立體幾何知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖以及例題

1、1.立體幾何的知識(shí)結(jié)構(gòu)立體幾何是高中數(shù)學(xué)重要的知識(shí)板塊，是高考中考考查考生空間想象能力和邏輯能力思維能力的良好素材，是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容。主要研究空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的三種位置關(guān)系，在此基礎(chǔ)上研究并討論空間的角和距離的計(jì)算。臺(tái)柱表面積和體積三視圖和直觀圖結(jié)構(gòu)直觀圖三視圖體積表面積空間幾何體球錐2. 簡(jiǎn)單幾何體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖3. 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系認(rèn)知結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖平面與平面垂直直線與平面垂直直線與平面平行直線與直線平行直線與直線位置關(guān)系空間直線、平面位置關(guān)系直線與直線位置關(guān)系直線與平面位置關(guān)系平面（公理1、公理2、公理3、公理4） 空間平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化平面與平面平行 空

2、間垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化直線與直線垂直3空間向量與立體幾何（1） 空間向量知識(shí)認(rèn)知結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖立體幾何中的向量方法空間向量運(yùn)算的幾何表示建立空間位置關(guān)系與空間向量的聯(lián)系空間向量的定義及其運(yùn)算（加減法、數(shù)乘、數(shù)量積）用空間向量表示點(diǎn)、直線、平面空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示（2） 空間向量及其運(yùn)算認(rèn)知結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖數(shù)量積線性運(yùn)算數(shù)量積簡(jiǎn)單應(yīng)用線性運(yùn)算 空間向量（基本概念）實(shí)際背景3.4直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體知識(shí)要點(diǎn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖距離判定與性質(zhì)直線與平面相交公理4及等角定理異面直線所成的角三個(gè)公理、三個(gè)推理棱柱、棱錐、球直線 平面 簡(jiǎn)單幾何體 空間兩個(gè)平面判定與性質(zhì)兩個(gè)平面平行兩個(gè)平面相交二面角垂直空間直線與平面直

3、線與平面所成的角、三垂線定理判定與性質(zhì)垂直判定與性質(zhì)直線與平面平行直線在平面內(nèi)異面直線相交直線平行直線空間兩條直線異面直線的距離平面定義性質(zhì)面積、體積公式表面上兩點(diǎn)間距離3.2立體幾何的考試要求3.2.1；立體幾何初步（1） 空間幾何體認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)。有關(guān)空間中平行與垂直（線線、線面及面面）的問題，是在解決立體幾何問題的過(guò)程中經(jīng)常遇到的，而且是各種各樣的問題中不可缺少的內(nèi)容。因此在立體幾何的復(fù)習(xí)中，首先應(yīng)從解決“平行與垂直”的有關(guān)問題著手，通過(guò)較為基本問題，熟悉公理、定理的內(nèi)容和功能，通過(guò)對(duì)問題他的分析和概括，掌握立體幾

4、何中解決問題的規(guī)律充分利用線線平行（垂直）、線面平行（垂直）、面面平行（垂直）互相轉(zhuǎn)化的思想，來(lái)提高學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力。本章主要從平行與垂直證明方法的研究入手，探討立體幾何中平行與垂直證明的思路模式。下面根據(jù)對(duì)立體幾何平行問題的研究，構(gòu)建平行問題證明方法的思路模式的網(wǎng)絡(luò)圖。 4.1立體幾何中平行問題的思路模式 立體幾何中平行問題主要有三種：（1)線線平行；（2）線面平行；（3）面面平行。而解決這些平行問題的方法總體上分為：（1）定義法；（2）判定定理法；（3）向量法；（4）轉(zhuǎn)化法等。利用好線線、線面與面面平行之間的內(nèi)在聯(lián)系，找到問題的切入點(diǎn)，抓思想、抓方法解決具體問題。 下面根據(jù)

5、對(duì)立體幾何平行問題的研究，構(gòu)建平行問題證明方法的認(rèn)知方法網(wǎng)絡(luò)圖定義法轉(zhuǎn)化為線、面平行的證明轉(zhuǎn)化為線、線平行的證明轉(zhuǎn)化為面面平行的證明轉(zhuǎn)化為線、線平行的證明轉(zhuǎn)化為面、面平行的證明轉(zhuǎn)化為線、面平行的證明向量法判定定理定義法轉(zhuǎn)化法向量法判定定理定義法向量法轉(zhuǎn)化法垂直于同一平面的兩直線平行平行公理面、面平行線、面平行立體幾何中平行問題的證明方法線、線平行轉(zhuǎn)化法。 4.1.1 線線平行證明方法的思路模式線線平行問題高考時(shí)幾乎不單獨(dú)對(duì)考生進(jìn)行考察。初中常用的方法是利用內(nèi)錯(cuò)角相等、同位角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)可證線線平行；特殊的平面圖形中的平行（平行四邊形、菱形、矩形、正方形以及梯形上下底等）；特殊位置的直線如

