nèi)，與球心相距為d ( d |q|，可見(jiàn)鏡像電荷的電荷量大于點(diǎn)電荷的電荷量，可見(jiàn)鏡像電荷的電荷量大于點(diǎn)電荷的電荷量像電荷的位置和電量與外半徑像電荷的位置和電量與外半徑 b 無(wú)關(guān)（為什么？）無(wú)關(guān)（為什么？）aqdobqrRRaqdod第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波38球殼內(nèi)的電位球殼內(nèi)的電位22223 2()4(2cos )Sr aq adra adad 2222223 200()sin d dd4(2cos )inSSq adaqSqaadad 感應(yīng)電荷分布在導(dǎo)體球面的內(nèi)表面上，電荷面密度為感應(yīng)電荷分布在導(dǎo)體球面的內(nèi)表面上，電荷面密度為導(dǎo)體球面

26、的內(nèi)表面上上的總感應(yīng)電荷為導(dǎo)體球面的內(nèi)表面上上的總感應(yīng)電荷為可見(jiàn)，在這種情況下，鏡像電荷與感應(yīng)電荷的電荷量不相等?？梢?jiàn)，在這種情況下，鏡像電荷與感應(yīng)電荷的電荷量不相等。 22222201()42cos()2 ()cosqarardrdd radr ad第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波392 . 點(diǎn)電荷對(duì)不接地導(dǎo)體球的鏡像點(diǎn)電荷對(duì)不接地導(dǎo)體球的鏡像 先設(shè)想導(dǎo)體球是接地的，則球面上只有總電荷量為先設(shè)想導(dǎo)體球是接地的，則球面上只有總電荷量為q的感應(yīng)電的感應(yīng)電荷分布，則荷分布，則 2,aaqq ddd 導(dǎo)體球不接地時(shí)的特點(diǎn)：導(dǎo)體球不接地時(shí)的特點(diǎn)： 導(dǎo)體球面是電位不為零的等位面導(dǎo)體球面是電位不為零的

27、等位面 球面上既有感應(yīng)負(fù)電荷分布也有感應(yīng)正電荷分布，但總的感應(yīng)球面上既有感應(yīng)負(fù)電荷分布也有感應(yīng)正電荷分布，但總的感應(yīng) 電荷為零電荷為零采用疊加原理來(lái)確定鏡像電荷采用疊加原理來(lái)確定鏡像電荷 點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷q 位于一個(gè)半徑為位于一個(gè)半徑為a 的不的不接地導(dǎo)體球外，距球心為接地導(dǎo)體球外，距球心為d 。PqarRd第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波400aqqqda ， 然后斷開接地線，并將電荷然后斷開接地線，并將電荷q加于導(dǎo)體球上，從而使總電加于導(dǎo)體球上，從而使總電荷為零。為保持導(dǎo)體球面為等位面，所加的電荷荷為零。為保持導(dǎo)體球面為等位面，所加的電荷q 可用一個(gè)位可用一個(gè)位于球心的鏡像電荷于球心的鏡像

28、電荷q來(lái)替代，即來(lái)替代，即01()4qqqRRr 球外任意點(diǎn)的電位為球外任意點(diǎn)的電位為qPaqrRRddq第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波413.5.2 導(dǎo)體球面的鏡像導(dǎo)體球面的鏡像思考題：求空心導(dǎo)體球內(nèi)的勢(shì)，aR0.第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波423.5.2 導(dǎo)體球面的鏡像導(dǎo)體球面的鏡像思考題：求空心導(dǎo)體球內(nèi)的勢(shì)，aR0.第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波433.5.2 導(dǎo)體球面的鏡像導(dǎo)體球面的鏡像思考題：求空心導(dǎo)體球內(nèi)的勢(shì)，aR0.第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波443.5.2 導(dǎo)體球面的鏡像導(dǎo)體球面的鏡像思考題：求空心導(dǎo)體球內(nèi)的勢(shì)，aR0.第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與

