《電磁場與電磁波》第4講

1、第二章 電磁場的基本規(guī)律（1） 2.1 電荷守恒定律 2.2 真空中靜電場的基本規(guī)律教師姓名： 宗福建單位： 山東大學(xué)微電子學(xué)院2018年3月20日2 2.1 電荷守恒定律電荷守恒定律2.2 真空中靜電場的基本規(guī)律真空中靜電場的基本規(guī)律2.3 真空中恒定磁場的基本規(guī)律真空中恒定磁場的基本規(guī)律2.4 媒質(zhì)的電磁特性媒質(zhì)的電磁特性2.5 電磁感應(yīng)定律和位移電流電磁感應(yīng)定律和位移電流2.6 麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組2.7 電磁場的邊界條件電磁場的邊界條件本章討論內(nèi)容本章討論內(nèi)容本章知識脈絡(luò)本章知識脈絡(luò)電磁場的源：電荷、電流（電磁場的源：電荷、電流（2.12.1）主線：亥姆霍茲定理主線：亥姆霍茲定

2、理靜靜態(tài)態(tài)場場靜電場的散靜電場的散度和旋度度和旋度靜磁場的散靜磁場的散度和旋度度和旋度真空中（真空中（2.22.2）介質(zhì)中（介質(zhì)中（2.42.4）真空中（真空中（2.32.3）介質(zhì)中（介質(zhì)中（2.42.4）時變場時變場（麥克斯韋方程組）（麥克斯韋方程組）(2.5,2.6)(2.5,2.6)時變場的散度和旋度時變場的散度和旋度邊界條件邊界條件(2.7)(2.7)山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建4ijkxyz ()graduuijkuxyz yxzAAAdivAAxyz 山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建5ijkxyz xyzijkrotAAxyzAAA 山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建6是一個矢量性微分算子，因此它在計算

3、時具有矢量性和微分性雙重性質(zhì)uAA 作用在一個數(shù)性或矢性函數(shù)上時，其方式僅有三種：，山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建7222222xyzxyzAAAAxyz 定義：拉普拉斯算子為了使用方便。山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建8(1) (),()(2)(),()(3)()cuc u cucAcA AcAcA 為常量， 為數(shù)性函數(shù)為矢性函數(shù)山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建9(4) ()(5)()(6)()uvuvABABABAB 山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建10(7)(),()(8)(),()(9) ()ucu c cuucuc cuuvu vv u 為常矢量， 為數(shù)性函數(shù)為常矢量， 為數(shù)性函數(shù)山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建11(1

4、0)(),()(11)()(12) ()() ()() ()uAuAu A AuAuAuAA BABABBABA 為矢性函數(shù)山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建122(13)()()()(14)() ()()(16)() 0(1()7)() 0(18)()()(15()A BBAABA BBAAB BAABuuAAAuAu 山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建13,(19)(20)3(21)0(22)( )( )(23)( )( )rxiy jzk rrrrrrrf ufuurf rfrr 若，則有：山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建143,(24)(26)(),()(27)(),( ) 0(25)()0sVlSrxiy jz

5、k rrf r rrA dSA dVA dlA drS 若，則有奧氏公式斯托克斯公式：電荷： 電是物質(zhì)的一種基本屬性 構(gòu)成物質(zhì)的許多基本粒子都帶有正電或負(fù)電，但其電荷都精確地等于基本電荷e，這表明自然界中的電荷都是以e的整數(shù)倍出現(xiàn)。 電子的電荷：e=1.6 x 10-19庫侖 電子的質(zhì)量：me=9.1 x 10-31 Kg山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建15電荷： 若取電子的經(jīng)典半徑re, 使： 則，re=2.8 x 10-15 m 實際上，實驗觀察發(fā)現(xiàn)，在10-19 m 范圍內(nèi)，電子仍然象一個點粒子。山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建162201128eeem cr太陽系的主角是位居中心的太陽，它是一顆光譜分

