圓錐曲線解題技巧和方法綜合

1、圓錐曲線的解題技巧，、常規(guī)七大題型:1中點(diǎn)弦問(wèn)題具有斜率的弦中點(diǎn)問(wèn)題，常用設(shè)而不求法點(diǎn)差法:設(shè)曲線上兩點(diǎn)為(xi,yi)，(x2,y2)，代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式當(dāng)然在這里也要注意斜率不存在的請(qǐng)款討論，消去四個(gè)參數(shù)。如:2 21冷咅1(aa bb 0)與直線相交于A、B,設(shè)弦AB中點(diǎn)為 M(Xo,yo),那么有Xo2x 2 2 aa0,b0)與直線I相交于A、B,設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(x,yo)那么有Xoa3y2=2px p0與直線 I 相交于 A、B 設(shè)弦 AB 中點(diǎn)為 M(xo,yo),那么有 2yok=2p,即 yok=p.2y典型例題給定雙曲線x1。過(guò)A 2, 1

2、的直線與雙曲線交于兩點(diǎn) R 及F2，2求線段F1 P2的中點(diǎn)F的軌跡方程。2焦點(diǎn)三角形問(wèn)題橢圓或雙曲線上一點(diǎn) P,與兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2構(gòu)成的三角形問(wèn)題，常用正、余弦定理搭橋。2 2典型例題 設(shè)P(x,y)為橢圓 務(wù) 占 1上任一點(diǎn)，F(xiàn), c,0)， F2(c,0)為焦點(diǎn), a bPF1F2，PF2 F1。1求證離心率esin( )；sin sin3直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的根本方法是解方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判 別式、 根與系數(shù)的關(guān)系、 求根公式等來(lái)處理， 應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合的思想， 通過(guò)圖形的直觀 性幫助分析解決問(wèn)題，如果直線過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，結(jié)合三大曲線的

3、定義去解。典型例題拋物線方程y2 p(x 1) (p 0)，直線x y t與x軸的交點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線的右邊。1求證：直線與拋物線總有兩個(gè)不同交點(diǎn)2設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為A、B,且0A丄0B,求p關(guān)于t的函數(shù)f(t)的表達(dá)式。4圓錐曲線的相關(guān)最值范圍問(wèn)題圓錐曲線中的有關(guān)最值范圍問(wèn)題，常用代數(shù)法和幾何法解決。假設(shè)命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來(lái)解決。 假設(shè)命題的條件和結(jié)論表達(dá)明確的函數(shù)關(guān)系式，那么可建立目標(biāo)函數(shù)通常利用二 次函數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式求最值。1，可以設(shè)法得到關(guān)于 a的不等式，通過(guò)解不等式求出 a的范圍，即：“求范圍，找不 等式?；蛘邔表示為另一個(gè)變量的函數(shù)，利

4、用求函數(shù)的值域求出 a的范圍；對(duì)于2 首先要把厶N(yùn)AB的面積表示為一個(gè)變量的函數(shù)，然后再求它的最大值 ，即：“最值問(wèn)題，函數(shù) 思想 。最值問(wèn)題的處理思路：1 、建立目標(biāo)函數(shù)。用坐標(biāo)表示距離，用方程消參轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問(wèn)題，關(guān) 鍵是由方程求 x、 y 的范圍；2 、數(shù)形結(jié)合，用化曲為直的轉(zhuǎn)化思想；3、利用判別式，對(duì)于二次函數(shù)求最值，往往由條件建立二次方程，用判別式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例題拋物線y2=2px(p0)，過(guò)Ma,0且斜率為1的直線L與拋物線交于不同的兩點(diǎn) A、B,|AB| B x2, y2 , M a,b為橢圓1的弦AB中點(diǎn)那么有432 2 2 2 2222仝

