第三章 微分中值定理與導數(shù)的應用

1、高等數(shù)學練習題 第三章 微分中值定理與導數(shù)的應用系專業(yè)班姓名學號習題九 微分中值定理一選擇題1 在區(qū)間上，下列函數(shù)滿足羅爾中值定理的是 A (A) （B） （C） （D）2 若在內(nèi)可導,、是內(nèi)任意兩點，且，則至少存在一點，使得 C （A） （）； （B） （）；（C） （）；（D） （）3下列函數(shù)在給定區(qū)間上不滿足拉格朗日定理條件的有 B （A）, （B）,（C）, 0,1 （D）,4 若和對于區(qū)間內(nèi)每一點都有, 則在內(nèi)必有 B （A） （B） （C） （D）二填空題1 對函數(shù)在區(qū)間上應用拉格朗日定理時,所求的拉格朗日定理結論中的，總是等于2 若在上連續(xù)，在內(nèi)可導,則至少存在一點,使得 成立3

2、設,則有4個根,它們分別位于區(qū)間（0,1）; (1,2); (2,3)；（3，4）內(nèi).三證明題1 當，試證：證：令， 可知 在連續(xù)，在上可導由拉格朗日定理可知，存在 使得 又， 所以 ， 且 ， 即 。 得證2 證明：證明：令 則在上可導，且 所以，（c為常數(shù)）， 又， 故3 證明方程只有一個正根.證: 令，則在上連續(xù)，且 由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知，存在 ，使得。 即有一正根。又假設，（）， 又在上連續(xù)，在可導，所以由拉格朗日定理可知，存在，使得，但矛盾，假設不成立。所以。高等數(shù)學練習題 第三章 微分中值定理與導數(shù)的應用系專業(yè)班姓名學號習題十 洛比達法則一 填空題12 23= 4= 15=

3、 66下列極限能夠使用洛必達法則的是C：（A）； （B）； （C）； （D）的值， 二、判斷題：（正確的括號內(nèi)打“”，錯誤的在括號內(nèi)打“×”）1（不存在） × 2 × 三 計算題1 234.56則 原式7令 則 所以 原式8令， 則，所以，原式=高等數(shù)學練習題 第三章 微分中值定理與導數(shù)的應用系專業(yè)班姓名學號習題十一 函數(shù)的單調(diào)性與極值一 填空題1函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少, 在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加2在區(qū)間內(nèi)單潤減少，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加3函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是 R。4函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少, 在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加51. 當時，函數(shù)有極值，那么6函數(shù)，在區(qū)間上的極大值點 0 二 選擇題三

4、選擇題1設函數(shù)滿足，不存在，則 D (A) 及都是極值點 (B) 只有是極值點(C) 只有是極值點 (D)與都有可能不是極值點2下列命題為真的是 D (A) 若為極值點，則 (B) 若，則為極值點 (C) 極值點可以是邊界點 (D) 若為極值點，且存在導數(shù)，則3設，是恒大于零的可導函數(shù)，且，則當時，有 A （A） （B）（C） （D）4設函數(shù)連續(xù)，且，則存在，使得 C （A）在內(nèi)單調(diào)增加 （B）在內(nèi)單調(diào)減少（C）對任意的有 （D）對任意的有5當時,當時,則必定是函數(shù)的 D (A) 極大值點; (B) 極小值點; (C) 駐點; (D) 以上都不對三求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值令 可得 當 時 不存在

5、 由，把分成四個部分區(qū)間，并列表討論如下：負不存在正0負0正遞減極小值遞增極大值遞減極小值遞增四證明題：1 證明證明：令 故 又， 所以，即在 單調(diào)遞增， 即 。 得證高等數(shù)學練習題 第三章 微分中值定理與導數(shù)的應用系專業(yè)班姓名學號習題十二 函數(shù)的極值與最大值和最小值一填空題1當2 時，函數(shù)在處取得極大值時，其極大值為.2函數(shù)在上的最大值為，最小值為 3.在3處取得最大值11, 在2處取得最小值.二. 選擇題1如果在達到極大值,且存在，則 A (A) ; (B) ; (C) ; (D) 0yx2設函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，其導數(shù)的圖形如圖所示，則有 C （A）一個極小值點和兩個極大值點（B）兩個極小值點和

6、一個極大值點（C）兩個極小值點和兩個極大值點（D）三個極小值點和一個極大值點3函數(shù)在定義域內(nèi) A （A）無極值 （B）極大值為（C）極小值為 （D）為非單調(diào)函數(shù)4若函數(shù)的極大值點是，則函數(shù)的極大值是 D (A) (B) (C) (D)5在上沒有 A （A）極大值 （B）極小值 （C）最大值 （D）最小值6函數(shù)在內(nèi)的最小值是 D （A）0 （B）1 （C）任何小于1的數(shù) （D）不存在7函數(shù)在區(qū)間上的最大值是 D （A）0 （B）1 （C）2 （D）不存在8設有一根長為L的鐵絲，將其分為兩斷，分別構成圓形和正方形，若記圓形面積為S1，正方形面積為，當最小時， C (A) (B) (C) (D) 三