6、類為G2V的主序星，擁有太陽系內(nèi)已知質(zhì)量的99.9%，并以萬有引力主宰著太陽系。氫原子的主角是位居中心的質(zhì)子，質(zhì)子電子的質(zhì)量比為1840，占?xì)湓觾?nèi)已知質(zhì)量的99.9%，并以電磁引力主宰著氫原子。電子有自旋，地球有自轉(zhuǎn)。山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建17太陽半徑為7 x 105 km，太陽系半徑（近日點） 6 x 109 km，太陽系與太陽半徑比為104。(1AU,1天文單位距離=1.5 x 108 km)質(zhì)子半徑為1.5 x 10-15 m，氫原子的半徑為5.3 x 10-11 m，氫原子與質(zhì)子半徑比為3.5 x 104。山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建18太陽質(zhì)量：1.989 x 1030 kg地球質(zhì)量

7、：5.979 x 1024 kg。質(zhì)量比：3.3 x 105。相當(dāng)于原子量：180相當(dāng)于原子序數(shù)為72 Hf - 73 Ta的原子。山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建19鉿（Hf）是一種化學(xué)元素，它的化學(xué)符號是Hf，它的原子序數(shù)是72，原子量178.49，屬周期系B族。 鉭（Ta）是一種化學(xué)元素，它的化學(xué)符號是Ta，它的原子序數(shù)是73，原子量180.95，屬周期系B族。 1 He氦 1s22 Ne氖 He 2s2 2p63 Ar氬 Ne 3s2 3p64 Kr氪 Ar 3d10 4s2 4p65 Xe氙Kr 4d10 5s2 5p66 Hf鉿 Xe 4f14 5d2 6s26 Ta鉭 Xe 4f14 5

8、d3 6s2山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建20我們的宇宙恒星間平均距離 1016m 5光年銀河系半徑 5x104光年 1020m 銀河系恒星數(shù) 4x1012個星系間平均距離 2x106光年距地球最近的河外星系仙女座 100萬光年人們所認(rèn)識的最外的星系 1010光年 星系總數(shù) 1012個1024顆恒星，約 1 mol 太陽系體電荷密度： 為了更簡明地描述電荷在空間的分布，引入體電荷密度概念。 假設(shè)電荷是致密連續(xù)分布時，可用積分的方法求出任意區(qū)域內(nèi)的總電荷。山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建22( )VQr dV點電荷的表示法： 在許多實際應(yīng)用中，電荷分布并非都采用連續(xù)性模型。 當(dāng)帶電體的尺度與觀察尺度相比極其微

9、小，以致于其形狀和大小的因素可以忽略不計的情況下，可以把帶電體抽象為點電荷。山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建23點電荷的表示法：山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建24( )()0,()(),()0,( ),()1,( )vrqrrrrrrrrrvrr dvrv式中：且點電荷的表示法：山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建250,( )( )(),( )( )()vviiirvr dvqrr dvq rvrqrr 對于離散分布的電荷群：261. 電荷體密度電荷體密度0 ( )d ( )( )limdVq rq rrVV( )dVqrV單位：單位：C/m3 (庫庫/米米3 )總電荷總電荷q 與密度的關(guān)系：與密度的關(guān)系： 電荷存在

10、的形式（四種）：電荷存在的形式（四種）： 點電荷、體分布點電荷、體分布電荷、電荷、面分布電荷、線分布電荷面分布電荷、線分布電荷qVyxzorV272. 電荷面密度電荷面密度單位單位: C/m2 (庫庫/米米2) 如果已知某空間曲面如果已知某空間曲面S 上的電荷上的電荷面密度，則該曲面上的總電荷面密度，則該曲面上的總電荷q 為為( )dsSqrS0 ( )d ( )( )limdSSq rq rrSSyxzorqSS283. 電荷線密度電荷線密度0 ( )d ( )( )dlimllq rq rrll 如果已知某空間曲線上的電荷線如果已知某空間曲線上的電荷線密度，則該曲線上的總電荷密度，則該曲線

