圓中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

1、圓中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題【方法點(diǎn)撥】圓中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題實(shí)際是圓的分類討論問(wèn)題，做這種題型重要的是如何將動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為固定的點(diǎn)，從而將題型變?yōu)榉诸愑懻摗镜湫屠}】題型一：圓中的折疊問(wèn)題例題一(2012江西南昌12分)已知，紙片 O 0的半徑為2,如圖1,沿弦AB折疊操作.(1) 折疊后的AB所在圓的圓心為 0時(shí)，求0A的長(zhǎng)度； 如圖2,當(dāng)折疊后的 AB經(jīng)過(guò)圓心為 0時(shí)，求AOB的長(zhǎng)度; 如圖3,當(dāng)弦AB=2時(shí)，求圓心 0到弦AB的距離；(2) 在圖1中，再將紙片O 0沿弦CD折疊操作.如圖4,當(dāng)AB/ CD折疊后的AB與CD所在圓外切于點(diǎn) P時(shí)，設(shè)點(diǎn)0到弦AB CD的距離之和為d,求d的值;如圖5,當(dāng)AB與CD不

2、平行，折疊后的 AB與CD所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，設(shè)點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N為CD的中點(diǎn)，試探究四邊形0MP的形狀，并證明你的結(jié)論. A0B的長(zhǎng)度120 二 24 :180- 3 。圖2【答案】解：(1)折疊后的AB所在圓0與 O 0是等圓， 0A=0/=2o當(dāng)AB經(jīng)過(guò)圓0時(shí)，折疊后的AB所在圓0在O0上，如圖2所示，連接 0A. 0A 0B, 0B 00 00A 0CB為等邊三角形，A0B=Z ACA+Z B00=60°60°120°如圖3所示，連接0A 0B/ 0A0B=AB=2, A0B為等邊三角形。過(guò)點(diǎn) 0作 OELAB于點(diǎn) E, OE=OAsin60°

3、;=、3。(2)如圖4,當(dāng)折疊后的AB與CD所在圓外切于點(diǎn) P時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作EF丄AB交AB于點(diǎn)H、交AEB于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)G 交CFD于點(diǎn)F,即點(diǎn)E、HP、O G F在直徑EF上。/ AB/ CD EF垂直平分 AB和 CD11根據(jù)垂徑定理及折疊，可知PH= 1 PE P(= ' PF。22又 EF=4, 點(diǎn)O到AB CD的距離之和d為：111d=PHPG= 1 PEn 1 PF= 1 (PEnPF) =2。222如圖5,當(dāng)AB與CD不平行時(shí)，四邊形是 OMP平行四邊形。證明如下:設(shè)O', 0'為APB和CPD所在圓的圓心，點(diǎn)O與點(diǎn)O關(guān)于AB對(duì)稱，點(diǎn)O'于點(diǎn)O

4、關(guān)于CD對(duì)稱,點(diǎn)M為的OOK點(diǎn)，點(diǎn)N為OO的中點(diǎn)。折疊后的APB與CPD所在圓外切，連心線OO'必過(guò)切點(diǎn)P。折疊后的APB與CPD所在圓與O 0是等圓，11 OP=O'P=2, PM=丄OO=ON PN-OC=OM22四邊形OMP是平行四邊形。【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問(wèn)題)相切兩圓的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，垂徑定理，弧長(zhǎng)的計(jì) 算，解直角三角形，三角形中位線定理。【分析】(1)折疊后的AB所在圓O與 O O是等圓，可得 OA的長(zhǎng)度。如圖2,過(guò)點(diǎn)O作OEL AB交OO于點(diǎn)E,連接OA OB AE BE可得 OAE OBE為等邊三角形，從而得到AOB的圓心角，再

