離散數(shù)學(xué)試題及答案17682

1、離散數(shù)學(xué)試題及答案一、填空題 1 設(shè)集合A,B，其中A1,2,3, B= 1,2, 則A - B_3_; r(A) - r(B) _3，1，3，2,3,1,2,3_ .2. 設(shè)有限集合A, |A| = n, 則 |r(A×A)| = _2(n2)_.3. 設(shè)集合A = a, b, B = 1, 2, 則從A到B的所有映射是_A1 = (a,1), (b,1), A2 = (a,2), (b,2), A3 = (a,1), (b,2), A4 = (a,2), (b,1),_ _, 其中雙射的是_A3, A4_.4. 已知命題公式GØ(P®Q)R，則G的主析取范式是

2、_PØQR (m5)_.5.設(shè)G是完全二叉樹(shù)，G有7個(gè)點(diǎn)，其中4個(gè)葉點(diǎn)，則G的總度數(shù)為_(kāi)12_，分枝點(diǎn)數(shù)為_(kāi)3_.6 設(shè)A、B為兩個(gè)集合, A= 1,2,4, B = 3,4, 則從AÇB_4_; AÈB_1,2,3,4_;AB _1,2_ .7. 設(shè)R是集合A上的等價(jià)關(guān)系，則R所具有的關(guān)系的三個(gè)特性是_自反性_, _對(duì)稱性_, _傳遞性_.8. 設(shè)命題公式GØ(P®(QÙR)，則使公式G為真的解釋有_（1,0,0）_，_(1,0,1)_, _(1,1,0)_.9. 設(shè)集合A1,2,3,4, A上的關(guān)系R1 = (1,4),(2,3)

3、,(3,2), R1 = (2,1),(3,2),(4,3), 則R1·R2 = _(1,3),(2,2),(3,1)_,R2·R1 =_(2,4), (3,3), (4,2)_,R12 =_(2,2), (3,3)_.10. 設(shè)有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 則| |r(A´B)| = _2(m*n)_.11 設(shè)A,B,R是三個(gè)集合，其中R是實(shí)數(shù)集，A = x | -1x1, xÎR, B = x | 0x < 2, xÎR,則A-B = _x | -1 x < 0, x R_ , B-A = _x | 1 &

4、lt; x < 2, x R_ , AB = _x | 0 x 1, x R_ , .13. 設(shè)集合A2, 3, 4, 5, 6，R是A上的整除，則R以集合形式(列舉法)記為_(kāi) _(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)_. 14. 設(shè)一階邏輯公式G = "xP(x)®$xQ(x)，則G的前束范式是_$y$x(P(y)®Q(x)_ _.15.設(shè)G是具有8個(gè)頂點(diǎn)的樹(shù)，則G中增加_21_條邊才能把G變成完全圖。16. 設(shè)謂詞的定義域?yàn)閍, b,將表達(dá)式"xR(x)$xS(x)中量詞消

5、除，寫成與之對(duì)應(yīng)的命題公式是_(R(a)R(b)(S(a)S(b)_.17. 設(shè)集合A1, 2, 3, 4，A上的二元關(guān)系R(1,1),(1,2),(2,3), S(1,3),(2,3),(3,2)。則R×S_(1, 3),(2, 2)_, R2_(1, 1),(1, 2),(1, 3)_.二、選擇題1 設(shè)集合A=2,a,3,4，B = a,3,4,1，E為全集，則下列命題正確的是( C )。(A)2ÎA (B)aÍA (C)ÆÍaÍBÍE (D)a,1,3,4ÌB.2 設(shè)集合A=1,2,3,A上的關(guān)系R(1,1)