6、中位線（三角形、梯形）、垂直于同一直線相等兩直線平行等；高中方法是理解此類問題通常與線面平行問題結(jié)合起來(lái)，運(yùn)用“線線平行，線面平行”的推理模式解決問題，即“線面平行的判定定理”簡(jiǎn)記為“線線平行線面平行”；將“線面平行的性質(zhì)定理”簡(jiǎn)記為“線面平行線線平行”。（2011安徽理17）如圖，ABEDFC為多面體，平面ABED與平面ACFD垂直，點(diǎn)O在線段AD上，OA=1，OD=2，OAB, OAC, ODE, ODF都是正三角形.（）證明直線BCEF;（）略分析：本題考察的是線線平行問題，由題設(shè)條件及特殊位置的思維模式，可先轉(zhuǎn)化為中位線來(lái)求兩直線平行，進(jìn)而可得結(jié)論。證明略 4.1.2 線、面平行證明方

7、法的思路模式2011年高考題中，對(duì)立體幾何平行問題的考察幾乎全都是考察線面平行問題。此類問題的考察方法、方式復(fù)雜多樣，解決方法也比較靈活，大多以轉(zhuǎn)化法及向量法為主，特別是空間向量的內(nèi)容加入到高中數(shù)學(xué)教材后，向量法幾乎成為此種類型題的首選辦法。（2011江蘇理16）如圖，在四棱錐中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點(diǎn)求證：（1）直線EF平面PCD；（2）略 分析：本題考察的是線面平行判定定理的應(yīng)用，利用中位線證明EFPD入手，再由線面平行的判定定理即可證明。解：在PAD中，因?yàn)镋,F分別為AP，AD的中點(diǎn)，所以EFPD.又因?yàn)?EF平面PC

8、D,PD平面PCD, 所以直線EF平面PCD 4.1.3面面平行證明方法的思路模式面面平行在高考中以主觀題出現(xiàn)的頻率較少，在選擇題出現(xiàn)的頻率較大。兩直線平行常用到的判定方法有。（1）利用定義證明。利用反證法，假設(shè)兩平面不平行，則它們必相交，再導(dǎo)出矛盾；（2）判定定理。線面平行，則面面平行；（4）垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行；（4）平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行。由于此類題型的考查較為簡(jiǎn)單，在此不再詳加敘述。 4.2立體幾何中垂直問題證明的思路模式 立體幾何中垂直問題主要有三種：（1）線線垂直；（2）線面垂直；（3）面面垂直。解決這種垂直問題的方法類似于平行問題的證明大致可分為：（1）定義法；（

9、2）判定定理；（3）向量法；（4）轉(zhuǎn)化法。下面給出垂直問題證明的思路模式網(wǎng)絡(luò)圖。轉(zhuǎn)化為面、面垂直的證明判定定理轉(zhuǎn)化為線、面垂直的證明轉(zhuǎn)化為面、面垂直的證明定義法線、線垂直三垂線定理轉(zhuǎn)化法向量法立體幾何中平行問題的證明方法定義法轉(zhuǎn)化為線、面垂直的證明轉(zhuǎn)化法線、面垂直向量法定義法轉(zhuǎn)化為線、面垂直的證明判定定理面、面垂直轉(zhuǎn)化法轉(zhuǎn)化為線、面垂直的證明向量法 4.2.1 線、線垂直思維模式解決線線垂直問題除了傳統(tǒng)的定義法、三垂線定理的應(yīng)用及轉(zhuǎn)化法以外，近幾年來(lái)新加入的高中教學(xué)中空間向量法在此類問題中更顯得優(yōu)勢(shì)明顯，空間向量法數(shù)量積知識(shí)的應(yīng)用可以在此類問題中發(fā)揮的淋漓盡致。（浙江理20）如圖，在三棱錐中，