5、生1,空空1 ;兩式相減得二竺 亠0434343xi X2 Xi X2yi y yi 兀 、,_ 3a43AB= 4b2、聯(lián)立消元法：你會(huì)解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一類(lèi)的問(wèn)題嗎？經(jīng)典套路是什么？如果有兩個(gè)參數(shù)怎么辦？設(shè)直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)二次方程，使用判別式0，以及根與系數(shù)的關(guān)系，代入弦長(zhǎng)公式，設(shè)曲線上的兩點(diǎn) A(x(,yi),B(X2，y2)，將這兩點(diǎn)代入曲線方 程得到兩個(gè)式子，然后 -，整體消元，假設(shè)有兩個(gè)字母未知數(shù)，那么要找到它們的聯(lián)系，消去一個(gè)，比方直線過(guò) 焦點(diǎn)，那么可以利用三點(diǎn) A、B、F共線解決之。假設(shè)有向量的 關(guān)系，那么尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系，根

6、與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理。 一旦設(shè)直線為y kx b，就意味著k存在。例i、三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓4x2 5y2 80上，且點(diǎn)A是橢 圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)點(diǎn)A在y軸正半軸上.i假設(shè)三角形ABC的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，試求直線 BC的方程;2假設(shè)角A為900 , AD垂直BC于D，試求點(diǎn)D的軌跡方程. 分析：第一問(wèn)抓住“重心，利用點(diǎn)差法及重心坐標(biāo)公式可求出中點(diǎn) 弦BC的斜率，從而寫(xiě)出直線BC的方程。第二問(wèn)抓住角A為90可得 出AB丄AC,從而得XiX2 ym i4(yi y?) i6 0，然后利用聯(lián)立消元 法及交軌法求出點(diǎn)D的軌跡方程；解：i設(shè) B “yi*2 ),BC 中點(diǎn)為(x。, y。)

7、,F(2,0)那么有22Xiyi20162 2X2y220 16兩式作差有(XiX2)(XiX2)20(yi y2)(yiy?)16yk4(1)F(2,0)為三角形重心，所以由竺空2，得X0 3，由y1 y2 4 0得3 3y。2，代入1得k 65直線BC的方程為6x 5y 2802)由 AB丄 AC 得 X1X2 y2 14(力 y2) 16 02設(shè)直線 BC 方程為 y kx b,代入4x2 5y280, 得(4 5k2)x2 10bkx 5b2800X110kb5b280X24 5k2， X1X24 5k2y18ky2 k24b2 80八代入45k22式得9b24 5k232b 16 0

8、,解得 b4(舍)或 b直線過(guò)定點(diǎn), 9)，設(shè) D x,y,9y2 9x232y16 0所以所求點(diǎn)D的軌跡方程是x24、設(shè)而不求法例2、如圖，梯形 ABCD中AB41 ,即y那么-的比為，雙曲線過(guò)C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)當(dāng)23時(shí),求雙曲線離心率e的取值范圍。分析：本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、雙曲線的概念和性質(zhì)，推理、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。建2 2立直角坐標(biāo)系xOy，如圖，假設(shè)設(shè)C C,h，代入篤 爲(wèi)1，求得h，2a b2 2進(jìn)而求得Xe,yE，再代入篤爲(wèi)1 ,建立目標(biāo)函數(shù)a bf(a,b,c, ) 0,整理f(e, ) 0 h可采取設(shè)而不求的解題策略，建

9、立目標(biāo)函數(shù)f(a,b,c, ) 0，整理f(e, ) 0,化繁為簡(jiǎn).解法一：如圖，以AB為垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系xOy，那么CD丄y軸因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性知 C、D關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)依題意，記A c, 0 , C c , h , E x0, y0，其中c - I AB I為雙2 2曲線的半焦距,h是梯形的高，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得xocc 2_2c1 2 1hy0廠2 2設(shè)雙曲線的方程為字十1,那么離心率e caX由點(diǎn)C、E在雙曲線上，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和e -代入雙曲線方a程得e2h2 e2b241 b2由式得將式代入式，整理得e24 4

10、124故由題設(shè)？3解得e2e2所以雙曲線的離心率的取值范圍為7 , .10分析：考慮|AE,AC為焦半徑，可用焦半徑公式，|AE,|AC用E,C的橫坐標(biāo)表示，回避h的計(jì)算，到達(dá)設(shè)而不求的解題策略.解法二：建系同解法一,Xecc22 c1 2 1設(shè)3；得，I 1解得AEa exE , ACexC ,又，乂 AC|33e224-.7 e .10廠代入整理，由題e 1所以雙曲線的離心率的取值范圍為.7,.105、判別式法 例3雙曲線C工xl 1，直線丨過(guò)點(diǎn)A . 2,0，斜率為k，當(dāng)0 k 1時(shí),2 2雙曲線的上支上有且僅有一點(diǎn) B到直線丨的距離為.2，試求k的值及 此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)。分析1:解析幾何

