相交線與平行線最全知識(shí)點(diǎn)

1、一、本章共分4大節(jié)共14個(gè)課時(shí)；（2.163.7第1、4周）章節(jié)內(nèi)容課時(shí)第五章相交線與平行線145.1 相交線35.2平行線及其判定 35.3平行線的性質(zhì) 45.4 平移2單元小結(jié)2二、本章有四個(gè)數(shù)學(xué)基本事實(shí)1.過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行；2.過一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線垂直；3.兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行；4.兩直線平行，同位角相等.三、本章共有19個(gè)概念1.對(duì)頂角2.鄰補(bǔ)角3.垂直4.垂線5.垂足6.垂線段7.點(diǎn)到直線的距離8.同位角9.內(nèi)錯(cuò)角10.同旁內(nèi)角11.平行12.數(shù)學(xué)基本事實(shí)13.平行公理14.命題15.真命題16.假命題17.定

2、理18.證明19.平移四、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想遇到新問題時(shí)，常常把它轉(zhuǎn)化為已知（或已解決）的問題.P14五、平移1.找規(guī)律2.轉(zhuǎn)化求面積3.作圖（2009年安徽中考）學(xué)校植物園沿路護(hù)欄紋飾部分設(shè)計(jì)成若干個(gè)全等菱形圖案，每增加一個(gè)菱形圖案，紋飾長(zhǎng)度就增加dcm，如圖所示已知每個(gè)菱形圖案的邊長(zhǎng)cm，其一個(gè)內(nèi)角為60°60°dL第19題圖（1）若d26，則該紋飾要231個(gè)菱形圖案，求紋飾的長(zhǎng)度L；【解】（2）當(dāng)d20時(shí)，若保持（1）中紋飾長(zhǎng)度不變，則需要多少個(gè)這樣的菱形圖案？【解】相交線與平行線知識(shí)點(diǎn)5.1相交線1、鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角兩直線相交所成的四個(gè)角中存在幾種不同關(guān)系的角，它們的概念

3、及性質(zhì)如下表：圖形頂點(diǎn)邊的關(guān)系大小關(guān)系對(duì)頂角121與2有公共頂點(diǎn)1的兩邊與2的兩邊互為反向延長(zhǎng)線對(duì)頂角相等即1=2鄰補(bǔ)角43 3與4有公共頂點(diǎn)3與4有一條邊公共，另一邊互為反向延長(zhǎng)線.3+4=180°注意點(diǎn)：對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的，對(duì)頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角；如果與是對(duì)頂角，那么一定有=；反之如果=，那么與不一定是對(duì)頂角如果與互為鄰補(bǔ)角，則一定有+=180°；反之如果+=180°，則與不一定是鄰補(bǔ)角.兩直線相交形成的四個(gè)角中，每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，而對(duì)頂角只有一個(gè).2、垂線ABCDO定義，當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相垂直，

4、其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.符號(hào)語(yǔ)言記作： 如圖所示：ABCD，垂足為O垂線性質(zhì)1：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 (與平行公理相比較記)垂線性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.簡(jiǎn)稱：垂線段最短.3、垂線的畫法：過直線上一點(diǎn)畫已知直線的垂線；過直線外一點(diǎn)畫已知直線的垂線.注意：畫一條線段或射線的垂線，就是畫它們所在直線的垂線；過一點(diǎn)作線段的垂線，垂足可在線段上，也可以在線段的延長(zhǎng)線上.畫法：一靠：用三角尺一條直角邊靠在已知直線上，二移：移動(dòng)三角尺使一點(diǎn)落在它的另一邊直角邊上，三畫：沿著這條直角邊畫線，不要畫成給人的印象是線段的線.4、點(diǎn)

