（新課標(biāo)）分章精編---數(shù)列解答題一

1、數(shù)列三、解答題1.已知數(shù)列中，在直線y=x上，其中n=1,2,3.（1）令求證數(shù)列是等比數(shù)列; （2）求數(shù)列 設(shè)的前n項(xiàng)和,是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，試求出.若不存在,則說明理由。解：（I）由已知得 又是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.（II）由（I）知， 將以上各式相加得： （III）解法一：存在，使數(shù)列是等差數(shù)列.數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是、是常數(shù)即又當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列.解法二：存在，使數(shù)列是等差數(shù)列.由（I）、（II）知，又 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列.2.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且公比不等于1，數(shù)列對任意正整數(shù)n，均有：成立，又。（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n

2、項(xiàng)和；（）在數(shù)列中依次取出第1項(xiàng)，第2項(xiàng)，第4項(xiàng)，第8項(xiàng)，第項(xiàng)，組成一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（）當(dāng)時(shí)，比較與的大小。解：（I）設(shè)公比為 代入得即 ，是等差數(shù)列 =2 （） （3） 時(shí)，時(shí)，猜測時(shí)， 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下（1）時(shí)，（已證）（2）假設(shè)時(shí)不等式成立，即 時(shí)，又即時(shí)，不等式成立。由（1）（2）知，當(dāng)時(shí)， 3.已知數(shù)列的前項(xiàng)和和通項(xiàng)滿足.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； () 求證：；（）設(shè)函數(shù)，求.解：（）當(dāng)時(shí) ，由得數(shù)列是首項(xiàng)、公比為的等比數(shù)列，()證法1： 由得 ，證法2：由（）知， ， 即() 4.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，前項(xiàng)和為，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：解：（1）等差

3、數(shù)列中，公差 （2） 5.如圖，是曲線上的個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)在軸的正半軸上，是正三角形(是坐標(biāo)原點(diǎn)) .() 寫出；yxOA0P1P2P3A1A2A3()求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)關(guān)于的表達(dá)式；()設(shè)，若對任意正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：() .()依題意，則，在正三角形中，有 .， ， 同理可得 . -并變形得 ， ， . 數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列. ，. ()解法1 ：， . .當(dāng)時(shí)，上式恒為負(fù)值， 當(dāng)時(shí)，數(shù)列是遞減數(shù)列. 的最大值為. 若對任意正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則不等式在時(shí)恒成立，即不等式在時(shí)恒成立. 設(shè)，則且， 解之，得 或， 即的取值范圍是.解法2：， 設(shè)，則 .當(dāng)

4、時(shí)，在是增函數(shù). 數(shù)列是遞減數(shù)列. 的最大值為. 6.已知數(shù)列的前項(xiàng)和,（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè),且，求.解：（）Sn=n2+2n 當(dāng)時(shí)，當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=3， ,滿足上式， 故 （）, 7.已知函數(shù)，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)為，其中為正實(shí)數(shù).（1）用表示；（2）,若，試證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若數(shù)列的前項(xiàng)和，記數(shù)列的前項(xiàng)和，求。解：（1）由題可得，所以在曲線上點(diǎn)處的切線方程為，即令，得，即由題意得，所以 （2）因?yàn)?，所以即，所以?shù)列為等比數(shù)列故 （3）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為 的 得 故 8.定義一種運(yùn)算*，滿足（為非零實(shí)常數(shù)）

5、（1）對任意給定的k，設(shè)，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求k=2時(shí)，該數(shù)列的前10項(xiàng)和；（2）對任意給定的n，設(shè)，求證數(shù)列是等比數(shù)列，并求出此時(shí)該數(shù)列前10項(xiàng)的和；（3）設(shè)，試求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：（1） ，又 所以，所以, 所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列當(dāng)時(shí)，所以（2） ，又 故數(shù)列是公比為的等比數(shù)列當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，（3） ，而 所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，得 所以9.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，（n=1，2，3）數(shù)列中，點(diǎn)在直線上。（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）記，求滿足的最大正整數(shù)n。解：（1） 當(dāng)時(shí)，即 即數(shù)列是等比數(shù)列 即 點(diǎn)在直線上 即數(shù)列是等差數(shù)列，又 （2） 得即 即 于是又由于當(dāng)時(shí)，, 當(dāng)時(shí)，故滿足條