11、是用代數(shù)方法來(lái)研究幾何圖形的一門(mén)學(xué)科，因 此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問(wèn)題的重要手段.從“有且僅有 這個(gè)微觀入手，對(duì)照草圖，不難想到：過(guò)點(diǎn) B作與丨平行的直線，必 與雙曲線C相切.而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式0.由此出發(fā)，可設(shè)計(jì)如下解題思路：直線i在i的上方且到直線I的距離為.2I: y kx xlk把直線的方1:代入雙曲線方程，消去y,令判別式解得k的值解題過(guò)程略.分析2:如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn)B到直線I的距離為2 ，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解.據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路：簡(jiǎn)解：設(shè)點(diǎn)M(x, . 2 x2)為雙曲線C上支上任一點(diǎn)，那

12、么點(diǎn) M到直線I的距離為：kx V2 x22kA2 1于是，問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于x的方程.由于0 k 1，所以2 x2 x kx,從而有kx 2 x2V2kkx J2 x2 J2k.于是關(guān)于x的方程kx . 2 x2.2k . 2(k2 1) 22 x2( 2(k2 1) 2k kx)2,2(k21) 2k kx 0. 2k2 1 x2 2k 2(k2 1) 2k x . 2(k2 1) 2k 2 0, 2(k21) 2k kx 0.由0 k 1可知： _ _ 2方程 k2 1 x2 2k . 2(k2 1). 2kx . 2(k2 1). 2k 2 0 的二根同正，故,2(k1),2k k

13、x 0恒成立，于是 等價(jià)于 _ 2k21 x2 2k . 2(k21)、2kx . 2(k21)、2k 20.由如上關(guān)于x的方程有唯一解，得其判別式0，就可解得,2 、5k.5點(diǎn)評(píng)：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)換，充分表達(dá)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.例4橢圓C：x2 2y2 8和點(diǎn)P4, 1，過(guò)P作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在線段AB上取點(diǎn)Q，使APPBAQQB求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡所在曲線的方程.分析：這是一個(gè)軌跡問(wèn)題，解題困難在于多動(dòng)點(diǎn)的困擾，學(xué)生往往不知從何入手。其實(shí)，應(yīng)該想到軌跡問(wèn)題可以通過(guò)參數(shù)法求解 .因 此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點(diǎn) Q的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過(guò)消參可

14、到達(dá)解題的目的.由于點(diǎn)Q(x,y)的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇直線AB的斜率k作為參數(shù)，如何將x,y與k聯(lián)系起來(lái)？ 一方面利用點(diǎn) Q在直線AB上；另一方面就是運(yùn)用題目條件:APPBAQQB來(lái)轉(zhuǎn)化.由A、B、P、Q四點(diǎn)共線，不難得到x 4(Xa Xb) 2XaXb，要建立X與k的關(guān)系，只需 ZV18 (Xa Xb)將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達(dá)定理即可.通過(guò)這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒(méi)有開(kāi)始解題，但對(duì)于如何解決此題，已經(jīng)做到心中有數(shù)APAQPBQB14(XaXb)2XaXb8 (Xa Xb )將直線方程代入橢圓方程，消去y，利用韋達(dá)定理利用點(diǎn)Q滿(mǎn)足直線AB的方程：

15、y = k (x 4)+1，消去參數(shù)k點(diǎn)Q的軌跡方程在得到x f k之后，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識(shí)到：所謂消參，目的不過(guò)是得到關(guān)于x,y的方程不含k，那么可由y k(x 4) 1解得k 以，直接代入x f k即可得到軌跡方程。從而簡(jiǎn)化消去參的x 4過(guò)程。簡(jiǎn)解：設(shè)A xi,yi月區(qū)，y2),Q(x,y)，那么由AP 蟲(chóng) 可得：PB QB4 xi x xiX24 X2 x解之得:1設(shè)直線AB的方程為：y k(x 4) 1，代入橢圓C的方程，消去yx4(x1 x2) 2x28 (xi X2)得出關(guān)于x的一元二次方程:2k21 x24k(1 4k)x 2(14k)28 024k(4kYivo1)1

