相似三角形與圓綜合

1、(一） 知識復(fù)習(xí)鞏固圓的基本性質(zhì)：圓周角性質(zhì)，垂徑定理逆定理，切線長定理相似三角形四種判定，及性質(zhì)(二） 例題精講：例1、已知：如圖,ABC內(nèi)接于O,BAC的平分線交O于點(diǎn)D,交O的切線BF于點(diǎn)F,B為切點(diǎn)。求證：(1)BD平分CBF;(2)ABBF=AFCD.考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，圓周角定理，弦切角定理分析：（1）由于AF是BAC的角平分線，那么1=2，利用弦切角定理可得1=3，利用同弧所對的圓周角相等，可得2=4，那么，可證3=4，即BD平分CBF；（2）由于3=1，F(xiàn)=F，那么可證DBFBAF，再利用相似三角形的性質(zhì)，可得相關(guān)比例線段AB：AF=BD：BF，又由于

2、1=2，同圓里相等的圓周角所對的弧相等，而同圓里相等的弧所對的弦相等，從而BD=CD，等量代換，可得AB：AF=CD：BF，即ABBF=AFCD解答：證明：(1)AD平分BAC，1=2,(2分)BF切O于點(diǎn)B，3=2，3=1,(4分)又2=4，3=4,即BD平分CBF;(6分)(2)在DBF和BAF中，3=1，F(xiàn)=F，DBFBAF,(8分)BDAB=BFAF即ABBF=AFBD(10分)1=2，BD=CD,(11分)ABBF=AFCD.(12分)例2、已知：如圖,ABC內(nèi)接于圓,AB=AC,D為延長線上一點(diǎn),AD交圓于E. 求證：AB2=ADAE.考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)， 圓周角定理分析

3、：如圖，作輔助線；證明ABEADB，列出比例式，即可解決問題解答：證明：如圖，連接BE；AB=AC，B=ACB；AEB=ACB，AEB=B，而BAE=BAD，ABEADB，AB:AD=AE:AB，AB2=ADAE.例3、如圖，已知AB是O的弦，OB=2，B=30，C是弦AB上的任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A. B重合)，連接CO并延長CO交O于點(diǎn)D，連接AD.(1)弦長AB等于_(結(jié)果保留根號)；(2)當(dāng)D=20時，求BOD的度數(shù)；(3)當(dāng)AC的長度為多少時，以A. C. D為頂點(diǎn)的三角形與以B. C. 0為頂點(diǎn)的三角形相似?請寫出解答過程?？键c(diǎn)：圓周角定理，垂徑定理，相似三

4、角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形分析：（1）過點(diǎn)O作OEAB于E，由垂徑定理即可求得AB的長；（2）連接OA，由OA=OB，OA=OD，可得BAO=B，DAO=D，則可求得DAB的度數(shù)，又由圓周角等于同弧所對圓心角的一半，即可求得DOB的度數(shù)；（3）由BCO=A+D，可得要使DAC與BOC相似，只能DCA=BCO=90°，然后由相似三角形的性質(zhì)即可求得答案解答：(1)過點(diǎn)O作OEAB于E，則AE=BE=12AB，OEB=90，OB=2，B=30，BE=OBcosB=2×32=3AB=23；故答案為：23；(2)連接OA，OA=OB，OA=OD，BAO=B，DAO=D，DAB=

5、BAO+DAO=B+D，又B=30，D=20，DAB=50，BOD=2DAB=100；(3)BCO=A+D，BCO>A，BCO>D，要使DAC與BOC相似，只能DCA=BCO=90，此時BOC=60，BOD=120，DAC=60，DACBOC，BCO=90，即OCAB，AC=12AB=3.當(dāng)AC的長度為3時，以A. C. D為頂點(diǎn)的三角形與以B. C. 0為頂點(diǎn)的三角形相似。例4、如圖,在ABC中,ACB=90，D是AB的中點(diǎn)，以DC為直徑的O交ABC的三邊，交點(diǎn)分別是G，E，F(xiàn)點(diǎn).EG與CD交點(diǎn)為M.(1)求證：GEF=A；(2)求證：OMEEMC；(3)若M