6、件最大的正整數(shù)n為410.在等差數(shù)列中，首項(xiàng)，數(shù)列滿足（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （II）求解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d， ，由，解得d=1. （2）由（1）得設(shè)，則兩式相減得.11.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為（1）求q的值；（2）若與的等差中項(xiàng)為18，滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解】 (1) ：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí),.是等差數(shù)列, , (2)解：, 又, 又得.,即是等比數(shù)列所以數(shù)列的前項(xiàng)和12.數(shù)列的前項(xiàng)和記為，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）等差數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，且，又成等比數(shù)列，求解：（1）由，可得，兩式相減得，又，故是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，（2）設(shè)的公差為，由得，于是，故可設(shè)，又，由題意可得

7、，解得，等差數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，13.設(shè)是公比大于1的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和已知，且構(gòu)成等差數(shù)列 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令求數(shù)列的前項(xiàng)和 解：（1）由已知得 解得設(shè)數(shù)列的公比為，由，可得又，可知，即，解得 由題意得 故數(shù)列的通項(xiàng)為 （2）由于 由（1）得 =14.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，. （）證明：數(shù)列是等比數(shù)列； （）設(shè)求使不等式 成立的正整數(shù) 的取值范圍.解：（I）由，則.兩式相減得. 即.又時(shí)，.數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列.（）由（I）知. 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，原不等式可化為，即. 故不存在合條件的.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.原不等式可化為，所以，又m為奇數(shù)，所以m=1,3,515.設(shè)數(shù)列

8、的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在直線上，為常數(shù)，()求；（）若數(shù)列的公比,數(shù)列滿足，求證：為等差數(shù)列，并求；（III）設(shè)數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和，且存在實(shí)數(shù)滿足，求的最大值解：（）由題設(shè)， 由，時(shí)， 得， （）由（）知 化簡得： 為等差數(shù)列， （III）由（）知 為數(shù)列的前項(xiàng)和，因?yàn)椋允沁f增的， 所以要滿足， 所以的最大值是16.數(shù)列 （1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （3）解：（1）由題意知：是等比數(shù)列（2）由（1）知數(shù)列以是a2a1=3為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，所以 故a2a1=3·20，所以a3a2=3·21，a4a3=3·22，所以（3） 1

9、7.我們用部分自然數(shù)構(gòu)造如下的數(shù)表：用（i、j為正整數(shù)），使；每行中的其余各數(shù)分別等于其“肩膀”上的兩個(gè)數(shù)之和（第一、二行除外，如圖），設(shè)第n（n為正整數(shù)）行中各數(shù)之和為b。 （1）試寫出的關(guān)系（無需證明）； （2）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （3）數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)恰好成等差數(shù)列？若存在求出p，q，r的關(guān)系；若不存在，請說明理由。解：（1）；可見：；， 2分猜測：（或或） 4分 （2）由（1） ， 所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即 （3）若數(shù)列中存在不同的三項(xiàng)恰好成等差數(shù)列，不妨設(shè)，顯然，是遞增數(shù)列，則 即，于是由且知，等式的左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，不成立，故數(shù)列中不

10、存在不同的三項(xiàng)恰好成等差數(shù)列. 18.已知等比數(shù)列中，分別是某等差數(shù)列的第5項(xiàng)，第3項(xiàng)，第2項(xiàng)，且，公比； （1）求 （2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和?！窘狻浚ǎ┮李}意得（）又19.已知數(shù)列（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)Tn為數(shù)列，求m的最小值?！窘狻浚↖）由題意知 （II） 的最小值為10。20.設(shè)數(shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對任意nN*,都有a13a23a33an3Sn2，其中Sn為數(shù)例an的前n項(xiàng)和（1）求證：an22Snan；（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)bn3n（1）n1·2an（為非零整數(shù)，nN*），試確定的值，使得對任意nN*,都有bn1>bn成立解：（1）由已

11、知，當(dāng)n1時(shí)，a13a12, 又a1>0,a11當(dāng)n2時(shí)，a13a23a33an3Sn2 a13a23a33an13Sn12由得，an3（SnSn1）（SnSa1）（SaSa1）an（SnSn1）an>0,an2SnSn1, 又Sn1Saaa,an22Snan當(dāng)n1時(shí)，a11適合上式 an22Snan（2）由（1）知，an22Snan, 當(dāng)n2時(shí)，an122Sn1an1,由得，an2an122（SnSn1）anan1anan1anan1>0,anan11,數(shù)列an是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1 ann（3）ann,bn3n（1）n1·2n 要使bn1>bn恒成

12、立，bn1bn3n13n（1）n·2n1（1）n1·2n2×3n3（1）n1·2n>0恒成立，即（1）n1<（）n1恒成立。當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即<（）n1恒成立又（）n1的最小值為1<1。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即>（）恒成立，又（）n1的最大值為，>即<<1，又0，為整數(shù)，1，使得對任意nN*,都有bn1<bn21.已知數(shù)列是等差數(shù)列，；數(shù)列的前n項(xiàng)和是，且() 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；() 求證：數(shù)列是等比數(shù)列；() 記，求的前n項(xiàng)和解： ()設(shè)的公差為，則：， （）當(dāng)時(shí)，由，得 當(dāng)時(shí)，即 是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)