16、2 22k 1，2(14k)2xx22k2 18代入1，化簡(jiǎn)得:4k 3:xk 2與yk(x4) 1聯(lián)立，消去k得:2xy 4(x 4)0.在2中,由64k264k240，解得2 .102 10，結(jié)合344可求得 16 2、/10 x 16 2*1099故知點(diǎn)Q的軌跡方程為：2x y 4 0 16 2 10 x 16 2 10.99點(diǎn)評(píng)：由方程組實(shí)施消元，產(chǎn)生一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個(gè)變量的一元二次方程，其判別式、韋達(dá)定理模塊思維易于想到這當(dāng)中，難點(diǎn)在 引出參，活點(diǎn)在應(yīng)用參，重點(diǎn)在消去參 ，而“引參、用參、消參 三步曲，正是解析幾何綜合問(wèn)題求解的一條有效通道 .6、求根公式法2 2例5設(shè)直線丨過(guò)點(diǎn)P0

17、，3，和橢圓Z r 1順次交于A、B兩點(diǎn)，94試求竺的取值范圍.PB分析：此題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到： 竺=2，但從此后卻一PBXb籌莫展，問(wèn)題的根源在于對(duì)題目的整體把握不夠.事實(shí)上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(gè)或某幾個(gè) 參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式或方程，這只需利用對(duì)應(yīng)的思想實(shí)施；其二那 么是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān)系分析1：從第一條想法入手，AB=已經(jīng)是一個(gè)關(guān)系式，但由于有兩個(gè)變量Xa,Xb，同時(shí)這兩個(gè)變量的范圍不好控制， 所以自然想到利用第3個(gè)變量直線AB的斜率k.問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為如何將Xa,Xb轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達(dá)式，至吐匕為止，將直線方程代入橢圓方程，消去 y得 出關(guān)于

18、x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.簡(jiǎn)解仁當(dāng)直線1垂直于x軸時(shí)可求得詈1;當(dāng)I與x軸不垂直時(shí)，設(shè) Ax” ,B(X2, y2)，直線1的方程為:y kx 3，代入橢圓方程，消去y得9k2 4 x2 54kx 45 0解之得X1,227k6 9k259k24因?yàn)闄E圓關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P在y軸上，所以只需考慮k 0的情0時(shí),Xi所以APPB27k 6 9k252 9k249k 2.9k25 “=15X1x29k 2.9k2X227k 6 9k2 59k4，18k=9k 2 9k2 5 1 9 2185k2(54 k)2 180 9k240,解得k2所以綜上分析2:如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式,那么

19、應(yīng)該考慮到:判別k的取式往往是產(chǎn)生不等的根源.由判別式值的非負(fù)性可以很快確定值范圍，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與k聯(lián)系起來(lái).一般來(lái)說(shuō)，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問(wèn)題的橋梁，但此題無(wú)法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于AP乞不是關(guān)于Xi,X2的對(duì)稱(chēng)關(guān)系式.原因找到后，解決問(wèn)題X2的方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于Xi,X2的對(duì)稱(chēng)關(guān)系式.簡(jiǎn)解2:設(shè)直線丨的方程為：y kx 3，代入橢圓方程，消去y得9k24 x2 54kx 45 0*那么XiX254k9k24x1 x2459k24令生，那么，1 2324 k 2x245k2 20在*中，由判別式0,可得k2 5，9從而有15.432嚴(yán)236，所以4- 2

20、36，解得45k20555結(jié)合01 得 1 1.5綜上，,AP11 .PB5點(diǎn)評(píng)：范圍問(wèn)題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等此題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法.解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時(shí)局部的勝利并不能 說(shuō)明問(wèn)題，有時(shí)甚至?xí)痪植克m纏而看不清問(wèn)題的實(shí)質(zhì)所在，只有 見(jiàn)微知著，樹(shù)立全局觀念，講究排兵布陣，運(yùn)籌帷幄，方能決勝千里 第三、推理訓(xùn)練：數(shù)學(xué)推理是由的數(shù)學(xué)命題得出新命題的根本思 維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。以的真實(shí)數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、 定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，至V達(dá)解題目標(biāo)，得出結(jié)