29、電磁波453.5.2 導(dǎo)體球面的鏡像導(dǎo)體球面的鏡像思考題：在接地的導(dǎo)體平面上有一半球凸部，半球的球心在導(dǎo)體平面上，點(diǎn)電荷Q位于系統(tǒng)的對(duì)稱軸上，試用電像法求空間電勢(shì) 第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波463.5.2 導(dǎo)體球面的鏡像導(dǎo)體球面的鏡像思考題：在接地的導(dǎo)體平面上有一半球凸部，半球的球心在導(dǎo)體平面上，點(diǎn)電荷Q位于系統(tǒng)的對(duì)稱軸上，試用電像法求空間電勢(shì) 第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波47思考題第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波48思考題第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波49思考題試證明：一對(duì)正負(fù)電荷組成的電荷系統(tǒng)，只要不是等量正負(fù)電荷，則必然存在一個(gè)球形等勢(shì)能面，并給出該勢(shì)能面的位

30、置及半徑。第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波503.5.3 導(dǎo)體圓柱面的鏡像導(dǎo)體圓柱面的鏡像問(wèn)題問(wèn)題：如圖如圖 1 所示，一根電荷線密度所示，一根電荷線密度為為 的無(wú)限長(zhǎng)線電荷位于半徑為的無(wú)限長(zhǎng)線電荷位于半徑為a 的的無(wú)限長(zhǎng)接地導(dǎo)體圓柱面外，與圓柱的無(wú)限長(zhǎng)接地導(dǎo)體圓柱面外，與圓柱的軸線平行且到軸線的距離為軸線平行且到軸線的距離為d。l圖圖1 線電荷與導(dǎo)體圓柱線電荷與導(dǎo)體圓柱lxoa0d圖圖2 線電荷與導(dǎo)體圓柱線電荷與導(dǎo)體圓柱的鏡像的鏡像ald( , )P xo0ld特點(diǎn)特點(diǎn)：在導(dǎo)體圓柱面上有感應(yīng)電荷，：在導(dǎo)體圓柱面上有感應(yīng)電荷，圓軸外的電位由線電荷與感應(yīng)電荷共圓軸外的電位由線電荷與感應(yīng)電荷共

31、同產(chǎn)生。同產(chǎn)生。分析方法分析方法：鏡像電荷是圓柱面內(nèi)部與：鏡像電荷是圓柱面內(nèi)部與軸線平行的無(wú)限長(zhǎng)線電荷，如圖軸線平行的無(wú)限長(zhǎng)線電荷，如圖2所示。所示。1. 線電荷對(duì)接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像線電荷對(duì)接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波51222211lnln222cos2cosllCdddd222211lnln0222cos2cosllCa adadadad由于上式對(duì)任意的由于上式對(duì)任意的都成立，因此，將上式對(duì)都成立，因此，將上式對(duì)求導(dǎo)，可以得到求導(dǎo)，可以得到2222()()2()cos0lllld add adadd 2222()()00lllld add ad a由于導(dǎo)體圓柱

32、接地，所以當(dāng)由于導(dǎo)體圓柱接地，所以當(dāng) 時(shí)，電位應(yīng)為零，即時(shí)，電位應(yīng)為零，即 所以有所以有 設(shè)鏡像電荷的線密度為設(shè)鏡像電荷的線密度為 ，且距圓柱的軸線為且距圓柱的軸線為 ，則由，則由 和和 共同產(chǎn)生的電位函數(shù)共同產(chǎn)生的電位函數(shù)ldll2lladd 第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波52導(dǎo)體圓柱面外的電位函數(shù)：導(dǎo)體圓柱面外的電位函數(shù)：2242222cosln22cosldadaCddd由由 時(shí)，時(shí)，a0故故2242222222cosln22cosldadaaa dda導(dǎo)體圓柱面上的感應(yīng)電荷面密度為導(dǎo)體圓柱面上的感應(yīng)電荷面密度為2222()2(2cos )lSadaa adad 導(dǎo)體圓柱面上單位長(zhǎng)