6、,(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)，則R不具備( D ).(A)自反性(B)傳遞性(C)對(duì)稱性(D)反對(duì)稱性1234563 設(shè)半序集(A,)關(guān)系的哈斯圖如下所示，若A的子集B = 2,3,4,5,則元素6為B的( B )。(A)下界 (B)上界(C)最小上界 (D)以上答案都不對(duì)4 下列語(yǔ)句中，( B )是命題。(A)請(qǐng)把門關(guān)上 (B)地球外的星球上也有人 (C)x + 5 > 6 (D)下午有會(huì)嗎？5 設(shè)I是如下一個(gè)解釋：Da,b, 則在解釋I下取真值為1的公式是( D ).(A)$x"yP(x,y) (B)"x"yP(x,y) (C)&qu

7、ot;xP(x,x) (D)"x$yP(x,y).6. 若供選擇答案中的數(shù)值表示一個(gè)簡(jiǎn)單圖中各個(gè)頂點(diǎn)的度，能畫出圖的是( C ).(A)(1,2,2,3,4,5) (B)(1,2,3,4,5,5) (C)(1,1,1,2,3) (D)(2,3,3,4,5,6).7. 設(shè)G、H是一階邏輯公式，P是一個(gè)謂詞，G$xP(x), H"xP(x),則一階邏輯公式G®H是( C ).(A)恒真的 (B)恒假的 (C)可滿足的 (D)前束范式.8 設(shè)命題公式GØ(P®Q)，HP®(Q®ØP)，則G與H的關(guān)系是( A )。(A)G

8、ÞH (B)HÞG (C)GH (D)以上都不是.9 設(shè)A, B為集合，當(dāng)( D )時(shí)ABB.(A)AB(B)AÍB(C)BÍA(D)ABÆ.10 設(shè)集合A = 1,2,3,4, A上的關(guān)系R(1,1),(2,3),(2,4),(3,4), 則R具有( B )。(A)自反性 (B)傳遞性(C)對(duì)稱性 (D)以上答案都不對(duì)11 下列關(guān)于集合的表示中正確的為( B )。(A)aÎa,b,c (B)aÍa,b,c(C)ÆÎa,b,c (D)a,bÎa,b,c12 命題"xG(x)取真值1的充

9、分必要條件是( A ).(A) 對(duì)任意x，G(x)都取真值1. (B)有一個(gè)x0，使G(x0)取真值1. (C)有某些x，使G(x0)取真值1. (D)以上答案都不對(duì).13. 設(shè)G是連通平面圖，有5個(gè)頂點(diǎn)，6個(gè)面，則G的邊數(shù)是( A ).(A) 9條 (B) 5條 (C) 6條 (D) 11條.14. 設(shè)G是5個(gè)頂點(diǎn)的完全圖，則從G中刪去( A )條邊可以得到樹(shù).(A)6 (B)5 (C)10 (D)4.15. 設(shè)圖G的相鄰矩陣為，則G的頂點(diǎn)數(shù)與邊數(shù)分別為( D ).(A)4, 5 (B)5, 6 (C)4, 10 (D)5, 8.三、計(jì)算證明題1.設(shè)集合A1, 2, 3, 4, 6, 8,

10、9, 12，R為整除關(guān)系。(1) 畫出半序集(A,R)的哈斯圖；(2) 寫出A的子集B = 3,6,9,12的上界，下界，最小上界，最大下界；B無(wú)上界，也無(wú)最小上界。下界1, 3; 最大下界是3.(3) 寫出A的最大元，最小元，極大元，極小元。A無(wú)最大元，最小元是1，極大元8, 12, 90+; 極小元是1.2. 設(shè)集合A1, 2, 3, 4，A上的關(guān)系R(x,y) | x, yÎA 且 x ³ y, 求 (1) 畫出R的關(guān)系圖；(2) 寫出R的關(guān)系矩陣.3. 設(shè)R是實(shí)數(shù)集合，s,t,j是R上的三個(gè)映射，s(x) = x+3, t(x) = 2x, j(x) x/4,試求復(fù)

