電阻電路的等效變換

1、第二章 電阻電路的等效變換“等效變換”在電路理論中是很重要的概念，電路等效變換的方法是電路問(wèn)題分析中經(jīng)常使用的方法。所謂兩個(gè)電路是互為等效的，是指（1）兩個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)不同的電路再端子上有相同的電壓、電流關(guān)系，因而可以互相代換；（2）代換的效果是不改變外電路（或電路中未被代換的部分）中的電壓、電流和功率。由此得出電路等效變換的條件是相互代換的兩部分電路具有相同的伏安特性。等效的對(duì)象是外接電路（或電路未變化部分）中的電壓、電流和功率。等效變換的目的是簡(jiǎn)化電路，方便地求出需要求的結(jié)果。深刻地理解“等效變換”的思想，熟練掌握“等效變換”的方法在電路分析中是重要的。2-1 電路如圖所示，已知。若：（1）；

2、（2）；（3）。試求以上3種情況下電壓和電流。 解：（1）和為并聯(lián)，其等效電阻，則總電流 分流有 （2）當(dāng)，有 （3），有2-2 電路如圖所示，其中電阻、電壓源和電流源均為已知，且為正值。求：（1）電壓和電流；（2）若電阻增大，對(duì)哪些元件的電壓、電流有影響？影響如何？ 解：（1）對(duì)于和來(lái)說(shuō)，其余部分的電路可以用電流源等效代換，如題解圖（a）所示。因此有 （2）由于和電流源串接支路對(duì)其余電路來(lái)說(shuō)可以等效為一個(gè)電流源，如題解圖（b）所示。因此當(dāng)增大，對(duì)及的電流和端電壓都沒(méi)有影響。 但增大，上的電壓增大，將影響電流源兩端的電壓，因?yàn)?顯然隨的增大而增大。注：任意電路元件與理想電流源串聯(lián)，均可將其等效

3、為理想電壓源，如本題中題解圖（a）和（b）。但應(yīng)該注意等效是對(duì)外部電路的等效。圖（a）和圖（b）中電流源兩端的電壓就不等于原電路中電流源兩端的電壓。同時(shí)，任意電路元件與理想電壓源并聯(lián)，均可將其等效為理想電壓源，如本題中對(duì)而言，其余部分可以等效為，如題圖（c）所示。但等效是對(duì)外部電路（如）的等效，而圖（c）中上的電流則不等于原電路中中的電流。2-3 電路如圖所示。（1）求；（2）當(dāng)時(shí)，可近似為，此時(shí)引起的相對(duì)誤差為當(dāng)為的100倍、10倍時(shí)，分別計(jì)算此相對(duì)誤差。 解：（1） 所以 （2）設(shè)，帶入上述式子中，可得 相對(duì)誤差為 當(dāng)時(shí) 時(shí) 2-4 求圖示電路的等效電阻，其中，。解：(a)圖中被短路，原電

4、路等效為圖(a1)所示。應(yīng)用電阻的串并聯(lián)，有 (b)圖中和所在支路的電阻 所以 (c)圖可以改畫(huà)為圖(c1)所示，這是一個(gè)電橋電路，由于處于電橋平衡，故開(kāi)關(guān)閉合與打開(kāi)時(shí)的等效電阻相等。 (d)圖中節(jié)點(diǎn)同電位（電橋平衡），所以間跨接電阻可以拿去（也可以用短路線替代），故(e)圖是一個(gè)對(duì)稱的電路。解法一：由于結(jié)點(diǎn)與，與等電位，結(jié)點(diǎn)等電位，可以分別把等電位點(diǎn)短接，電路如圖(e1)所示，則 解法二：將電路從中心點(diǎn)斷開(kāi)（因斷開(kāi)點(diǎn)間的連線沒(méi)有電流）如圖(e2)所示。則 解法三：此題也可根據(jù)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，令各支路電流如圖(e3)所示，則左上角的網(wǎng)孔回路方程為 故 由結(jié)點(diǎn)的KCL方程 得 由此得端口電壓 所

