高數(shù)下冊上課第08章01向量

1、開始上學(xué)期最高分經(jīng)管學(xué)院：唐松慧93，吳雙92，吳師為90，沈文英90。信息學(xué)院：羅天擎100，時(shí)麗丹98，次雨桐97，高凡95。測繪學(xué)院：唐茂峰100，尹建鵬97，吳仁攀95，彭祥95。很遺憾，三個(gè)學(xué)院都有同學(xué)不及格。有一個(gè)問題值得思考：上學(xué)期有個(gè)老師說，兩個(gè)班同一個(gè)老師同一個(gè)教室上課，其中一個(gè)班四十幾個(gè)同學(xué)只有一個(gè)不及格，另一個(gè)班二十個(gè)同學(xué)卻個(gè)不及格。這說明了什么？班風(fēng)學(xué)風(fēng)不一樣后果就不一樣！同樣的老師上課，相同的環(huán)境中學(xué)習(xí)，有的同學(xué)考了100分，有點(diǎn)同學(xué)卻及格難保。原因何在？有一點(diǎn)是可以肯定的，我們的同學(xué)那個(gè)也不笨，笨能考上武大媽？沒及格肯定是努力不夠甚至上課沒專心聽。希望不及格的同學(xué)對

2、自己的未來負(fù)責(zé)，認(rèn)真總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，采取有效措施，迎頭趕上。這學(xué)期，我們有一個(gè)目標(biāo)：每個(gè)班都有同學(xué)100分；不及格率在5%以下。這學(xué)期，我們有一個(gè)理想：每個(gè)班都有兩個(gè)同學(xué)100分；不及格率0%。我們的目標(biāo)一定要達(dá)到，我們的目標(biāo)一定能夠達(dá)到！這是高數(shù)最后一個(gè)學(xué)期，機(jī)不可失，時(shí)不再來。想及格嗎？提供下面策略供你參考：下冊一共考5章，按平均算，每章20分。第8章不需要上學(xué)期的知識(shí)，第13章基本不需要上學(xué)期的知識(shí)，希望上學(xué)期沒及格的同學(xué)下大力氣把這40分拿到手；復(fù)習(xí)上學(xué)期簡單求導(dǎo)求定積分的知識(shí)，在第9、10、11章拿到15個(gè)簡單分。就及格了。想高分甚至100分嗎？提供下面策略供你參考：上課認(rèn)真聽講，每節(jié)

3、課都不留疑點(diǎn)，課后把每節(jié)課的內(nèi)容練熟、鞏固，并與上學(xué)期內(nèi)容很好聯(lián)接。及早復(fù)習(xí)，復(fù)習(xí)時(shí)爭取掃清所有內(nèi)容。有的同學(xué)學(xué)了半天，也不知道自己懂了沒有。多和同學(xué)、老師交流，就容易發(fā)現(xiàn)自己是否懂了，真懂還是假懂。請注意：下冊很多內(nèi)容不追求嚴(yán)格證明，只要求理解、記住、練熟、掌握解題方法。班輔導(dǎo)員的聯(lián)系方式：經(jīng)管學(xué)院：信息學(xué)院：測繪學(xué)院：第8章空間解析幾何與向量代數(shù)下冊的主要內(nèi)容有三方面：1、向量代數(shù)和空間解析幾何；2、多元函數(shù)微積分；3、無窮級數(shù)。其中，多元函數(shù)微積分是我們的主要方面；空間解析幾何是多元函數(shù)微積分必不可少的基礎(chǔ)；而向量代數(shù)又是空間解析幾何的基礎(chǔ)和工具。因此，我們從向量代數(shù)開始學(xué)習(xí)。向量代數(shù)就

4、是向量運(yùn)算的理論。這一章基本上不需要上學(xué)期的知識(shí)，只需要中學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。立體想象幫助思考。想及格嗎？絕不能放過這一章！第1節(jié)向量及其線性運(yùn)算1.1向量的概念在中學(xué)我們認(rèn)識(shí)了兩種量：1、 只有大?。ǘ嗌伲┑牧?，稱為數(shù)量（純量或標(biāo)量）。例如體積、質(zhì)量、距離、時(shí)間、實(shí)數(shù)等。2、 既有大小、又有方向的量，稱為向量。例如力、速度、加速度等。下面我們將對向量做詳細(xì)系統(tǒng)的學(xué)習(xí)。我們通常用小寫粗體字母或上面加有箭頭的字母表示向量，如向量，或，等。由于書寫粗體字母不方便，通常我們用后一方法表示向量。向量既有大小又有方向，向量也只有大小和方向。（和的大小相等且方向一致）。大小等于的向量稱為零向量，記為。注意：任意

5、方向都是零向量的方向。大小等于的向量稱為單位向量，通常記為。1.1.1在立體幾何空間中向量的的表示方法在立體幾何空間（簡稱空間）中，我們用一條有方向的線段(即有向線段)來表示向量有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向以為始點(diǎn)，為終點(diǎn)的有向線段所表示的向量記為。零向量的終點(diǎn)與始點(diǎn)重合。向量的大小稱作向量的模，或長度，也稱為向量的范數(shù)。向量與的模分別記作與。顯然，。向量只有大小和方向，不區(qū)別空間位置。把平移到則。（提問：共有多少個(gè)零向量？共有多少個(gè)單位向量？）1.1.2兩個(gè)向量的的關(guān)系設(shè)是兩個(gè)向量。適當(dāng)平移使得和的始點(diǎn)重合，它們就形成一個(gè)夾角，稱為向量與的夾角，記作。如果和的方