13、列（）由（2）可知： 22.數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,an+1=2Sn(nN*) （1）求數(shù)列an的通項(xiàng)an； （2）求數(shù)列nan的前n項(xiàng)和Tn解：（），又，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)， （），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，得： 又也滿足上式，23.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a3=5，S15=225. （1）求數(shù)列an的通項(xiàng)an； （2）設(shè)bn=+2n，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn. 解：（）設(shè)等差數(shù)列an首項(xiàng)為a1，公差為d，由題意，得 解得 an=2n1 （）， = 24.設(shè)數(shù)列滿足當(dāng)時(shí)， （）求證：數(shù)列為等差數(shù)列； （）試問是否是數(shù)列中的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)；如果不是，說明理由

14、解：（1）根據(jù)題意及遞推關(guān)系有，取倒數(shù)得：，即所以數(shù)列是首項(xiàng)為5，公差為4的等差數(shù)列（2）由（1）得：，又所以是數(shù)列中的項(xiàng)，是第11項(xiàng)25.數(shù)列滿足.（1）求的值；（2）是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得，且數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出實(shí)數(shù)；若不存在，請說明理由；（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（）由得 （）假設(shè)存在實(shí)數(shù)t ,使得為等差數(shù)列. 則 為等差數(shù)列. ()由（）、（）知: 26.已知數(shù)列中，其前項(xiàng)和滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)(為非零整數(shù)，），試確定的值，使得對任意，都有成立解：（1）由已知，（，）， 即（，），且數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列（2），要使恒成立，恒成立，恒成立，恒成立（）

15、當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值為1，（）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值，即，又為非零整數(shù)，則綜上所述，存在，使得對任意，都有27.是上的函數(shù)，對于任意和實(shí)數(shù)，都有，且 （1）求的值； （2）令，求證：為等差數(shù)列；（3）求的通項(xiàng)公式。解：（1）令；再令 （2） 令代入已知得： （3）。28.已知分別以為公差的等差數(shù)列滿足（1）若，且存在正整數(shù)，使得，求證：； （2）若，且數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）在（2）的條件下，令，問不等式是否對恒成立？請說明理由。解：（1），推出是成立的，由均值不等式既得。（2）。（3）當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，恒成立。所以對

16、任意的正整數(shù)，不等式恒成立。29.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為a，公差為b，等比數(shù)列的首項(xiàng)為b，公比為a，其中a，b都是大于1的正整數(shù)，且（1）求a的值；（2）若對于任意的，總存在，使得成立，求b的值；（3）令，問數(shù)列中是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列？若存在，求出所有成等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)；若不存在，請說明理由解：（1）由已知，得由，得因a，b都為大于1的正整數(shù)，故a2又，故b3再由，得由，故，即由b3，故，解得 于是，根據(jù)，可得（2）由，對于任意的，均存在，使得，則又，由數(shù)的整除性，得b是5的約數(shù)故，b=5 所以b=5時(shí)，存在正自然數(shù)滿足題意（3）設(shè)數(shù)列中，成等比數(shù)列，由，得化簡，得（）當(dāng)時(shí)，時(shí)，等式（）

17、成立，而，不成立 當(dāng)時(shí)，時(shí)，等式（）成立當(dāng)時(shí)，這與b3矛盾這時(shí)等式（）不成立綜上所述，當(dāng)時(shí)，不存在連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，數(shù)列中的第二、三、四項(xiàng)成等比數(shù)列，這三項(xiàng)依次是18，30，5030.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，其中；（）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（）設(shè)數(shù)列的公比，數(shù)列滿足，（，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）記，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和為；解：（1）由， 相減得：，數(shù)列是等比數(shù)列 （2），是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列； （3）時(shí)， -得：，所以：31.已知數(shù)列中，且點(diǎn)在直線上. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若函數(shù)求函數(shù)的最小值； （3）設(shè)表示數(shù)列的前項(xiàng)和。試問：是否存在關(guān)于的整式，使得對于一切不小于2的自