10、D為BC的中點(diǎn)，PO平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（）證明：APBC；（）略分析：本題要證空間異面垂直的問題，除了可以用三垂線定理，證明BC與PA垂直解決問題以外，也可以用向量法通過(guò)建立空間直角坐，求兩直線上方向向量，利用向量的數(shù)量積來(lái)證兩直線垂直。方法一：證明：由AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，得又平面ABC，得因?yàn)?，所以平面PAD，故方法二：證明：如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，以射線OP為z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz則，由此可得，所以，即 4.2.2線、面垂直證明方法思路模式 線面垂直的定義和線面垂直的定理時(shí)處理線面垂直問題的重要工具，有些題目卻依

11、賴轉(zhuǎn)化法靈活處理才可以解決，而向量法乃是一些線面垂直問題常用而又切實(shí)可行的方法。（北京理16）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，.()求證：平面（）略；（）略分析：此題考察的是線面垂直的證明方法，可利用線面垂直判定定理將線面垂直問題轉(zhuǎn)化為線線（面內(nèi)兩條相交直線）垂直問題，而處理的過(guò)程中既可采用圖形直觀的幾何法證明，也可采用建立直角坐標(biāo)系，通過(guò)坐運(yùn)算的法向量來(lái)解決。證明：（）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以ACBD.又因?yàn)镻A平面ABCD.所以PABD.所以BD平面PAC. 4.2.3面、面垂直證明方法思路模式 面面垂直的證明方法有:(1)利用定義，證明兩個(gè)平面構(gòu)成的兩面角是；（2）將面面垂直的

12、問題轉(zhuǎn)化為線面垂直的問題;利用兩面的法向量互相垂直的向量法等。（遼寧理18）如圖，四邊形ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD（I）證明：平面PQC平面DCQ；（II）略解：如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz. （I）依題意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.則所以即PQDQ，PQDC.故PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ. 第5章 立體幾何求角與距離方法的思路模式 立體幾何求角與距離問題都是立體幾何中解答問題的必考出題點(diǎn)，從1977年恢復(fù)高考至今，每一年的高考大體都有

13、一道立體幾何求角與距離問題。此類問題是立體幾何常見的問題。但如何選擇最恰當(dāng)?shù)姆椒ㄈヌ幚砭唧w問題一直使許多教學(xué)中感到困惑，學(xué)生在學(xué)習(xí)中也普遍有無(wú)從下手之感。下面結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，本人主要從角與距離的求法和經(jīng)典問題處理方法入手，構(gòu)建空間求角與距離的認(rèn)知方法網(wǎng)路圖。 5.1 空間求角與距離思想方法 解決立體幾何問題，不能單憑記憶相關(guān)的定義或幾條公式就可以解決所有問題的，而更重要的是抓其“思想”，領(lǐng)悟其“方法”。立體幾何中角與距離問題都有一些常見的思想方法，有了“思想方法”，就等于有了“指導(dǎo)思想”，我們才可能落實(shí)解決具體的實(shí)際問題。定義法垂線法向量法立體幾何求角的思想方法垂面法公式法轉(zhuǎn)化法直接法向量法立體

14、幾何求距離的思想方法體積法極值法 5.2立體幾何求角方法的思路模式 立體幾何中求空間角的大小一般都是根據(jù)有關(guān)角的定義，如異面直線所成的角；斜線與平面所成的角，二面角的平面角等，將其轉(zhuǎn)化為平面中所成角來(lái)求的，也有一些題目需要根據(jù)三垂線定理或逆定理做平面角或通過(guò)作棱的垂面的方法來(lái)解決問題。立體幾何中求角問題有時(shí)也可以根據(jù)一些常用的公式來(lái)求解，總之，只要把握恰當(dāng)?shù)姆椒?，就可使看似?fù)雜的問題迎刃而解。 下面依據(jù)立體幾何中求角問題的研究，構(gòu)建立體幾何中求角方法的認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)圖定義法垂線法兩異面直線所成的角補(bǔ)體延面法向量法立體幾何所成角的求法定義法斜線與平面所成的角公式法向量法定義法垂線法垂面法兩平面所成的二