6、向相同或相反，則稱這兩個(gè)向量平行，記作。由于零向量的方向是任意的，因此零向量與任意向量都平行。兩向量平行時(shí)，若將它們的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí)，它們的終點(diǎn)和公共起點(diǎn)應(yīng)在同一直線上，因此，兩向量平行，又稱兩向量共線。類似地，還有向量共面的概念。設(shè)有個(gè)向量，若將它們的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí)，這個(gè)終點(diǎn)和公共起點(diǎn)都在一個(gè)平面上，則稱這個(gè)向量共面。1.2向量的線性運(yùn)算1向量的加法在中學(xué)物理中，我們用平行四邊形法則將兩個(gè)力或兩個(gè)速度相加。類似地，我們用平行四邊形法則把兩個(gè)向量相加如下：如圖1.1所示，設(shè)，以與為邊作一平行四邊形，取對角線向量，記，稱為和的和，記作。這種用平行四邊形的對角線向量作為兩個(gè)向量之和的方法稱作向

7、量加法的平行四邊形法則。圖1.2圖1.1由于，如果用表示，擦去和剩下，也可以確定。因此，可以這樣來作出兩向量的和向量：如圖1.2，設(shè)，以的終點(diǎn)為起點(diǎn)作，連接得稱這一法則為向量加法的三角形法則三角形法則其實(shí)也是接龍法（前一向量的頭與后一向量的尾相接）。平行四邊形法則和三角形法則得到的和向量一致。根據(jù)向量的加法的定義，可以證明向量加法具有下列運(yùn)算規(guī)律：(1)交換律 ;(2)結(jié)合律 。證根據(jù)平行四邊形法則和三角形法則。(1)如圖1.1，(2)如下圖， 由于結(jié)合律，向量相加無需寫括號。向量的接龍加法可推廣到個(gè)向量相加如下：作， (圖1.3)，最后作，則（注意始終點(diǎn)字母的規(guī)律。）圖1.3圖1.4與大小相

8、等而方向相反的向量稱為的負(fù)向量，記作定義兩向量與的差為向量： ，這種運(yùn)算稱為向量的減法特別地，由三角形法則可看出：要從減去，只要把與長度相同而方向相反的向量加到向量上去由平行四邊形法則，可按圖1.4作出向量：即向量是由的終點(diǎn)向的終點(diǎn)所引的向量思考題：1 證明三角形不等式：（這是平面幾何的三角形不等式。）2向量與數(shù)的乘法任意給了實(shí)數(shù)和向量，定義與的乘積（簡稱數(shù)乘）為一新的向量，記作。定義如下：（定義好了的大小和方向也就定義好了）顯然，。若，則（）；（）由上述定義，不難推出數(shù)乘向量運(yùn)算滿足下列運(yùn)算規(guī)律：(1)結(jié)合律 顯然，向量的方向相同，且故 .(2)分配律；同樣由數(shù)與向量乘積的定義也可證明（略）

9、設(shè)，用表示與同方向的單位向量由于都與方向相同，而且，因此（）把單位化為。向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算稱為線性運(yùn)算。很明顯，。關(guān)于兩向量是否平行的判斷方法，我們有如下定理：定理1.1設(shè)向量，那么向量的充分必要條件是：存在惟一的實(shí)數(shù)，使（此充要條件稱為平行條件。）證 由數(shù)乘的定義，充分性是明顯的。以下證必要性.設(shè)。取。根據(jù)數(shù)乘的定義，。如果另有實(shí)數(shù)，滿足，則，從而因此滿足條件的是唯一的證畢若向量且，則必有 (1.2)設(shè)數(shù)軸，其原點(diǎn)為，將與軸的正向同方向的單位向量記作，為軸上任意一點(diǎn)，其坐標(biāo)為，則圖1.5因此，從而得以下推論:推論對數(shù)軸上任意一點(diǎn)，軸上有向線段都可唯一地表示為點(diǎn)的坐標(biāo)與軸上單位向量的乘積:

10、.思考題：2 設(shè)向量，試給出的充分必要條件（）*向量可以表成向量的線性組合意即：存在實(shí)數(shù)使得。類似于兩向量平行的充分必要條件，對于向量共面，有如下的充分必要條件：定理1.2三非零向量，共面的充分必要條件是其中一個(gè)向量可以表成其余兩個(gè)向量的線性組合.圖1.6證若三向量，均不共線充分性不妨設(shè)，為非零實(shí)數(shù)，任取一點(diǎn)，作，則就是以，為鄰邊的平行四邊形的對角線所對應(yīng)的向量，因此三向量，共面，但與共線，與共線，從而，共面.必要性若向量，共面，則總可將它們平移使其共起點(diǎn)，如圖1.6所示，設(shè)，且，過點(diǎn)分別作交于，交于，則四邊形為平行四邊形，因此有，記，得.若三向量，中有兩個(gè)如，共線，則，為非零實(shí)數(shù)。當(dāng)，即，故與共線，與也共線，自然與，共面.反之，若向量，共面，而，共線，故，即可表成向量，的線性組合.證畢由定理1.2不難得到推論三向量，共面的充分必要條件是存在不全為零的數(shù)，使得（以后表示向量時(shí)，我們粗體字母和帶箭頭的字母混用。）習(xí)題81A類1設(shè)為三角形