5、根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可。如圖3,連接OA. OB,過(guò)點(diǎn)O作OEL AB于點(diǎn)E,可得 AOB為等邊三角形，根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)可求折疊后求AOB所在圓的圓心O到弦AB的距離。(2)如圖4, AEB與CFD所在圓外切于點(diǎn) P時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作EFL AB交AEB于于點(diǎn)E,交CFD于點(diǎn)F,根據(jù) 垂徑定理及折疊，可求點(diǎn) O到AB CD的距離之和。由三角形中位線定理，根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可得證。OD變式一 如圖是一圓形紙片，AB是直徑，BC是弦，將紙片沿弦 BC折疊后，劣弧BC與AB交于點(diǎn)D,得到BDC .(1 )若BD= CD求證：BDC必經(jīng)過(guò)圓心 O(2)若 AB= 8, BD- 2CD

6、 求 BC的長(zhǎng).A 1變式二 如圖， ABC內(nèi)接于O O, AD丄 BC OE! BC OE=2 BC.(1) 求/ BAC的度數(shù)；相交于。1、。2 , PE、F,使(2) 將厶ACD沿 AC折疊為 ACF將厶ABD沿 AB折疊為 ABG延長(zhǎng)FC和GB點(diǎn)H;求證：四邊形 AFHG是正方形；(3 )若 BD=6 CD=4 求 AD的長(zhǎng).題型二：圓中的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題例題二(2011 湖南常德，25.10分)已知 ABC分別以 AC和BC為直徑作半圓 是AB的中點(diǎn)。(1) 如圖8,若厶ABC是等腰三角形，且 AC=BC在AC、BC上分別取點(diǎn) AOjE二/BO2F ,則有結(jié)論.滬0占三 FO2P.四邊形PO

7、1CO2是菱形。請(qǐng)給出結(jié)論的證明；(2) 如圖9,若(1)中厶ABC是任意三角形，其它條件不變，貝卩(1)中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明;(3) 如圖10 ,若PC是O。1的切線，求證： AB2二BC2 3AC21(1 )T BC是OO2直徑，貝U O2是BC的中點(diǎn)又 P是AB的中點(diǎn).，二P O2是厶ABC的中位線二P O2 = 2 AC1又 AC是O O1 直徑 P 02= O1C= 2 AC1同理 p O1= O2C = 2 BC/ AC = BC P O2 = O1C= P O1= O2C四邊形 P°1C°2 是菱形(2)結(jié)論 PO1EA PO2F成立，結(jié)論

8、不成立1 1證明：在(1)中已證PO2= 2 AC,又O1E= 2 AC國(guó)3麼10 PO2 O1E同理可得 PO1= O2F/ PO2 > ABC 的中位線 PO2/ AC/ PO2B=Z ACB同理/ P O1A=Z ACBPO2B=Z PO1A I/ AO1E = Z BO2FP O1A+/ AO1E = / PO2B/ BO2F即/ P O1E =/ F O2 P、EO1P P02F(3) 延長(zhǎng)AC交O 02于點(diǎn)D,連接BD. / BC是O 02的直徑，則/ D= 90°, 又PC是O 01的切線，則/ ACA 90°/ ACP=Z D又/ PAC=Z BAD

9、APSA BAD又P是AB的中點(diǎn)AC AP 1AD 一 AB 一 2 AC= CD2 2 2 2在 Rt BCD中, BC =CD + BD =AC2+BD2 2 2在 Rt ABD中, AB 二 AD BD.AB2 =4AC2+BD2 =(AC2+BD2 )+3AC2ABBC2 3AC2評(píng)析：要證一個(gè)四邊形是菱形，可證它的四條邊相等，也可證明它是有一組鄰邊相等的平行四邊形或?qū)蔷€互相垂直的平行四邊形；要證兩三角形全等，可通過(guò) SSS SAS ASA或AAS來(lái)加以判斷；當(dāng)待圓心是正四正四邊形證式中出現(xiàn)多個(gè)平方的形式時(shí)，應(yīng)首先考慮勾股定理及等量代換. 變式一閱讀下列材料，然后解答問(wèn)題。經(jīng)過(guò)正四邊