18、然數(shù)恒成立？ 若存在，寫出的解析式，并加以證明；若不存在，試說明理由解：（1）由點(diǎn)P在直線上，即，且，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列 ，同樣滿足，所以 （2） - 所以是單調(diào)遞增，故的最小值是（3），可得， ， ，n2故存在關(guān)于n的整式g（x）=n,使得對于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立32.已知函數(shù)，數(shù)列滿足對于一切有，且數(shù)列滿足，設(shè)（）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并指出公比；（）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若（為常數(shù)），求數(shù)列從第幾項(xiàng)起，后面的項(xiàng)都滿足解（） 故數(shù)列為等比數(shù)列，公比為.（） 所以數(shù)列是以為首項(xiàng),公差為 loga3的等差數(shù)列. 又又=1+3,且 （） 假設(shè)第項(xiàng)后有 即第項(xiàng)后，于是

19、原命題等價(jià)于 故數(shù)列從項(xiàng)起滿足33.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（）若，求證數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的前項(xiàng)和解：（）n2時(shí)，n1時(shí)，適合上式，（），即數(shù)列是首項(xiàng)為4、公比為2的等比數(shù)列，Tn 34.已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為的(qR)的等比數(shù)列，若函數(shù)，且,，(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對一切，都有成立，求解：(1)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列 ，且 數(shù)列是公比為的(qR)的等比數(shù)列 ，且, (2) ， 設(shè) 綜上35.在正項(xiàng)數(shù)列中,令.（）若是首項(xiàng)為25,公差為2的等差數(shù)列,求；（）若（為正常數(shù)）對正整數(shù)恒成立,求證為等差數(shù)列；（）給定正整數(shù),正

20、實(shí)數(shù),對于滿足的所有等差數(shù)列,求的最大值.解：（）解：由題意得,所以=（）證:令,則=1所以=（1）,=（2）,（2）（1）,得=,化簡得（3）（4）,（4）（3）得在（3）中令,得,從而為等差數(shù)列 （）記,公差為,則=則,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立 36.在等差數(shù)列中，,.()求數(shù)列的通項(xiàng)；()令，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：()由，得方程組，解得 ()由()得，是首項(xiàng)是4，公比的等比數(shù)列。() 由 得： 相減可得： 37.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若且()求證是等差數(shù)列，并求出的表達(dá)式；() 若，求證解：（I）證明： 當(dāng)n2時(shí)，an = Sn Sn 1 又 ，若Sn = 0，則

21、an = 0，a1 = 0與a1 =矛盾！ Sn0，Sn 10 即 又是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列（2）解：由（I）知數(shù)列是等差數(shù)列即 當(dāng) 又當(dāng) （III）證明：由（II）知 38.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，并且滿足，（nN*）.（）求，；（）猜想的通項(xiàng)公式，并加以證明；（）設(shè)，且，證明：.解：（）分別令，2，3，得 ， （）證法一：猜想：，由 可知，當(dāng)2時(shí)， -，得 ，即. 1）當(dāng)時(shí)，； 2）假設(shè)當(dāng)（2）時(shí)，. 那么當(dāng)時(shí)， ，2， . 這就是說，當(dāng)時(shí)也成立，（2）. 顯然時(shí)，也適合.故對于nN*，均有 證法二：猜想：，1）當(dāng)時(shí)，成立； 2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，. 那么當(dāng)時(shí)，.， （以下同證法一）（）證法一

22、：要證，只要證，即， 將代入，得，即要證，即1. ，且，,即，故1成立，所以原不等式成立.證法二：，且， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”號(hào). 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”號(hào). +，得（），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”號(hào). 證法三：可先證. ， ， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào). 令，即得 ， 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào). 39.已知二次函數(shù)同時(shí)滿足：不等式 0的解集有且只有一個(gè)元素；在定義域內(nèi)存在，使得不等式成立,設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和.（）求函數(shù)的表達(dá)式；（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)各項(xiàng)均不為0的數(shù)列中，所有滿足的整數(shù)的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的變號(hào)數(shù)，令（）,求數(shù)列的變號(hào)數(shù).解：（）不等式0的解集有且只有一個(gè)元素 解得或當(dāng)時(shí)，函數(shù)在遞增，不滿足條件當(dāng)時(shí)，函數(shù)在

23、（，）上遞減，滿足條件綜上得，即（）由（）知 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí) （）由題設(shè)可得，都滿足 當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，數(shù)列遞增，由，可知滿足 數(shù)列的變號(hào)數(shù)為.40.已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列，設(shè)，數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.解：（1）由題意知， ，又，故 （2）由（1）知， 于是兩式相減，得41.已知等差數(shù)列和正項(xiàng)等比數(shù)列，求、；對，試比較、的大?。辉O(shè)的前項(xiàng)和為，是否存在常數(shù)、，使恒成立？若存在，求、的值；若不存在，說明理由解：由，得-1分 由且得所以，顯然，時(shí)，；時(shí)，時(shí)，-6分 因?yàn)?、，所以時(shí)，恒成立，則有，解得，所以，當(dāng)，時(shí)，恒成立42.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列滿足: ,且數(shù)