11、合映射st，ss, sj, jt，sjt.(1)sts(t(x)t(x)+32x+32x+3.(2)sss(s(x)s(x)+3(x+3)+3x+6,(3)sjs(j(x)j(x)+3x/4+3, (4)jtj(t(x)t(x)/42x/4 = x/2,(5)sjts(jt)jt+32x/4+3x/2+3.4. 設(shè)I是如下一個(gè)解釋：D = 2, 3, abf (2)f (3)P(2, 2)P(2, 3)P(3, 2)P(3, 3)32320011試求 (1) P(a, f (a)P(b, f (b);P(a, f (a)P(b, f (b) = P(3, f (3)P(2, f (2)= P(

12、3, 2)P(2, 3)= 10= 0.(2) "x$y P (y, x)."x$y P (y, x) = "x (P (2, x)P (3, x) = (P (2, 2)P (3, 2)(P (2, 3)P (3, 3)= (01)(01)= 11= 1.5. 設(shè)集合A1, 2, 4, 6, 8, 12，R為A上整除關(guān)系。(1) 畫出半序集(A,R)的哈斯圖；(2) 寫出A的最大元，最小元，極大元，極小元；無(wú)最大元，最小元1，極大元8, 12; 極小元是1.(3) 寫出A的子集B = 4, 6, 8, 12的上界，下界，最小上界，最大下界.B無(wú)上界，無(wú)最小上界。

13、下界1, 2; 最大下界2.6. 設(shè)命題公式G = Ø(PQ)(Q(ØPR), 求G的主析取范式。7. (9分)設(shè)一階邏輯公式：G = ("xP(x)$yQ(y)"xR(x)，把G化成前束范式.G = ("xP(x)$yQ(y)"xR(x)= Ø("xP(x)$yQ(y)"xR(x)= (Ø"xP(x)Ø$yQ(y)"xR(x)= ($xØP(x)"yØQ(y)"zR(z)= $x"y"z(ØP(

14、x)ØQ(y)R(z)9. 設(shè)R是集合A = a, b, c, d. R是A上的二元關(guān)系, R = (a,b), (b,a), (b,c), (c,d),(1) 求出r(R), s(R), t(R)； r(R)RIA(a,b), (b,a), (b,c), (c,d), (a,a), (b,b), (c,c), (d,d),s(R)RR1(a,b), (b,a), (b,c), (c,b) (c,d), (d,c),t(R)RR2R3R4(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (b,a), (b,b), (b,c), (b,d), (c,d)；(2) 畫出r(R),

15、s(R), t(R)的關(guān)系圖.11. 通過(guò)求主析取范式判斷下列命題公式是否等價(jià)：(1) G = (PQ)(ØPQR) (2) H = (P(QR)(Q(ØPR)G(PQ)(ØPQR)(PQØR)(PQR)(ØPQR)m6m7m3å (3, 6, 7)H = (P(QR)(Q(ØPR)(PQ)(QR)(ØPQR)(PQØR)(PQR)(ØPQR)(PQR)(ØPQR)(PQØR)(ØPQR)(PQR)m6m3m7å (3, 6, 7)G,H的主析取范式相同，

16、所以G = H.13. 設(shè)R和S是集合Aa, b, c, d上的關(guān)系，其中R(a, a),(a, c),(b, c),(c, d), S(a, b),(b, c),(b, d),(d, d).(1) 試寫出R和S的關(guān)系矩陣； (2) 計(jì)算RS, RS, R1, S1R1.RS(a, b),(c, d),RS(a, a),(a, b),(a, c),(b, c),(b, d),(c, d),(d, d), R1(a, a),(c, a),(c, b),(d, c),S1R1(b, a),(d, c).四、證明題1. 利用形式演繹法證明：PQ, RS, PR蘊(yùn)涵QS。證明：PQ, RS, PR蘊(yùn)涵