11、上的總電荷q 為為 ( )dlCqrl單位單位: C / m (庫庫/米米)yxzorql29點電荷的電荷密度表示點電荷的電荷密度表示( )()rqrr4. 點電荷點電荷yxzorq302.1.2 電流與電流密度電流與電流密度說明說明：電流通常是時間的函數(shù)，不隨時間變化的電流稱為電流通常是時間的函數(shù)，不隨時間變化的電流稱為 恒定電流恒定電流，用，用I 表示。表示。單位單位: A （安）（安）電流方向電流方向: : 正電荷的流動方向正電荷的流動方向0lim ()ddtiqtqt 電流電流 電荷的定向運(yùn)動電荷的定向運(yùn)動山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建31電流密度 J J的定義：定義電流密度 J J，它的方

12、向沿著該點上的電流方向，它的數(shù)值等于單位時間垂直通過單位面積的電量，從而通過面元dS S的電流dI為cosddSd SIJJSdIJS通過任一曲面S的總電流強(qiáng)度I為 2.1.2 電流與電流密度電流與電流密度山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建32如果電流由一種運(yùn)動帶電粒子構(gòu)成，設(shè)帶電粒子的電荷密度為，平均速度為v v，則電流密度為 vJnqvJ設(shè)帶電粒子的密度為n,每個帶電粒子的電量為q，平均速度為，則電流密度為2.1.2 電流與電流密度電流與電流密度山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建33如果有幾種帶電粒子，其電荷密度分別為i，平均速度為i，有 iiivJiiiin q vJ設(shè)每種帶電粒子的密度為ni,每個帶電粒子

13、的電量為qi，平均速度為i，則電流密度為2.1.2 電流與電流密度電流與電流密度340dlimdnnSiiJeeSS 單位單位：A / m2 （安（安/米米2） 。 電流存在的形式（三種）：電流存在的形式（三種）： 體電流體電流、面電流面電流和和線電流線電流1. 體電流體電流 流過體積內(nèi)任意曲面流過體積內(nèi)任意曲面S 的電流為的電流為體電流密度矢量體電流密度矢量JneS正電荷運(yùn)動的方向正電荷運(yùn)動的方向dSiJS體電流與體電荷的關(guān)系?352. 面電流面電流面電流密度矢量面電流密度矢量d 0tenelSJ0h0dlimdSttliiJeell 單位：單位：A/m （安（安/米）米） 。通過面上任意橫

14、截線的電流為通過面上任意橫截線的電流為正電荷運(yùn)動的方向正電荷運(yùn)動的方向mdSliJel面電流與面電荷的關(guān)系?體電流與面電流的關(guān)系?mnleee其中：其中：363. 線電流線電流I單位單位: A （安）（安）電流與線電荷的關(guān)系?電流與面電荷的關(guān)系?體電流是以面為單位體電流是以面為單位傳播，面電流是以線傳播，面電流是以線為單位傳播，線電流為單位傳播，線電流是以點為傳播是以點為傳播山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建37我們知道，物體所帶的電荷是構(gòu)成物體的粒子（電子、質(zhì)子等）的一個屬性。不論發(fā)生任何變化過程，如化學(xué)反應(yīng)、原子核反應(yīng)甚至粒子的轉(zhuǎn)化，一個系統(tǒng)的總電荷嚴(yán)格保持不變。這是目前為止人們所知道的自然界精確規(guī)

15、律之一。電荷守恒定律在數(shù)學(xué)上用連續(xù)方程表示?？紤]空間中一確定區(qū)域V，其邊界為閉合曲面S。當(dāng)物質(zhì)運(yùn)動時，可能有電荷進(jìn)入或流出該區(qū)域。但是由于電荷不可能產(chǎn)生或消滅，如果有電荷從該區(qū)域流出的話，區(qū)域V內(nèi)的電荷必然減小。 山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建38通過界面流出的總電流應(yīng)該等于V內(nèi)的電荷減小率 應(yīng)用高斯定理把面積分變?yōu)轶w積分 SVddVt JSSddVJSJ()0VdVtJ山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建39應(yīng)用高斯定理把面積分變?yōu)轶w積分 由積分元dV的任意性，可得微分形式 0tJ()0VdVtJ山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建40以上公式是對任意變化電流成立的。在恒定電流情況下，一切物理的量不隨時間而變，因而 /t