24、列的前n項(xiàng)和為.(1)求的值； (2)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(3)抽去數(shù)列中的第1項(xiàng)，第4項(xiàng)，第7項(xiàng)，第3n-2項(xiàng)，余下的項(xiàng)順序不變，組成一個(gè)新數(shù)列，若的前n項(xiàng)和為，求證：.解:(1)由題意得: ;當(dāng)n=1時(shí),則有: 解得: ;當(dāng)n=2時(shí),則有: ,即,解得: ; (2) 由 得: - 得: ,即: 即:;,由知: 數(shù)列是以4為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列(3)由(2)知: ,即當(dāng)n2時(shí), 對n=1也成立, 即(n數(shù)列為,它的奇數(shù)項(xiàng)組成以4為首項(xiàng)、公比為8的等比數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)組成以8為首項(xiàng)、公比為8的等比數(shù)列；當(dāng)n=2k-1 時(shí), 當(dāng)n=2k 時(shí),.43.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式

25、；（2）若數(shù)列滿足，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，試證明：恒成立。解：（1）設(shè)等差數(shù)列 所以d=3 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式（2） 當(dāng)n2時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)恒成立44.已知數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)（3）設(shè)是否存在最大的整數(shù)m，使得對任意，均有成立？若存在，求出m，若不存在，請說明理由。解：（1） （2）（3）由（1）可得則由Tn為關(guān)于n的增函數(shù)，故，于是欲使恒成立則 存在最大的整數(shù)m=7滿足題意45.已知數(shù)列滿足：，且（）求； （）求證數(shù)列為等比數(shù)列并求其通項(xiàng)公式；（）（理）求和S2n+1=（文）求和解：（）（）當(dāng) （理）（） （文）（） =46.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，的等比中項(xiàng)。

26、（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn。解：（1）由題意，當(dāng)即 即 是等差數(shù)列（2） 得 47.an為等差數(shù)列，且，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，設(shè) （1）比較f（n）與f（n+1）的大??；（2）若，在xa，b且對任意n1，nN*恒成立，求實(shí)數(shù)a、b滿足的條件。 解：（1）an=n，f（n+1）- f（n）=S2（n+1）- Sn+1- S2n- Sn= S2（n+1）- S2n- （Sn+1-Sn）= a2n+2+ a2n+1-an+1 =-=0 f（n+1） f（n）（2）由上知： f（n）為遞增數(shù)列，只須log2x12 f（2）成立，f（2）= S4-S2= log2x7， 0

27、x128， 0ab128 48.若公比為c的等比數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1，且滿足an=，n=3，4，5，（1）求c的值；（2）設(shè)bn=n·an求數(shù)列bn的前項(xiàng)和Sn .解：（1）2a3 =a2+a1，c=1，c=-，（2）當(dāng)c=1時(shí)，an=1，bn=n·an=n，Sn= 當(dāng)c=-時(shí)，an=（-）n-1，bn=n·an=n（-）n-1，Sn= 1·（-）1-1+2·（-）2-1+3·（-）3-1+n·（-）n-1 -Sn= 1·（-）2-1+2·（-）3-1+（n-1）·（-）n-1+ n·

28、;（-）n相減得；Sn=-（+）·（-）n 49.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為且（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（）設(shè)，證明：解：（）（1） (2) （2)(1)得： ，所以 （3分）（） （3） （4）（3)(4)得： 50.已知數(shù)列滿足（1）求（2）設(shè)的通項(xiàng)公式；（3）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：（1） 證明：（2） （3）當(dāng)時(shí)，有 而51.設(shè)a>2，給定數(shù)列求證：（1），且 （2）如果。證明：（1）使用數(shù)學(xué)歸納法證明 當(dāng)n=1時(shí)，假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即當(dāng) 即 綜上對一切當(dāng)>2時(shí)， （2）因?yàn)?gt;2，所以故由此可得52.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在直線上，其中.令，且

29、，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和解：（1），. （）.（）. （）.（）.數(shù)列等比，公比，首項(xiàng)，而，且，. . .（2）， 2. -得 -，. 53.設(shè)正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對任意的，是和的等差中項(xiàng)（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）在集合，且中，是否存在正整數(shù)，使得不等式對一切滿足的正整數(shù)都成立？若存在，則這樣的正整數(shù)共有多少個(gè)？并求出滿足條件的最小正整數(shù)的值；若不存在，請說明理由；解：（1）由題意得， ， 當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，有 ，式減去式得，于是，因?yàn)?，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列， 所以的通項(xiàng)公式為（）（2）設(shè)存在滿足條件的正整數(shù)，則，又，所以，均滿足條件，它們組

