J曲線在坐標(biāo)面上的投影和空間區(qū)域簡(jiǎn)圖

1、4 4 曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)設(shè) 是一條曲線，是一條曲線， 是一個(gè)平面，曲線上每一是一個(gè)平面，曲線上每一點(diǎn)在平面上有一個(gè)垂足，這些垂足構(gòu)成的曲線，點(diǎn)在平面上有一個(gè)垂足，這些垂足構(gòu)成的曲線，叫做曲線在平面上的叫做曲線在平面上的投影投影投影柱面投影柱面：過(guò)曲線：過(guò)曲線 上上的每一點(diǎn)，都有平面的每一點(diǎn)，都有平面 的一條垂線，這些垂線的一條垂線，這些垂線構(gòu)成的柱面。構(gòu)成的柱面。1如果已知 的方程和平面 的方程如何求投影 的方程呢？11投影就是投影柱面和平面的交線12( , , )0,:( , , )0.:0.設(shè)空間曲線 的方程為平面 的方程為F x y zF x y zAxByCz

2、D( , , )在投影柱面上任意取一點(diǎn)，那么過(guò) 點(diǎn)垂直于平面 的直線L的參數(shù)方程可以設(shè)為P x y zP,.xxAtyyBtzzCt0000,(,)因?yàn)橹本€L和曲線 必定會(huì)相交，所以存在使得:txAtyBt zCt10002000(,)0,(,)0.F xAtyBtzCtF xAtyBtzCt0( , , )0消掉參數(shù) ，得到投影柱面的方程：tx y z投影柱面的方程：投影柱面的方程：投影的方程：投影的方程：( , , )0:0.投影柱面的方程為：。平面 的方程為x y zAxByCzD從而得到投影的方程( , , )00.，x y zAxByCzD10002000(,)0,(1)(,)0.F

3、 xAtyBt zCtF xAtyBt zCt0( , , )0.其中是由下列方程組消去參數(shù) 得到x y zt如果 就是坐標(biāo)平面情況又如何呢？如 是平面.XY100200.0,1.( , ,)0,( , ,)0.( , , )0.XYzABCF x y zttF x y ztx y z如果 是平面.即 的方程為所以代入方程(1)得到消去參數(shù)得到投影柱面方程: 12( , , )0,( , , )0.( , )0F x y zzF x y zx y所以,可以直接從方程組消去參數(shù)得到投影柱面方程:,( , , )0XYx y zz由于投影柱面垂直于平面所以方程與 無(wú)關(guān).12( , , )0( ,

4、, )0F x y zF x y z( , )0 x y曲線關(guān)于曲線關(guān)于 面的面的投影柱面投影柱面xy設(shè)空間曲線的一般方程：設(shè)空間曲線的一般方程：以此空間曲線為準(zhǔn)線，以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面垂直于所投影的坐標(biāo)面.投影柱面的投影柱面的特征特征：曲線在坐標(biāo)面內(nèi)的投影的方程曲線在坐標(biāo)面內(nèi)的投影的方程求其在求其在xy平面上的投影曲線方程平面上的投影曲線方程.消去變量消去變量 后得：后得：z類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影 0 x 0y面上的面上的投影曲線投影曲線:yz面上的面上的投影曲線投影曲線:xz空間曲線在空間曲線在 面上的面上的

5、投影曲線投影曲線:xy12( , , )0( , , )0F x y zF x y z設(shè)空間曲線的一般方程：設(shè)空間曲線的一般方程：(投影柱面投影柱面) 0z( , )0 x y0),( zyR(投影柱面投影柱面)0),( zxT(投影柱面投影柱面)例例1 1 求曲線求曲線222222,0 xyzaxyax(0)a :在各個(gè)坐標(biāo)平面的投影在各個(gè)坐標(biāo)平面的投影.第一個(gè)方程所表示的曲面是球面。而第二個(gè)方程所表示的曲面是圓柱面，其和平面的交是一個(gè)圓，方程為XY220,0.xyaxz22(),240即aaxyz220,0 xyaxz 曲線在曲線在 平面的投影：消掉平面的投影：消掉zXY曲線在曲線在 平面

6、的投影：消掉平面的投影：消掉yXZ220,0zaxay曲線在曲線在 平面的投影：消掉平面的投影：消掉xYZ4222()0,0zayzx0,0因?yàn)樗詮牡诙€(gè)方程可知ax221(-),從第一個(gè)方程解出帶入第二個(gè)方程得xaza例例2 2 求曲線求曲線 在坐標(biāo)面上的投影在坐標(biāo)面上的投影. 211222zzyx解解（1）消去變量）消去變量z后得后得,4322 yx在在 面上的投影為面上的投影為xy,04322 zyx所以在所以在 面上的投影為線段面上的投影為線段.xz;23|,021 xyz（3）同理在）同理在 面上的投影也為線段面上的投影也為線段.yz.23|,021 yxz（2）因?yàn)榍€在平面）因

7、為曲線在平面 上，上，21 z 211222zzyx曲曲線線：截線方程為截線方程為 0222zyxxzy解解如圖如圖,（2）消消去去y得得投投影影,0042522 yxxzzx（3）消消去去x得得投投影影.00222 xzyzy（1）消消去去z得得投投影影 ,004522 zxxyyx例例42222,43(),.zxyzxyxy設(shè)一個(gè)立體 由上半球面和上半錐面所圍成 求它在面上的投影解解半球面和錐面的交線為半球面和錐面的交線為 , )(3,4:2222yxzyxzC, 122 yxz 得投影柱面得投影柱面消去消去Cxy則交線在面上的投影為 . 0, 122zyx圓周圓周,xy 所求立體在面上的

8、投影為 . 0, 122zyx圓圓.空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影: :空間立體空間立體曲面曲面4 4 空間區(qū)域簡(jiǎn)圖空間區(qū)域簡(jiǎn)圖例例1 曲面曲面 和和圍成一個(gè)區(qū)域，作出它的簡(jiǎn)圖圍成一個(gè)區(qū)域，作出它的簡(jiǎn)圖.223()16xyz2225zxy22223()1625兩曲面的交線的方程為xyzzxy23(25)16z25(0)3=3或者舍去，zzz 作出由空間曲面所圍成的空間區(qū)域的簡(jiǎn)圖，關(guān)鍵是聯(lián)立兩個(gè)曲面(平面)的方程確定兩個(gè)空間曲面交線的位置.再適當(dāng)?shù)谋硎境隹臻g區(qū)域的邊界曲面22223()161633所以兩曲面的交線方程為即xyzxyzzx0z3(0,0,3)這是平面上的圓，圓心在，半徑為4.z 所得到的空間區(qū)域的簡(jiǎn)圖為：3例例2：作出由下例條件所確定的區(qū)域的簡(jiǎn)圖：作出由下例條件所確定的區(qū)域的簡(jiǎn)圖：220,0,0,1,1.xyzxyyz111xyzzyx111221,1.xyyzaa xz y0 作圖練習(xí)二作圖練習(xí)二222222,0,0,0 ，圍圖形？xyaxzaxyz作作出出曲曲面面所所立立體體 z = 0y = 0 x = 0aaxz y0.18.18. 作圖練習(xí)二作圖練習(xí)二222222,0,0,0 ，圍圖形？xyaxzaxyz作作出出曲曲面面所所立立體體 aaxz