15、面角公式法向量法 5.2.1求異面直線所成角方法的思路模式求異面直線所成角的大小通常分為三步：（1）準(zhǔn)確地選取角的頂點(diǎn)；（2）平移直線；（3）構(gòu)造三角形，解三角形。而構(gòu)造異面直線所成的角有如下幾種常用方法：（1）過(guò)一條異面直線上的已知點(diǎn)，做另一條直線的平行線，使異面直線所成的角成為相交直線的交角；（2）當(dāng)異面直線依附于某幾何體，且直接過(guò)異面直線上的點(diǎn)平移直線有困難時(shí)，利用該幾何體中的特殊點(diǎn)，將兩條異面直線分別平移相交于該點(diǎn)；（3）通過(guò)構(gòu)造輔助平面，輔助幾何體來(lái)平移直線，但應(yīng)注意：若用余弦定理求出cos<0(是平移后相交直線所成的角),則異面直線所成的角應(yīng)是-。（北京理16）如圖，在四棱錐

16、中，平面，底面是菱形，.()略；（）若求與所成角的余弦值；（）略.分析：運(yùn)用向量法求平面的角關(guān)鍵是解決直線的方向向量和平面的法向量法的所成的角問題，但要注意所得的角并不直接就是線面角，而應(yīng)取其余角或與的差角。解：（）設(shè)ACBD=O.因?yàn)锽AD=60°，PA=PB=2,所以BO=1，AO=CO=.如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則P（0，2），A（0，0），B（1，0，0），C（0，0）.所以設(shè)PB與AC所成角為，則. 5.2.2求斜線與平面所成角方法的思路模式 求解斜線和平面所成角的一般方法是：（1）確定斜線與平面的交點(diǎn)即垂足；（2）經(jīng)過(guò)斜線上除垂足外任意一點(diǎn)作平面

17、的垂線，確定垂足，進(jìn)而確定斜線在平面內(nèi)的射影；（3）求解由垂線、斜線以其射影構(gòu)成的直角三角形。 5.2.3求兩平面所成的二面角方法的思路模式 構(gòu)造二面角的平面角的常用方法有：定義法；垂線法；垂面法，有些題目還可以應(yīng)用公式法、向量法解決問題。（天津理17）如圖，在三棱柱中，是正方形的中心，平面，且（）求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值；（）求二面角的正弦值；（）略 方法一：向量法（II）解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn). 依題意得 易知 設(shè)平面AA1C1的法向量， 則即 不妨令可得， 同樣地，設(shè)平面A1B1C1的法向量， 則即不妨令，可得于是從而所以二面角AA1C1B的正弦值

18、為方法二：垂線法解：連接，易知=，又由于=，=，所以，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)R，連接，于是，故為二面角A的平面角.在中，連接，在中，從而所以二面角AA1C1B1的正弦值為方法三: 垂面法 5.3立體幾何求距離方法的思路模式立體幾何中的距離主要有以下七種：（1）兩點(diǎn)之間的距離；（2）點(diǎn)到直線的距離；（3）點(diǎn)到平面的距離；（4）兩條平行線間的距離：（5）兩條異面直線間的距離：（6）平面的平行直線與平面之間的距離；（7）兩平行平面之間的距離。實(shí)際上是指它們所在的兩個(gè)點(diǎn)集之間所含兩點(diǎn)的距離中最小者。它們之間有著密切的聯(lián)系，有時(shí)可以相互轉(zhuǎn)化，如兩條平行直線的距離可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離，平行線、面間的距離或平行

19、平面間的距離都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離等。下面主要依據(jù)對(duì)立體幾何中距離的研究，構(gòu)建立體幾何求距離的思路模式網(wǎng)絡(luò)圖。定義法兩點(diǎn)之間的距離面積法點(diǎn)直線的距離公式法向量法立體幾何中距離的求解找垂面構(gòu)造法定義法構(gòu)造法轉(zhuǎn)移構(gòu)造法點(diǎn)到平面的距離等面積法利用面（線）、面角轉(zhuǎn)化法利用平行平面距離向量法定義法轉(zhuǎn)化法兩平行平面間的距離向量法兩平行線間的距離公式法利用平行平面距離轉(zhuǎn)化法兩異面直線的距離向量法利用平行平面距離定義法直線與平行平面的距離轉(zhuǎn)化法向量法下面結(jié)合實(shí)際問題，再對(duì)空間距離問題的思維模式的網(wǎng)絡(luò)圖加以詮釋。5.3.1求兩點(diǎn)之間的距離的思路模式兩點(diǎn)之間的距離相對(duì)于而言是較易解決的問題，在具體問題中常用兩