30、成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列設(shè)共有個(gè)滿足條件的正整數(shù)，則，解得所以，中滿足條件的正整數(shù)存在，共有個(gè)，的最小值為（3）設(shè)，即，（15分），則，其極限存在，且注：（為非零常數(shù)），（為非零常數(shù)），（為非零常數(shù)，）等都能使存在按學(xué)生給出的答案酌情給分，寫出數(shù)列正確通項(xiàng)公式的得3分，求出極限再得3分54.觀察數(shù)列：；正整數(shù)依次被4除所得余數(shù)構(gòu)成的數(shù)列；(1)對以上這些數(shù)列所共有的周期特征，請你類比周期函數(shù)的定義，為這類數(shù)列下一個(gè)周期數(shù)列的定義：對于數(shù)列，如果_，對于一切正整數(shù)都滿足_成立，則稱數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列；(2)若數(shù)列滿足為的前項(xiàng)和，且，證明為周期數(shù)列，并求； (3)若數(shù)列的首項(xiàng)，且，判斷數(shù)列

31、是否為周期數(shù)列，并證明你的結(jié)論.解：(1) 存在正整數(shù)；(2)證明：由 所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)由于是 又所以，(3)當(dāng)=0時(shí)，是周期數(shù)列，因?yàn)榇藭r(shí)為常數(shù)列，所以對任意給定的正整數(shù)及任意正整數(shù)，都有，符合周期數(shù)列的定義.當(dāng)時(shí)，是遞增數(shù)列，不是周期數(shù)列.下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：當(dāng)時(shí)，因?yàn)樗?，?所以假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即，則即 所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立.根據(jù)、可知，是遞增數(shù)列，不是周期數(shù)列.55.如圖是一個(gè)具有行列的數(shù)表，第一行是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，第一列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，其它空格按照“任意一格的數(shù)是它上面一格的數(shù)與它左邊一格的數(shù)之和”的規(guī)則填寫。設(shè)表示第行第列

32、的數(shù).1qq2qn-11+d1+2d1+(n-1)d (1)求的表達(dá)式；(2)第二行能否構(gòu)成等比數(shù)列？若能，求出滿足的條件；若不能，請說明理由.(3)請根據(jù)這張數(shù)表提出一個(gè)與問題(2)相類似的問題，并加以研究和解決(根據(jù)所提問題的難度及解答情況評(píng)分).解：() ()若成等比數(shù)列，則成等比數(shù)列，整理，得此時(shí)， ，成等比數(shù)列，此時(shí)，()(以下根據(jù)提出問題的難易及解答情況給分)問題：第2行能否成等差數(shù)列？研究：若成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，解得，此時(shí)，=，成等差數(shù)列，此時(shí)，問題：第2列能否成等差數(shù)列？研究略；問題：第2列能否成等比數(shù)列？問題：第3行能否成等差數(shù)列？56.已知二次函數(shù)對任意滿足，且圖像經(jīng)

33、過點(diǎn)及坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3）對(2)中，設(shè)為數(shù)列前項(xiàng)和，試問：是否存在關(guān)于的整式，使得對于一切不小于的自然數(shù)恒成立？若存在，寫出的解析式，并加以證明；若不存在，請說明理由.解：() () ()，設(shè)存在滿足條件的. 當(dāng)，解得. 當(dāng),解得. 猜想：.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：證明：(1)當(dāng)時(shí)，由上述可知，結(jié)論成立，(2)假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即成立， 則時(shí)，左邊= 即時(shí)，結(jié)論也成立；根據(jù)(1)(2)可知，對時(shí)，結(jié)論成立. 因此，存在滿足條件.57.已知：.若數(shù)列使得成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)設(shè)，若的前項(xiàng)和為，求.解:(1) (2) ，-，

34、整理，得58.設(shè)數(shù)列的圖象上。 （1）求的表達(dá)式； （2）設(shè)使得不等式 都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由； （3）將數(shù)列依次按1項(xiàng)，2項(xiàng)循環(huán)地分為，分別計(jì)算各個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來括號(hào)的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為的值； （4）如果將數(shù)列依次按1項(xiàng)，2項(xiàng)，3項(xiàng)，項(xiàng)循環(huán)；分別計(jì)算各個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來括號(hào)的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為，提出同（3）類似的問題（3）應(yīng)當(dāng)作為特例），并進(jìn)行研究，你能得到什么樣的結(jié)論？解：（1） （2） 設(shè) 故 要使不等式（3）數(shù)列依次按1項(xiàng)， 2項(xiàng)循環(huán)地分為（2），（4，6），（8），（10，12）；（14），（16，18）；（20）