6、E=46，MD:CO=2:5，求O面積?？键c(diǎn)：圓的綜合題分析：（1）連接DF，如圖所示，由CD為圓O的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到CFD為直角，又因?yàn)锳CB為直角，利用同位角相等的兩直線平行，得到DF與AC平行，根據(jù)兩直線平行同位角相等可得出BDF=A，而BDF與GEF都為弧FG所對的圓周角，利用同弧所對的圓周角相等得到BDF=GEF，等量代換可得證；（2）由D為AB的中點(diǎn)，即CD為直角三角形ABC斜邊AB的中線，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半可得出CD與AD相等，都為AB的一半，利用等邊對等角得到A=DCA，由（1）A=GEF，等量代換得到GEF=DCA，再由一對公共角相等，利用兩對

7、對應(yīng)角相等的兩三角形相似可得證；（3）由（2）得出的三角形CEM與三角形MOE相似，利用相似得比例，得到ME2=OMMC，將ME的長代入求出OMMC的值為96，由MD：CO=2：5，根據(jù)OD=OC，得出OM與CM的比值為3：8，設(shè)OM=3x，CM=8x，代入OMMC=96中列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出半徑OC的長，即可求出圓O的面積解答：(1)證明：連接DF，如圖所示：CD是圓O直徑，CFD=90，又ACB=90，DFAC，BDF=A，BDF與GEF為同弧所對的圓周角，BDF=GEF，GEF=A；(2)證明：D是RtABC斜邊AB的中點(diǎn)，DC=DA=12AB，DCA=A，又

8、由(1)知GEF=A，DCA=GEF，又OME=EMC，OMEEMC；(3)由(2)知OMEEMC，則OMME=MEMC,即ME2=OMMC，又ME=46，OMMC=(46)2=96，MD:CO=2:5，OM:MD=3:2，OM:MC=3:8，設(shè)OM=3x，MC=8x，3x8x=96,即x2=4，解得：x=2，OC=5x=10，圓O面積為100.例5、如圖，已知直線PA交O于A. B兩點(diǎn)，AE是O的直徑，點(diǎn)C為O上一點(diǎn)，且AC平分PAE，過C作CD丄PA，垂足為D.(1)求證：CD為O的切線；(2)若DC+DA=6，O的直徑為10，求AB的長度?？键c(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)，勾股定理，矩形

9、的判定與性質(zhì)，垂徑定理分析：（1）連接OC，根據(jù)題意可證得CAD+DCA=90°，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得DCO=90°，則CD為O的切線；（2）過O作OFAB，則OCD=CDA=OFD=90°，得四邊形OCDF為矩形，設(shè)AD=x，在RtAOF中，由勾股定理得（5-x）2+（6-x）2=25，從而求得x的值，由勾股定理得出AB的長解答：(1)證明：連接OC，OA=OC，OCA=OAC，AC平分PAE，DAC=CAO，DAC=OCA，PBOC，CDPA，CDOC，CO為O半徑，CD為O的切線；(2)過O作OFAB，垂足為F，OCD=CDA=OFD=90，四邊形DCO

10、F為矩形，OC=FD，OF=CD.DC+DA=6，設(shè)AD=x，則OF=CD=6x，O的直徑為10，DF=OC=5，AF=5x，在RtAOF中,由勾股定理得AF2+OF2=OA2.即(5x)2+(6x)2=25，化簡得x211x+18=0，解得x1=2,x2=9.CD=6x大于0，故x=9舍去，例6、如圖，AB是半圓O的直徑，AB=2.射線AM、BN為半圓O的切線。在AM上取一點(diǎn)D，連接BD交半圓于點(diǎn)C，連接AC.過O點(diǎn)作BC的垂線OE，垂足為點(diǎn)E，與BN相交于點(diǎn)F. 過D點(diǎn)作半圓O的切線DP，切點(diǎn)為P，與BN相交于點(diǎn)Q.(1)求證：ABCOFB；(2)當(dāng)ABD與BFO的面枳相等時，求BQ的長；