5、到直線的距離PABO直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離記得時(shí)候應(yīng)該結(jié)合圖形進(jìn)行記憶.如圖，POAB，同P到直線AB的距離是PO的長(zhǎng).PO是垂線段.PO是點(diǎn)P到直線AB所有線段中最短的一條.現(xiàn)實(shí)生活中開溝引水，牽牛喝水都是“垂線段最短”性質(zhì)的應(yīng)用.5、如何理解“垂線”、“垂線段”、“兩點(diǎn)間距離”、“點(diǎn)到直線的距離”這些相近而又相異的概念 分析它們的聯(lián)系與區(qū)別 垂線與垂線段 區(qū)別：垂線是一條直線，不可度量長(zhǎng)度；垂線段是一條線段，可以度量長(zhǎng)度. 聯(lián)系：具有垂直于已知直線的共同特征.(垂直的性質(zhì)) 兩點(diǎn)間距離與點(diǎn)到直線的距離 區(qū)別：兩點(diǎn)間的距離是點(diǎn)與點(diǎn)之間，點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)與直線

6、之間. 聯(lián)系：都是線段的長(zhǎng)度；點(diǎn)到直線的距離是特殊的兩點(diǎn)(即已知點(diǎn)與垂足)間距離. 線段與距離 距離是線段的長(zhǎng)度，是一個(gè)量；線段是一種圖形，它們之間不能等同. 5.2平行線1、平行線的概念：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，直線與直線互相平行，記作.2、兩條直線的位置關(guān)系在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交；平行.因此當(dāng)我們得知在同一平面內(nèi)兩直線不相交時(shí)，就可以肯定它們平行；反過來也一樣（這里，我們把重合的兩直線看成一條直線）判斷同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系時(shí)，可以根據(jù)它們的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來確定：有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，兩直線相交；無公共點(diǎn)，則兩直線平行；兩個(gè)或兩個(gè)以上公共點(diǎn)，則兩直

7、線重合（因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線）3、平行公理平行線的存在性與惟一性經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行4、平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行如左圖所示，注意符號(hào)語(yǔ)言書寫，前提條件是兩直線都平行于第三條直線，才會(huì)結(jié)論，這兩條直線都平行.5、三線八角12345678兩條直線被第三條直線所截形成八個(gè)角，它們構(gòu)成了同位角、內(nèi)錯(cuò)角與同旁內(nèi)角.如圖，直線被直線所截1與5在截線的同側(cè)，同在被截直線的上方，叫做同位角（位置相同）5與3在截線的兩旁（交錯(cuò)），在被截直線之間（內(nèi)），叫做內(nèi)錯(cuò)角（位置在內(nèi)且交錯(cuò)）5與4在截線的同側(cè)，在被截直線之間（內(nèi)），叫做同旁內(nèi)角.三線

8、八角也可以成模型中看出.同位角是“F”型；內(nèi)錯(cuò)角是“Z”型；同旁內(nèi)角是“U”型.6、如何判別三線八角判別同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角的關(guān)鍵是找到構(gòu)成這兩個(gè)角的“三線”，有時(shí)需要將有關(guān)的部分“抽出”或把無關(guān)的線略去不看，有時(shí)又需要把圖形補(bǔ)全.6BAD2345789FEC例如：1如圖，判斷下列各對(duì)角的位置關(guān)系：1與2；1與7；1與BAD；2與6；5與8.我們將各對(duì)角從圖形中抽出來（或者說略去與有關(guān)角無關(guān)的線），得到下列各圖.如圖所示，不難看出1與2是同旁內(nèi)角；1與7是同位角；1與BAD是同旁內(nèi)角；2與6是內(nèi)錯(cuò)角；5與8對(duì)頂角.ABC17ABF21ABCD26ADBF1BAFE58C注意：圖中2與9，它

9、們是同位角嗎？不是，因?yàn)?與9的各邊分別在四條不同直線上，不是兩直線被第三條直線所截而成.7、兩直線平行的判定方法方法一兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行簡(jiǎn)稱：同位角相等，兩直線平行方法二兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行簡(jiǎn)稱：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行方法三兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行ABCDEF1234簡(jiǎn)稱：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行幾何符號(hào)語(yǔ)言：32ABCD（同位角相等，兩直線平行）12ABCD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）42180°ABCD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）請(qǐng)同學(xué)們注意書寫的順序以及前因后