20、點(diǎn)距離公式或構(gòu)造直角三角形用勾股定理來(lái)解決，有時(shí)也轉(zhuǎn)變成其他問題如與函數(shù)問題聯(lián)系到一起等。高考考察的內(nèi)容較為簡(jiǎn)單，所以不再詳細(xì)敘述。5.3.2求點(diǎn)到直線的距離方法的思路模式立體幾何中，點(diǎn)到直線距離問題的解決主要包括：（1）定義法；（2）面積法；（3）公式法；（4）向量法等。而應(yīng)用這些方法解決問題時(shí)，又分為直接法和轉(zhuǎn)化法，直接法就是直接從該點(diǎn)向直線做垂線，而若垂足位置不容易確定時(shí)，則往往借助三垂線定理等用轉(zhuǎn)化法來(lái)解決。高考考察的內(nèi)容較為簡(jiǎn)單，所以不再詳細(xì)敘述。5.3.3求點(diǎn)到平面的距離方法的思路模式在立體幾何中，求點(diǎn)到平面的距離是一種常見的題型，也是不可忽視的一個(gè)基本問題，是近幾年高考的一個(gè)熱點(diǎn)

21、。同時(shí)，求直線到平面的距離、平行平面間的距離等求其它空間的距離都常常轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，可見其重要性。點(diǎn)面距離的方法有如下幾種方式：定義法;等體積轉(zhuǎn)化法，即根據(jù)三棱錐的體積公式，從不同的側(cè)面計(jì)算三棱錐的體積，而計(jì)算出三棱錐的一個(gè)頂點(diǎn)到其對(duì)應(yīng)底面的距離；平行線轉(zhuǎn)化法，即過(guò)該點(diǎn)和平面平行的直線上的任意一點(diǎn)到平面的距離都是改點(diǎn)到平面的距離；其他距離的求法，比如線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，面面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離。（四川理19）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中 BAC=90°，AB=AC=AA1 =1D是棱CC1上的一點(diǎn)，P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，且PB1平面BDA(I)求

22、證：CD=C1D：(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；()求點(diǎn)C到平面B1DP的距離等積法解：（1）連接交于,又為的中點(diǎn)，中點(diǎn)，,D為的中點(diǎn)。（2）由題意,過(guò)B 作,連接，則,為二面角的平面角。在中，,則(3)因?yàn)?，所?在中， 5.34求兩直線之間的距離的思路模式立體幾何中，兩直線的距離主要分為兩平行線間的距離和兩異面直線間的距離。前者比較簡(jiǎn)單，本文主要論述異面直線的距離問題，求異面直線的距離，可求兩異面直線的公垂線，或轉(zhuǎn)化為求線面距離，或面面距離，亦可由最值法求得，當(dāng)然還可用向量法。此類題型在高考的考察出現(xiàn)的頻率較小，在此不再詳加敘述。5.3.5直線與平行平面、兩平行平面的距離

23、的思路模式這兩個(gè)方面的問題通常解決的方法有定義法、轉(zhuǎn)化法和向量法，無(wú)論哪種方法實(shí)質(zhì)上都是點(diǎn)到平面距離的問題，在此不再詳加敘述。3.1 三視圖的綜合問題三視圖實(shí)現(xiàn)了“實(shí)物模型三視圖直觀圖”間的相互轉(zhuǎn)化，在虛實(shí)想象的數(shù)學(xué)活動(dòng)中學(xué)生更完整更全面地認(rèn)識(shí)和把握了空間幾何體. 自立體幾何引入空間向量后，三視圖擔(dān)當(dāng)起了培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的重任. 因此，三視圖是新課程高考的必考內(nèi)容。由三視圖確定幾何體的形狀并求解表面積或體積是高考命題的重點(diǎn)，多為客觀題，在求解過(guò)程中易出現(xiàn)的問題主要有：（1） 不能根據(jù)三視圖確定幾何體的形狀，尤其是組合體的三視圖以及幾何體挖空、切割等問題，導(dǎo)致無(wú)法計(jì)算幾何體的體積與表面積；（