11、(3)求證：當(dāng)D在AM上移動時(A點(diǎn)除外)，點(diǎn)Q始終是線段BF的中點(diǎn)。考點(diǎn)：切線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)分析：（1）根據(jù)OEAC，得出BAC=FOB，進(jìn)而得出BCA=FBO=90°，從而證明結(jié)論；（2）根據(jù)ACBOBF得出ABDBFO，從而得出DQAB，即可得出BQ=AD；（3）首先得出AD=DP，QB=BQ，進(jìn)而得出DQ2=QK2+DK2，得出BF=2BQ，即可得出Q為BF的中點(diǎn)解答：(1)證明：AB為直徑，ACB=90，即：ACBC，又OEBC，OEAC，BAC=FOB，BN是半圓的切線，BCA=FBO=90，ABCOFB.(2

12、)連接OP，由ACBOBF得,OFB=DBA,BCA=FBO=90，AM、BN是O的切線，DAB=OBF=90，ABDBFO，當(dāng)ABD與BFO的面積相等時,ABDBFO，AD=OB=1，DP切圓O，DA切圓O，DP=DA，ABDBFO，DA=BO=PO=DP,又DAO=DPO=90，四邊形AOPD是正方形，DQAB，四邊形ABQD是矩形，BQ=AD=1；(3)證明：由(2)知,ABDBFO，BFOB=ABAD，BF=OBABAD=1×2AD=2AD，DP是半圓O的切線，射線AM、BN為半圓O的切線，AD=DP，QB=QP，過Q點(diǎn)作AM的垂線QK，垂足為K，在RtDQK中，DQ2=QK

13、2+DK2，(AD+BQ)2=(ADBQ)2+22.BQ=1AD，BF=2BQ，Q為BF的中點(diǎn)。例7、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(10,0)，以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C，點(diǎn)B是該半圓周上一動點(diǎn)，連接OB、AB，并延長AB至點(diǎn)D，使DB=AB，過點(diǎn)D作x軸垂線，分別交x軸、直線OB于點(diǎn)E. F，點(diǎn)E為垂足，連接CF.(1)當(dāng)AOB=30時，求弧AB的長度；(2)當(dāng)DE=8時，求線段EF的長；(3)在點(diǎn)B運(yùn)動過程中，是否存在以點(diǎn)E. C. F為頂點(diǎn)的三角形與AOB相似?若存在，請求出此時點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由?？键c(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾

14、股定理，弧長的計(jì)算，平行線分線段成比例分析：（1）連接BC，由已知得ACB=2AOB=60°，AC=12AO=5，根據(jù)弧長公式求解；（2）連接OD，由垂直平分線的性質(zhì)得OD=OA=10，又DE=8，在RtODE中，由勾股定理求OE，依題意證明OEFDEA，利用相似比求EF；（3）存在當(dāng)以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與AOB相似時，分為當(dāng)交點(diǎn)E在O，C之間時，由以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與AOB相似，有ECF=BOA或ECF=OAB，當(dāng)交點(diǎn)E在點(diǎn)C的右側(cè)時，要使ECF與BAO相似，只能使ECF=BAO，當(dāng)交點(diǎn)E在點(diǎn)O的左側(cè)時，要使ECF與BAO相似，只能使ECF=BAO，三種情況，分別

15、求E點(diǎn)坐標(biāo)解答：(1)連接BC,A(10,0)，OA=10，CA=5，AOB=30，ACB=2AOB=60，弧AB的長=60××5180=53；(2)若D在第一象限，連接OD，OA是C直徑,OBA=90，又AB=BD，OB是AD的垂直平分線，OD=OA=10，在RtODE中，OE=OD2DE2=10282=6，AE=AOOE=106=4，由AOB=ADE=90OAB，OEF=DEA，得OEFDEA，AEDE=EFOE,即48=EF6，EF=3；若D在第二象限，連接OD,OA是C直徑，OBA=90，又AB=BD，OB是AD的垂直平分線，OD=OA=10，在RtODE中，OE=