21、論的一系列推理過(guò)程。在推理過(guò)程中，必須注意所使用的命題之間的 相互關(guān)系充分性、必要性、充要性等，做到思考縝密、推理嚴(yán)密C 通過(guò)編寫(xiě)思維流程圖來(lái)錘煉自己的大腦，快速提高解題能力。例6橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)為A,B , O為橢圓中心，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)， 且 AF FB 1 , OF”1 .I求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；H記橢圓的上頂點(diǎn)為M ,直線丨交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，問(wèn)：是否 存在直線I ,使點(diǎn)F恰為PQM的垂心？假設(shè)存在，求出直線I的方程; 假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。思維流程:3x224mx 2m兩根之和，1 兩根之積MP ? FQ 0解題過(guò)程:I如圖建系，設(shè)橢圓方程為又T AF FB 1 即(a得出關(guān)于 m的方程解

22、出m2 21(a b 0),那么 c 1a bc) (a c) 12故橢圓方程為-5假設(shè)存在直線丨交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，且F恰為PQM的垂心,那么于是設(shè)直線1為yxm ,由y x m 得2 2彳得 ,x 2y 22 23x 4mx 2m20T MP FQ0為(X21)Y2(Y11)又ym(i 1,2)得 x1(x2 1)(x2:m)(X1m 1)0即設(shè) P(Xi,y1),Q(X2,y2)，丁 M(0,1),F(1,0)，故 kpQ 1,2x1x2 (x1 x2)(m1)2 mm 0由韋達(dá)定理得2m2 234m1) m2解得m 4或m 1舍 經(jīng)檢驗(yàn)m害符合條件.點(diǎn)石成金：垂心的特點(diǎn)是垂心與頂點(diǎn)的連

23、線垂直對(duì)邊， 然后轉(zhuǎn)化為兩向量乘積為零.例7、橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)A( 2,0)、B(2,0)、C 1,-三點(diǎn).2I求橢圓E的方程：“假設(shè)點(diǎn)D為橢圓E上不同于A、B的任意一點(diǎn)，F(xiàn)( 1,0), H (1,0)，當(dāng) DFH內(nèi)切圓的面積最大時(shí)，求 DFH內(nèi)心的坐標(biāo);思維流程：得到m,n的方程由橢圓經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)解出m,n由 DFH內(nèi)切圓面積最大_轉(zhuǎn)化為 DFH面積最大得出D點(diǎn)坐標(biāo)為0,：/ 33轉(zhuǎn)化為點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值最大最大D為橢圓短軸端點(diǎn)r內(nèi)切圓3-DFH面積最大值為J3S DFH周長(zhǎng)r內(nèi)切圓21解題過(guò)程： I設(shè)橢圓方程為mx2 n y2 1 m 0, n 0

24、將A( 2,0)、B(2,0)、C(1,-)代入橢圓E的方程，得 24m 1,229 解得m -, n -.二橢圓E的方程X 1 .m n 143434H| FH | 2，設(shè) ADFH 邊上的高為 S dfh - 2 h h 2當(dāng)點(diǎn)D在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，h最大為.3，所以S dfh的最大值為3 .設(shè)厶DFH的內(nèi)切圓的半徑為R，因?yàn)?DFH的周長(zhǎng)為定值6.所以,S DFH所以R的最大值為身所以?xún)?nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為宵點(diǎn)石成金:s的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)r的內(nèi)切圓例8定點(diǎn)C( 10)及橢圓X23y2 5，過(guò)點(diǎn)C的動(dòng)直線與橢圓相交于A, B兩點(diǎn).I假設(shè)線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 1，求直線AB的方程；H在X軸上是否存在

25、點(diǎn)M，使MA MB為常數(shù)？假設(shè)存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由思維流程:I解：依題意，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y k(x1)，將y k(x 1)代入x2 3y2 5，消去y整理得(3k21)X2 6k2X3k2 50.設(shè) A(X!，yj，B(X2，y2)，那么x1 x236k4 4(3k2 1)(3k2 5)6k23k2 1.0,(1)白線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是得_X2、23k23k21k乜，符合題意。3所以直線AB的方程為x 3y或 x ,3y0.H解：假設(shè)在X軸上存在點(diǎn)M (m,0)，使 MAMB為常數(shù). 當(dāng)直線AB與 x軸不垂直時(shí)，由I 知X-iX26k23k21