17、QS(1) PRP(2) ØRPQ(1)(3) PQP(4) ØRQQ(2)(3)(5) ØQRQ(4)(6) RSP(7) ØQSQ(5)(6)(8) QSQ(7)2. 設(shè)A,B為任意集合，證明：(A-B)-C = A-(BC).證明：(A-B)-C = (AB)C = A(BC)= A(BC)= A-(BC)3. (本題10分)利用形式演繹法證明：ØAB, ØCØB, CD蘊(yùn)涵AD。證明：ØAB, ØCØB, CD蘊(yùn)涵AD(1) AD(附加)(2) ØABP(3) BQ(1)(2)

18、(4) ØCØBP(5) BCQ(4)(6) CQ(3)(5)(7) CDP(8) DQ(6)(7)(9) ADD(1)(8)所以 ØAB, ØCØB, CD蘊(yùn)涵AD.4. (本題10分)A, B為兩個(gè)任意集合，求證：A(AB) = (AB)B .證明：A(AB) = A(AB)A(AB)(AA)(AB)Æ(AB)(AB)AB而 (AB)B= (AB)B= (AB)(BB)= (AB)Æ= AB所以：A(AB) = (AB)B.離散數(shù)學(xué)試題（A卷及答案）一、（10分）某項(xiàng)工作需要派A、B、C和D 4個(gè)人中的2個(gè)人去完成，按下

19、面3個(gè)條件，有幾種派法？如何派？(1)若A去，則C和D中要去1個(gè)人；(2)B和C不能都去；(3)若C去，則D留下。解 設(shè)A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。則根據(jù)題意應(yīng)有：A®CÅD，Ø(BC)，C®ØD必須同時(shí)成立。因此(A®CÅD)Ø(BC)(C®ØD)Û(ØA(CØ D)(ØCD)(ØBØC)(ØCØD)Û(ØA(CØ D)(ØCD)(ØB&

20、#216;C)(ØBØD)ØC(ØCØD)Û(ØAØBØC)(ØAØBØD)(ØAØC)(ØAØCØD)(CØ DØBØC)(CØ DØBØD)(CØ DØC)(CØ DØCØD)(ØCDØBØC)(ØCDØBØD)(ØCDØC)(

21、6;CDØCØD)ÛFF(ØAØC)FF(CØ DØB)FF(ØCDØB)F(ØCD)FÛ(ØAØC)(ØBCØ D)(ØCDØB)(ØCD)Û(ØAØC)(ØBCØ D)(ØCD)ÛT故有三種派法：BD，AC，AD。二、（15分）在謂詞邏輯中構(gòu)造下面推理的證明：某學(xué)術(shù)會(huì)議的每個(gè)成員都是專家并且是工人，有些成員是青年人，所以，有些成員是青年專家。解

22、：論域：所有人的集合。()：是專家；()：是工人；()：是青年人；則推理化形式為：()()，()()()下面給出證明：(1)() P(2)(c) T(1)，ES(3)()() P(4)( c)( c) T(3)，US(5)( c) T(4)，I(6)( c)(c) T(2)(5)，I(7)()() T(6) ，EG三、（10分）設(shè)A、B和C是三個(gè)集合，則AÌBÞØ(BÌA)。證明：AÌBÛ"x(xAxB)$x(xBxÏA)Û"x(xÏAxB)$x(xBxÏA)Û&#

23、216;$x(xAxÏB)Ø"x(xÏBxA)ÞØ$x(xAxÏB)Ø"x(xAxÏB)ÛØ($x(xAxÏB)"x(xAxÏB)ÛØ($x(xAxÏB)"x(xBxA)ÛØ(BÌA)。四、（15分）設(shè)A1，2，3，4，5，R是A上的二元關(guān)系，且R<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，

24、2>，求r(R)、s(R)和t(R)。解 r(R)RIA<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>s(R)RR1<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，2>，<4，2>，<4，3>R2<2，2>，<2，4>

25、;，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>R3<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<5，4>R4<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>R2t(R)Ri<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，&