10、果，平行線的判定是由角相等，然后得出平行.平行線的判定是寫角相等，然后寫平行.注意：幾何中，圖形之間的“位置關(guān)系”一般都與某種“數(shù)量關(guān)系”有著內(nèi)在的聯(lián)系，常由“位置關(guān)系”決定其“數(shù)量關(guān)系”，反之也可從“數(shù)量關(guān)系”去確定“位置關(guān)系”.上述平行線的判定方法就是根據(jù)同位角或內(nèi)錯(cuò)角“相等”或同旁內(nèi)角“互補(bǔ)”這種“數(shù)量關(guān)系”，判定兩直線“平行”這種“位置關(guān)系”.根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有兩種： 如果兩條直線沒有交點(diǎn)（不相交），那么兩直線平行. 如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行.典型例題：判斷下列說法是否正確，如果不正確，請(qǐng)給予改正：不相交的兩條直線必定平行線

11、.在同一平面內(nèi)不相重合的兩條直線，如果它們不平行，那么這兩條直線一定相交.過一點(diǎn)可以且只可以畫一條直線與已知直線平行解答：錯(cuò)誤，平行線是“在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線”.“在同一平面內(nèi)”是一項(xiàng)重要條件，不能遺漏.正確不正確，正確的說法是“過直線外一點(diǎn)”而不是“過一點(diǎn)”.因?yàn)槿绻@一點(diǎn)不在已知直線上，是作不出這條直線的平行線的.ABEDFC123典型例題：如圖，根據(jù)下列條件，可以判定哪兩條直線平行，并說明判定的根據(jù)是什么？解答：由2B可判定ABDE，根據(jù)是同位角相等，兩直線平行；由1D可判定ACDF，根據(jù)是內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；由ACFF180°可判定ACDF，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直

12、線平行.5.3平行線的性質(zhì)1、平行線的性質(zhì)：性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；ABCDEF1234性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).幾何符號(hào)語(yǔ)言：ABCD12（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）ABCD32（兩直線平行，同位角相等）ABCD42180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）2、兩條平行線的距離如圖，直線ABCD，EFAB于E，EFCD于F，則稱線段EF的長(zhǎng)度為兩平行線AB與CD間的距離.AEGBCFHD注意：直線ABCD，在直線AB上任取一點(diǎn)G，過點(diǎn)G作CD的垂線段GH，則垂線段GH的長(zhǎng)度也就是直線AB與CD間的距離.3、命題：命題的概念：判斷一件事情的語(yǔ)句

13、，叫做命題.命題的組成每個(gè)命題都是題設(shè)、結(jié)論兩部分組成.題設(shè)是已知事項(xiàng)；結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng).命題常寫成“如果，那么”的形式.具有這種形式的命題中，用“如果”開始的部分是題設(shè)，用“那么”開始的部分是結(jié)論.有些命題，沒有寫成“如果，那么”的形式，題設(shè)和結(jié)論不明顯.對(duì)于這樣的命題，要經(jīng)過分析才能找出題設(shè)和結(jié)論，也可以將它們改寫成“如果，那么”的形式.注意：命題的題設(shè)（條件）部分，有時(shí)也可用“已知”或者“若”等形式表述；命題的結(jié)論部分，有時(shí)也可用“求證”或“則”等形式表述.4、平行線的性質(zhì)與判定平行線的性質(zhì)與判定是互逆的關(guān)系兩直線平行同位角相等；兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ).其

14、中，由角的相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線平行（位置關(guān)系）這是平行線的判定；由平行線（位置關(guān)系）得到有關(guān)角相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì).ADEBC12典型例題：已知1B，求證：2C證明：1B（已知）DEBC（同位角相等，兩直線平行）2C（兩直線平行同位角相等）注意，在了DEBC，不需要再寫一次了，得到了DEBC，這可以把它當(dāng)作條件來用了.ADFBEC123典型例題：如圖，ABDF，DEBC，165°求2、3的度數(shù)解答：DEBC（已知）2165°（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）ABDF（已知）ABDF（已知）32180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