26、 X-|X23k2 53k2所以MA MB (%m)(x2 m)y2(% m)(x2 m)k2(X1 1)(X21)(k21)X1 X2(k2 m)(x1 X2) k2m2.將代入，整理得MA MB(6m 1)k2 53k2 11214(2m -)(3k2 1) 2m ；333k2 1m26m 143(3k21)注意到MA MB是與k無(wú)關(guān)的常數(shù)，從而有6m 14 0, m ,此時(shí)3 4MA MB -.9當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A, B的坐標(biāo)分別為1,23，當(dāng) m亦有MA MB -9綜上，在x軸上存在定點(diǎn)M 7,0，使MA MB為常數(shù)點(diǎn)石成金:MA MB (6m 嚴(yán) 53k2 1(2m 1

27、)(3k2 1) 2m 3k2 1m22m 1竺竺33(3k21)例9、橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M2, 1，平行于0M的直線I在y軸上的截距為m m0,I交橢圓于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)。I求橢圓的方程；H求m的取值范圍；皿求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形思維流程：2 2解：1設(shè)橢圓方程為務(wù)占1(a b 0)a ba 2b那么21解得：2橢圓方程為2y- i2l平行于OM ,且在y軸上的截距為m又 Kom=2I的方程為：yy由2X81X22y22mx 2m2橢圓交兩個(gè)不同點(diǎn)，(2m)24(2m2解得 2 m 2,且m4)00,即可皿設(shè)直線MA、MB的斜

28、率分別為ki,k2,只需證明k1+k2=02m,xix2 2m2那么kiy2 ix72X2,2由X22mx 2m240可得XiX22m,xix22m24而kik2 yi 2y2i (yi2xi2X2(7 Xim i)(x22)(iX2 m設(shè) A(Xi,yJ,B(X2, y2),且XiX2(Xi2)(X22)1) (X22)(y2i)(Xi2)1)(Xi2)(Xi2)(X22)2m24 (m2)( 2m)4(mi)(Xi2)(X22)2m24 2m：2 4m4m40(Xi 2)(X22)Xix2 (m 2)(xi x2)4(m i)(Xi2)(X2 2)ki k20故直線MA、MB與x軸始終圍成

29、一個(gè)等腰三角形.kik20點(diǎn)石成金：直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形例10、雙曲線篤 爲(wèi)1的離心率e 玄，過(guò)A(a,0),B(0, b)的直線到 a b3原點(diǎn)的距離是仝.21求雙曲線的方程；2直線y kx 5(k 0)交雙曲線于不同的點(diǎn) C, D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值.思維流程：x。Xi X22k BEy115 k1 3k1kx 053k2X0Xkyk 0,15 k5k3k 23k 20,又k0, k 27解:V : 1S2、3.原點(diǎn)到直線AB :蘭丄1的距離a3a bdababJa2 b2c2 .b 1,a- 3 .故所求雙曲線方程為x 2213y1.2把y kx5

30、代入x2 3y23 中消去y ,整理得(1 3k2)x230kx78 0.設(shè) C(Xi, yi), D(X2, y2),CD 的中點(diǎn)是 Egy。)，那么故所求k= 士 .7 .點(diǎn)石成金：C, D都在以B為圓心的圓上BC=BD BE丄CD;例11、橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到 焦點(diǎn)距離的最大值為3,最小值為1.I求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；II假設(shè)直線丨：y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)A、B不 是左右頂點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn).求 證：直線丨過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).思維流程：2詁 1(a b 0),2 解：I由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 篤 a由得：a c3, a c 1 ,a 2,b2c 1,2 2 a c橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為II設(shè) A(xn yi), B(X2, y2).聯(lián)立y kx m,2 2x y_431.得(3 4k2)x28mkx4(m2 3) 0，那么64m2k216(38mkX1 X22 ,3 4k4( m23)X1X22 .3 4k24k2)(m23)0,即 3 4k2 m2o,又