知識(shí)講解解三角形應(yīng)用舉例基礎(chǔ)

1、解三角形應(yīng)用舉例編稿：張希勇 審稿：李霞【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能夠利用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的問題；2.提高運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，并初步掌握數(shù)學(xué)建模的思想方法；3.掌握運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決幾何計(jì)算問題的方法.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、解三角形應(yīng)用題的步驟解三角形在實(shí)際中應(yīng)用非常廣泛，如測(cè)量、航海、幾何、物理等方面都要用到解三角形的知識(shí)，解題時(shí)應(yīng)認(rèn)真分析題意，并做到算法簡練，算式工整，計(jì)算正確.其解題的一般步驟是：(1)準(zhǔn)確理解題意，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語；明確已知和所求，理清量與量之間的關(guān)系；(2)根據(jù)題意畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出

2、，將實(shí)際問題抽象成解三角形模型；(3) 分析與所研究的問題有關(guān)的一個(gè)或幾個(gè)三角形，正確運(yùn)用正弦定理和余弦定理，有順序的求解；(4)將三角形的解還原為實(shí)際問題，注意實(shí)際問題中的單位及近似計(jì)算要求，回答實(shí)際問題.要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)二、解三角形應(yīng)用題的基本思路實(shí)際問題 畫圖 數(shù)學(xué)問題 解三角形 數(shù)學(xué)問題的解 檢驗(yàn) 實(shí)際問題的解要點(diǎn)三、實(shí)際問題中的一些名詞、術(shù)語仰角和俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫俯角，如圖所示：坡角和坡度坡面與地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i表示。坡比

3、是坡角的正切值。方位角與方向角：方位角：一般指正北方向線順時(shí)針到目標(biāo)方向線的水平角。方位角的取值范圍為0°360°。如圖，點(diǎn)的方位角是。方向角：一般是指以觀測(cè)者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角(一般指銳角)，通常表達(dá)成北(南)偏東(西)多少度。如圖為南偏西方向（指以正南方向?yàn)槭歼叄蛘鞣较蛐D(zhuǎn)）；如圖為北偏東方向（指從正北開始向正東方向旋轉(zhuǎn)）. 東南方向：指經(jīng)過目標(biāo)的射線是正東與正南的夾角平分線.依此可類推西南方向、西北方向等；要點(diǎn)四、解三角形應(yīng)用中的常見題型正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型有：1.測(cè)量距離問題：這類問題的情景一般屬

4、于“測(cè)量有障礙物相隔的兩點(diǎn)間的距離”，在測(cè)量過程中，要根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線長度，測(cè)量工具要有較高的精確度.2.測(cè)量高度問題：這類問題的情景屬于“測(cè)量底（頂）部不能到達(dá)的物體的高度”.測(cè)量過程中，要注意選取適量不同的測(cè)量點(diǎn)，使測(cè)量有較高的精確度.3.測(cè)量角度問題：這類問題的情景屬于“根據(jù)需要，對(duì)某些物體定位”.測(cè)量數(shù)據(jù)越精確，定位精度越高【典型例題】類型一：距離問題例1.如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量兩點(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離是42m，BAC=，ACB=。求A、B兩點(diǎn)的距離.【思路點(diǎn)撥】這是一道關(guān)于研究兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離測(cè)量問題

5、。題目條件告訴了邊CD的長以及以C、D為頂點(diǎn)的四個(gè)角，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和正弦定理很容易算出AC、AD、BC或BD；然后選擇恰當(dāng)?shù)娜切?，再利用余弦定理可以?jì)算出AB的距離?！窘馕觥扛鶕?jù)正弦定理，得，答:A、B兩點(diǎn)間的距離為.【總結(jié)升華】1. 此題雖為解三角形問題的簡單應(yīng)用，但關(guān)鍵是把未知邊所處的三角形找到，在轉(zhuǎn)換過程中應(yīng)注意排除題目中非數(shù)學(xué)因素的干擾，將數(shù)量關(guān)系從題目準(zhǔn)確地提煉出來.2. 解三角形的應(yīng)用題時(shí)，通常會(huì)遇到兩種情況：（1）已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量與未知量涉及兩個(gè)或幾個(gè)三角形，這時(shí)需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步