10、形（即正方形）各頂點(diǎn)的圓叫作這個(gè)正四邊形的外接圓。 邊形的對(duì)稱中心，這個(gè)正四邊形叫作這個(gè)圓的內(nèi)接正四邊形。如圖（十三），已知正四邊形 ABCD勺外接圓O Q O 0的面積為S1,ABC啲面積為S2，以圓心0為頂點(diǎn)作/ M0N使/ M0N90°,將/ M0F繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)，0M 0h分別與O0相交于點(diǎn)E、F,分別與正四邊形 ABCD勺邊相交于點(diǎn) G H。設(shè)0E 0F EF及正四邊形 ABCD勺邊圍成的圖形（圖中陰影部分）的面積為S（1） 當(dāng)0M經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)（如圖），貝U S S1> S2之間的關(guān)系為：S= （用含色、S2的代數(shù)式表示）;（2）當(dāng)0M_AB時(shí)（如圖），點(diǎn)G為垂足，則（1）

11、中的結(jié)論仍然成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。當(dāng)Z M0旋轉(zhuǎn)到任意位置時(shí)（如圖，）則（1 ）中的結(jié)論仍然成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】解：(1) 3 24(2) 成立。理由：連 0B可證圖中的兩個(gè)陰影部分的面積之和等于圖的陰影部分的面積(3) 成立。過(guò)點(diǎn)0分別作ABBC的垂線交 ABBC于點(diǎn)PQ,交圓于點(diǎn)X、Y,可證直角三角形0戸筆等于直角三角形OQH可說(shuō)明兩陰影部分面積之和等于圖的陰影部分面積.變式二 (2012?杭州)如圖，AE切OO于點(diǎn)E, AT交O0于點(diǎn) M N,線段0E交AT于點(diǎn)C, OBL AT于點(diǎn)B,已知/ EAT=30°, AE=3 二,MN=2 R.(1) 求/ COB勺度數(shù)；(2

12、) 求0O的半徑R;(3) 點(diǎn)F在OO上(是劣弧)，且EF=5,把厶O(píng)BC經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，使它的兩個(gè)頂點(diǎn)分別與點(diǎn)E, F重合.在EF的同一側(cè)，這樣的三角形共有多少個(gè)？你能在其中找出另一個(gè)頂點(diǎn)在OO上的三角形嗎？請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出這個(gè)三角形，并求出這個(gè)三角形 與厶O(píng)BC的周長(zhǎng)之比.考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理；垂徑定理；平移的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；相似三角形的判定與 性質(zhì)。專題：計(jì)算題。分析：(1)由AE與圓O相切，根據(jù)切線的性質(zhì)得到 AE與CE垂直，又OB與AT垂直，可得出兩直角相等，再由一對(duì) 對(duì)頂角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出三角形AEC與三角形OBC

13、相似，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得出所求的角與 /A相等，由/ A的度數(shù)即可求出所求角的度數(shù)；(2) 在直角三角形 AEC中，由AE及tanA的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出CE的長(zhǎng)，再由OB垂直于MN由垂徑定理得到 B為MN的中點(diǎn)，根據(jù) MN的長(zhǎng)求出MB的長(zhǎng)，在直角三角形 OBM中，由半徑 OM=R及MB的長(zhǎng)，禾U 用勾股定理表示出 OB的長(zhǎng)，在直角三角形 OBC中，由表示出 OB及cos30 °勺值，利用銳角三角函數(shù)定義表示出 OC用OE- OC=E(列出關(guān)于R的方程，求出方程的解得到半徑R的值；(3) 把厶O(píng)BC經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，使它的兩個(gè)頂點(diǎn)分別與點(diǎn)E, F重合.在

14、EF的同一側(cè)，這樣的三角形共有6個(gè)，如圖所示，每小圖 2個(gè)，頂點(diǎn)在圓上的三角形，延長(zhǎng)EO與圓交于點(diǎn)D,連接DF,由第二問(wèn)求出半徑，的長(zhǎng)直徑 ED的長(zhǎng)，根據(jù)ED為直徑，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到三角形EFD為直角三角形，由/ FDE為30°利用銳角三角函數(shù)定義求出DF的長(zhǎng)，表示出三角形 EFD的周長(zhǎng)，再由第二問(wèn)求出的三角形OBC的三邊表示出三角形 BOC的周長(zhǎng)，即可求出兩三角形的周長(zhǎng)之比.D解答：解：(1) / AE切O O于點(diǎn)E, AEL CE,又 OBL AT,/ AEC=z CBO=9O,又 / BCOM ACE AEC OBC 又/ A=30° ,/ COBM