15、3180°2180°65°115° 5.4平移1、平移變換把一個(gè)圖形整體沿某一方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同.新圖形的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等2、平移的特征：經(jīng)過平移之后的圖形與原來的圖形的對(duì)應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等，對(duì)應(yīng)角相等，圖形的形狀與大小都沒有發(fā)生變化.經(jīng)過平移后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行（或在同一直線上）且相等.典型例題：如圖，ABC經(jīng)過平移之后成為DEF，那么：點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)；點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn).ADBECF點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)F；線段AB的對(duì)

16、應(yīng)線段是線段；線段BC的對(duì)應(yīng)線段是線段；A的對(duì)應(yīng)角是.的對(duì)應(yīng)角是F.解答：D；E；C；DE；EF；D；ACB.思維方式：利用平移特征：平移前后對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段平行或在同一直線上解答.考點(diǎn)一：對(duì)相關(guān)概念的理解對(duì)頂角的性質(zhì)，垂直的定義，垂線的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離，垂線性質(zhì)與平行公理的區(qū)別等例1：判斷下列說法的正誤。（1） 對(duì)頂角相等； （2） 相等的角是對(duì)頂角；（3） 鄰補(bǔ)角互補(bǔ)；（4） 互補(bǔ)的角是鄰補(bǔ)角；（5） 同位角相等；（6） 內(nèi)錯(cuò)角相等；（7） 同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（8） 直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到直線的距離；（9） 過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；（10） 過一點(diǎn)

17、有且只有一條直線與已知直線平行；（11） 兩直線不相交就平行；（12） 互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角的平分線互相垂直。練習(xí)：下列說法正確的是（ ）A、相等的角是對(duì)頂角 B、直線外一點(diǎn)到直線的垂線段叫點(diǎn)到直線的距離C、兩條直線相交，有一對(duì)對(duì)頂角互補(bǔ)，則兩條直線互相垂直。D、過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行考點(diǎn)二：相關(guān)推理（識(shí)記）（1）ac，bc（已知）   _ _（ ）（2）1=2，2=3（已知）  _ =_（ ）（3）1+2=180°，2=30°（已知）  1=_（ ）（4）1+2=90°，2=22°（已知）&

18、#160;  1=_（ ）（5）如圖（1），AOC=55°（已知）   BOD=_（ ）（6）如圖（1），AOC=55°（已知）   BOC=_（ ）（7）如圖（1），AOC=AOD，AOC+AOD=180°（已知）   ab11234ab.ACBBOC=_（ ） （1） （2） （3） （4）（8）如圖（2），ab（已知）   1=_（ ）（9）如圖（2），1=_（已知）   ab（ ）（10）如圖（3），點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)   A

19、C=_（ ）(11) 如圖（3）， AC=BC點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)（ ）（12）如圖（4），ab（已知）   1=2（ ）（13）如圖（4），ab（已知）   1=3（ ）（14）如圖（4），ab（已知）   1+4= （ ）（15）如圖（4），1=2（已知）   ab（ ）（16）如圖（4），1=3（已知）   ab（ ）（17）如圖（4），1+4= （已知）   ab（ ）考點(diǎn)三：對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的判斷、相關(guān)計(jì)算例題1：如圖51，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，對(duì)頂角有_對(duì)，它們分別是_，AOD的鄰補(bǔ)角是_。例題2：如圖52，直線l1，l2和l3相交構(gòu)成8個(gè)角，已知1=5，那么，5是_的對(duì)頂角，與5相等的角有1、_，與5互補(bǔ)的角有_。例題3：如圖53，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，射線OE為BOD的平分線，BOE=30°，則AOE為_。圖51 圖52 圖53考點(diǎn)四：同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的識(shí)別例題1：如圖2-44，1和4是AB、 被 所截得的 角，3和5是 、 被 所截得的 角，2和5是 、 被 所截得的 角，AC、BC被AB所截