26、lt;5，2>，<2，2>，<5，1>，<5，4>，<5，5>。五、（10分）R是非空集合A上的二元關(guān)系，若R是對(duì)稱的，則r(R)和t(R)是對(duì)稱的。證明 對(duì)任意的x、yA，若xr(R)y，則由r(R)RIA得，xRy或xIAy。因R與IA對(duì)稱，所以有yRx或yIAx，于是yr(R)x。所以r(R)是對(duì)稱的。下證對(duì)任意正整數(shù)n，Rn對(duì)稱。因R對(duì)稱，則有xR2yÛ$z(xRzzRy)Û$z(zRxyRz)ÛyR2x，所以R2對(duì)稱。若對(duì)稱，則xyÛ$z(xzzRy)Û$z(zxyRz)Û

27、;yx，所以對(duì)稱。因此，對(duì)任意正整數(shù)n，對(duì)稱。對(duì)任意的x、yA，若xt(R)y，則存在m使得xRmy，于是有yRmx，即有yt(R)x。因此，t(R)是對(duì)稱的。六、（10分）若f：AB是雙射，則f1：BA是雙射。證明 因?yàn)閒：AB是雙射，則f1是B到A的函數(shù)。下證f1是雙射。對(duì)任意xA，必存在yB使f(x)y，從而f1(y)x，所以f1是滿射。對(duì)任意的y1、y2B，若f1(y1)f1(y2)x，則f(x)y1，f(x)y2。因?yàn)閒：AB是函數(shù)，則y1y2。所以f1是單射。綜上可得，f1：BA是雙射。七、（10分）設(shè)<S，*>是一個(gè)半群，如果S是有限集，則必存在aS，使得a*aa。證

28、明 因?yàn)?lt;S，*>是一個(gè)半群，對(duì)任意的bS，由*的封閉性可知，b2b*bS，b3b2*bS，bnS，。因?yàn)镾是有限集，所以必存在ji，使得。令pji，則*。所以對(duì)qi，有*。因?yàn)閜1，所以總可找到k1，使得kpi。對(duì)于S，有*(*)*。令a，則aS且a*aa。八、（20分）（1）若G是連通的平面圖，且G的每個(gè)面的次數(shù)至少為l(l3)，則G的邊數(shù)m與結(jié)點(diǎn)數(shù)n有如下關(guān)系：m(n2)。證明 設(shè)G有r個(gè)面，則2mlr。由歐拉公式得，nmr2。于是， m(n2)。（2）設(shè)平面圖G<V，E，F(xiàn)>是自對(duì)偶圖，則| E|2(|V|1)。證明 設(shè)G*<V*，E*>是連通平面圖

29、G<V，E，F(xiàn)>的對(duì)偶圖，則G* G，于是|F|V*|V|，將其代入歐拉公式|V|E|F|2得，|E|2(|V|1)。離散數(shù)學(xué)試題（B卷及答案）一、（10分）證明(PQ)(P®R)(Q®S)SR證明 因?yàn)镾RÛØR®S，所以，即要證(PQ)(P®R)(Q®S)ØR®S。(1)ØR 附加前提(2)P®R P(3)ØP T(1)(2)，I(4)PQ P(5)Q T(3)(4)，I(6)Q®S P(7)S T(5)(6)，I(8)ØR®S

30、CP(9)SR T(8)，E二、（15分）根據(jù)推理理論證明：每個(gè)考生或者勤奮或者聰明，所有勤奮的人都將有所作為，但并非所有考生都將有所作為，所以，一定有些考生是聰明的。設(shè)P(e)：e是考生，Q(e)：e將有所作為，A(e)：e是勤奮的，B(e)：e是聰明的，個(gè)體域：人的集合，則命題可符號(hào)化為："x(P(x)®(A(x)B(x)，"x(A(x)®Q(x)，Ø"x(P(x)®Q(x)$x(P(x)B(x)。(1)Ø"x(P(x)®Q(x) P(2)Ø"x(ØP(x)Q(