16、 = 0，因此0J上式表示恒定電流的連續(xù)性。恒定電流分布是無源的，其流線必為閉合曲線，沒有發(fā)源點和終止點，換句話說，恒定電流（直流電）只能在閉合回路中通過，電路一斷，直流電就不能通過，這是我們熟知的事實。 41針對思考問題的知識擴(kuò)充針對思考問題的知識擴(kuò)充前述電流連續(xù)性方程的特點：前述電流連續(xù)性方程的特點： 面分布：面分布：Jt 電荷守恒定律電荷守恒定律 電荷：體電荷電荷：體電荷 電流：體電流電流：體電流新問題：新問題： 如果電荷為面電荷，電流是面電流，電流連續(xù)方程如何？如果電荷為面電荷，電流是面電流，電流連續(xù)方程如何？ 如果電荷為線電荷，電流為線電流，電流連續(xù)方程又如何？如果電荷為線電荷，電流

17、為線電流，電流連續(xù)方程又如何？答案：答案： 線分布：線分布：( )( , )ldI ll tdlt sssJt SVddVt JS1. 1. 庫侖定律庫侖定律 庫侖定律是靜電現(xiàn)象的基本實驗定律，它表達(dá)如下：真空中靜止點電荷Q對另一個靜止點電荷的Q作用力F為:式中r r為由Q到的Q徑矢，0真空電容率（真空介電常量）。山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建422114QQrrF 0rQQCoulombs lawCoulombs law, or Coulombs inverse-square law, is a law of physics describing the electrostatic interac

18、tion between electrically charged particles. The law was first published in 1784 by French physicist Charles Augustin de Coulomb and was essential to the development of the theory of electromagnetism. It is analogous to Isaac Newtons inverse-square law of universal gravitation. Coulombs law can be u

19、sed to derive Gausss law, and vice versa. The law has been tested heavily, and all observations have upheld the laws principle.Coulombs lawCoulombs law states that:The magnitude of the electrostatic force of interaction between two point charges is directly proportional to the scalar multiplication

20、of the magnitudes of charges and inversely proportional to the square of the distance between them.The force is along the straight line joining them. If the two charges have the same sign, the electrostatic force between them is repulsive; if they have different signs, the force between them is attr

21、active.庫侖定律只是從現(xiàn)象上給出兩電荷之間作用力的大小和方向，它并沒有解決這作用力的物理本質(zhì)問題。對庫侖定律可以有不同的物理解釋。一種觀點認(rèn)為兩電荷之間作用力是直接的超距作用，即一個電荷把作用力直接施加于另一電荷上；另一種觀點是相互作用通過電場來傳遞的，而不是直接的超距作用。 實踐證明通過場來傳遞相互作用的觀點是正確的。 山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建45山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建4630( )4FQrE xQr電場的基本性質(zhì)電場的基本性質(zhì)：對電場中的電荷有力的作用對電場中的電荷有力的作用 假設(shè)一個電荷周圍的空間存在著一種特殊的物質(zhì)，稱為電場。另一電荷處于該電場內(nèi)，就受到電場的作用力。對電荷有作