24、2）不能把三視圖中的數(shù)據(jù)準(zhǔn)確地與幾何體中有關(guān)幾何體的有關(guān)度量對(duì)應(yīng)起來(lái)，導(dǎo)致計(jì)算出錯(cuò)，對(duì)于組合體三視圖中的相關(guān)數(shù)據(jù)的處理不當(dāng)導(dǎo)致失誤；（3）幾何體的表面積和體積的求解過(guò)程出錯(cuò)；（4）計(jì)算不細(xì)心導(dǎo)致運(yùn)算失誤問題。解決此類問題分三步：第一步，一般先確定幾何體的大致輪廓，然后利用三視圖中的實(shí)線和虛線通過(guò)切割、挖空等手段逐步調(diào)整；第二步，先部分后整體，即先分別求出各個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積，然后用它們表示所求幾何體的表面積與體積，注意重疊部分的表面積以及挖空部分的體積的處理。第三步，計(jì)算棱錐的體積時(shí)要根據(jù)線面垂直關(guān)系，靈活選擇頂點(diǎn)和底面；求解不規(guī)則幾何體的表面積與體積時(shí)，則要通過(guò)“切”或“割”將幾何體

25、分成簡(jiǎn)單的幾何體，逐個(gè)求解，注意重疊問題以及挖空問題。 3.2 二面角問題在高中數(shù)學(xué)立體幾何的學(xué)習(xí)中， 求二面角的大小是個(gè)重點(diǎn)，也是個(gè)難點(diǎn)。在每年的理科數(shù)學(xué)的高考試題中，求二面角的大小幾乎成了必考的知識(shí)點(diǎn)， 但學(xué)生卻總認(rèn)為這個(gè)知識(shí)點(diǎn)很難，做題時(shí)不知從何處下手。因此，針對(duì)這些問題本文將對(duì)求二面角的思路模式作一個(gè)總結(jié)。定義法作出二面角的平面角二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的空間圖形就叫做二面角。二面角的大小是用二面角的平面角來(lái)衡量的。而二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一點(diǎn)O，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作射線AO,BO，則AOB 為二面角的平面角。 3.2.2 垂面法 過(guò)二面角棱上一點(diǎn)作

26、棱的垂面，則垂面與二面角的兩個(gè)半平面的交線所成的角就是二面角的平面角或其補(bǔ)角； 3.2.3 垂線法 過(guò)二面角的一個(gè)半平面內(nèi)一點(diǎn)A作另一個(gè)半平面的垂線，再?gòu)拇棺鉈向二面角的棱作垂線，垂足為C，這樣二面角的棱就垂直于這兩個(gè)垂線所確定的平面ABC，連接ABC,連接AC，則AC也與二面角或其補(bǔ)角，這樣就把問題歸結(jié)為解一個(gè)直角三角形，這是求解二面角的最基本、最重要的方法。向量法二面角的大小可以由兩個(gè)半平面的法向量夾角或者是兩個(gè)半平面的法向量夾角的補(bǔ)角來(lái)度量（天津卷理17）如圖，在三棱柱中，是正方形的中心，平面，且（）求二面角的正弦值；垂線法：向量法：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn). 依題意

27、得 （II）解：易知 設(shè)平面AA1C1的法向量， 則即 不妨令可得， 同樣地，設(shè)平面A1B1C1的法向量， 則即不妨令，可得于是從而所以二面角AA1C1B的正弦值為 3.3 平面圖形翻折為空間圖形問題把一個(gè)平面圖形按照某種要求折起, 轉(zhuǎn)化為空間圖形, 進(jìn)而研究圖形在空間位置關(guān)系和數(shù)量上的變化, 這就是翻折問題.解決此類問題容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有： (1) 忽視平面圖形的翻折對(duì)線段的長(zhǎng)度及其關(guān)系的影響，直接利用平面圖形中的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，或直接利用平面圖形中的平行垂直關(guān)系進(jìn)行證明，導(dǎo)致錯(cuò)誤。 (2) 不能根據(jù)折線確定平面圖形翻折前后的不變量，尤其是平面圖形翻折后不變的垂直關(guān)系，導(dǎo)致空間線面關(guān)系無(wú)法證明，體積與表面積的求解失誤。 (3)不能根據(jù)平面圖形中的有關(guān)性質(zhì)判斷幾何體的有關(guān)最值。解決平面圖形的翻折問題的關(guān)鍵是折線，折線把平面圖形分成兩部分，在這兩個(gè)平面圖形中的幾何量及其關(guān)系都是不變的，特別是這兩個(gè)平面圖形中的直線與折線的關(guān)系是不變的，與折線平行的直線，其平行關(guān)系不改變，與折線垂直的線段，翻折之后變成與折線垂直的兩條線段;而翻折后發(fā)生變化的原因是折線分成的兩部分形成了一個(gè)角度，變成了一個(gè)空間幾何體，所以要利用空間幾何中的線面關(guān)系來(lái)解決問題，不能直接利用翻折前分別在這兩部分中線段