33、度的感應(yīng)電荷為導(dǎo)體圓柱面上單位長(zhǎng)度的感應(yīng)電荷為222220()dd22coslinSlSdaaSaadad 導(dǎo)體圓柱面上單位長(zhǎng)度的感應(yīng)電荷與所設(shè)置的鏡像電荷相等。導(dǎo)體圓柱面上單位長(zhǎng)度的感應(yīng)電荷與所設(shè)置的鏡像電荷相等。ln2ldCa第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波532. 兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸圖圖1 1 兩平行圓柱導(dǎo)體兩平行圓柱導(dǎo)體hahall圖圖2 2 兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸lblhhbaa特點(diǎn)：由于兩圓柱帶電導(dǎo)體的電場(chǎng)互特點(diǎn)：由于兩圓柱帶電導(dǎo)體的電場(chǎng)互相影響，使導(dǎo)體表面的電荷分布不均相影響，使導(dǎo)體表面的電荷分布不均勻，相對(duì)的一側(cè)電荷密度大，而相背勻，

34、相對(duì)的一側(cè)電荷密度大，而相背的一側(cè)電荷密度較小。的一側(cè)電荷密度較小。分析方法：將導(dǎo)體表面上的電荷用線分析方法：將導(dǎo)體表面上的電荷用線密度分別為密度分別為 、且相距為、且相距為2b 的兩根的兩根無(wú)限長(zhǎng)帶電細(xì)線來(lái)等效替代，如圖無(wú)限長(zhǎng)帶電細(xì)線來(lái)等效替代，如圖 2所示。所示。l問(wèn)題：如圖問(wèn)題：如圖1所示，兩平行導(dǎo)體圓柱的所示，兩平行導(dǎo)體圓柱的半徑均為半徑均為a，兩導(dǎo)體軸線間距為，兩導(dǎo)體軸線間距為2h，單，單位長(zhǎng)度分別帶電荷位長(zhǎng)度分別帶電荷 和和 。ll第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波54圖圖2 2 兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸lblhhbaa 通常將帶電細(xì)線的所在的位置稱為圓柱導(dǎo)體的電

35、軸，因而通常將帶電細(xì)線的所在的位置稱為圓柱導(dǎo)體的電軸，因而這種方法又稱為電軸法。這種方法又稱為電軸法。2add 由由2()()hb hba22bha 利用線電荷與接地導(dǎo)體圓柱面利用線電荷與接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像確定的鏡像確定b 。思考思考：能否用電軸法求解半徑不同的兩平行圓柱導(dǎo)體問(wèn)題？：能否用電軸法求解半徑不同的兩平行圓柱導(dǎo)體問(wèn)題？第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波55兩長(zhǎng)直平行帶電圓柱導(dǎo)體兩長(zhǎng)直平行帶電圓柱導(dǎo)體(不同半徑不同半徑)外部的電場(chǎng)：外部的電場(chǎng)：電軸法：將圓柱導(dǎo)體撤去，代之以電軸法：將圓柱導(dǎo)體撤去，代之以兩帶電細(xì)線兩帶電細(xì)線(等效電軸等效電軸) 。 rrPln2 a12 +b2 =h

36、12a22 +b2 =h22設(shè)圓柱導(dǎo)體的半徑為設(shè)圓柱導(dǎo)體的半徑為a1 a2 ，兩圓心離，兩圓心離y軸為軸為h1 h2 ，兩等效電軸的距離為，兩等效電軸的距離為2b注意確定注意確定等效電軸等效電軸的位置。的位置。 若取若取y軸電位為軸電位為0，則圓柱導(dǎo)體則圓柱導(dǎo)體外外任一點(diǎn)任一點(diǎn)P的電位為的電位為: D= h1+ h2xy- + 0a1a2h1h2Dbb- + 第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波56xy- + 0a1a2h2h1偏心電纜夾層的電場(chǎng)：偏心電纜夾層的電場(chǎng)：電軸法：將圓柱導(dǎo)體撤去，代之以電軸法：將圓柱導(dǎo)體撤去，代之以兩帶電細(xì)線兩帶電細(xì)線(等效電軸等效電軸) 。 rrPln2 a12