22、用力是電場特征性質(zhì)，我們就利用這性質(zhì)來描述該點上的電場。 用一個單位試驗電荷在場中所受的力來定義電荷所在點x x上的電場強(qiáng)度E E(x x)。電荷Q 在電場E E中所受的力F F為 山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建47FE Q一個靜止點電荷Q所激發(fā)的電場強(qiáng)度為: 山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建48214rrEe 0Q由實驗知道，電場具有疊加性，即多個電荷所激發(fā)的電場等于每個電荷所激發(fā)的電場的矢量和。設(shè)第i個電荷Qi到P點的距離為ri ,則P點上的總電場強(qiáng)度E E為 : 山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建4934iiiirE 0Q r在許多實際情況下可以把電荷看作連續(xù)分布于某一區(qū)域內(nèi)。 在V內(nèi)某點x上取一個體積元dV

23、，在dV 內(nèi)所含的電荷dQ等于該點上的電荷密度(x x )乘以體積dV ： 山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建50()ddV Q =x設(shè)由源點xx到場點x x的距離為r r,則P點上的電場強(qiáng)度E E為 式中積分遍及電荷分布區(qū)域。 山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建5131()( )4xdVrE 0 x r34iiiirE 0Q r在許多實際情況下可以把電荷看作連續(xù)分布于某一區(qū)域內(nèi)。 設(shè)電荷連續(xù)分布于區(qū)域V內(nèi)。在V內(nèi)某點x上取一個體積元dV ，在dV 內(nèi)所含的電荷dQ等于該點上的電荷密度(x x )乘以體積dV ： 山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建52()ddV Q =x對于線電荷及面電荷分布情況:山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建

24、53d Q =( x )dVd Q =( x )dsd Q =( x )dl山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建54,(19)(20)3(21)0(22)( )( )(23)( )( )rxiy jzk rrrrrrrf ufuurf rfrr 若，則有：山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建553,(24) ( ) 0(25)()0(26)(),()(27)(),()sVlSrxiy jzk rrf r rrrA dSA dVA dlA dS 若，則有：奧氏公式斯托克斯公式山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建560,(0)( ),(0)0,(0)( )1,(0)xxxVx dxV山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建573333411()0,

25、(0)33rrrrrrrrrrr r 不存在，(r=0)300(0)rdVdVVr山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建583333411()0,(0)33rrrrrrrrrrr r 不存在，(r=0)3323(0)44srrdVdSVrrrrrrr 山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建593333411()0,(0)33rrrrrrrrrrr r 不存在，(r=0)34( )rrr31( )4rrr山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建6034()rxxrxxrxxr若：山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建613,1()( )4rxx rxxxdVrE 0 x r31( )()41()4()41( )rxdVrxx dVE 000 xxx山東

26、大學(xué)物理學(xué)院 宗福建623,1()( )4rxx rxxxdVrE 0 x r1( )( )xE 0 x山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建631( )( )( )( )1( )1( )1svvvxx dSx dVdVdVQEEE 0000 xxx山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建641( )( )1( )sxx dSQEE 00 xGausss lawIn physics, Gausss law, also known as Gausss flux theorem, is a law relating the distribution of electric charge to the resulting ele

27、ctric field.The law was formulated by Carl Friedrich Gauss in 1835, but was not published until 1867.Gausss lawGausss law states that:The net electric flux through any closed surface is equal to 1 times the net electric charge enclosed within that closed surface.山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建67333343311()13001()( )41

28、( )()04( )0rrrrrrrrrr rxdVrrxdVrx EEE 00 x rx山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建6831()( )4( )( )( )0 xdVrxxEEE 00 x rx結(jié)論結(jié)論： 靜電場是無旋場，是保守場，電場力做功與路徑無關(guān)靜電場是無旋場，是保守場，電場力做功與路徑無關(guān) 靜電場是縱場靜電場是縱場, 電力線始于正電荷電力線始于正電荷,并止于負(fù)電荷并止于負(fù)電荷例例 電荷Q均勻分布于半徑為a的球內(nèi)，求各點的電場強(qiáng)度，并由此直接計算電場的散度。 山東大學(xué)物理學(xué)院 宗福建69解解 作半徑為r的球（與電荷球體同心）由對稱性，在球面上各點的電場強(qiáng)度有相同的數(shù)值E，并沿徑向。當(dāng)r a時，