15、A=30°(2) / AE=3 : , / A=30° ,FT在 Rt AEC中，tanA=tan30 ° ',AE即 EC=AEtan30°3 ,/ OBLMN - B為 MN的中點(diǎn)，又 MN=2W, MB= MN7 ,2連接 OM 在 MO沖,OM=R MB= T ,OB=壬 J 二，在厶 COB中 , / BOC=30 ,/ cos / BOC=cos30=H= -；, BO=2oCOC 22 ocjBh ；三，又 OC+EC=OM=R.-'二+3,2整理得：R + 18R 115=0,即（R+23） （R 5） =0,解得：R=-

16、 23 （舍去）或R=5,則 R=5;（3）在EF同一側(cè)， COB經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，這樣的三角形有6個(gè),延長(zhǎng)EO交圓O于點(diǎn)D,連接DF,如圖所示，/ EF=5,直徑 ED=1Q 可得出 / FDE=30, FD=5 二,則 比 ef子5+10+5 二=15+5 二，由（2）可得C CO C EFD C CO=（ 15+5 二）：（3+ 二）=5: 1.30 °直角三角形的性質(zhì)，平移及點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，含 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.題型三：圓中的動(dòng)點(diǎn) 例題三 （2012江蘇南京10

17、分）如圖，A B為OO上的兩個(gè)定點(diǎn)，P是OO上的動(dòng)點(diǎn)（P不與A B重合），我們稱/ APB 為OO上關(guān)于A B的滑動(dòng)角。（1）已知/ APB是L O上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動(dòng)角。 若AB為OO的直徑，貝U / AP酔 若O O半徑為1, AB 2，求/ APB的度數(shù)（2）已知02為L(zhǎng) O1外一點(diǎn)，以O(shè)2為圓心作一個(gè)圓與L O1相交于A B兩點(diǎn)，/ APB為L(zhǎng) O1上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動(dòng)角，直線 PA PB分別交L 02于點(diǎn)M N （點(diǎn)M與點(diǎn)A點(diǎn)N與點(diǎn)B均不 重合），連接AN試探索/ APB與/MAN / ANB之間的數(shù)量關(guān)系。【答案】解：（1）90°。如圖，連接AB OA OB在厶 AOB中

18、/ O/=OB=1. AB=T2 , OA+OB=AB。 / AOB90°1當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧 AB上時(shí)（如圖1）, / AP昏丄/ AOB45°O3B2當(dāng)點(diǎn)P在劣弧AB上時(shí)(如圖2),間,如圖間,如圖間,如圖【考點(diǎn)】【分析】1/ AP昏丄(360°/ AOB =135°2(2)根據(jù)點(diǎn)P在O O上的位置分為以下四種情況.第一種情況：點(diǎn) P在O O外，且點(diǎn)A在點(diǎn)P與點(diǎn)M之間，點(diǎn)/ MAN/ APB/ ANB/ APB/ MANZ ANB第二種情況：點(diǎn) P在O Q外，且點(diǎn)A在點(diǎn)P與點(diǎn)M之間，點(diǎn)/ MAN/ APB/ANP=/ APB (180。一/ ANB, /

19、APB / MAN/ ANB- 180°第三種情況：點(diǎn) P在O O外，且點(diǎn)M在點(diǎn)P與點(diǎn)A之間，點(diǎn)/ APB/ ANB/ MAN 180° / APB=180° / MAI4 / ANB第四種情況：點(diǎn) P在OQ內(nèi)，如圖6,/ APB：/ MANZ ANB圓周角定理，勾股定理逆定理，三角形內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)。(1)根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角等于90°即可得/ APB900。根據(jù)勾股定理的逆定理可得 / AOB90°再分點(diǎn)P在優(yōu)弧AB上；點(diǎn)P在劣弧AB上兩種情況討論即可。(2)根據(jù)點(diǎn)P在O O上的位置分為四種情況得到 / APB與/ MAN / ANB間

