




版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡(jiǎn)介
1、§6 球面三角形的面積與歐拉公式問題提出如何計(jì)算球面三角形的面積?球面三角形面積與平面三角形面積有什么區(qū)別?如何利用球面三角形面積公式證明球面多面體的歐拉公式?如何利用球面知識(shí)證明簡(jiǎn)單多面體的歐拉公式?6.1球面二角形與三角形的面積我們知道,若球面半徑為R,則球面面積為,現(xiàn)在考慮球面上的一個(gè)小區(qū)域:球面上由兩個(gè)大圓的半周所圍成的較小部分叫做一個(gè)球面二角形。如圖所示,大圓半周和所圍成的陰影部分就是一個(gè)球面二角形。顯然P和是對(duì)徑點(diǎn),大圓半周和稱為球面二角形的邊。球面角稱為球面二角形的夾角。如果大圓弧以P和為極點(diǎn),所對(duì)的球心角為,則=。例1 計(jì)算地球上一個(gè)時(shí)區(qū)所占有的面積。解如圖所示,設(shè)O
2、為地心,N、S為北極點(diǎn)和南極點(diǎn),A、B為赤道上兩點(diǎn),且,地球半徑為R=6400km,根據(jù)地理知識(shí),地球共分為24個(gè)時(shí)區(qū),一個(gè)時(shí)區(qū)跨越地球表面,所以由經(jīng)線NAS與經(jīng)線NBS圍成的二角形就是一個(gè)時(shí)區(qū),它所占面積為地球表面積的,即如何計(jì)算一般球面二角形的面積? 1 二角形的夾角,就是平面PA與PB所夾的二面角的平面角;2 這個(gè)二角形可以看成半個(gè)大圓繞直徑P旋轉(zhuǎn)角所生成;3 球面二角形的面積與其夾角成比例。設(shè)這個(gè)二角形得面積為,則即抽象概括球面上,夾角為的二角形的面積為。如何計(jì)算球面三角形的面積?設(shè)表示球面三角形ABC的面積,1 對(duì)球面三角形ABC,分別畫出三條邊所在的大圓。2 設(shè)A、B、C的對(duì)徑點(diǎn)分
3、別是,則3 球面三角形+球面三角形+球面三角形+球面三角形構(gòu)成半個(gè)球面,所以+=又因?yàn)樗缘玫匠橄蟾爬ǘɡ?.1球面三角形的面積等于其內(nèi)角和減去。球面三角形的三個(gè)內(nèi)角和大于。即球面三角形ABC的面積,其中是球面三角形ABC的內(nèi)角。例2 計(jì)算以北京、上海、重慶為頂點(diǎn)的球面三角形的邊長(zhǎng)和的面積。解根據(jù)地理知識(shí),北京位于北緯39°56、東經(jīng)116°20,上海位于北緯31°14、東經(jīng)121°29,重慶位于北緯29°30、東經(jīng)106°30的經(jīng)緯度,地球半徑為R=6400km,如圖所示,設(shè)N為北極點(diǎn),B為北京,S為上海,C為重慶,在球面三角形NB
4、C中,弧度,解球面三角形NBC,有,即,同理,解球面三角形BSC,有,即弧度,同理弧度,弧度,所以球面三角形BSC的面積為。練習(xí)1 證明:半徑為R的球面上,夾角為的二角形的面積為。2 證明:半徑為R的球面上,球面三角形ABC的面積。3 已知球面二角形的面積是球面面積的,求其夾角。4 已知球面三角形的邊角關(guān)系如下,求它的面積(前2組為單位球面,后兩組球面半徑為2):(1) 已知(2) 已知(3) 已知(4) 已知5 查閱資料,比較例2結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)的差異。6 已知球面三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角之和為,求這個(gè)球面三角形的面積與球面面積的比。7 用4個(gè)全等的球面三角形覆蓋整個(gè)球面,如何構(gòu)造?6.2球面上
5、的歐拉公式設(shè)S是一個(gè)球面,我們把球面分割成若干個(gè)球面三角形,要求球面上的每一點(diǎn)至少包含在某個(gè)球面三角形的內(nèi)部或邊上。同時(shí),任何兩個(gè)球面三角形或者沒有公共點(diǎn),或者有一個(gè)公共點(diǎn)的頂點(diǎn),或者有一條公共邊,三者比居其一,這樣構(gòu)成的球面上的網(wǎng)絡(luò),叫做球面S上的一個(gè)三角剖分,記為。圖中所示的兩個(gè)三角形的位置關(guān)系在球面的三角剖分中都是不允許出現(xiàn)的。設(shè)是球面S的一個(gè)三角剖分,的頂點(diǎn)數(shù)記為V,三角形邊數(shù)記為E,三角形的個(gè)數(shù)記為F,那么V、E、F滿足什么關(guān)系?例3觀察下面的球面三角剖分,記錄它們的頂點(diǎn)數(shù)V,三角形邊數(shù)E和三角形個(gè)數(shù)F,說明它們滿足什么關(guān)系?解在左圖中,頂點(diǎn)為A、B、C、D,頂點(diǎn)數(shù)V=4,三角形的邊