35、，每一次循環(huán)記為一組。由于每一個(gè)循環(huán)含有2個(gè)括號(hào)，故b100是第50組中第2個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和。由分組規(guī)律知，的等差數(shù)列。所以 （4）當(dāng)n是m的整數(shù)倍時(shí)，求的值。數(shù)列依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)，m項(xiàng)循環(huán)地分為（2），（4，6），（8，10，12），第m組，第2m組，第組的第1個(gè) 數(shù)，第2個(gè)數(shù)，第m個(gè)數(shù)分別組成一個(gè)等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為則第m組、第2m組，第km組，的各數(shù)之和也組成一個(gè)等差數(shù)列，其公差為 第m組的m個(gè)數(shù)之和為 當(dāng)58.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（為正整數(shù)）.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記.若對任意正整數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值. 解 （1）， 當(dāng)時(shí)，. 由 - ，得. . 又 ，解得 .

36、 數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列. （為正整數(shù)）. （2）由（1）知，. 由題意可知，對于任意的正整數(shù)，恒有，解得 . 數(shù)列單調(diào)遞增， 當(dāng)時(shí)，數(shù)列中的最小項(xiàng)為， 必有，即實(shí)數(shù)的最大值為.59.如圖，在直角坐標(biāo)系中，有一組對角線長為的正方形，其對角線依次放置在軸上（相鄰頂點(diǎn)重合）. 設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）當(dāng)時(shí)，證明：頂點(diǎn)不在同一條直線上；（2）在（1）的條件下，證明：所有頂點(diǎn)均落在拋物線上；（3）為使所有頂點(diǎn)均落在拋物線上，求與之間所應(yīng)滿足的關(guān)系式. 證明（1）由題意可知， . ， 頂點(diǎn)不在同一條直線上. （2）由題意可知，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)， 頂點(diǎn)的縱坐標(biāo). 對任意正整數(shù)

37、，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程， 所有頂點(diǎn)均落在拋物線上.（3）解法一 由題意可知，頂點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別是 消去，可得 . 為使得所有頂點(diǎn)均落在拋物線上，則有 解之，得 . 所應(yīng)滿足的關(guān)系式是：.解法二 點(diǎn)的坐標(biāo)為 點(diǎn)在拋物線上， . 又點(diǎn)的坐標(biāo)為 且點(diǎn)也在拋物線上， ，把點(diǎn)代入拋物線方程，解得 . 因此， 拋物線方程為.又 所有頂點(diǎn)落在拋物線上. 所應(yīng)滿足的關(guān)系式是：. 60.在數(shù)列中，對任意，有，且，在個(gè)1與第個(gè)l之間恰有個(gè)2，即1，2，1，2，2，1， (1)第10個(gè)1是的第幾項(xiàng)?第個(gè)1呢? (2)求 (3)設(shè)表示的前項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)，使或若存在，求的值，若不存在，請說明理由解：（1）在第10個(gè)

38、1之前有1+2+29-1=511個(gè)2.所以第10個(gè)1是511+10=521項(xiàng) 61.設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)， ， .（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）求證： .解：由條件得： 為等比數(shù)列 由 得 又 （或由即），為遞增數(shù)列. 從而 62.各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，是數(shù)列的前項(xiàng)和，對任意，有 （1） 求常數(shù)的值；（2） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；記；（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和解：（1）由及，得： （2）由 得 由，得 即： 由于數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)， 即 數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列， 數(shù)列的通項(xiàng)公式是 （3）由，得： 63.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（為正整數(shù)）.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記.若

39、對任意正整數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.解 （1）， 當(dāng)時(shí)，. 由 - ，得. . 又 ，解得 . 數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列. （為正整數(shù)）. （2）由（1）知，. 由題意可知，對于任意的正整數(shù)，恒有，解得 . 數(shù)列單調(diào)遞增， 當(dāng)時(shí)，數(shù)列中的最小項(xiàng)為， 必有，即實(shí)數(shù)的最大值為. 64.已知數(shù)列 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）求證數(shù)列是等比數(shù)列； （3）求使得的集合。解：（1）設(shè)數(shù)列由題意得：解得： （2）依題， 為首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列 （3）由65.已知數(shù)列滿足，是數(shù)列的前項(xiàng)和，對任意，有. () 求的值； ()計(jì)算的值,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式解：（）令得,又 得；() 令得,又,

