空間角的求法

1、空間角的求法一、異面直線所成角的求法平移法常見三種平移方法：直接平移；中位線平移（尤其是圖中出現(xiàn)了中點(diǎn)）；補(bǔ)形平移法?！把a(bǔ)形法”是立體幾何中一種常見的方法，通過補(bǔ)形，可將問題轉(zhuǎn)化為易于研究的幾何體來處理，利用“補(bǔ)形法”找兩異面直線所成的角也是常用的方法之一。（1）直接平移法例1 如圖，PA矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD與PC所成角的正切值。（）（2）中位線平移法：構(gòu)造三角形找中位線，然后利用中位線的性質(zhì)，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面問題，解三角形求之。BMANCS例2 設(shè)S是正三角形ABC所在平面外的一點(diǎn)，SASBSC，且ASBBSCCSA，M、N分別是AB和SC的中點(diǎn)，

2、求異面直線SM與BN所成的角的余弦值。（）（3）補(bǔ)形平移法：在已知圖形外補(bǔ)作一個(gè)相同的幾何體，以利于找出平行線。例3在正方體中，是的中點(diǎn)，求直線AC與ED1所成角的余弦值。（）二、線面角的三種求法1.直接法：平面的斜線與斜線在平面內(nèi)的射影所成的角即為直線與平面所成的角。通常是解由斜線段，垂線段，斜線在平面內(nèi)的射影所組成的直角三角形，垂線段是其中最重要的元素，它可以起到聯(lián)系各線段的作用。例1四面體ABCS中，SA，SB，SC 兩兩垂直，SBA=45°，SBC=60°，M 為AB的中點(diǎn)，求：（1）BC與平面SAB所成的角；（60°） （2）SC與平面ABC所成的角。（

3、）（“垂線”是相對(duì)的，SC是面SAB的垂線，又是面ABC的斜線。作面的垂線常根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，其思路是：先找出與已知平面垂直的平面，然后一面內(nèi)找出或作出交線的垂線，則得面的垂線。）2.利用公式：其中是斜線與平面所成的角，是垂線段的長，是斜線段的長，其中求出垂線段的長（即斜線上的點(diǎn)到面的距離）既是關(guān)鍵又是難點(diǎn)，為此可用三棱錐的體積自等來求垂線段的長。例2長方體ABCD-A1B1C1D1 中AB=3，BC=2，A1A= 4，求AB與面AB1C1D所成的角的正弦值。（）3.利用公式 ：如圖，若OA為平面的一條斜線，O為斜足，OB為OA在面內(nèi)的射影，OC為面內(nèi)的一條直線，其中為OA與OC所成的角

4、，為OA與OB所成的角，即線面角，為OB與OC所成的角，那么，它揭示了斜線和平面所成的角是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角（常稱為最小角定理）例3 已知直線OA，OB，OC 兩兩所成的角為60°，求直線OA與面OBC所成的角的余弦值。（）二、二面角的四種求法1.定義法：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角, 這條直線叫做二面角的棱, 這兩個(gè)半平面叫做二面角的面，在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角。本定義為解題提供了添輔助線的一種規(guī)律。如例1中從二面角SAMB中半平面ABM上的一已知點(diǎn)（B）向棱AM作垂線，

5、得垂足（F）；在另一半平面ASM內(nèi)過該垂足（F）作棱AM的垂線（如GF），這兩條垂線（BF、GF）便形成該二面角的一個(gè)平面角，再在該平面角內(nèi)建立一個(gè)可解三角形，然后借助直角三角函數(shù)、正弦定理與余弦定理解題。例1如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，點(diǎn)M是側(cè)棱的中點(diǎn)， =60°，求二面角的大小。（）2.三垂線法：三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直通常當(dāng)點(diǎn)P在一個(gè)半平面上則通常用三垂線定理法求二面角的大小。本定理亦提供了另一種添輔助線的一般規(guī)律。如（例2）在證明AD平面PAB后，容易發(fā)現(xiàn)平面PAB平面ABCD，點(diǎn)P 就是二面角P-BD-

6、A的半平面上的一個(gè)點(diǎn)，于是可過點(diǎn)P作棱BD的垂線，再作平面ABCD的垂線，于是可形成三垂線定理中的斜線與射影內(nèi)容，從而可得本解法。例2如圖，四棱錐中，底面是矩形且， ，（）求異面直線與所成的角的大?。唬ǎ┣蠖娼堑恼兄担ǎ?.補(bǔ)棱法：本法是針對(duì)在解構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面沒有明確交線的求二面角題目時(shí)，要將兩平面的圖形補(bǔ)充完整，使之有明確的交線（稱為補(bǔ)棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題。即當(dāng)二平面沒有明確的交線時(shí)，一般用補(bǔ)棱法解決A1D1B1C1EDBCA例3如圖，E為正方體ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中點(diǎn)，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成銳角的余弦值. （）4.射影面積法（）：凡二