5、以 (f)圖中和構(gòu)成兩個(gè)Y形連接，分別將兩個(gè)Y形轉(zhuǎn)化成等值的形連接，如圖(f1)和(f2)所示。等值形的電阻分別為 并接兩個(gè)形，最后得圖(f3)所示的等效電路，所以 (g)圖是一個(gè)對(duì)稱電路。解法一：由對(duì)稱性可知，節(jié)點(diǎn)等電位，節(jié)點(diǎn)等電位，連接等電位點(diǎn)，得圖(g1)所示電路。則 解法二：根據(jù)電路的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，得各支路電流的分布如圖(g2)所示。由此得端口電壓 所以 注：本題入端電阻的計(jì)算過(guò)程說(shuō)明，判別電路中電阻的串并聯(lián)關(guān)系是分析混聯(lián)電路的關(guān)鍵。一般應(yīng)掌握以下幾點(diǎn) （1）根據(jù)電壓、電流關(guān)系判斷。若流經(jīng)兩電阻的電流是同一電流，則為串聯(lián)；若兩電阻上承受的是同一電壓，就是并聯(lián)。注意不要被電路中的一些短接線所

6、迷惑，對(duì)短接線可以做壓縮或伸長(zhǎng)處理。 （2）根據(jù)電路的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，如對(duì)稱性、電橋平衡等，找出等電位點(diǎn)，連接或斷開(kāi)等電位點(diǎn)之間的支路，把電路變換成簡(jiǎn)單的并聯(lián)形式。 （3）應(yīng)用Y，結(jié)構(gòu)互換把電路轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的串并聯(lián)形式，再加以計(jì)算分析。但要明確，Y，形結(jié)構(gòu)互換是多端子結(jié)構(gòu)等效，除正確使用變換公式計(jì)算各阻值之外，務(wù)必正確連接各對(duì)應(yīng)端子，更應(yīng)注意不要把本是串并聯(lián)的問(wèn)題看做Y, 結(jié)構(gòu)進(jìn)行變換等效，那樣會(huì)使問(wèn)題的計(jì)算更加復(fù)雜化。 （4）當(dāng)電路結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜時(shí)，可以根據(jù)電路的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，設(shè)定電路中的支路電流，通過(guò)一些網(wǎng)孔回路方程和結(jié)點(diǎn)方程確定支路電流分布系數(shù)，然后求出斷口電壓和電流的比值，得出等效電阻。2-5 在圖

7、(a)電路中，。圖(b)為經(jīng)電源變換后的等效電路。（1）求等效電路的和；（2）根據(jù)等效電路求中電流和消耗功率；（3）分別在圖(a),(b)中求出及消耗的功率；（4）試問(wèn)發(fā)出的功率是否等于發(fā)出的功率？消耗的功率是否等于消耗的功率？為什么？解：（1）利用電源的等效變換，圖(a)中電阻與電壓源的串聯(lián)可以用電阻與電流源的并聯(lián)來(lái)等效。等效后的電路如題解2-5圖所示，其中 對(duì)題解2-5圖電路進(jìn)一步簡(jiǎn)化得圖(b)所示電路，故 （2）由圖(b)可解得三條并聯(lián)支路的端電壓 所以的電流和消耗的功率分別為 （3）根據(jù)KVL，圖(a)電路中兩端的電壓分別為 則消耗的功率分別為 (b)圖中消耗的功率 （4）(a)圖中發(fā)

8、出的功率分別為 (b)圖中發(fā)出功率 顯然 由（3）的解可知 以上結(jié)果表明，等效電源發(fā)出的功率一般并不等于原電路中所有電源發(fā)出的功率之和；等效電阻消耗的功率一般也并不等于原電路中所有電阻消耗的功率之和。這充分說(shuō)明，電路的“等效”概念僅僅指對(duì)外電路等效，對(duì)內(nèi)部電路（變換的電路）則不等效。2-6 對(duì)圖示電橋電路，應(yīng)用等效變換求：（1）對(duì)角線電壓；（2）電壓。解法一：把構(gòu)成的形等效變換為形，如題解圖(a)所示，其中各電阻值為： 由于兩條并接支路的電阻相等，因此得電流 應(yīng)用KVL得電壓 又因入端電阻 所以 解法二：把構(gòu)成的形等效變換為形，如題解圖(b)所示，其中各電阻值為 把圖(b)等效為圖(c)，應(yīng)用