7、求下列函數(shù)極值1 令 可得 當 時，當時 所以在處 取得極大值 當時 當 時 所以在3處 取得極小值 。四. 某地區(qū)防空洞的截面積擬建成矩形加半圓如下圖，截面的面積為m2，問底寬為多少時才能使截面的周長最小，從而使建造時所用的材料最省解：由已知 可得，=。由于駐點唯一，且最小值存在，所以當時，材料最省。 高等數(shù)學()練習 第二章 一元函數(shù)微分學系專業(yè)班姓名學號習題十三 曲線的凹凸性與拐點二 填空題1曲線的凸(向上凸)區(qū)間是_，凹(向下凸)區(qū)間是.2若曲線在處有拐點，則與應滿足關系。3當,， 時, 點為曲線的拐點。4若曲線在處取得極值，點是拐點，則，二選擇題1. 曲線在區(qū)間內(nèi) B （A）凹且單調(diào)

8、增加 （B）凹且單調(diào)減少 （C）凸且單調(diào)增加 （D）凸且單調(diào)減少2若二階可導，且，又時，則在內(nèi)曲線 C （A）單調(diào)下降，曲線是凸的 （B）單調(diào)下降，曲線是凹的（C）單調(diào)上升，曲線是凸的 （D）單調(diào)上升，曲線是凹的3曲線的拐點個數(shù)為 C (A) 0 （B）1 （C）2 （D）3三證明題：利用函數(shù)的凹凸性證明 五.作函數(shù)的圖形 解：（1）所給函數(shù)的定義域為R，=（2）的零點為， 的零點為， 這些點把定義域分成四個部分 (3) 在各個區(qū)間，得符號，相應的曲線的升降性及凹凸性，以及拐點，如下表：x000圖形增拐點增極大值減拐點減高等數(shù)學練習題 第三章 微分中值定理與導數(shù)的應用系專業(yè)班姓名學號習題十四

9、曲率 一、填空題1拋物線在點處的曲率，曲率半徑.2曲線，在處的曲率，曲率半徑.3曲線在點的曲率為二、選擇題：橢圓 在長軸端點的曲率 B （A）0 （B） （C） （D）不存在三、計算題：1求曲線上曲率最大的點及該點處的曲率半徑解：，令 ， 且可知 當時取得最大值。 曲率半徑 2 汽車連同載重共5噸，在拋物線拱橋上行駛，速度為21.6（公里/小時）橋的跨度為10米，拱的矢高為0.25米，求汽車越過橋頂時對橋的壓力。解：取橋頂為原點，豎直向下為y軸的正方向，則拋物線的方程為橋端點（5，0.25）在拋物線上，所以拋物線的方程為， ，所以 所以在橋頂處拋物線的曲率半徑為，離心力為壓力 N= = 500

10、00高等數(shù)學練習題 第三章 微分中值定理與導數(shù)的應用系專業(yè)班姓名學號綜合練習一填空題1函數(shù)在上滿足羅爾定理的條件,由羅爾定理確定的2。 2極限1。3在區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)增加。4在處取得極小值5在的最大值點為。6曲線的凸區(qū)間是, 凹區(qū)間是 拐點是。二選擇題1設，則在處 B （A）的導數(shù)存在，且 (B)取得極大值 (C)取得極小值 (D) 的導數(shù)不存在2曲線 B （A）是垂直漸近線 （B）為斜漸近線 （C）單調(diào)減少 （D）有2個拐點3設函數(shù)，則 C （A） 該函數(shù)在處有最小值(B) 該函數(shù)在處有最大值（C） 該函數(shù)所表爾的曲線在處有拐點 (D) 該函數(shù)所表示的曲線處無拐點4設函數(shù)在上滿足，則、或的大小順序為 B （A） （B）（C） （D）5設一階可導，且，則 C （A） 一定是的極大值 (B) 一定是的極小值（C） 一定不是的極值 (D) 不一定是的極值6函數(shù)可微，則函數(shù) D （A）無零點； (B)只有一個零點； (C)只有兩個零點； (D)至少有兩個零點·二計算題1.2四 設有甲乙兩城甲城位于一直線形的河岸上，乙城離河岸40千米，且到河岸的垂足與甲城相距50千米兩城擬于此河邊合建一水廠取水，從水廠到甲