37、+b2 =h12a22 +b2 =h22- + b若取若取y軸電位為軸電位為0，則偏心電纜夾層任一點(diǎn)則偏心電纜夾層任一點(diǎn)P的電位為的電位為: b設(shè)圓柱導(dǎo)體的半徑為設(shè)圓柱導(dǎo)體的半徑為a1 a2 ，兩圓心離，兩圓心離y軸為軸為h1 h2 ，兩等效電軸的距離為，兩等效電軸的距離為2b注意確定注意確定等效電軸等效電軸的位置。的位置。 DD= h2- h1第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波573.5.4 點(diǎn)電荷與無(wú)限大電介質(zhì)平面的鏡像點(diǎn)電荷與無(wú)限大電介質(zhì)平面的鏡像 圖圖1 1 點(diǎn)電荷與電介質(zhì)點(diǎn)電荷與電介質(zhì)分界平面分界平面zx12qh特點(diǎn)：特點(diǎn)：在點(diǎn)電荷的電場(chǎng)作用下，電介質(zhì)產(chǎn)在點(diǎn)電荷的電場(chǎng)作用下，電介質(zhì)

38、產(chǎn)生極化，在介質(zhì)分界面上形成極化電荷分生極化，在介質(zhì)分界面上形成極化電荷分布。此時(shí)，空間中任一點(diǎn)的電場(chǎng)由點(diǎn)電荷布。此時(shí)，空間中任一點(diǎn)的電場(chǎng)由點(diǎn)電荷與極化電荷共同產(chǎn)生。與極化電荷共同產(chǎn)生。圖圖2 2 介質(zhì)介質(zhì)1 1的鏡像電荷的鏡像電荷Pqhh11xzqRR問(wèn)題：?jiǎn)栴}：如圖如圖 1 所示，介電常數(shù)分別為所示，介電常數(shù)分別為 和和 的兩種不同電介質(zhì)的分界面是無(wú)限的兩種不同電介質(zhì)的分界面是無(wú)限大平面，在電介質(zhì)大平面，在電介質(zhì) 1 中有一個(gè)點(diǎn)電荷中有一個(gè)點(diǎn)電荷q，距分界平面為距分界平面為h 。12分析方法：分析方法：計(jì)算電介質(zhì)計(jì)算電介質(zhì) 1 中的電位時(shí)，用中的電位時(shí)，用位于介質(zhì)位于介質(zhì) 2 中的鏡像電荷

39、來(lái)代替分界面上中的鏡像電荷來(lái)代替分界面上的極化電荷，并把整個(gè)空間看作充滿介電的極化電荷，并把整個(gè)空間看作充滿介電常數(shù)為常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，如圖的均勻介質(zhì)，如圖2所示。所示。1第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波58介質(zhì)介質(zhì)1中的電位為中的電位為122222211( , , )4()()qqx y zxyz hxyz h(0)z 222221( , , )4()q qx y zxyz h(0)z 2 計(jì)算電介質(zhì)計(jì)算電介質(zhì) 2 中的電位時(shí)，用位中的電位時(shí)，用位于介質(zhì)于介質(zhì) 1 中的鏡像電荷來(lái)代替分界面中的鏡像電荷來(lái)代替分界面上的極化電荷，并把整個(gè)空間看作充上的極化電荷，并把整個(gè)空間看作充滿介電常數(shù)

40、為滿介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，如圖的均勻介質(zhì)，如圖 3 所示。介質(zhì)所示。介質(zhì)2中的電位為中的電位為圖圖3 3 介質(zhì)介質(zhì)2 2的鏡像電荷的鏡像電荷22qqPxzhR第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波59可得到可得到1211()()qqqqqqqq說(shuō)明：說(shuō)明：對(duì)位于無(wú)限大平表面介質(zhì)分界面附近、且平行于分界面對(duì)位于無(wú)限大平表面介質(zhì)分界面附近、且平行于分界面的無(wú)限長(zhǎng)線電荷（單位長(zhǎng)度帶的無(wú)限長(zhǎng)線電荷（單位長(zhǎng)度帶），其鏡像電荷為），其鏡像電荷為12121212,llll 12121212qqqq 1020zz211020zzzz利用電位滿足的邊界條件利用電位滿足的邊界條件第3章 電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波60圖圖1 1 線電流與磁介質(zhì)線電流與磁介質(zhì)分界平面分界平面zx12Ih圖圖2 2 磁介質(zhì)磁介質(zhì)1 1的鏡像線的鏡像線電流電流PIhh11xzIRR特點(diǎn)：在直線電流特點(diǎn)：在直線電流I 產(chǎn)生的磁場(chǎng)作用下，產(chǎn)生