40、得,; 令得,又,得,; 由，得，兩式相減，得，即，因?yàn)?，所以，即，故是首?xiàng)為1,公差為的等差數(shù)列,得66.已知公差大于零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足：，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求非零常數(shù)c；（3）若(2)中的的前n項(xiàng)和為，求證：解：（1）為等差數(shù)列，又， ，是方程的兩個(gè)根又公差， （2）由(1)知， ， 是等差數(shù)列， （舍去）（3）由(2)得 ，時(shí)取等號(hào) ，時(shí)取等號(hào)(1)、(2)式中等號(hào)不可能同時(shí)取到，所以67.已知數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和.（）求證：; （）記，為的前n項(xiàng)和，求的值.解：（1）由，得， -得：.（2）由求得.，.68.設(shè)是函數(shù)的圖象上滿足下面條

41、件的任意兩點(diǎn)。若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為。1. 求證：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定植；2. 若求已知，(其中),又知為數(shù)列a的前項(xiàng)和，若對于一切都成立，試求的取值范圍。解：（1） M是AB中點(diǎn)，設(shè)M為（x，y） 由，得， 或 M點(diǎn)的縱坐標(biāo)的定值為 （2）由（1）知， 則， ， ， 上述兩式相加，得 （3）當(dāng)n=1時(shí)，由，得，得。 當(dāng)時(shí)， 由，得， ，（當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，=成立） 。綜上所述，若對一切都有成立，由于，所以 14分69.等差數(shù)列中，為方程的兩根，前項(xiàng)和為等比數(shù)列的前項(xiàng)和（為常數(shù)）（I）求；（II）證明：對任意，；（III）證明：對任意，（I）解：由得， ， 為等比數(shù)列 = （II）證明：方程的兩根為37

42、，由知， 等差數(shù)列的公差 要證，只要證明 即下面用數(shù)學(xué)歸納法證明成立（i）當(dāng)，2，3時(shí)，不等式顯然成立，（ii）假設(shè)當(dāng)（）時(shí)，不等式成立，即當(dāng)+1時(shí)，即，此時(shí)不等式也成立由（i）（ii）知，對任意，成立所以，對任意，（III）證明：由（II）已證成立，兩邊取以3為底的對數(shù)得，70.設(shè)數(shù)列滿足（I）求數(shù)列的通項(xiàng)；（II）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（I） 當(dāng)時(shí)，將得 在中，令得（II）由得則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí), 則又 71.已知數(shù)列項(xiàng)、公比都為q（q>0且q1）的等比數(shù)列，. （1）當(dāng)q=5時(shí)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn； （2）當(dāng)時(shí)，若，求n的最小值.解：（1）由題得設(shè)（1）（2分）兩式相減： （2），即取

43、時(shí)，. 所求的最小自然數(shù)是1572.數(shù)列滿足=a，=a（a>0），且從第二項(xiàng)起是公差為6的等差數(shù)列，是（）的前n項(xiàng)和， （1）當(dāng)n2時(shí)，用a與n表示與； （2）說在與兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是的最小值，試求a的取值范圍； （3）若a為正整數(shù)，在（2）的條件下，設(shè)取為最小值的概率是，取為最小值的概率是，比較與的大小解：（1）由已知，當(dāng)n2時(shí)，an=-a+6（n-2），即an=6n-（a+12）. Sn=a1+a2+a3+an=a+（n-1）（-a）+ =3n（a+9）n+2a+6 （2） 由已知，當(dāng)n2時(shí)，an是等差數(shù)列，公差為6，數(shù)列遞增. 若S6是Sn的最小值，則 a60 a70 即 24-a

44、0 30-a0 24a30 若是的最小值;則 a70 a80 即 30-a0 36-a0 30a36 當(dāng)S6與S7兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是Sn的最小值時(shí)，a的取值范圍是24，36 （3）a是正整數(shù)，由（2）知，a為=24，25，26，36 當(dāng)S6是Sn最小值時(shí)，a=24，25，26，27，28，29，30 當(dāng)S7是Sn最小值時(shí)，a=30，31，32，33，34，35，36 P1=P2=73.已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為的等比中項(xiàng). （）求證：數(shù)列是等差數(shù)列； （）若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn； （）在（）的條件下，是否存在常數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列？若存在，試求出；若不存在，說明理由.解：（）由的等比中項(xiàng)，得當(dāng)n = 1時(shí)，；當(dāng)n2時(shí)，即，即 數(shù)列an是等差數(shù)列. （）數(shù)列an首項(xiàng)公差，通項(xiàng)公式為： 則 則 ，兩邊同乘以，得，得 ，解得 （），數(shù)列為等比數(shù)列的充要條件是，（A、q是不為0的常數(shù)）當(dāng)