6、在其余的三角形中求出問題的解。3. 在研究三角形時(shí)，靈活根據(jù)兩個(gè)定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個(gè)定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來選擇最佳的計(jì)算方式。舉一反三：【變式】為了開鑿隧道，要測(cè)量隧道上D、E間的距離，為此在山的一側(cè)選取適當(dāng)點(diǎn)C，如圖，測(cè)得CA=400m，CB=600m， ACB=60°，又測(cè)得A、B兩點(diǎn)到隧道口的距離AD=80m，BE=40m(A、D、E、B在一條直線上)，計(jì)算隧道DE的長.【答案】在ABC中，CA=400m，CB=600m， ACB=60°，由余弦定理得 答：隧道長約為409.2m. 類型二：高

7、度問題【高清課堂：解三角形應(yīng)用舉例377493 例2】例2.某人在塔的正東沿著南偏西的方向前進(jìn)40米后，望見 塔在東北方向，若沿途測(cè)得塔的最大仰角為，求塔高.【思路點(diǎn)撥】畫出空間圖形后，先尋找可解的三角形，進(jìn)而解目標(biāo)所在三角形?！窘馕觥咳鐖D所示，過B做于點(diǎn)E,由題意知在E點(diǎn)測(cè)得塔的最大仰角，在.由正弦定理，得在中，在中，（米）故所求塔高為米【總結(jié)升華】 注意仰角的概念。舉一反三：【變式1】如圖，在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角，在塔底C處測(cè)得A處的俯角，已知鐵塔的BC部分的高為,求山高CD.【答案】，假設(shè)，則， ，解得.【變式2】在某點(diǎn)B處測(cè)得建筑物AE的頂端A的仰角為，沿BE方向前進(jìn)3

8、0m，至點(diǎn)C處測(cè)得頂端A的仰角為2，再繼續(xù)前進(jìn)10m至D點(diǎn)，測(cè)得頂端A的仰角為4，求的大小和建筑物AE的高?！敬鸢浮糠椒ㄒ唬河谜叶ɡ砬蠼庥梢阎傻迷贏CD中，AC=BC=30， AD=DC=10，ADC =， 因?yàn)閟in4=2sin2cos2，,得在RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角，建筑物高度為15m。方法二：設(shè)方程來求解設(shè)DE= x，AE=h在RtACE中,(10+ x) + h=30在RtADE中,x+h=(10)兩式相減，得x=5,h=15在RtACE中,tan2=答：所求角，建筑物高度為15m。方法三：用倍角公式求解設(shè)建筑物高為AE=8，由題意，得BAC=，CAD=

9、2，AC=BC=30m ,AD=CD=10m在RtACE中，sin2= - 在RtADE中，sin4=- 得cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15答：所求角，建筑物高度為15m。類型三：角度問題AB例3.甲船在A處、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B處，乙船以每小時(shí)10海里的速度向正北方向行駛，而甲船同時(shí)以每小時(shí)8海里的速度由A處向南偏西60o方向行駛，問經(jīng)過多少小時(shí)后，甲、乙兩船相距最近？【思路點(diǎn)撥】（1）要弄清方位角的概念，（2）畫出示意圖很關(guān)鍵，同時(shí)還要設(shè)好未知數(shù)，標(biāo)注出來?！窘馕觥吭O(shè)經(jīng)過x小時(shí)后，甲船和乙船分別到達(dá)C,D兩點(diǎn) ABDC此時(shí),甲、乙兩船相距最近【總結(jié)升

10、華】在解決測(cè)量問題的有關(guān)題目時(shí)，要搞清方位角、俯角、與仰角等的含義，合理構(gòu)造三角形求解，即把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化.舉一反三：【變式1】兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏西30，燈塔B在觀察站C南偏西60，則A、B之間的距離為 ；【答案】；如圖，?！咀兪?】如圖示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為(   )A.   B. C.  D.【答案】B 【高清課堂：解三角形的應(yīng)用舉例377493 例3】【變式3】如圖所示，在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A為()km的B處有一艘走私船.在A處北偏西75°方