6、為AB、AC、AD、BC、BD、CD,邊數(shù)E=6,三角形為ABC、ABD、ACD、BCD,三角形個(gè)數(shù)F=4,所以;在中圖中,頂點(diǎn)為A、B、C、D、E、F,頂點(diǎn)數(shù)V=6,三角形的邊為AB、AC、AD、AE,F(xiàn)B、FC、FD、FE、BC、BE、CD、ED,邊數(shù)E=12,三角形為ABC、ABE、ACD、ADE,F(xiàn)BC、FBE、FCD、FDE,三角形個(gè)數(shù)F=8,所以;在右圖中,頂點(diǎn)為A、B、C、D、E、F、G、H,頂點(diǎn)數(shù)V=8,三角形的邊為AB、AC、AH、HD、AE、CH、HE,F(xiàn)G、GB、FC、FD、FE、BC、BE、CD、ED、CG、GE,邊數(shù)E=18,三角形為ABC、ABE、ACH、CHD、A
7、HE、HED,F(xiàn)GC、GCB、FGE、GEB、FCD、FDE,三角形個(gè)數(shù)F=12,所以。抽象概括球面上的三角剖分滿足下面的公式:。其中V、E、F分別是三角剖分的頂點(diǎn)數(shù),三角形邊數(shù)和三角形個(gè)數(shù)。我們把這個(gè)公式叫做球面的歐拉公式。這個(gè)公式與球面的大小,三角剖分的方式無關(guān)。即不管你在怎樣的球面上,如何進(jìn)行三角剖分,雖然V、E、F都發(fā)生了很大的變化,但是它們永遠(yuǎn)滿足歐拉公式。因此,歐拉公式一定反映出球面本身固有的某種性質(zhì)。在另一個(gè)專題歐拉公式與閉曲面的分類中,將對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行詳細(xì)討論。如何利用球面三角形面積公式證明球面多面體的歐拉公式?1 考慮E和F的關(guān)系:球面上共有F個(gè)三角形,每個(gè)三角形有三條邊,每
8、條邊屬于兩個(gè)三角形,所以即。2 把F個(gè)三角形編號(hào),記為。對(duì)于第個(gè)三角形,設(shè)它的面積為,三角形的內(nèi)角分別為,那么。因此,整個(gè)球面的面積3 因?yàn)槿瞧史止灿蠽個(gè)頂點(diǎn),而在每個(gè)頂點(diǎn)處,以它為頂點(diǎn)的所有球面角之和為,所以。4 根據(jù)(1)、(2)、(3)式,得。這個(gè)公式用歐拉的名字命名,是因?yàn)樵?750年歐拉首次發(fā)現(xiàn)了凸多面體的歐拉公式。由若干個(gè)平面多邊形所圍成的封閉的立體,稱為多面體。如果一個(gè)多面體在它的每一個(gè)面所決定的平面的同一側(cè),就稱為凸多面體。如圖所示,(1)、(2)、(3)、(4)、(5)都是凸多面體,而(6)、(7)不是凸多面體。用V表示凸多面體的頂點(diǎn)數(shù),E表示凸多面體的棱數(shù),F(xiàn)表示凸多面體
9、的面 多面體的面是指可以經(jīng)過連續(xù)變換變成圓盤的多邊形,比如三角形、四邊形都可以做多面體的面,而正方形中挖掉一個(gè)小正方形后剩下的圖形就不是凸多面體的面。數(shù),歐拉證明了:。思考交流觀察上面的圖形,寫出它們的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F,并驗(yàn)證歐拉公式。正如上面的(6)中看到的一樣,后來又可以把凸多面體的歐拉公式推廣到簡(jiǎn)單多面體。當(dāng)把多面體想象成由橡皮薄膜圍成的,一充氣這個(gè)橡皮薄膜就可以變成一個(gè)球面,這樣的多面體就是簡(jiǎn)單多面體。上圖中的(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)都是簡(jiǎn)單多面體,而(7)不是簡(jiǎn)單多面體。如何利用球面知識(shí)證明簡(jiǎn)單多面體的歐拉公式?例4 觀察下面的圖形,寫出凸多面體和它對(duì)應(yīng)
10、的球面三角剖分的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F,并驗(yàn)證凸多面體的歐拉公式和它對(duì)應(yīng)的球面三角剖分的歐拉公式。解在上圖中,凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)V=4,棱數(shù)E=6,面數(shù)F=4它對(duì)應(yīng)的球面三角剖分的頂點(diǎn)數(shù)V=4,棱數(shù)E=6,面數(shù)F=4,凸多面體的歐拉公式是,它對(duì)應(yīng)的球面三角剖分的歐拉公式;在中圖中,凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)V=6,棱數(shù)E=12,面數(shù)F=8它對(duì)應(yīng)的球面三角剖分的頂點(diǎn)數(shù)V=6,棱數(shù)E=12,面數(shù)F=8,凸多面體的歐拉公式是,它對(duì)應(yīng)的球面三角剖分的歐拉公式;在下圖中,凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)V=8,棱數(shù)E=18,面數(shù)F=12它對(duì)應(yīng)的球面三角剖分的頂點(diǎn)數(shù)V=8,棱數(shù)E=18,面數(shù)F=12,凸多面體的歐拉公式是,它對(duì)應(yīng)的