16、OD2DE2=10282=6，AE=AO+OE=10+6=16，由AOB=ADE=90OAB，OEF=DEA，得OEFDEA，AEDE=EFOE,即168=EF6，EF=12；EF=3或12；(3)設(shè)OE=x，當(dāng)交點(diǎn)E在O，C之間時，由以點(diǎn)E. C. F為頂點(diǎn)的三角形與AOB相似，有ECF=BOA或ECF=OAB，當(dāng)ECF=BOA時，此時OCF為等腰三角形，點(diǎn)E為OC中點(diǎn),即OE=52，E1(52,0)；當(dāng)ECF=OAB時，有CE=5x，AE=10x，CFAB,有CF=12AB，ECFEAD，CEAE=CFAD,即5x10x=14,解得：x=103，E2(103,0)；當(dāng)交點(diǎn)E在點(diǎn)C

17、的右側(cè)時，ECF>BOA，要使ECF與BAO相似,只能使ECF=BAO,連接BE，BE為RtADE斜邊上的中線，BE=AB=BD，BEA=BAO，BEA=ECF，CFBE，CFBE=OCOE，ECF=BAO,FEC=DEA=90，CEFAED，CFAD=CEAE，而AD=2BE，OC2OE=CEAE，即52x=x510x,解得x1=5+5174,x2=55174<0(舍去)，E3(5+5174,0)；當(dāng)交點(diǎn)E在點(diǎn)O的左側(cè)時，BOA=EOF>ECF.要使ECF與BAO相似,只能使ECF=BAO連接BE,得BE=12AD=AB，BEA=BAOECF=BEA，CFBE，CFBE=O

18、COE，又ECF=BAO,FEC=DEA=90，CEFAED，CEAE=CFAD，而AD=2BE，OC2OE=CEAE，52x=x+510+x，解得x1=5+5174,x2=55174(舍去)，點(diǎn)E在x軸負(fù)半軸上，E4(55174,0)，綜上所述：存在以點(diǎn)E. C. F為頂點(diǎn)的三角形與AOB相似，此時點(diǎn)E坐標(biāo)為：E1(52,0)、E2(103,0)、E3(5+5174,0)、E4(55174,0).例8、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC的邊AB在x軸上，且OAOB，以AB為直徑的圓過點(diǎn)C若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），AB=5，A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)xA，xB是關(guān)于x的方程x2-（m+2）x+

19、n-1=0的兩根（1）求m，n的值；（2）若ACB平分線所在的直線l交x軸于點(diǎn)D，試求直線l對應(yīng)的一次函數(shù)解析式；（3）過點(diǎn)D任作一直線l分別交射線CA，CB（點(diǎn)C除外）于點(diǎn)M，N則的是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由解答：，解之m=-5，n=-3（2）如圖，過點(diǎn)D作DEBC，交AC于點(diǎn)E，易知DEAC，且ECD=EDC=45°，在ABC中，易得AC=，BC=，DEBC，DE=EC，又AEDACB，有，=2，AB=5，設(shè)BD=x，則AD=2x，AB=BD+AD=x+2x=5，解得DB=x=，則OD=，即D（-，0），易求得直線l對應(yīng)的一次函數(shù)解析式為：y=3x+2解法二

20、：過D作DEAC于E，DFCN于F，由SACD+SBCD=SABC求得又SBCD=BDCO=BCDF，求得BD=，DO=即D（-，0），易求得直線l對應(yīng)的一次函數(shù)解析式為：y=3x+2（3）過點(diǎn)D作DEAC于E，DFCN于FCD為ACB的平分線，DE=DF由MDEMNC，有，由DNFMNC，有 ，即例9、如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,AB在x軸上,AB=10,以AB為直徑的O1與y軸正半軸交于點(diǎn)C,連接BC、AC,CD是O1的切線,ADCD于點(diǎn)D,tanCAD=12,拋物線y=ax2+bx+c過A. B. C三點(diǎn)。(1)求證：CAD=CAB；(2)求拋物線的解析式；(3)判斷拋物線的頂點(diǎn)E是否在直線CD上，并說明理由?？键c(diǎn)：二次函數(shù)綜合題分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得出O1CAD，進(jìn)而得出O1A=O1C，則CAB=O1CA，即可得出答案；（2）首先得出CAOBCO，即可得出再利用OC2=2CO（10-2CO），得出AB，C交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出拋物