9、電阻并聯(lián)分流公式得電流 由此得圖(b)中電阻中的電流 所以原圖中電阻中的電流為，故電壓 由圖(c)得 注：本題也可把構(gòu)成的形變換為 Y形，或把構(gòu)成的Y形變換為形。這說(shuō)明一道題中變換方式可以有多種，但顯然，變換方式選擇得當(dāng)，將使等效電阻值和待求量的計(jì)算簡(jiǎn)便，如本題解法一顯然比解法二簡(jiǎn)便。2-7 圖示為由橋電路構(gòu)成的衰減器。（1）試證明當(dāng)時(shí)，且有； （2）試證明當(dāng)時(shí)，并求此時(shí)電壓比。解：（1）當(dāng)時(shí)電路為一平衡電橋，可等效為題解圖(a)所示電路，所以 即 （2）把由構(gòu)成的形電路等效變換為形電路，原電路等效為題解圖(b)。其中，因?yàn)?所以 2-8 在圖(a)中，；，；在圖(b)中，。利用電源的等效變換

10、求圖(a)和圖(b)中電壓。解(a)：利用電源的等效變換，將(a)圖等效為題解圖(a1)，(a2)。其中 把所有的電流源合并，得 把所有電阻并聯(lián)，有 所以 解(b)：圖(b)可以等效變換為題解圖(b1)，(b2)其中 等效電流源為 等效電阻為 所以 注：應(yīng)用電源等效互換分析電路問(wèn)題時(shí)要注意，等效變換是將理想電壓源與電阻的串聯(lián)模型與理想電流源與電阻的并聯(lián)模型互換，其互換關(guān)系為：在量值上滿足或，在方向上有的參考方向由的負(fù)極指向正極。這種等效是對(duì)模型輸出端子上的電流和電壓等效。需要明確理想電壓源與理想電流源之間不能互換。2-9 利用電源的等效變換，求圖示電路的電流。解：利用電源的等效變換，原電路可以

11、等效為題解圖(a)，(b)和(c)，所以電流 2-10 利用電源的等效變換，求圖示電路中電壓比。已知。解法一：利用電源的等效變換，原電路可以等效為題解圖(a)所示的單回路電路，對(duì)回路列寫(xiě)KVL方程，有 把帶入上式，則 所以輸出電壓 即 解法二：因?yàn)槭芸仉娏髟吹碾娏鳛椋词芸仉娏髟吹目刂屏靠梢愿臑?。原電路可以等效為圖(b)所示的單結(jié)點(diǎn)電路，則 即 又因 即 所以 注：本題說(shuō)明，當(dāng)受控電壓源與電阻串聯(lián)或受控電流源與電阻并聯(lián)時(shí)，均可仿效獨(dú)立電源的等效方法進(jìn)行電源互換等效。需要注意的是，控制量所在的支路不要變掉發(fā)，若要變掉的話，注意控制量的改變，不要丟失了控制量。2-11 圖示電路中，的電壓，利用電源

12、的等效變換求電壓。 解：原電路可等效變換為題解2-11圖所示電路。圖中 對(duì)回路列KVL方程，有 即 所以電壓 2-12 試求圖(a)和(b)的輸入電阻。解(a)：在(a)圖的a，b端子間加電壓源，并設(shè)電流如題解2-12圖(a)所示，顯然有 故得a，b端的輸入電阻 解(b)：在(b) 圖的a，b端子間加電壓源，如題解圖(b)所示，由KVL和KCL可得電壓 所以a，b端的輸入電阻 注：不含獨(dú)立源的一端口電路的輸入電阻（或輸出電阻）定義為端口電壓和端口電流的比值，即。在求輸入電阻時(shí)，（1）對(duì)僅含電阻的二端電路，常用簡(jiǎn)便的電阻串聯(lián)、并聯(lián)和變換等方法來(lái)求；（2）對(duì)含有受控源的二端電阻電路，則必須按定義來(lái)求，即在端子間加電壓源（如本題的求解），亦可加電流源，來(lái)求得端口電壓和電流的比值。2-13 試求圖(a)和(b)的輸入電阻。解(a)：在(a)圖的端子間加電壓源，設(shè)電流，如題解2-13圖(a)所示。根據(jù)KCL，有 有因 由此可得 即 故輸入電阻 解(b)：在