20、的數(shù)量關(guān)系。變式一如圖12-1所示，在 ABC中，AB=AC=2, / A =90： , O為BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) E在BA邊上自由移動(dòng),動(dòng)點(diǎn)F在AC邊上自由移動(dòng).(1)點(diǎn)E, F的移動(dòng)過(guò)程中， AOEF是否能成為/ EOF =45"的等腰三角形？若能，請(qǐng)指出 AOEF為等腰三角形時(shí)動(dòng)點(diǎn)E, F的位置.若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.當(dāng)/ EOF =45時(shí)，設(shè)BE二x , CF二y，求y與x之間的函數(shù)解析式，寫(xiě)出 x的取值范圍.在滿足(2)中的條件時(shí)，若以 O為圓心的圓與 AB相切(如圖12-2 )，試探究直線EF與L O的位置關(guān)系，并證(3)明你的結(jié)論.E, F的位置分別是:BE二CF二、2 .E

21、與A重合，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)(2 )在厶 OEB 和厶 FOC 中，N EOB+NFOC =135° Z EOB+N OEB =135° FOC =/OEB 又 I . B =/C , OEBFOCBEBOCO CF BE =x , CF = y , OB =OC = 1 22 22 =2 , -(1< x < 2).2x(3) EF 與 LJ O 相切. OEB FOC , 更. _B! =2!.即CO OF BO OF OE OF又 TN B =NEOF =45°BEO OEF N BEO =NOEF 點(diǎn) O 到 AB 和 EF 的距離相等. AB與O

22、相切，點(diǎn)O到EF的距離等于O的半徑. EF與L O相切.1變式二 如圖，在O O上位于直徑 AB的異側(cè)有定點(diǎn) C和動(dòng)點(diǎn)P, AC=2 AB,點(diǎn)P在半圓弧AB上運(yùn)動(dòng)(不與 A B兩點(diǎn)重 合)，過(guò)點(diǎn)C作直線PB的垂線CD交PB于D點(diǎn).(1) 如圖 1,求證：ABC；(2) 當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)， PCDA ABC?請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出 PCD并說(shuō)明理由；(3) 如圖3,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CPLAB時(shí)，求/ BCD的度數(shù).習(xí)】1 、 如 直徑C和 點(diǎn)P 運(yùn)動(dòng)重合)，過(guò)點(diǎn)CCD0【課后(2012? 圖，在O O AB的異側(cè) 動(dòng)點(diǎn)P, 在半圓弧(不與ADOCB0C作直線PB的垂線 CD交PB于DA(1)(2)(3

23、)湘潭) 上位于 有定點(diǎn)AC=AB AB上 B兩點(diǎn) 占八、圖1如圖1,求證： PC»A ABC當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)， PCDA ABC?請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出 PCD并說(shuō)明理由; 如圖3,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CPLAB時(shí)，求/ BCD的度數(shù).圖0D考點(diǎn)：圓周角定理；全等三角形的性質(zhì)；垂徑定理；相似三角形的判定。專題：幾何綜合題。分析：(1 )由AB是OO的直徑，根據(jù)直徑對(duì)的圓周角是直角，即可得 / ACB=90,又由PDL CD可得/ D=Z ACB又 由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，即可得 / A=Z P,根據(jù)有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，即 可判定： PCSA ABC(2 )由厶PC»A ABC可知當(dāng)PC=AB寸， PCDA ABC利用相似比等于 1的相似三角形全等即可求得；(3)由/ ACB=90, AC=AB可求得/ ABC的度數(shù)，然后利用相似，即可得 / PCD的度數(shù)，又由垂徑定理，求得l. |，,然后利用圓周角定理求得/ ACP的度數(shù)，繼而求得答案.解答：(1)證明：/ AB是O O的直徑，/ACB=90,/ PD丄 CD,D=90° ,D=Z ACB/ A與/ P是"對(duì)的圓周角，A=Z P,ABC(2) 解：當(dāng)PC是OO的直徑時(shí)， PCDA ABC理由：/ AB PC是OO的半徑， AB=PCC/ PC3A AB