11、球面三角剖分的歐拉公式;下面我們給出簡(jiǎn)單多面體的歐拉公式的證明思路。不失一般性,我們不妨假設(shè)簡(jiǎn)單多面體P的頂點(diǎn)都在同一個(gè)單位球面S上。如果A、B是簡(jiǎn)單多面體上兩個(gè)頂點(diǎn),且連結(jié)A、B的線段是多面體P的一條棱,過A、B作球面S的大圓劣弧,這樣就得到一個(gè)覆蓋整個(gè)球面的球面多邊形。在這個(gè)變化過程中,多面體P和它對(duì)應(yīng)的球面多邊形的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)(邊數(shù))E和面數(shù)F都是一樣的。在球面多邊形中連接頂點(diǎn)使得它成為球面S的一個(gè)三角剖分,在此過程中,每添加一條大圓劣弧,邊數(shù)E就變成E+1,與此同時(shí),面數(shù)F就變成F+1。假設(shè)中一共新連結(jié)了N條大圓劣弧,那么邊數(shù)為E+N,面數(shù)為F+N,而頂點(diǎn)數(shù)V不變,根據(jù)球面三角剖分的歐拉公式,有,因此。習(xí)題A1 已知地球表面上的球面三角形的三邊分別是1000km,1500km,2000km,求它的面積。2 在單位球面上,已知等邊球面三角形的面積等于球面面積的,求它的三個(gè)內(nèi)角和三條邊。3 已知一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)為8,面數(shù)為6,求這個(gè)多面體的棱數(shù)。4 在一個(gè)球面上,畫出一個(gè)三角剖分,并分別數(shù)出V、E、F,驗(yàn)證歐拉公式。5 如圖所示,驗(yàn)證簡(jiǎn)單多面體的歐拉公式。6 若是球面上的一個(gè)三角剖分,說明
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 中式面點(diǎn)制作(視頻課)知到課后答案智慧樹章節(jié)測(cè)試答案2025年春洛浦縣中等職業(yè)技術(shù)學(xué)校
- 海南外國(guó)語職業(yè)學(xué)院《建筑設(shè)計(jì)與構(gòu)造(2)》2023-2024學(xué)年第二學(xué)期期末試卷
- 長(zhǎng)沙民政職業(yè)技術(shù)學(xué)院《大氣污染控制工程》2023-2024學(xué)年第二學(xué)期期末試卷
- 柳州職業(yè)技術(shù)學(xué)院《材料連接原理與技術(shù)》2023-2024學(xué)年第二學(xué)期期末試卷
- 廈門海洋職業(yè)技術(shù)學(xué)院《工程地質(zhì)(一)》2023-2024學(xué)年第二學(xué)期期末試卷
- 淮北職業(yè)技術(shù)學(xué)院《漆畫創(chuàng)作》2023-2024學(xué)年第二學(xué)期期末試卷
- 古代輿論溝通機(jī)制
- 構(gòu)建人類命運(yùn)共同體的重要性與必要性
- 高壓水槍沖洗施工方案
- 牌樓建筑修繕施工方案
- 巧繪節(jié)氣圖(教學(xué)設(shè)計(jì))-2024-2025學(xué)年二年級(jí)上冊(cè)綜合實(shí)踐活動(dòng)蒙滬版
- 《2024年 《法學(xué)引注手冊(cè)》示例》范文
- 2022年4月07138工程造價(jià)與管理試題及答案含解析
- 氣管插管操作并發(fā)癥
- JT∕T 795-2023 事故汽車修復(fù)技術(shù)規(guī)范
- 預(yù)防接種門診驗(yàn)收表4-副本
- 2024年交管12123學(xué)法減分考試題庫及完整答案(典優(yōu))
- 數(shù)智時(shí)代的AI人才糧倉模型解讀白皮書(2024版)
- (2024年)高中化學(xué)校本課程教材《綠色化學(xué)》
- 中醫(yī)-血家藥方四物湯
- 2024年北師大版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)第二章綜合檢測(cè)試卷及答案
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論