31、x) T(1)，E(3)$x(P(x)ØQ(x) T(2)，E(4)P(a)ØQ(a) T(3)，ES(5)P(a) T(4)，I(6)ØQ(a) T(4)，I(7)"x(P(x)®(A(x)B(x) P(8)P(a)®(A(a)B(a) T(7)，US(9)A(a)B(a) T(8)(5)，I(10)"x(A(x)®Q(x) P(11)A(a)®Q(a) T(10)，US(12)ØA(a) T(11)(6)，I(13)B(a) T(12)(9)，I(14)P(a)B(a) T(5)(13)，I

32、(15)$x(P(x)B(x) T(14)，EG三、（10分）某班有25名學(xué)生，其中14人會(huì)打籃球，12人會(huì)打排球，6人會(huì)打籃球和排球，5人會(huì)打籃球和網(wǎng)球，還有2人會(huì)打這三種球。而6個(gè)會(huì)打網(wǎng)球的人都會(huì)打另外一種球，求不會(huì)打這三種球的人數(shù)。解 設(shè)A、B、C分別表示會(huì)打排球、網(wǎng)球和籃球的學(xué)生集合。則：|A|12，|B|6，|C|14，|AC|6，|BC|5，|ABC|2，|(AC)B|6。因?yàn)閨(AC)B|(AB)(BC)|(AB)|(BC)|ABC|(AB)|526，所以|(AB)|3。于是|ABC|12614653220，25205。故，不會(huì)打這三種球的共5人。四、（10分）設(shè)A1、A2和A3

33、是全集U的子集，則形如Ai¢(Ai¢為Ai或)的集合稱為由A1、A2和A3產(chǎn)生的小項(xiàng)。試證由A1、A2和A3所產(chǎn)生的所有非空小項(xiàng)的集合構(gòu)成全集U的一個(gè)劃分。證明 小項(xiàng)共8個(gè)，設(shè)有r個(gè)非空小項(xiàng)s1、s2、sr(r8)。對(duì)任意的aU，則aAi或a，兩者必有一個(gè)成立，取Ai¢為包含元素a的Ai或，則aAi¢，即有asi，于是UÍsi。又顯然有siÍU，所以Usi。任取兩個(gè)非空小項(xiàng)sp和sq，若spsq，則必存在某個(gè)Ai和分別出現(xiàn)在sp和sq中，于是spsqÆ。綜上可知，s1，s2，sr是U的一個(gè)劃分。五、（15分）設(shè)R是A上的二元

34、關(guān)系，則：R是傳遞的ÛR*RÍR。證明 (5)若R是傳遞的，則<x，y>R*RÞ$z(xRzzSy)ÞxRccSy，由R是傳遞的得xRy，即有<x，y>R，所以R*RÍR。反之，若R*RÍR，則對(duì)任意的x、y、zA，如果xRz且zRy，則<x，y>R*R，于是有<x，y>R，即有xRy，所以R是傳遞的。六、（15分）若G為連通平面圖，則nmr2，其中，n、m、r分別為G的結(jié)點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)和面數(shù)。證明 對(duì)G的邊數(shù)m作歸納法。當(dāng)m0時(shí)，由于G是連通圖，所以G為平凡圖，此時(shí)n1，r1，結(jié)論自然成立。假設(shè)對(duì)邊數(shù)小于m的連通平面圖結(jié)論成立。下面考慮連通平面圖G的邊數(shù)為m的情況。設(shè)e是G的一條邊，從G中刪去e后得到的圖記為G¢，并設(shè)其結(jié)點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)和面數(shù)分別為n¢、m¢和r¢。對(duì)e分為下列情況來(lái)討論：若e為割邊，則G¢有兩個(gè)連通分支G1和G2。Gi的結(jié)點(diǎn)數(shù)、